高二下第二次期中考數學題庫(40)

(1)

1082 高二數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P1/29

Sec2-2

一、單選題

（）1.坐標空間中一質點自點 P(1,1,1)沿著方向 a (1, 2, 2)等速直線前進﹐經過 5 秒後剛好到達平面 x  y  3z  28 上﹐立即轉向沿著方向 b  ( 2, 2, 1) 依同樣的速率等速直線前進﹒請問再經過幾 秒此質點會剛好到達平面 x  2 上﹖ (1)1 秒 (2)2 秒 (3)3 秒 (4)4 秒 (5)永遠不會到達﹒ 解答 2 解析設質點到達兩平面的點分別為 Q 與 R﹐如下圖所示﹒ 將參數式 1 : 1 2 1 2 x t PQ y t z t            （t ）代入 x  y  3z  28﹐ 得(1  t)  (1  2t)  3(1  2t)  28  3  5t  28  t  5﹐即 Q(6,11,11)﹒ 再將參數式 6 2 : 11 2 11 x s QR y s z s            （s ）代入 x  2﹐ 得 6  2s  2  s  2﹐即 R(2,15,9)﹒ 因為 6 2 15 5 QR PQ   ﹐所以經過 2 5 2 5   秒到達 R 點﹐故選(2)﹒ （）2.空間中﹐方程式 x  3y  2 代表的圖形是 (A)xy 平面上之直線 (B)與 xy 平面平行之直線 (C) 與 xy 平面平行之平面 (D)與 xy 平面垂直之平面﹒ 解答 D 解析 x  3y  2  法向量  (1 , 3 , 0)﹐∵(1 , 3 , 0)  (0 , 0 , 1)  0﹐∴x  3y  2 與 xy 平面垂直﹐故選(D) ﹒ Q P R x- y + 3z = 28

(2)

1082 高二數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P2/29 （）3.兩直線 1 2 1 3 x y z  _ _{ } 與 4 1 2 1 5 3 x z y  _{  }   的相對位置關係為 (1)平行 (2)重合 (3)歪斜線 (4)相交於一點﹒ 解答 4 解析 1 3 1 1 1 0 1 3 1 2 2 1 x t x y z y t z t       _ _  _ _{ }   _    ﹐t 為實數﹐ 1 ₄ ₅ 4 1 ₂ 1 3 5 1 1 3 2 2 2 x s z x y y s z s      _               ﹐s 為實數﹐ 1 3 4 5 1 1 2 1 3 1 2 2 t s t s t s        _{ }    _{   }  ﹐由得﹕t  0﹐s  1﹐ 代入1  0  1 3 2 2   （合） 相交於一點﹐故選(4)﹒

二、多選題

（）1.過 A(1,0,0)且與直線 1 1 3 1 2 2 x _ y _ z  垂直的直線方程式為 8 x a y z b c  _{ } ﹐選出正確的選項﹖ (1)a  1 (2)b  6 (3)c  11 (4)a  b  c  18 (5)a  b  c﹒

解答 13 解析設 P(1  t,  1  2t,3  2t)﹐t ﹐為 : 1 1 3 1 2 2 x y z L       上的一點﹐AP( , 1 2 ,3 2 )t   t  t ﹐ 8 ( , 1 2 ,3 2 ) (1, 2, 2) 2 4 6 4 9 8 0 9 t   t  t       t t t    t t ﹐ ∴ ( , ,8 7 11) //(8,7,11) 9 9 9 AP ﹐∴方程式為 1 8 7 11 x _{ }y z ﹐∴a  1﹐b  7﹐c  11﹒

(3)

1082 高二數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P3/29 （）2.過 A (2 , 0 , 1)﹐B (1 , 2 ,  1)兩點之直線方程式可為 (1) 3 1 1 2 2 x _{ }y z (2) 1 2 1 1 2 2 x _ y _ z (3)x  2  2t﹐y  4t﹐z  1  4t（t 為實數） (4)2x  3y  4z  0 (5) 2 4 0 1 0 x y y z          ﹒ 解答 235 解析 AB ( 1, 2, 2)   (1, 2, 2)﹐ (1)╳ (2)○﹕ 1 2 1 1 2 2 x _ y _z  (3)○﹕同於 x  2  t﹐y  2t﹐z  1  2t（t 為實數） (4)╳﹕表平面方程式 (5)○﹕A﹐B 二點代入均成立﹐表過 A﹐B 二點 故選(2)(3)(5)﹒ （）3.空間中﹐L1﹕ 3 4 x y      ﹐L2﹕ 4 5 y z      ﹐則下列有關 L1﹐L2敘述哪些選項是正確的﹖ (A)直線 L1與 xy 平面垂直 (B)直線 L2與 x 軸平行 (C)直線 L1與 y 軸互為歪斜線 (D)直線 L1與直線 L2交於 一點 (E)直線 L1在平面 x  3 上﹒ 解答 ABCDE 解析 L1﹕ 3 3 4, 4 x x y t y z t     _ _ _  _   _{ }  ﹔L2﹕ 4 4, 5 5 x s y y s z z     _ _ _  _   _{ }  L1與 z 軸平行﹔L2與 x 軸平行﹐且 L1與 L2相交於(3 , 4 , 5)﹐故選(A)(B)(C)(D)(E)﹒

(4)

三、填充題

1.(1)求通過點(2 , 3 , 4)與平面 x  y  2z  5 垂直的直線參數式﹒ (2)求通過點(3 , 2 , 1)與 z 軸平行的直線參數式﹒ 解答 (1) 2 3 4 2 x t y t z t            （t 是實數）;(2) 3 2 1 x y z t          （t 是實數） 解析 (1)因為直線與平面 x  y  2z  5 垂直﹐ 所以平面 x  y  2z  5 的法向量(1 ,  1 , 2)即為此直線的一個方向向量﹐ 又因為直線通過點(2 , 3 , 4)﹐所以其參數式為 2 3 4 2 x t y t z t            （t 是實數）﹒ (2)因為 z 軸的一個方向向量為(0 , 0 , 1)﹐ 所以(0 , 0 , 1)是與 z 軸平行直線的一個方向向量﹐又因為此直線過點(3 , 2 , 1)﹐ 所以其參數式為 3 2 1 x y z t          （t 是實數）﹒ 2.判別直線 L1﹕ 2 1 2 3 1 x _{ }y z 與 L2﹕ 2 6 3 4 6 2 x _ y _z 的相交情形﹒ 解答重合 解析因為 L1﹐L2的方向向量(2 , 3 , 1)﹐(4 , 6 , 2)互相平行﹐所以 L1﹐L2不是互相平行就是重合﹒ 由 L2的參數式可知(  2 ,  6 ,  3)是 L2上一點﹐ 將(  2 ,  6 ,  3)代入 L1﹕ 2 1 2 3 1 x _{ }y z ﹐得 4 6 2 2 3 1  _  _ （成立）﹐ 可知點(  2 ,  6 ,  3)在 L1上﹐因此直線 L1與 L2重合﹒ 3.判別直線 L﹕ 1 3 4 2 3 4 x _ y _ z 與平面 E﹕3x  2y  z  1 的相交情形﹒ 解答交於點(5 , 9 , 4) 解析由題意可知﹕ 直線 L 的參數式為 1 2 3 3 4 4 x t y t z t             （t 是實數）﹐代入 E﹕3x  2y  z  1﹐得 4t  8﹐解得 t  2﹒ 故直線 L 與平面 E 交於點(x , y , z)  (5 , 9 , 4)﹒ (2,3,4) (1, 1,2)

