波前量測應用於雷射與光纖耦合之研究

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(1)⊕ 國立中山大學光電工程研究所博士論文. 波前量測應用於雷射與光纖耦合之研究 A Study of Wavefront Measurement Applied to the Coupling between Lasers and Fibers. 研究生：呂昱寬撰指導教授：鄭木海博士. 中華民國九十七年七月十五日.

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(5) 摘要本論文係提出大發散角雷射波前的量測技術，此波前量測技術是改良 Hartmann 和 Shack-Hartmann 波前量測儀所建構出來的，相對於 Hartmann 和 Shack-Hartmann 波前量測儀僅能量小角度波前，本研究所提波前量測技術具有 180 度的動態量測範圍且量測精密度可達 ± 0.02 度，由於儀器本身是利用孔徑對待測波前進行取樣，使得所量. 測到的波前標準差受限於繞射極限下 (~ λ / d ) 。透過此波前量測技術，將所測得的相位分佈以及能量分佈透過光學傅立葉轉換計算，可建構出雷射光束在任何一個位置的電場分佈，包括近場以及遠場，而這些電場資料將有助於雷射與光纖耦合的分析及研究。實驗證實所建構出的波前量測儀可以提供一個可靠的波前量測方式，不過在進行近場電場的計算時，因本身儀器固有的量測誤差，使得近場的計算值與實驗值的誤差高達 150%。因此我們改以利用顯微物鏡、CCD 攝影機直接量測雷射近場的能量分佈，在距離雷射出光口 8μm 的位置，光模場為圓對稱分佈、模場直徑為 4.75μm，透過相位補償演算法計算出近場垂直軸的波前曲率半徑為 8μm、水平軸的波前曲率半徑為 41μm，利用幾何光學可計算出對於模場直徑 4.75μm 的光纖，其最佳橢圓光纖透鏡的曲率半徑垂直軸為 4μm、水平軸為 20.5μm，當知道最佳透鏡曲率半徑後即可利用研磨及熔燒方式製作出高耦合效率的光纖透鏡。. I.

(6) Abstract We have proposed and demonstrated a technique for the measurement of the wavefront of a diode laser beam with a large dynamic range. Our technique is a modified version of Hartmann and Shack-Hartmann wavefront sensor. The modified version is capable of providing a large dynamic range (180 degrees). The wavefront measurement exhibits a precision of ( ± 0.02 degrees), subject to a standard deviation governed by the diffraction limit (~ λ / d ) . Using the physical measurement of the wavefront, we are able to reconstruct the electric fields of a diode laser beam at any location, including the far-field and near-field. The reconstructed electric fields were computed form the data of the intensity and the phase distribution by means of Fourier transform. The information about the electric field can be very useful in the design of microlens for the efficient coupling of light source into optical components. The results indicate that the wavefront sensor with large dynamic range can provide a reliable method for measuring the wavefront distributions of diode lasers with large divergence angles. However, the numerical near-field intensity is 150% deviated from the measured near-field intensity because of the inherent inaccuracy in the wavefront measurement. In this study, we have measured the near field intensity distribution directly with an objective and a CCD camera. We found that the distribution of the mode field was symmetric at a distance of 8μm from a diode laser and the mode field diameter was 4.75μm. Using the phase retrieval algorithms, the radii of the near-field wavefront in the vertical axis and the horizontal axis were 8μm and 41μm, respectively. Through the geometrical optics, the optimum curvatures of elliptic-cone-shaped lensed fiber for efficient coupling in the vertical axis and the horizontal axis were 4μm and 20.5μm individually. Once we know the optimum curvatures of elliptic-cone- shaped lensed fiber, we can fabricate it using grinding and fusing. II.

(7) 誌謝感謝我的指導教授鄭木海老師在我連續七年的碩、博士生涯裡對我的指導與幫助，教導我如何完成研究，並教導我在生活處世上的態度，讓我這七年來獲益良多。感謝我的口試委員，葉伯琦教授、賴聰賢教授、黃升龍教授、彭隆瀚教授、林恭如教授、張弘文教授、蔡穎堅教授、林世聰教授，對於我的論文初稿提供了許多精闢的意見，使得本論文的架構與內容得以更加的完善。感謝蔡穎堅教授在光纖透鏡上提出新的製程概念，使得我的研究主題可以不斷的延伸擴展，提升了光纖透鏡的製作技術；感謝林世聰教授在波前量測上的指導並提供實驗儀器的幫助，讓我能迅速的了解波前量測的理論與技術，對於日後波前量測的研究打下一個良好的基礎；感謝葉伯琦教授在不斷的信件往返中仍不厭其煩的在波前量測的實驗與論文的寫作上給予我許多寶貴的建議與幫助，讓整個研究更加的完備。感謝光電所的許多師長、學長、同學、學弟、學妹們在研究和生活上對我的幫助與鼓勵，特別要感謝參與我研究主題一起工作的夥伴，斯銘、雪惠、啟中、育達、建樑、勁涵、嘉宏，這個實驗不是我一個人能夠獨力完成的，有你們的幫助才能讓這研究得以順利進行。感謝我的父母和家人們，有你們的支持，我才能夠順利的完成學業及本論文；感謝上帝，有祢的同在，讓我無論在順境、逆境，心中總保有無限的盼望。. III.

(8) 目錄中文摘要 ------------------------------------------------------------------------Ⅰ 英文摘要 ----------------------------------------------------------------------- Ⅱ 誌謝 ----------------------------------------------------------------------------- Ⅲ 目錄 ----------------------------------------------------------------------------- Ⅳ 圖目錄 -------------------------------------------------------------------------- Ⅷ 表目錄 ----------------------------------------------------------------------- ⅩⅢ 第一章. 緒論 ------------------------------------------------------------------- 1. 1.1 前言 --------------------------------------------------------------------- 1 1.2 研究動機 --------------------------------------------------------------- 3 1.3 文獻回顧 --------------------------------------------------------------- 4 1.3.1 高斯光束 ------------------------------------------------------- 5 1.3.2 繞射理論 ------------------------------------------------------ 11 1.4 論文架構 -------------------------------------------------------------- 13 1.5 參考文獻 -------------------------------------------------------------- 14. 第二章波前量測技術 ------------------------------------------------------- 17 2.1 波前剪切干涉術 ------------------------------------------------------ 17 2.1.2 側向剪切干涉術 --------------------------------------------- 18 2.1.2 側向剪切干涉的操作原理 --------------------------------- 19 IV.

(9) 2.1.3 側向剪切干涉波前建構 ------------------------------------ 21 2.1.4 大發散角雷射波前的量測 --------------------------------- 22 2.2 Hartmann 波前量測系統 -------------------------------------------- 24 2.2.1 Hartmann波前量測系統介紹 ------------------------------- 24 2.2.2 波前量測裝置及量測原理 --------------------------------- 25 2.2.3 波前斜率 ------------------------------------------------------ 28 2.2.4 波前相位還原 ------------------------------------------------ 29 2.2.5 總結 ------------------------------------------------------------ 30 2.3 參考文獻 -------------------------------------------------------------- 31. 第三章具大動態量測範圍波前量測系統 ------------------------------ 32 3.1 具大動態範圍之波前量測儀 --------------------------------------- 32 3.2 波前量測的量測操作 ----------------------------------------------- 35 3.3 建構空間中雷射光束場型分佈 ------------------------------------ 40 3.4 雷射波前行進角度的量測 ----------------------------------------- 42 3.5 雷射光束相位分佈的建構 ----------------------------------------- 44 3.6 計算空間中光束光場 ----------------------------------------------- 47 3.7 近場光束還原 -------------------------------------------------------- 51 3.8 誤差可能原因 -------------------------------------------------------- 52 3.9 參考文獻 -------------------------------------------------------------- 56 V.

(10) 第四章近場能量分佈量測及波前建構術 ------------------------------ 57 4.1 相位補償演算法 ----------------------------------------------------- 57 4.2 雷射近場能量量測 -------------------------------------------------- 60 4.3 雷射近場相位的重建 ----------------------------------------------- 65 4.4 模態耦合與光纖透鏡 ----------------------------------------------- 69 4.5 總結 -------------------------------------------------------------------- 74 4.6 參考文獻 -------------------------------------------------------------- 74. 第五章橢圓光纖透鏡 ------------------------------------------------------ 76 5.1 橢圓光纖透鏡的設計 ----------------------------------------------- 76 5.1.1 橢圓光纖透鏡研製方式 ------------------------------------ 76 5.1.2 橢圓錐形光纖成型原理 ----------------------------------- 77 5.2 光纖研磨系統 ------------------------------------------------------- 82 5.2.1 光纖研磨機台簡介 ------------------------------------------ 82 5.2.2 週期性變動扭矩系統 --------------------------------------- 84 5.3 橢圓光纖透鏡製程 ------------------------------------------------- 88 5.3.1 光纖簡介 ------------------------------------------------------ 88 5.3.2 橢圓光纖透鏡之製程 --------------------------------------- 88 5.3.3 橢圓光纖透鏡之研製 --------------------------------------- 91 5.4 橢圓光纖透鏡兩軸曲率半徑之控制 ---------------------------- 96 VI.

(11) 5.5 橢圓光纖透鏡研製結果 -------------------------------------------- 96 5.6 橢圓錐光纖透鏡外型量測 --------------------------------------- 101 5.7 耦合效率實驗與模擬的分析 ------------------------------------ 106 5.8 參考文獻 ------------------------------------------------------------ 109 第六章. 結果與討論 ------------------------------------------------------ 110. VII.

(12) 圖目錄第一章. 緒論. 圖1.1 掺鉺光纖放大器的架構 ------------------------------------------ 2 圖1.2 Gain-guided雷射示意圖 ------------------------------------------- 6 圖1.3 Index-guided脊狀波導雷射示意圖 ------------------------------ 6 圖1.4 980nm雷射光束示意圖 -------------------------------------------- 7 圖1.5 橢圓高斯光束各參數相對關係圖 ------------------------------ 9 圖1.6 雷射與光纖的耦合 ----------------------------------------------- 11 圖1.7 繞射幾何示意圖 -------------------------------------------------- 12. 第二章波前量測技術圖 2.1(a) 側向平移剪切干涉術 ---------------------------------------- 18 圖 2.1(b) 側向旋轉剪切干涉術 ---------------------------------------- 19 圖 2.2 側向剪切干涉術原理 -------------------------------------------- 20 圖 2.3 側向剪切干涉條紋 ----------------------------------------------- 20 圖 2.4 剪切干涉波前建構示意圖 -------------------------------------- 21 圖 2.5 雷射波前量測架構 ----------------------------------------------- 24 圖2.6 Hartmann波前量測儀示意圖 ------------------------------------ 25 圖2.7 入射光波前經過孔徑陣列進行取樣 -------------------------- 27 圖2.8 取樣光於CCD上形成繞射光點 -------------------------------- 27 VIII.