(5)

1082 高二數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P5/29 4.求兩平面 2x  3y  2z  2 和 6x  y  z  1 之交線 L 的參數式﹒ 解答 2 1 4 x t y t z t           （t 是實數） 解析設點 P (x , y , z)在交線 L 上﹐即 2 3 2 2 6 1 x y z x y z      _{  }  ﹒ 令 x  t﹐整理得 3 2 2 2 1 6 y z t y z t           ﹐ 由  2  ﹐得 5y  10t﹐解得 y  2t﹐再將 y  2t 代入﹐解得 z  1  4t﹒ 因此 P 點的坐標為(t ,  2t , 1  4t)﹐即交線 L 的參數式為 L﹕ 2 1 4 x t y t z t           （t 是實數）﹒ 5.求兩平行線 L1﹕ 1 2 2 2 1 x _{ }y z 與 L2﹕ 1 3 1 2 2 1 x _ y _ z 之間的距離﹒ 解答 3 解析在直線 L1上取一點 P (1 , 0 ,  2)﹐則 P 點到 L2的距離就是兩平行線 L1與 L2的距離﹒ 由點 P 作直線 L2的垂線 PQ 與 L2交於 Q 點﹐ 並由直線 L2的對稱比例式可令 Q 點坐標為(1  2t , 3  2t , 1  t)﹐t 是實數﹐ 且得PQ(2 ,3 2 ,3t  t t)﹒ 因為PQL₂﹐所以PQ和 L2的方向向量(2 , 2 , 1)垂直﹐ 即(2t , 3  2t , 3  t)  (2 , 2 , 1)  0﹐乘開得 9t  9  0﹐解得 t  1﹐即PQ ( 2,1, 2)﹒ 故兩平行線 L1與 L2的距離為|PQ| ( 2) 2 12 22 3﹒ L1 L2 Q(1+2t ,3+2t ,1+t) P(1,0, 2)

(6)

1082 高二數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P6/29 6.已知直線 L1﹕ 2 1 2 3 1 x _{ }y z 與 L2﹕ 0 1 2 3 1 z z x y c      互相垂直﹐求 z0與 c 的值﹒ 解答 z0 9﹐c  9 解析因為 L1與 L2垂直﹐所以 L1﹐L2的方向向量(2 , 3 , 1)﹐(3 , 1 , c)互相垂直﹐ 即(2 , 3 , 1)  (3 , 1 , c)  0﹐乘開得 6  3  c  0﹐解得 c  9﹒ 又由 L2的對稱比例式可知 L2上的點為(1  3t , 2  t , z0 9t)﹐ 將(1  3t , 2  t , z0 9t)代入 L1﹕ 2 1 2 3 1 x _{ }y z ﹐得3 1 2 0 9 1 2 3 1 z t t _t _   ﹐ 解得 t  1﹐z0 9﹒ 故 z0 9﹐c  9﹒ 7.已知上等稻禾 3 捆﹑中等稻禾 2 捆﹑下等稻禾 1 捆﹐共可打出稻米 34 斗﹔上等稻禾 2 捆﹑中等稻禾 1 捆﹑ 下等稻禾 3 捆﹐共可打出稻米 26 斗﹔上等稻禾 1 捆﹑中等稻禾 3 捆﹑下等稻禾 2 捆﹐共可打出稻米 24 斗﹒ 問﹕上等稻禾 1 捆﹐中等稻禾 1 捆﹐下等稻禾 1 捆﹐各可以打出稻米多少斗﹖ 解答 8 斗﹐4 斗﹐2 斗 解析設上等稻禾 1 捆可打出稻米 x 斗﹐中等稻禾 1 捆可打出稻米 y 斗﹐下等稻禾 1 捆可打出稻米 z 斗 ﹒ 依題意可列得聯立方程式 3 2 34 2 3 26 3 2 24 x y z x y z x y z      _{ } _       ﹐並解得 x  8﹐y  4﹐z  2﹒ 因此﹐上等稻禾 1 捆可打出稻米 8 斗﹐中等稻禾 1 捆可打出稻米 4 斗﹐下等稻禾 1 捆可打出稻米 2 斗﹒ 8.求點 A (2 ,  1 , 0)到直線 L﹕ 4 3 1 3 2 x _ y _ z  之投影點的坐標﹒ 解答 (3 , 0 , 2) 解析設點 A 到 L 的投影點為 B 點﹒ 由 L﹕ 4 3 1 3 2 x _ y _ z  可設 B 點的坐標為(4  t , 3  3t ,  2t)﹐並得AB(2t, 4 3 , 2 ) t  t ﹒ 因為AB與 L 的方向向量(1 , 3 ,  2)垂直﹐所以(2  t , 4  3t ,  2t)  (1 , 3 ,  2)  0﹐ 整理得 14t  14  0﹐解得 t  1﹐因此﹐投影點 B 的坐標為(3 , 0 , 2)﹒ (1,3, 2) A(2, 1,0) B(4+t ,3+3t, 2t)

(7)

Sec2-3

一、單選題 （）1.若方程組 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d      _ _ _   _ _ _  有唯一解 x  2﹐y  4﹐z  3﹐則方程組 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 d x b y c z a d x b y c z a d x b y c z a      _ _ _   _ _ _  的解(x,y,z)  (1)(1,4,3) (2)(4,4,3) (3)(1,  4,  3) (4)(1,  2,  3)﹒ 解答 3 解析將(x,y,z)  (2,4,3)代入方程組 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 a b c d a b c d a b c d      _     _ _ _  1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 3 2 4 3 2 4 3 2 d b c a d b c a d b c a      _         與 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 d x b y c z a d x b y c z a d x b y c z a      _ _ _   _ _ _  比較係數知(x,y,z)  (1,  4,  3)﹐故選(3)﹒ （）2.下列哪一個 a 值使得聯立方程式 1 1 3 2 x y z x y az a x y z               