(13) 圖 2.9 波前的前進方向與相位變化斜率的關係圖 ----------------- 29 圖 2.10 波前量測儀量測最大角度值示意圖 ------------------------ 31. 第三章具大動態量測範圍波前量測系統圖 3.1 具大動態範圍之波前量測儀 ------------------------------------ 33 圖 3.2 雷射光源取樣示意圖 -------------------------------------------- 36 圖 3.3 取樣光束的波前分佈 --------------------------------------------- 36 圖 3.4 波前斜率偵測器 --------------------------------------------------- 39 圖 3.5 聚焦光點能量重心 ----------------------------------------------- 40 圖 3.6 雷射光束於空間中任一平面之場量分佈 -------------------- 41 圖 3.7 x 軸對波前行進角度的關係圖 --------------------------------- 43 圖 3.8 y 軸對波前行進角度的關係圖 --------------------------------- 43 圖 3.9 相位分佈與相位變化斜率關係圖 ----------------------------- 46 圖 3.10 x 軸上相對相位關係圖 ----------------------------------------- 46 圖 3.11 y 軸上相對相位關係圖 ----------------------------------------- 46 圖 3.12 量測能量分佈裝置圖 ------------------------------------------ 49 圖 3.13 總能量與能量密度關係圖 ------------------------------------ 49 圖 3.14 在不同 z 位置上 x 軸的能量分佈圖 ------------------------- 50 圖 3.15 在不同 z 位置上 y 軸的能量分佈圖 ------------------------- 50 圖 3.16 計算垂直軸近場能量分佈圖 --------------------------------- 51 IX.

(14) 圖 3.17 計算水平軸近場能量分佈圖 ---------------------------------- 52 圖 3.18 第 i 個取樣光束 ------------------------------------------------- 55 圖 3.19 角度量測誤差與光線位置誤差的關係圖 ------------------ 55. 第四章近場能量分佈量測及波前建構術圖 4.1 量測雷射能量分佈示意圖 -------------------------------------- 58 圖4.2 Gerchberg-Saxton演算法 ----------------------------------------- 59 圖4.3 雷射能量近場量測裝置 ----------------------------------------- 62 圖4.4 近場能量分佈變化圖 -------------------------------------------- 63 圖4.5 水平軸與垂直軸向上光束寬度的趨勢圖 -------------------- 64 圖4.6 參考文獻[5]的近場能量分佈量測結果 ---------------------- 64 圖4.7 Z=8μm、9μm時水平軸向上的能量分佈圖 ------------------ 66 圖4.8 Z=8μm、9μm時垂直軸向上的能量分佈圖 ------------------ 67 圖4.9 位置Z=8μm時水平軸向及垂直軸向上的相位分佈 -------- 68 圖4.10 位置Z=8μm時相位分佈的曲率半徑 ------------------------ 69 圖4.11 相位補償法反例 ------------------------------------------------- 69 圖 4.12 高斯光束各參數關係圖 --------------------------------------- 71 圖 4.13 980nm 單模雷射與單模光纖內之 (a)能量分佈 (b)相位分佈 ------------------------------------- 73 圖 4.14 光場模態轉換示意圖 ------------------------------------------ 74 X.

(15) 第五章橢圓光纖透鏡圖 5.1 正壓力變化與光纖旋轉角度關係圖 -------------------------- 78 圖 5.2 光纖截面示意圖及(a)橢圓形分佈之正壓力 (b)研磨出之光纖截面 -------------------- 79 圖 5.3 橢圓錐形光纖研磨機構示意圖 -------------------------------- 81 圖 5.4 橢圓錐形光纖端面示意圖 -------------------------------------- 81 圖 5.5 光纖研磨機台 ------------------------------------------------------ 83 圖 5.6 光纖夾具與研磨平台夾角(θ)與光纖自轉角(φ) ------------- 83 圖 5.7 光纖夾具升降平台 ----------------------------------------------- 84 圖 5.8 光纖研磨機控制面板 ------------------------------------------- 84 圖 5.9 週期性變動扭矩系統示意圖一 -------------------------------- 85 圖 5.10 週期性變動扭矩系統示意圖二 ------------------------------ 86 圖 5.11 週期性變動扭矩系統側視示意圖 --------------------------- 86 圖 5.12 週期性變動扭矩系統實體圖 ---------------------------------- 87 圖 5.13 週期性變動扭矩系統實體側視圖 --------------------------- 87 圖 5.14 橢圓光纖透鏡製造流程圖 ------------------------------------ 90 圖 5.15 光纖透鏡熔燒凸起過程示意圖 ------------------------------ 90 圖 5.16 橢圓光纖透鏡製造流程圖 ------------------------------------ 91 圖 5.17 (a)光纖夾具向上擺動示意圖 --------------------------------- 94. XI.

(16) 圖 5.17 (b)光纖夾具向下擺動示意圖 --------------------------------- 95 圖 5.18 研磨去尖點示意圖 --------------------------------------------- 95 圖 5.19 未研磨尖之橢圓錐形光纖端面 SEM 圖 -------------------- 97 圖 5.20 橢圓錐形光纖端面側視圖 ------------------------------------ 98 圖 5.21 橢圓錐形光纖端面上視圖 ------------------------------------ 98 圖 5.22 去尖點後之橢圓錐形光纖端面側視圖 --------------------- 99 圖 5.23 去尖點後之橢圓錐形光纖端面上視圖 --------------------- 99 圖 5.24 橢圓光纖透鏡 SEM 圖 ---------------------------------------- 100 圖 5.25 橢圓光纖透鏡側視圖 ----------------------------------------- 100 圖 5.26 橢圓光纖透鏡上視圖 ----------------------------------------- 101 圖 5.27 光纖透鏡軸心偏移示意圖 ----------------------------------- 101 圖 5.28 ImageJ 軟體操作介面 ----------------------------------------- 104 圖 5.29 將圖形轉成 8 位元灰階圖形 -------------------------------- 104 圖 5.30 被解析之圖片 -------------------------------------------------- 105 圖 5.31 以明暗色階列出像素個數之長條圖 ----------------------- 105 圖 5.32 以計算得到邊界像素判斷物體影像 ----------------------- 106 圖 5.33 模擬雷射與平端光纖耦合效率與工作距離關係圖 ----- 108 圖 5.34 橢圓光纖透鏡垂直軸向透鏡曲率半徑與耦合效率關係圖------------------------ 108. XII.

(17) 表目錄表 5.1 光纖研磨下降距離與變動扭矩週期參數 -------------------- 92. XIII.

(18) 第一章緒論 1.1 前言現今的光纖通訊因高資料傳輸量的需求，單波長單通道的光纖傳輸已不敷使用。為了在現有的光纖網路架構下增加傳輸頻寬，分波多工(wavelength division multiplexing; WDM)的概念儼然成形，分波多功是以多波長多通道的方式在單一光纖下進行傳輸，為目前光纖通訊系統的主要架構。光纖通訊和其他傳統的通訊方式一樣，在經過長距離的路徑傳輸之後，訊號會因為衰減而無法辨識，此時訊號必需經過適當的放大才能夠繼續傳送。傳統的單波長光訊號放大技術是將訊號以電的形式放大，其步驟係先將因長距離傳輸而衰減之光訊號作光-電轉換，轉變為電訊號，然後將電訊號放大，最後將放大之電訊號作電-光轉換，再變回光訊號傳輸。然而在多波長多通道的傳輸系統中，若採用傳統的放大架構，需用到之光-電轉換模組和電-光轉換模組的設計將會非常複雜，相對的成本也會相當昂貴。在1986~1987年，英國Southampton大學[1]和美國AT&T貝爾實驗室[2]提出當離子態的稀土元素「鉺」掺雜於光纖中時，不但在通訊波段可保持低損失，在1530nm波段處也產生了光增益，之後在短短幾年的發展後，掺鉺光纖放大器(Er-doped fiber amplifier; EDFA)的發展. 1.

(19) 迅速走向商用化，EDFA大幅增加了光信號的有效傳輸距離，降低了光電信號轉換次數，因而大幅降低了高容量長途光纖網路的成本，使得光分波多工技術得以實現。 EDFA的基本架構如圖1.1所示，其組成包含了幫浦雷射光源 (pump source)、掺鉺光纖(Er-doped fiber)、光隔離器(isolator)及光耦合器(coupler)，其中幫浦雷射為EDFA的主要零組件之ㄧ，其作用是以幫浦光源激發摻鉺光纖中的鉺離子由基態能階躍遷到高能階[3]，以達成粒子巨量反轉(population inversion)的狀態。當信號光通過摻鉺光纖，受激鉺離子會被誘發由高能階返回到基態能階並釋放出與信號光相同的受激輻射(stimulated emission)，進而產生光放大作用。常用的幫浦雷射波長有980nm和1480nm兩種，其中以980nm高功率雷射來幫浦EDFA具有高增益效率(gain coefficient)及低雜訊值(noise figure)的特性[4-5]，故此被廣泛的採用。. 圖1.1 掺鉺光纖放大器的架構 2.

(20) 1.2 研究動機一個光放大器所用的 980nm 幫浦雷射模組主要包含二個重要元件，一是作為幫浦光源的二極體雷射(diode laser)，另一是作為傳遞幫浦光源的光纖波導(optical fiber)，然而二極體雷射所發出之雷射光模場與光纖波導內部的光模場有模態不匹配的問題，造成兩者之間有非常大的耦合損失。980nm 高功率幫浦雷射與標準單模光纖之間的耦合效率約 20% ~ 35% [6]。為促進光纖和雷射間模態匹配(mode match)使雷射光能有效的導入光纖之中，常見的作法有三種：第一種作法是改變雷射結構進而改變雷射光的模場[7]；第二種作法是在雷射與光纖之間加入透鏡來改變雷射光的模場[8] [9]；第三種作法則是直接在光纖端面加工製作出微透鏡[10-19]。其中光纖透鏡是製作最簡易、有效且構裝低成本的作法，其原理簡單的來說就是透過光纖微透鏡所造成的光程差來改變雷射光源的模態，使之與標準光纖內部的模態達成匹配。雷射具有高度之指向性，因此假設雷射光為一沿 z 軸作近光軸傳播的平面波，以近光軸條件代入波方程式(Helmholtz equation)可得其中一組解為高斯函數，其函數分佈特性與實際上雷射的基模 (fundamental mode)TEM00 極為相近，所以在耦合的理論模型上常以高斯光束(Gaussian beam)描述單橫模(single transverse mode)雷射的光場. 3.

(21) [20]，所以文獻上慣用高斯光束來描述雷射光場，並透過高斯光束的特性，來設計適當的光纖透鏡來增加雷射與光纖間的耦合效率 [10-18]。然而在真實的世界中，單橫模二極體雷射並非單純只是激發 TEM00 模態的光場，在高功率的操作下，複雜的雷射激發機制會使雷射共振腔激發一些較高階模態的光場，且 980nm 單模雷射內部為一個矩形波導，在水平軸方向與垂直軸方向上有不同的發散角，且兩軸上發散光束的焦點非在同一點，存在著像散(astigmatism)的問題，雖然運用高斯光束的假設能大略講述真實雷射光束的行為模式，但若要細部推論探討雷射與光纖透鏡的耦合情形，由於真實的雷射光束的模場已經大大偏離了高斯光束，此時高斯光束的假設又會顯得不足，為了能更深入的了解雷射模場的分佈並和光纖之間的耦合情形，本論文將藉由波前量測儀量得到雷射光束真實的相位分佈及能量，進而藉由光學傅立葉轉換建構出空間中任何位置雷射光束的場型。. 1.3 文獻回顧在探討雷射與光纖透鏡耦合的文獻中[10-19]，提出許多模型來描述來單模雷射光束的行為，本論文中將提出較常見了兩種模型，依序分述如下：. 4.