有無限多組解﹖ (1)a  1 (2)a  2 (3)a  3

(4)a  4 (5)a  5﹒ 解答 3 解析將聯立方程式編號為 1 1 3 2 x y z x y az a x y z                ﹐ 然後用加減消去法求解如下﹕ 由  及  消去 x﹐得 1 ( 1) 2 2 1 x y z a z a z             ﹐ 因為有無限多組解﹐所以﹐為相同的方程式﹒由解得 1 2 z ﹐代入﹐解得 a  3﹒ 故正確的選項為(3)﹒ （）3.設三平面 E1 : 3x  7y  z  9﹑E2 : x  y  z  3﹑E3 : 3x  2y  z  0﹐則三平面的相交情形為何 ﹖ (1)三平面互相平行 (2)三平面交於一直線 (3)三平面兩兩交於一線﹐而這三直線互相平行 (4)三平面交於一點﹒ 解答 2 解析 3 7 9 3 3 2 0 x y z x y z x y z                    4x  6y  6  2x  3y  3……     2x  3y  3…… 由知﹐三平面交於一線﹐故選(2)﹒

(8)

二、多選題

（）1.設 3 4 6 2 1 3 a x a y              _       有解﹐則 a  (1)  1 (2)1 (3)3 (4)5﹒ 解答 123 解析 3 4 ( 5)( 1) 2 1 a a a a        ﹐ 6 4 6( 1) 3 1 x a a       ﹐ 3 6 3( 1) 2 3 y a a       ﹐ 則 a  5﹐ 1 時唯一解﹔a  1 時無限多解﹔a  5 時無解﹐ 故選(1)(2)(3)﹒

（）2.空間相異三平面 E1﹑E2﹑E3﹐且 E1與 E2交線為 L﹐下列何者正確﹖ (1)若 L⊥E3﹐則三平面相

交於一直線 (2)若 L 在 E3上﹐則三平面相交於一直線 (3)若 L // E3﹐則 E1 // E3 (4)若 L // E3﹐ 則三平面兩兩相交 (5)若 L 交 E3於一點﹐則 E1與 E3交於一直線﹒ 解答 25 解析 (1)╳﹕交於一點﹒ (2)○ (3)╳﹕不一定﹐可能相交﹒ (4)╳﹕可能 E1 // E3或 E2 // E3﹒ (5)○ 故選(2)(5)﹒ （）3.設 a 為實數且 a  0﹐關於方程組 2 2 2 z ax y a x ay z x y az a                   的解﹐何者正確﹖ (1)當 a  1 時﹐有無限 多組解 (2)當 a  2 時﹐恰有一組解 (3)當 a  3 時﹐無解 (4)當 a  1 時﹐有無限多組解 (5)當 a  2 時﹐無解﹒ 解答 24 解析 1 1 1 1 1 1 a a a a a   a31 a 1 a 1 a a  a  1 a(a 2₁₎2_﹐ (1)a  1 : 2 2 2 x y z x y z x y z                 無解﹒ (2)a  1 : 2 2 2 x y z x y z x y z                  無限多解﹒ 故選(2)(4)﹒

(9)

1082 高二數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P9/29 三、填充題 1.已知圓 C 通過(1 ,  1)﹐(2 , 2)﹐(  1 , 3)三點﹐求圓 C 之圓心的坐標及其半徑﹒ 解答 (0 , 1)﹐ 5 解析設圓 C 的方程式為 x2_y2_dx_ey_f_0﹒ 因為圓 C 通過(1 ,  1)﹐(2 , 2)﹐(  1 , 3)三點﹐ 所以可列出三元一次聯立方程式 2 0 2 2 8 0 3 10 0 d e f d e f d e f       _ _{  }        ﹐ 利用加減消去法﹐由  及  消去 f﹐得 2 0 3 6 0 2 4 8 0 d e f d e d e                由﹐解得 d  0﹐e  2﹐再代回﹐得 f  4﹒ 因此圓 C 的方程式為 x2_y2_2y₄_{0﹐將其改寫成}_x2_₍_y_₁₎2__{( 5)}2_﹐ 可得圓 C 之圓心的坐標為(0 , 1)﹐半徑為 5﹒ 2.已知聯立方程式 2 2 3 3 0 3 2 7 x y z x y z x y z               恰有一組解 x  a﹐y  b﹐z  c﹐求 a 的值﹒ 解答 2 解析利用加減消去法﹐操作如下﹕ 2 2 3 3 0 3 2 7 x y z x y z x y z               → 3 0 2 2 3 3 2 7 x y z x y z x y z               z  消去 3 0 4 5 3 5 7             x y z x y x y y  消去 3 0 4 5 3 5 10 x y z x y x            ﹐ 解得 x  2﹒ 或由克拉瑪公式﹕ 因為聯立方程式恰有一個解﹐所以_a_x  ﹒ 計算﹕ 2 1 2 1 3 1 12 3 2 ( 2) 2 18 25 3 1 2                ﹐ 3 1 2 0 3 1 18 7 0 ( 3) 0 42 50 7 1 2 x                ﹐ 可得 50 2 25 x a     ﹒

(10)

1082 高二數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P10/29 3.有一工程﹐甲乙兩人合作 12 天可完成﹐乙丙兩人合作 15 天可完成﹐甲丙兩人合作 20 天可完成﹒試問甲乙丙三人獨作各需幾天才可完成﹖ 解答 30 天﹐20 天﹐60 天 解析設甲獨作 x 天可完成﹐乙獨作 y 天可完成﹐丙獨作 z 天可完成﹒ 依題意可得 1 1 1 12 1 1 1 15 1 1 1 20 x y y z z x                ﹒令u 1 x  ﹐v 1 y  ﹐w 1 z  ﹐則有 1 12 1 15 1 20 u v v w w u               ﹒ 由    得2( ) 1 5 u v w  ﹐即 1 10 u  v w ﹒ 由  得 1 60 w ﹐  得 1 30 u ﹐  得 1 20 v ﹐因此 x  30﹐y  20﹐z  60﹒ 故甲獨作 30 天可完成﹐乙獨作 20 天可完成﹐丙獨作 60 天可完成﹒ 4.已知聯立方程式 2 0 0 3 0 x y z x ay z x y z               除了 x  0﹐y  0﹐z  0 之外﹐還有其他的解﹐求 a 的值﹒ 解答 5 7  解析因為除了 x  0﹐y  0﹐z  0 之外﹐還有其他的解﹐ 所以聯立方程式 2 0 0 3 0 x y z x ay z x y z               有無限多組解﹐ 利用加減消去法﹐將  及    3 消去 x﹐得 2 0 ( 1) 3 0 4 7 0 x y z a y z y z              ﹒ 因為聯立方程式有無限多組解﹐所以﹐兩式是兩個相同的方程式﹐ 因此 1 3 4 7 a   ﹐解得 5 7 a  ﹒ 〈另解〉因為聯立方程式有無限多組解﹐所以 1 1 2 1 1 3 2 ( 1) 1 ( 6 ) 0 3 1 1 a a a              ﹐ 整理得 7a  5  0﹐解得 5 7 a  ﹒