(22) 1.3.1 高斯光束在講雷射光束模型之前，首先必要初步了解二極體雷射的結構與特性，以波導觀點而言可將二極體雷射分做兩種形式，一種為indexguided二極體雷射，另一種為gain-guided 二極體雷射，此二種雷射的差異是在於雷射內部平行主動層方向上光侷限機制(light confinement mechanism)的不同[21]。 Gain-guided二極體雷射的光侷限機制如圖1.2所示，首先運用狹長的金屬導電帶(metallic stripe)侷限電流輸入至二極體雷射時的區域面積，部份有被灌入電流的主動層(active layer)區域，因粒子巨量反轉產生雷射；而部分沒有被灌入電流的主動層區域，因材料本身對光吸收的特性，吸收部分雷射光產生自然屏障，使雷射光自然侷限在電流通過的範圍內，一般常運用在高功率(功率輸出超過1W以上)之多模雷射中。 Index-guided雷射二極體，就如同一般的光波導一般，運用折射率的差異將雷射光侷限於波導之中。在此舉脊狀波導(ridge waveguide) 為例，外觀如圖1.3所示，其做法是在主動層上方蝕刻一道約3~4μm 的脊狀波導的結構，此結構會造成主動層橫向約10-2的折射率差，造成弱折射率導波(weak index guiding)作用[22, 23]。弱折射率導波作用需要比較大的波導寬度來將能量侷限，但是過大的波導寬度卻又會導. 5.

(23) 致多橫模的產生，因此典型的脊狀波導寬度為3~4μm。. 圖1.2 Gain-guided雷射示意圖[24]. 圖1.3 Index-guided脊狀波導雷射示意圖一般邊射型(edge-emitted) 980nm 單模雷射二極體為 index-guided 雷射，因為 index-guided 雷射有較佳的波長穩定性、較窄的波長寬度、較低的臨限電流(threshold current)、較好的光電轉換效率的及模態穩 6.

(24) 定性[25]，為了增加主動層電子電動的結合效率，主動層的厚度一般約為 0.1μm，但有部分雷射光會穿透到主動層上下方的殼層(cladding) 中傳遞，所以在雷射出光口處垂直於主動層的光束大小約為 1μm；另外與主動層平行方向上的波導為脊狀波導(ridge-waveguide)，其脊狀結構會使雷射內部的等效折射率產生變化形成波導結構，其寬度約為 3~4μm，所以在平行主動層的光束寬度約為 4~5μm 以上，略大於波導寬度。論文中最常使用也最常見的單模雷射光束模型為高斯光束[10-12, 14-19]，因為高斯函數的分佈特性與實際上雷射的基模(fundamental mode)TEM00 極為相近，又雷射中波導為非軸對稱的矩形結構，所以必須使用橢圓高斯光束(elliptic Gaussian beam)[26]來描述此種雷射波導所發出之雷射光，如圖 1.4 所示。. 圖1.4 980nm雷射光束示意圖 7.

(25) 橢圓高斯光束沿 z 軸傳波，其電場形式如下[26]： ⎧ 1 ik ⎞⎫ 2⎛ ⎟⎪ ⎪− i[kz − η ( z )] − x ⎜⎜ 2 + ⎟ ( ) 2 R z ( ) ω z ω ox ω oy x x ⎝ ⎠⎪ ⎪ exp⎨ ⎬ ω x (z )ω y ( z ) ik ⎞⎟ ⎪ 2 ⎛⎜ 1 ⎪ ⎪− y ⎜ ω 2 ( z ) + 2 R ( z ) ⎟ ⎪ y ⎠ ⎝ y ⎩ ⎭. E ( x, y , z ) = E 0. (1.1). 其中 ω ox 、ω oy 分別為x軸向及y軸向上的光腰寬度(beam waist)，光束於 z軸上傳播，在位置z的地方，其x軸及y軸上的光束寬度分別為 ω x (z ) 、 ω y (z ) ， ⎡ ⎛ λ (z − z ) ⎞ 2 ⎤ ⎡ ⎛ λ (z − z ) ⎞ 2 ⎤ y 2 2 ⎢ x ⎟ ⎥ ⎟ ⎥ , ω y ( z ) = ω oy 1 + ⎜ ω (z ) = ω ⎢1 + ⎜⎜ 2 2 ⎟ ⎜ ⎢ ⎝ πω oy n ⎟⎠ ⎥ ⎢⎣ ⎝ πω ox n ⎠ ⎥⎦ ⎦ ⎣ 2 x. 2 ox. (1.2). λ 為雷射光波長長度， z x 為x軸向光束光腰在z軸上的位置， z y 為y軸. 向光束光腰在z軸上的位置，n為光束傳波時所經過之介質折射率。 R x (z ) 、 R y ( z ) 分別為x軸向及y軸向在位置z時光束波前的曲率半徑， ⎡ ⎛ πω 2 n ⎞ 2 ⎤ ox ⎟ ⎥ , R y (z ) = R x (z ) = z ⎢1 + ⎜⎜ ( λ z z x ) ⎟⎠ ⎥ − ⎢⎣ ⎝ ⎦. ⎡ ⎛ πω 2 n ⎞ 2 ⎤ oy ⎟ ⎥ z ⎢1 + ⎜ ⎢ ⎜⎝ λ (z − z y ) ⎟⎠ ⎥ ⎦ ⎣. (1.3). θ x 、 θ y 分別為x軸及y軸上光束發散角， ⎛ λ ⎞ λ ⎞ ⎟ ⎟⎟ , θ y = tan −1 ⎜ ⎜ πω n ⎟ πω n ⎝ ox ⎠ ⎝ oy ⎠ ⎛. θ x = tan −1 ⎜⎜. (1.4). 相位延遲(phase delay)項η (z ) ， η (z ) =. ⎛ λ (z − z y ) ⎞ ⎛ λ (z − z x ) ⎞ 1 1 −1 ⎜ ⎟ ⎟ tan + tan −1 ⎜⎜ 2 ⎟ 2 ⎜ πω 2 n ⎟ 2 πω n ox oy ⎝ ⎠ ⎝ ⎠. (1.5). 其各參數之間的相對關係圖如圖1.5所示。 z x、z y 不一定要在同一個位置，若 z x = z y 則表示此雷射無像散(free 8.

(26) astigmatism)，反之若 z x ≠ z y 則稱此雷射具有像散，對一般index-guided 雷射而言，由於光侷限的機制為波導機制，所以一般像散差距 ( Δz = z x − z y )非常小，約為2~8μm左右(一般gain-guided雷射，因為是運用主動層增益介質的吸收機制來限制雷射光束，所以在兩軸向上的像散差距大約在40μm左右或以上)。. 圖1.5 橢圓高斯光束各參數相對關係圖一般文獻上探討單模光纖與單模雷射耦合，皆假設雷射為理想無像散之雷射，亦即 Δz = 0，並利用模態耦合理論[27]計算雷射與光纖的耦合效率η，如公式(1.6) 2. ∞. ∫ ϕ (x, y, z )ϕ l. η=. ∗ f. ( x, y, z )dxdy. −∞ ∞. ∞. ∫ ϕ (x, y, z )ϕ (x, y, z )dxdy ∫ ϕ (x, y, z )ϕ l. ∗ l. f. −∞. −∞. 9. (1.6) ∗ f. ( x, y, z )dxdy.

(27) 如圖1.6所示， ϕ l 、 ϕ f 為複數震幅(complex amplitude)數值，包含光的強度與相位資訊，ϕ l 為雷射行走距離z後進入光纖端面前時的模場，ϕ f 為光纖內部存在的模場， ⎛ x2 + y2 ⎞ ⎟ 2 ⎟ ω fo ⎝ ⎠. ϕ f = exp⎜⎜ −. (1.7). ω fo 為光纖模場半徑，光纖內部的波前分佈可近似為平面波前，所以. 在公式(1.7)中沒加上相位項 exp(− iϕ ) ； ϕ l 方程式如公式(1.1)所示，由於橢圓高斯光束可用變數分離而分解成x軸向的高斯光束乘以y軸向的高斯光束， ϕ l (x, y, z ) = ϕ lx (x, z ) ϕ ly ( y, z ) ，公式(1.6)可改寫為， 2. ∞. ∫ ϕ (x, z )ϕ (x, z )dx l. η=. ∞. ∫ ϕl (x, z )ϕ (x, z )dx ∫ ϕ f (x, z )ϕ (x, z )dx. −∞. ∗ l. ∫ ϕ ( y, z )ϕ ( y, z )dy l. −∞ ∞. 2. ∞. ∗ f. ∗ f. −∞. = η x ⋅η y. ×. ∗ f. −∞ ∞. ∞. −∞. −∞. ∗ ∗ ∫ ϕl ( y, z )ϕl ( y, z )dx ∫ ϕ f ( y, z )ϕ f ( y, z )dx. (1.8). 即表示在橢圓高斯光束的假設下，可以拆成x-z平面高斯光束和y-z平面高斯光束來討論。雖然說用橢圓高斯光束模型來描述單模雷射的光模場是相當方便的，但真實的世界中，單模雷射二極體不只是激發TEM00模態的光場，在高功率的操作且複雜的雷射激發機制下會使雷射共振腔激發一些較高階模態的光場(其高階模態之光場可能佔整個光束達 50% 之多)，再者水平方向與垂直方向的光束也存在著像散，雖然運用高斯. 10.

(28) 分佈的假設能大略講述雷射光束的行為，但高斯光束的假設卻也已偏離了真實的雷射光束的模場特性。. 圖1.6 雷射與光纖的耦合 1.3.2 繞射理論另一個描述雷射光束常見的理論為繞射理論 (diffraction theory)，如之前所言，一般index-guided雷射其光侷限的機制為波導機制，所以在像散在的狀況下很小，為了方便的原故，常假設雷射為無像散的理想雷射，將出光口的光束波前視為平面，一旦知道雷射出口光場的能量分佈，即可由繞射理論[28]將雷射出口光源分解為許多的點光源，而空間中任何一觀察點 P0 的電場即為光源中每一個點光源在該觀察點的累加效應，如圖1.7所示，. 11.

(29) 圖1.7 繞射幾何示意圖 P1 為雷射出光口(aperture)中任一點的光源，此點光源以球面波方式在. 空間中散播， P0 為觀察面(observation region)上任一點，則任一點 P0 的場量分佈為aperture上所有的 P1 點光源作用在 P0 上的效應，其數學的表示式為[28]， U ( x0 , y 0 ) = ∫∫ h ( x0 , y 0 ; x1 , y1 ) U ( x1 , y1 ) dx1dy1 ∑. h ( x0 , y 0 ; x1 , y1 ) =. 1 exp( jkr01 ) cos(n, r01 ) jλ r01. (1.9). U ( x1 , y1 ) 代為雷射出光口的模場分佈，U ( x0 , y0 ) 代表雷射光束沿著z軸到. 達空間中任一x-y平面上的模場分佈， h (x0 , y0 ; x1 , y1 ) 為點光源在空間中的轉移函數(transfer function)，在雷射與光纖的耦合計算上 U (x1 , y1 ) 可假設為具平面波前的橢圓型高斯光束，其能量分佈方程式就取公式 (1.1)絕對值的部分，此外若能實際量測雷射出光口的能量分佈取代橢 12.