(11)

1082 高二數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P11/29 5.判定三平面 E1﹕x  y  z  3﹐E2﹕x  2y  3z  4﹐E3﹕5x  y  3z  1 的相交情形﹒ 解答三平面交於一直線 解析因為三平面 E1﹐E2﹐E3的法向量 1 (1, 1,1) n   ﹐n₂ (1, 2, 3) ﹐n₃ (5,1, 3) 均不互相平行﹐ 所以此三平面的相交情形只有 3 種﹐我們只需求出三平面的交點個數﹐ 就可以判定它們的相交情形是 3 種情形中的哪一種﹒ 現在將三平面的方程式聯立起來並編號為 3 2 3 4 5 3 1 x y z x y z x y z                ﹐ 利用加減消去法﹐由  及    5 消去 x﹐得 3 3 4 7 6 8 14 x y z y z y z           _ _{ }  ﹐ 再由    2 消去 y﹐得 3 3 4 7 0 0 x y z y z             ﹒ 因為兩個不平行的平面交於一直線﹐ 所以此三平面交於一直線﹐如圖所示﹒ 6.解下列各三元一次聯立方程式﹕ (1) 2 4 2 3 3 2 2 1 x y z x y z x y z      _{  }       ﹒ (2) 2 3 0 3 2 2 2 0 x y z x y z x y z               ﹒ 解答 (1)x  1﹐y  1﹐z  2;(2)x  2﹐y  1﹐z  1 解析 (1)先將聯立方程式編號為 2 4 2 3 3 2 2 1 x y z x y z x y z               ﹐然後用加減消去法求解如下﹕ 由    2﹐    3 消去 x﹐得 2 4 3 5 5 8 11 x y z y z y z           _ _{ }  ﹐ 由    5 消去 y﹐得 2 4 3 5 7 14 x y z y z z             ﹐ 由解得 z  2﹐代回解得 y  1﹐再將 y  1﹐z  2 代回解得 x  1﹒ 故聯立方程式的解為 x  1﹐y  1﹐z  2﹒ E1 E2 E3

(12)

1082 高二數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P12/29 (2)先將聯立方程式交換位置並編號為 0 2 3 0 3 2 2 2 x y z x y z x y z      _ _{ }       ﹐然後用加減消去法求解如下﹕ 由    2﹐    3 消去 x﹐得 0 0 2 x y z y z y z             ﹐ 由  消去 y﹐得 0 0 2 2 x y z y z z            ﹐ 由解得 z  1﹐代回解得 y  1﹐再將 y  1﹐z  1 代回解得 x  2﹒ 故聯立方程式的解為 x  2﹐y  1﹐z  1﹒ 7.已知三平面 E1﹕2x  y  z  2﹐E2﹕x  2y  z  1﹐E3﹕x  8y  cz  d 交於一直線﹐求 c﹐d 的值﹒ 解答 c  5﹐d  1 解析因為三平面交於一直線﹐所以聯立方程式 2 2 2 1 8 x y z x y z x y cz d               有無限多組解﹒ 先將聯立方程式調整順序並編號為 2 1 2 2 8 x y z x y z x y cz d               ﹐然後用加減消去法求解如下﹕ 由    2 及  消去 x﹐得 2 1 5 3 0 10 ( 1) 1 x y z y z y c z d               ﹐ 由    2 消去 y﹐得 2 1 5 3 0 ( 5) 1 x y z y z c z d              因為聯立方程式有無限多組解﹐所以由式可知 c  5﹐d  1﹒

(13)

1082 高二數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P13/29 8.試就實數 a 的值﹐討論聯立方程式 1 1 1 ax y z x ay z x y az               的解﹒ 解答見解析解析計算 3 2 1 1 1 1 3 2 ( 1) ( 2) 1 1 a a a a a a a         ﹐ 2 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 x a a a     2 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 y a a a     2 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 z a a a     (1)當 0﹐即 a  1 且 a  2 時﹐ 聯立方程式的解為 1 2 x x a      ﹐同理可得 1 2    y z a ﹒ (2)當 a  1 時﹐聯立方程式為 1 1 1 x y z x y z x y z               ﹐ 表示三個相同平面﹐其解為平面上的任意點﹒ (3)當 a  2 時﹐聯立方程式為 2 1 2 1 2 1 x y z x y z x y z                ﹐ 利用高斯消去法得聯立方程式無解﹒

(14)

Sec3-1

一、單選題 （）1.選出經過一系列的列運算後可以化成 1 2 3 7 0 1 1 2 0 0 1 1           的矩陣﹕ (1) 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 1           (2) 1 3 1 0 1 1 1 0 3 1 7 0     _         (3) 1 1 2 5 1 1 1 2 0 0 0 0    _        (4) 2 1 3 6 1 1 1 2 0 0 0 1   _        ﹒ 解答 1 解析原矩陣所表聯立方程式為 2 3 7 2 1 x y z y z z            ﹐其恰有一組解(x,y,z)  (2,1,1)﹒ 因為矩陣的列運算並不會影響聯立方程式的解﹐所以可藉由選項中的矩陣所表聯立方程式之解是否與原矩陣相同作判斷﹒ (1)此矩陣與原矩陣所表聯立方程式的解同為(x,y,z)  (2,1,1)﹒ (2)因為有(0,0,0)的解﹐所以與原矩陣所表聯立方程式的解不同﹒ (3)第三列全為 0﹐由另二列得知此矩陣所表聯立方程式有無限多組解﹒ (4)因為第三列最右邊的數不為 0﹐其餘各數都是 0﹐所以此矩陣所表聯立方程式無解﹒ 故選(1)﹒ （）2.方程組 2 3 4 12 2 5 3 7 2 1 x y z x y z x y z                ﹐若利用列運算將增廣矩陣化為 1 2 1 0 1 22 0 0 1 a b c            ﹐則 a + b + c = (1) 7 (2) 5 (3) 3 (4)  2 (5)  4﹒ 解答 1 解析 2 3 4 12 1 2 1 5 3 7 2 1     _ _        (2) (3) → 0 1 2 22 1 2 1 5 0 13 1 16    _ _         互換 → 1 2 1 5 0 1 2 22 0 13 1 16              (13) → 1 ( ) 27 1 2 1 5 0 1 2 22 0 0 27 270                 → 1 2 1 5 0 1 2 22 0 0 1 10             ﹐ ∴a = 5﹐b = 2﹐c = 10  a + b + c = 7﹒

(15)

1082 高二數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P15/29 （）3.若方程組 2 1 3 3 1 3 x y z a x y z a x y z a                 有解﹐求 a 之值為 (1)1 (2)2 (3)3 2 (4) 5 2 (5) 7 2﹒ 解答 3 解析 1 1 2 1 1 3 3 1 3 1 1 a a a      _ _        → 1 1 2 1 0 4 5 2 0 4 5 4 3 a a a      _          → 1 1 2 1 0 4 5 2 0 0 0 2 3 a a a      _         ( 1)   ( 3)   ( 1)   ∵有解 ∴2 3 0 3 2 a   a 故選(3)﹒

二、多選題

（）1.下列哪些增廣矩陣所表示的一次聯立方程式恰有一組解﹖ (1) 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4           (2) 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0           (3) 1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2           (4) 1 2 3 4 4 3 2 1 0 0 0 5           (5) 1 2 3 4 4 3 2 1 0 0 0 0           ﹒ 解答 123 解析列出增廣矩陣所表示的一次聯立方程式﹕ (1) 2 2 3 3 4 4 x x y y z z      _{ } _    _  _   (2) 0 0 2 0 0 3 0 0 x x y y z z      _{ } _    _  _   (3) 2 3 4 0 2 3 1 2 2 x y z x y z y z z        _ _ _ _{ }    _  _   (4) 2 3 4 4 3 2 1 0 5 x y z x y z              無解 (5) 2 3 4 4 3 2 1 0 0 x y z x y z              無限多組解故選(1)(2)(3)﹒

(16)

1082 高二數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P16/29 （）2.已知聯立方程式 3 3 1 5 x y z x y z x y az b               ﹐則下列選項哪些正確﹖ (1)若 a  7﹐則方程組有無限組多解 (2)若方程組無解﹐則 b  9 (3)若 b  9﹐則方程組恰有一解 (4)若 b  9﹐則方程組必為無限多 組解 (5)若 a  7﹐則方程組恰有一解﹒ 解答 25 解析 1 1 1 3 1 1 3 1 5 1 a b            

1 1 1 3 0 2 4 2 0 6 a b5 1 5       _  _       1 ( ) 2  ( 1)   ( 5)   1 1 1 3 0 1 2 1 0 6 a 5 b 15       _  _      

1 0 1 2 0 1 2 1 0 0a b7 9     _  _       1 ( 6)    ∴若 a  7﹐則恰有一組解 若 a  7﹐b  9﹐則無限多組解 若 a  7﹐b  9﹐則無解故選(2)(5)﹒ （）3.有關矩陣 1 0 0 1 A  _   與矩陣 1 3 2 2 3 1 2 2 B               ﹐試問下列哪些選項是正確的﹖ (1)AB  BA

(2)A2_B_BA2_(3)A11_B3_B6_A5_(4)AB12_A7_(5)(ABA)15_AB15_A﹒ 解答 245 解析 (1)╳﹕ 1 3 1 3 1 0 ₂ ₂ ₂ ₂ 0 1 ₃ ₁ ₃ ₁ 2 2 2 2 AB            _{ } _{ } _ _ _         _ _         ﹐ 1 3 1 3 1 0 2 2 2 2 0 1 3 1 3 1 2 2 2 2 BA       _ _        _ _   _ _            ﹐∴AB  BA (2)○﹕ 2 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 A _  _{ }  _{ } _        ﹐∴A 2_B_BA2 (3)╳﹕ cos 60 sin 60 sin 60 cos 60 B    _    ﹐ 11 3 ₍ 2 5₎ 3 3 cos180 sin180 1 0 ₍ ₎ sin180 cos180 0 1 A B  A AB AB A_   _A_ _A   I A        ﹐

(17)

1082 高二數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P17/29 6 5 cos360 sin 360 ₍ 2 2₎ 1 0 sin 360 cos360 0 1 B A _   _ A  A _ _AA       ﹐ ∴A11_B3_B6_A5

(4)○﹕AB12_A(B6₎2_A﹐A7_(A2₎3_A_A﹐∴AB12_A7

(5)○﹕

15

15 2 2 2 15

(ABA) (ABA ABA)( ) (ABA)ABA BA A BAAB A 個故選(2)(4)(5)﹒

三、填充題

1.已知 x  1﹐y  1﹐z  2 為聯立方程式 6 0 2 2 1 0 2 3 1 0 ax by cz ax by cz ax by cz       _ _ _{ }   _ _ _{ }  的一組解﹐求 a﹐b﹐c 的值﹒ 解答 a  1﹐b  5﹐c  1 解析因為 x  1﹐y  1﹐z  2 為原聯立方程式的一組解﹐所以 2 6 0 2 4 1 0 2 6 1 0 a b c a b c a b c       _{ } _{ }   _{ } _{ }  由  得 a  6c  7  0  由  得 4a  2c  2  0  再由解得 a  1﹐c  1﹒代入得 b  5﹒ 故 a  1﹐b  5﹐c  1﹒ 2.已知矩陣 1 3 4 3 4 2      經過列運算﹐得 1 0 0 1 a b      ﹐求 a﹐b 的值﹒ 解答 a  2﹐b  2 解析利用矩陣的列運算﹐得 1 3 4 1 3 4 1 3 4 1 0 2 ( 3) 1 ( 3) 3 4 2 0 5 10 ( ) 0 1 2 0 1 2 5                    _ _  _{ }            ﹐ 故 a  2﹐b  2﹒

(18)

1082 高二數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P18/29 3.已知有一個 x﹐y﹐z 的三元一次聯立方程式的增廣矩陣﹐經矩陣的列運算得 1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2           ﹐求此聯立方程式的解﹒ 解答 x  0﹐y  1﹐z  2 解析因為題目中的矩陣表示聯立方程式 2 3 4 2 3 2 x y z y z z            ﹐ 所以聯立方程式的解為 x  0﹐y  1﹐z  2﹒ 4.利用矩陣的列運算﹐解聯立方程式 2 5 2 7 7 8 31 x y z x y z x y z               ﹒ 解答 1 3 x t y t z t           （t 為任意實數） 解析利用矩陣的列運算﹐得 2 1 1 5 1 2 1 7 7 8 1 31            1 2 1 7 1 2 1 7 ( 2) 1 2 1 1 5 ( 7) 0 3 3 9 ( ) 3 7 8 1 31 0 6 6 18           _  _   _    _              1 2 1 7 1 0 1 1 ( 2) 0 1 1 3 0 1 1 3 6 0 6 6 18 0 0 0 0            _ _ _ _             即原聯立方程式與聯立方程式 1 3 x z y z        同解﹒ 若令 z  t﹐則原聯立方程式的解為 1 3 x t y t z t           （t 為任意實數）﹒