(30) 圓高斯光束分佈函數，則更能使模擬貼近真實的雷射狀況。以上兩種模型常被用描述雷射光束的行為，但就如之前論文中所提及的，真實的單模雷射並非只存在基模TEM00，在高功率複雜的激發機制下會使一些高階模態的光產生，甚至這些高階模態會占總光束能量達50%如此高的比例[29]，所以一般的高斯光束模型已不太適用，加上一般非對稱型的橢圓光束，x軸向及y軸向上的光腰位置 z x 、 z y 非在同一點，即是所謂的像散，由於光纖與雷射的耦合位置相當接. 近雷射端面(最佳耦合距離約離雷射出光口6~8μm)，一般index-guided 雷射的像散差距約在2~8μm和最佳耦合距離的尺度相近，所以使用繞射理論時常將雷射出光口處視為平面波，此種平面波的假設(忽略像散)又顯得太過粗略，為了能更準確描述雷射光場分佈，本論文中提出波前量測裝置量取雷射光束之波前，配合所量得的雷射能量場分佈，用傅立葉轉換計算，建構出任何位置平面的雷射光束模場分佈，以便更進一步了解雷射與光纖間之耦合機制。. 1.4 論文架構本論文總共分為六章，第一章主要介紹研究的背景與動機、以及文獻回顧。第二章主要敘述現階段的波前量測技術的原理與應用，並其間之限制比較。第三章主要敘述本論文所提出具大動態量測角度之. 13.

(31) 遠場波前量測儀的原理、架構並實驗結果，實驗結果包含波前方向的量測、相位分佈的還原建構、並近場光場的計算。第四章主要敘述運用相位補償演算法(phase retrieval algorithms)，藉由量測雷射近場的能量的分佈來建構近場波前相位，其內容包括雷射近場能量分佈的量測、近場波前相位的建構原理、近場波前相位分佈的計算。第五章則利用第四章中的近場光場資訊製作出相對應的光纖透鏡。第六章則為結果與討論。. 1.5 參考文獻 1. E. Desurvire, J. R. Simpson, and P. C. Becker, “High-gain Erbiumdoped traveling-wave fiber amplifier, ” Optics Letters, Vol. 12, pp. 888-890 (1987) 2. S. B. Poole, D. N. Payne, R. J. Mears, M. E. Fermann, and R. I. Laming, “Fabrication and characterization of low-loss optical fibers containing rare-earth ions,” Journal of Lightwave Technology, Vol. LT-4, pp. 870-876 (1986) 3. W. J. Miniscalco, “Erbium-doped glasses for fiber amplifiers at 1500 nm,” Journal of Lightwave Technology, vol.9, pp.234-250 (1991) 4. M. Yamada, M. Shimizu, T. Takeshita, M. Okayasu, M. Horiguchi, S. Uehara, and E. Sugita, “Er3+-doped fiber amplifier pumped by 0.98μm laser diodes, “ IEEE Photonics Technology Letters, Vol. 1, pp.422-424 (1989) 5. M. Yamada, M. Shimizu, M. Okayasu, T. Takeshita, M. Horiguchi, S. Uehara, Y. Tachikawa, and E. Sugita, “Noise characteristics of Er3+ -doped fiber amplifiers pumped by 0.98 and 1.48μm laser diodes,” IEEE Photonics Technology Letters, Vol. 2, pp.205-207 (1990) 6. H. M. Presby and C. R. Giles, “Asymmetric fiber microlenses for efficient coupling to elliptical laser beams,” IEEE Photonics Technology Letters, Vol. 5, pp. 184-186 (1993) 7. R. E. Smith, C. T. Sullivan, G. A. Vawter, G. R. Hadley, J. R. Wendt, M. 14.

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(33) diodes and single-mode fibers,” Journal of Lightwave Technology, Vol. 22, pp. 1374-1379 (2004) 18. S. M. Yeh, S. Y. Huang, and Wood-Hi Cheng, “A new scheme of conical-wedge-shaped fiber endface for coupling between high-power laser diodes and single-mode fibers,” Journal of Lightwave Technology, Vol. 23, pp. 1781-1786 (2005) 19. Y. K. Lu, Y. C. Tsai, Y. D. Liu, S. M. Yeh, C. C. Lin, and W. H. Cheng, “Asymmetric elliptic-cone- shaped microlens for efficient coupling to high-power laser diodes,” Optics Express, Vol. 14, pp. 1434-1442 (2006). 20. S. Teich, “Fundamentals of photonics”, Canada, Wiley Interscience, Ch. 2-3 (1991) 21. S. Teich, “Fundamentals of photonics”, Canada, Wiley Interscience, Ch. 16 (1991) 22. H. Mori, “Ridge waveguide without high refractive index layer: multilayer side cladded ridge waveguide,” Applied Optics, Vol. 17, pp. 105-108 (1978) 23. M. C. Amann and B. Stegmuller, “Calculation of the effective refractive-index step for the metal-cladded-ridge-waveguide laser,” Applied Optics, Vol. 20, pp. 1483-1486 (1981) 24. R. W. H. Engelmann, D. Kerps, G. Hom, D.E. Ackley, “A gain-guidedstripe diode laser with a single longitudinal mode, high kink power, and minimal beam distortion,” Electron Devices Meeting, 1982 International, Vol. 28, pp. 350-353 (1982) 25. F. H. Peters and D. T. Cassidy, “Model of the spectral output of gain-guided and index-guided semiconductor diode lasers,” J. Opt. Soc. Am. B, Vol. 8, pp. 99-105 (1991) 26. A. Yariv, “Optical electronics in modern communication”, Oxford university press, Ch. 2 (1997) 27. H. Kogelink, “Coupling and conversion coefficients for optical modes in quasi-optics,” in Microwave Research Institute Symposia Series , New York Polytechnic Press, Vol. 14, pp. 333-347 (1964) 28. J. W. Goodman, “Introduction to Fourier optics,” McGraw-Hill, Ch.4 (1968) 29. “Real Beam Propagation,” http://www.mellesgriot.com/.. 16.