(19)

1082 高二數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P19/29 5.利用矩陣的列運算﹐可將矩陣 1 1 0 5 0 1 1 7 1 0 1 8           化為 1 0 0 0 1 0 0 0 1 a b c           ﹐求 a﹐b﹐c 的值﹒ 解答 a  3﹐b  2﹐c  5 解析利用矩陣的列運算﹐得 1 1 0 5 1 1 0 5 1 0 1 2 ( 1) 0 1 1 7 ( 1) 0 1 1 7 0 1 1 7 1 1 1 0 1 8 0 1 1 3 0 0 2 10 2             _{ } _  _      _                 1 0 1 2 1 0 0 3 0 1 1 7 1 0 1 0 2 ( 1) 0 0 1 5 0 0 1 5           _ _  _ _           ﹐ 故 a  3﹐b  2﹐c  5﹒ 6.利用矩陣的列運算﹐解聯立方程式 2 3 3 2 1 7 4 5 4 x y z x y z x y z           _ _ _  ﹒ 解答無解解析利用矩陣的列運算﹐得 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 ( 3) 3 1 2 1 ( 7) 0 5 1 8 0 5 1 8 ( 2) 7 4 5 4 0 10 2 17 0 0 0 1             _  _{ } _ _ _  _ _ _      _{ }                   ﹐ 由矩陣的第三列得知﹐原聯立方程式無解﹒

(20)

Sec3-2

一、單選題 （）1.設 A 是 n 階方陣﹐且 aij  i2_j2_{﹐若矩陣 A 所有元素的和為 40n}2_{﹐求 n 值為 (1)5 (2)6 (3)7} (4)8 (5)9﹒ 解答 3 解析 2 1 1 40 n n ij i j a n   



2 2 2 1 1 ( ) 40 n n i j i j n   



  2 2 1 ( 1)(2 1) ( ) 40 6 n i n n n ni n    



  2 2 ( 1)(2 1) ( 1)(2 1) 40 6 6 n n n n n n n     n      (n  1)(2n  1)  2  240  (n  1)(2n  1)  120 ∴n  7 故選(3)﹒ （）2.設 A 是一個 3 階方陣﹐其(i,j)位置的元素為 2i  j﹐則矩陣 A 的所有元素和為 (1)50 (2)52 (3)54 (4)56 (5)58﹒ 解答 3 解析 3 4 5 5 6 7 7 8 9 A            ﹐所有元素和為 54 故選(3)﹒ （）3.設 A﹐B﹐C 皆為二階方陣﹐O 為二階零矩陣﹐判斷下列敘述何者為真﹖ (1)若 AB  AC 且 A 

O﹐則 B  C (2)A(BC)  (AB)C (3)若 AB  O﹐則 A  O 或 B  O (4)若 A2_{A﹐則 A}_{O 或 A}

 I (5)若 AB  O﹐則 BA  O﹒ 解答 2 解析 (1)╳﹕矩陣的乘法消去律不成立 (2)○﹕矩陣的乘法結合律成立 (3)╳﹕取 3 2 3 2 A_  _O    ﹐ 2 4 3 6 B_ _O   ﹐但 AB  O (4)╳﹕取 1 0 0 0 A  _  ﹐ 2 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 A _  _{ }  _{ } _A       ﹐ 但 A  O 且 A  I (5)╳﹕取 1 0 0 0 A  _  ﹐ 0 0 1 0 B  _  ﹐ 則 0 0 0 0 AB_ _O   ﹐ 0 0 1 0 BA_ _O   故選(2)﹒ 解析由矩陣的基本性質知(4)不一定成立﹒

(21)

二、多選題

（）1.關於矩陣 3 4 2 5 1 6 A           

﹐選出正確的選項﹕ (1)A 有 2 列 3 行 (2)A 是 3  2 階的矩陣 (3)A 是 2

階方陣 (4)第(1,2)元是 2 (5)6 是第(3,2)元﹒

解答 25

解析因為 A 是 3 列 2 行的 3  2 階矩陣﹐且第(1,2)元是 4﹐6 是第(3,2)元﹐

所以選(2)(5)﹒

（）2.已知 A﹑B﹑C 均為二階方陣﹐O 為二階零方陣﹐I 為二階單位方陣﹐則下列敘述何者正確﹖ (1)若 AB  AC﹐且 A  O﹐則 B  C (2)(A  B)3_A3_3A2_B_3AB2_B3_{(3)若 A}2_{O﹐則 A}_O

(4)A2_A3_A3_A2_(5)A2_4I_(A_2I)(A_2I)﹒ 解答 45

解析 (1)╳﹕矩陣乘法不具有消去律

(2)╳﹕∵AB  BA ∴(A  B)3_A3_3A2_B_3AB2_B3

(3)╳﹕令 1 1 1 1 A_  _O    但 2 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 A _   _{ }   _{ } _O         (4)○﹒

(5)○﹕(A  2I)(A  2I)  A2_2AI_2IA_4I2_A2_4I

故選(4)(5)﹒

（）3.設 A﹑B 皆為二階矩陣﹐I 為二階單位矩陣﹐O 為零矩陣﹐下列敘述何者錯誤﹖ (1)若

1 0 1 0 0 0 A 0 0 B              ﹐則 A  B (2)若 A  cos sin sin cos           且 A 2_{I﹐則 A}_{I (3)若 A}2_{O﹐則 A}

 O (4)A2_B2_(A_B)(A_{B) (5)(A}_I)2_A2_2A_I﹒ 解答 1234 解析 (1)╳﹕ 1 0 1 2 1 0 1 2 0 0 3 4 0 0 5 6                         ﹒ (2)╳﹕取 A  cos sin sin cos           且 A 2_{I﹐但 A}_I﹒ (3)╳﹕ 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0        _ _  _ _         ﹒ (4)╳﹕AB 不一定等於 BA﹒ (5)○ 故選(1)(2)(3)(4)﹒

(22)

三、填充題

1.已知 2 1 3 5 A  _   ﹐ 1 4 4 0 B  _   ﹐且 3(X  A  2B)  X  A﹐求矩陣 X﹒ 解答 1 11 9 5   _ _    解析因為 3(X  A  2B)  X  A﹐所以 3X  3A  6B  X  A  2X  2A  6B﹒ 故 3 2 1 3 12 1 11 3 5 12 0 9 5 X   A B_   _{ } _{ }  _          ﹒ 2.已知矩陣 1 1 1 1 A   _   ﹐ 1 0 0 1 I  _  ﹐求下列各矩陣﹕

(1)A2_{﹒ (2)A}3_{﹒ (3)(I}_A)3_﹒

解答 (1) 2 2 2 2    _   ;(2) 4 4 4 4    _   ;(3) 14 13 13 14    _    解析 (1) 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 A _   _{ }   _{ }  _         ﹒ (2) 3 2 2 2 1 1 4 4 2 2 1 1 4 4 A A A_   _{ }   _{ }  _         ﹒ (3)因為 IA  AI  A﹐所以 (I  A)3_I3_3I2_A_3IA2_A3_I_3A_3A2_A3 1 0 1 1 2 2 4 4 3 3 0 1 1 1 2 2 4 4            _ _ _ _ _ _{ } _            1 0 3 3 6 6 4 4 14 13 0 1 3 3 6 6 4 4 13 14               _ _{ } _{ } _{ } _{ } _              ﹒ 3.已知矩陣A 1 4 x y       ﹐ 1 1 x B y       ﹐ 1 0 0 1 I  _  ﹐且 A  2B  tI﹐求 (1)實數 t﹐x﹐y 的值﹒ (2)矩陣 3A  2B﹒ 解答 (1)t  3﹐x  2﹐y  1;(2) 1 16 8 1   _    解析 (1)因為 A  2B  tI﹐所以 1 4 2 2 0 2 2 0 x t x y y t                      3 4 2 0 2 3 0 x t x y t        _       ﹒ 因此 3 4 2 0 2 0 3 t x x y t            _  ﹐解得 t  3﹐x  2﹐y  1﹒ (2)因為 1 4 2 1 A  _   ﹐ 1 2 1 1 B   _  ﹐所以 3 12 2 4 1 16 3 2 6 3 2 2 8 1 A B_  _{ }   _{ } _        ﹒

(23)

1082 高二數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P23/29 4.已知 1 2 3 4 A  _  ﹐ 2 3 1 k B  _  ﹐且 AB  BA﹐求 k 的值﹒ 解答  2 解析因為 AB  BA﹐所以 1 2 2 2 1 2 3 4 3 1 3 1 3 4 k k                         ﹐即 6 4 6 2 8 3 12 10 6 10 k k k k          _       ﹒ 因此 2 8 4 3 12 6 k k        ﹐解得 k  2﹒ 5.已知 0 1 2 2 1 0 A  _  ﹐ 3 2 1 1 2 3 B  _  ﹐且 X  2Y  5A﹐2X  Y  5B﹐求矩陣 X﹐Y﹒ 解答 6 5 4 4 5 6      ﹐ 3 0 3 3 0 3     _    解析令 2 5 2 5 X Y A X Y B     _{ }  由    2﹐得 5X  5A  10B﹐即 2 6 5 4 4 5 6 X  A B  _  ﹒ 由  2  ﹐得 5Y  10A  5B﹐即 2 3 0 3 3 0 3 Y  A  B  _   ﹒ 6.已知矩陣 2 1 2 1 0 3 A  _  ﹐ 1 1 0 1 2 2 B  _   ﹐ 1 1 1 2 0 1 0 1 1 C              ﹐求下列各矩陣﹕ (1)(A  B)C (2)AC  BC 解答 (1) 5 1 1 6 1 3    _   ;(2) 5 1 1 6 1 3    _    解析 (1)由矩陣的加法與乘法定義﹐得 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 2 2 ( ) ( ) 2 0 1 2 0 1 1 0 3 1 2 2 2 2 1 0 1 1 0 1 1 A B C            _ _  _ _   _ _{ } _ _ __ __ _      _ _ _  _ _ _     5 1 1 6 1 3     _   ﹒ (2)因為(A  B)C  AC  BC﹐所以 5 1 1 6 1 3 ACBC  _   ﹒

(24)

7.已知 A﹐B 都是 3  2 階矩陣﹐且 A  [aij]﹐B  [bij]﹐其中 aij  i  j﹐bij  2i  j﹐求矩陣 A  B﹒

解答 3 3 6 6 9 9           解析由題意﹐得 11 12 21 22 31 32 2 3 3 4 4 5 a a A a a a a         _ _{ } _         ﹐ 11 12 21 22 31 32 1 0 3 2 5 4 b b B b b b b         _ _{ } _         ﹒ 故 3 3 6 6 9 9 A B             ﹒

(25)

Sec3-3

一、單選題 （）1.已知方陣 a b c d e f g h i           的反方陣為 a b c d e f g h i       _ _ _         ﹒試問下列哪一個選項為 g h i a b c d e f           的反方陣？ (1) a b c d e f g h i       _ _ _         (2) a d g b e h c f i       _ _ _         (3) g h i a b c d e f       _ _ _         (4) g a d h b e i c f       _ _ _         (5) c a b f d e i g h       _ _ _         ﹒ 解答 5 解析令 a b c A d e f g h i            ﹐ 1 1 a b c A d e f A A I g h i         _ _ _ _ _          1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 A A I              _  _ _   _           __ _{ }_{ } __   __ _{ }_{ } __     ﹐故 g h i a b c d e f           的反方陣為 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 a b c a b c c a b d e f d e f f d e g h i g h i i g h                       _ _ _     _ _ _ _   _ _ _ _                                           ﹐故選(5)﹒ （）2.對任意 x  0﹐令 A(x)  2 4 1 0 log 1 1 3 6log 3 1 x x        _{ } _    ﹐並令 B 



x x| 0且A x( )有乘法反元素 ﹐則



集合 B  (1)空集合 (2) 1 8       (3)2 (4) 1 , 2 8       (5)以上皆非﹒ 解答 5 解析 ∵det(A)  2 ₂ ₄ 4 1 0 log 1 (log 3)(3 6log ) 1 3 6log 3 1 x x x x      ﹐

當 det(A) 0 時﹐3  6log4x  0 或 log2x  3  0

 log4x  1 2  或 log2x  3  x  1 2 1 4 2   或 x  23_8﹐ ∵A(x)有乘法反元素﹐∴det(A)  0﹐ ∴B  | 0, 1, 8 2 x x x  _ _     ﹐故選(5)﹒

(26)

1082 高二數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P26/29 （）3.設二階方陣A 1 2 c d       ﹐已知矩陣 A 存在反方陣 A  1_{﹐且 A} 1_{A﹐則 c 值為下列何者﹖ (1)0} (2)1 (3)  1 (4)2 (5)  2﹒ 解答 1 解析 detA  d  2c  0 1 1 2 1 2 d A c d c  _    _   _ _ 又 A 1_{A ∴} ₁ ₂ ₀ 2 d d d c c d c       故選(1)﹒

二、多選題

（）1.下列哪些是轉移矩陣﹖ (1) 0.3 0.8 0.7 0.2       (2) 3 1 1 1 3 4       (3) 0.5 0.5 0.7 0.3       (4) 0.2 0.7 1.2 0.3       ﹒ 解答 12 解析因為轉移矩陣須具有「每一個元都是大於或等於 0 的實數」及「每一行的各元之和都等於 1」兩個特性﹐所以選(1)(2)﹒

（）2.已知 A﹑B﹑C 均為 n 階矩陣﹐Onn為 n 階零矩陣﹐則下列何者為真﹖ (1)det(A  B)  det(A) 

det(B) (2)若 k 為實數﹐則 det(kA)  kn det(A) (3)若 AB  AC 且 det(A)  0﹐則 B  C (4)若 A﹑

B 均為可逆矩陣﹐則(AB) 1_B 1_A 1_{(5)若 AB}_BA﹐則(A_B)n 0 n C AnC₁nAn 1_B 2 n C An 2_B2 … n k C An  k_Bk_… n n C Bn﹒ 解答 2345 解析 (1)╳ (2)○

(3)○﹕det(A)  0  A 1_{存在﹐∴A} 1_(AB)_A 1_(AC)﹐∴B_C﹒

(4)○ (5)○

(27)

1082 高二數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P27/29 （）3.所謂「轉移矩陣」必須滿足下列兩個條件﹕ (甲)該矩陣的每一個位置都是一個非負的實數 (乙)該矩陣的每一行的數字相加都等於 1 以 2  2 矩陣為例﹐ 0.2 0.3 0.8 0.7      和 0.9 0.6 0.1 0.4      滿足(甲)(乙)這兩個條件﹐因此都是轉移矩陣﹒今設

A﹑B 是兩個 n  n 的轉移矩陣﹐請問下列哪些敘述是正確的﹖ (1)A2_{是轉移矩陣 (2)AB 不滿}

足條件(乙) (3)1( ) 2 AB 是轉移矩陣 (4) 2 2 1 ( ) 4 A B 是轉移矩陣﹒ 解答 13 解析若 A﹑B 為轉移矩陣﹐則1( ) 2 AB ﹐AB 均為轉移矩陣﹒ 證明﹕設 A  [aij]n  n﹐B  [bij]n  n﹐則j﹐ 1 1 n ij i a  



且 1 1 n ij i b  



﹐ 故j﹐ 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) (1 1) 1 2 2 2 n n n ij ij ij ij i i i a b a b         



﹒ j﹐ 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 n n n n n n n ik kj ik kj kj ik kj i k k i k i k a b a b b a b            

 



﹒

三、填充題

1.已知 5 2 2 1 A  _   ﹐求滿足 1 2 1 6 2 5 AX   _   的矩陣 X﹒ 解答 11 6 9 28 14 23     _    解析由反方陣公式﹐得 1 1 1 2 1 2 2 5 2 5 1  _    _    _  _       A ﹒ 因為 1 2 1 6 2 5 AX   _   ﹐所以 1 1 2 1 1 2 1 2 1 11 6 9 6 2 5 2 5 6 2 5 28 14 23 X A _  _{ }   _{ } _{ }   _            ﹒ 2.已知 1 2 3 4 A  _  ﹐ 2 1 1 1 B   _   ﹐ 2 1 1 3 C  _  ﹐求滿足 AX  3B  C 的矩陣 X﹒ 解答 6 2 5 3    _    解析因為 AX  3B  C﹐所以 AX  C  3B  X  A 1_(C_3B)﹐ 即 1 4 2 ( 2 1 3 2 1 ) 1 4 2 4 4 1 12 4 3 1 1 3 1 1 3 1 2 6 10 6 2 2 2 X  _   _{ } _ _  _  _  _{ }  _  _ _       _ _{ } _ _ _  _ _{ } _ _ _ 6 2 5 3     _   ﹒

(28)

1082 高二數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P28/29 3.已知 1 3 2 5 a b A  _  是轉移矩陣﹐求 a﹐b 的值﹒ 解答 a  2﹐b  3 解析因為 5 5 3 2 5 5 a b A              ﹐所以由轉移矩陣的定義﹐得 3 1 5 5 2 1 5 5 a b          ﹐ 解得 a  2﹐b  3﹒ 4.資料顯示﹐某城市在晴天之後隔天下雨的機率為1 5﹐而在雨天之後隔天也是雨天的機率為 1 3﹒ (1)寫出此天氣的轉移矩陣﹒ (2)若此城市星期日下雨﹐求星期二下雨的機率﹒ 解答 (1) 4 2 5 3 1 1 5 3             ;(2)11 45 解析 (1)此天氣的轉移矩陣為 4 2 5 3 1 1 5 3 A              ﹒ (2)因為星期日下雨﹐所以 ₀ 0 1 X      ﹐ 於是 ₁ ₀ 4 2 2 0 5 3 3 1 1 1 1 5 3 3 X AX      _{ }     _{ }                ﹐ ₂ ₁ 4 2 2 34 5 3 3 45 1 1 1 11 5 3 3 45 X AX                                      ﹐ 故星期二下雨的機率為11 45﹒

(29)

1082 高二數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P29/29 5.小明從家裡到學校有甲﹑乙兩條路線可以走﹐他每天依下述方法決定上學的路線﹕若某一天走乙路線上學 ﹐則次日一定走甲路線﹔若某一天走甲路線上學﹐則次日丟一枚公正硬幣﹐出現正面就走甲路線﹐反面就走乙路線上學﹒ (1)寫出小明選擇上學路線的轉移矩陣﹒ (2)若星期一小明以丟硬幣決定上學路線﹐則他在星期三走甲路線上學的機率為何﹖ 解答 (1) 1 1 2 1 0 2             ;(2)5 8 解析 (1)轉移矩陣 1 1 2 1 0 2 A              ﹒ (2)因為星期一用丟硬幣決定上學路線﹐所以 0 1 2 1 2 X              ﹐ 於是 1 0 1 1 3 1 2 2 4 1 1 1 0 2 2 4 X AX                                      ﹐ 2 1 5 1 3 1 8 2 4 1 1 3 0 2 4 8 X AX                                      ﹒ 故小明在星期三走甲路線上學的機率為5 8﹒

高二下第二次期中考數學題庫(40)

Sec2-2

一、 單選題

二、多選題

三、填充題

Sec2-3

二、多選題

Sec3-1

二、多選題

三、填充題

Sec3-2







二、多選題

三、填充題

Sec3-3





二、多選題











 

 

 



三、填充題

一、單選題