(34) 第二章波前量測技術本章將介紹一般常見的波前量測技術的原理、架構、應用及限制。目前最常見的波前量測技術分為兩種：(1) 側向剪切干涉術(lateral shearing interferometry)[1]，係將所要量測的波前剪切成兩道相同相位分佈之波前，其中一道波前相對於另一道波前側向位移或旋轉一段距離，其中部分波前相互疊合產生干涉條紋，再依剪切的位移或旋轉距離從干涉圖形中計算並還原出原光束的波前分佈；另一種則是(2) Hartmann 與 Shack-Hartmann 波前量測技術[2]，此兩種技術皆使用相同的量測原理，首先對待側波前進行取樣，切割出許多小區域，並量測每個取樣區域的平均波前前進方向，再集合所有取樣區域的波前前進方向的資料，建構出相位分佈，Hartmann 與 Shack-Hartmann 波前量測技術的差別是 Hartmann 波前量測技是運用孔徑陣列(aperture array)對量測波前進行取樣；而 Shack-Hartmann 波前量測技術是運用微透鏡陣列(lenslet array)對量測波前進行取樣，其目的僅是利用透鏡將取樣光束聚合，使 CCD 能感應到較微弱的光束[3,4]。以下將依此二種技術作一詳細說明。. 2.1 波前剪切干涉術由於波前剪切干涉術不需使用另一道獨立的參考光，因此與傳統干涉術比較時，具有光學架設簡易，且不須在嚴格的避震環境下即可 17.

(35) 進行等優點，此種干涉術是將所要量測之波前與其自身被剪開的波前在重疊範圍內互相干涉，由干涉條紋而檢測出待測波前的相位斜率變化。 2.1.2 側向剪切干涉術(Lateral shearing interferometry) 側向剪切干涉術[1]是將待側光波前分成兩束，將其中一束光波前側移或旋轉一小量位移，作為參考光波，另一束光波則為待側光波，此兩束光波在重疊區域相互干涉，即可產生干涉條紋。基本的側向剪切干涉術架構有兩種，如圖 2.1 所示，若待側波前近似平面波(collimated light)，則將光束沿著自身光束進行平行位移剪切出另一道光束；若待測波前為聚合型之光束(convergent light)，則以聚合點為曲率中心當轉軸，從原光束中旋轉一個角度剪切出另一道光束進行干涉。. 圖 2.1(a) 側向平移剪切干涉術. 18.

(36) 圖 2.1(b) 側向旋轉剪切干涉術 2.1.2 側向剪切干涉的操作原理側向剪切干涉的操作原理如圖 2.2 所示，此為側向位移剪切示意圖，具波前分佈 W 之入射光由左方射入，經過線極化元件(linear polarizor)P1 將光線性極化，接著被線性極化後的入射光進入剪切元件 D 中，將入射光束分成相等能量的兩道束光，一束為垂直極化光 W1 ，另一束為水平極化光 W2，此兩道光束的相對波前分佈函數和原入射光 W 是一模一樣的，接著 W1 、 W2 經過第二個線極化元件 P2 使兩束光轉. 成為相同的極化方向，如此兩束光在相互疊合處就會出現干涉條紋。假設圖 2.3 的剪切方向為 y 方向，W1 波前分佈為 W ( y )，則 W2 的波前分佈為 W ( y + S )，S 為剪切元件所造成的剪切距離，則在 y 方向上 W1 與 W2 的相位差 ΔW 為， ΔW = W ( y ) − W ( y + S ). 19. (2.1).

(37) 圖 2.2 側向剪切干涉術原理. 圖 2.3 側向剪切干涉條紋此相位差即產生干涉條紋，如圖 2.3 所示，剪切方向為圖中箭頭方向，當相位差為 π 的偶數倍時( 0 、 2π 、 4π 、 6π …)產生建設性干涉是為亮紋；當相位差為 π 的奇數倍時( 1π 、 3π 、 5π …)產生破壞性干涉是為暗紋，由干涉條紋的變化即可得知每一個位置的相位差變化，即為公式 20.

(38) (2.2)， ΔW = n λ. (2.2). n 表是第 n 階的干涉條紋， λ 表示光源的波長。. 2.1.3 側向剪切干涉波前建構當從干涉條紋的位置中得知相位差變化後即可進行波前還原，如圖 2.4 所示，假設波前是一個平滑之曲面，我們以 x、y 多項是來代表波前 W (x, y ) [1]， k. n. W ( x, y ) = ∑ ∑ Bnm x m y n −m. (2.3). n =0 m =0. 接著在 x 軸向上剪切依距離 S，則得到剪切光束的波前方程式為， k. n. W ( x + S , y ) = ∑∑ Bnm ( x + S ) y n −m m. (2.4). n = 0 m =0. 同樣的，在 y 軸向上剪切依距離 T，則得到剪切光束的波前方程式為， k. n. W ( x, y + T ) = ∑ ∑ Bnm x m ( y + T ). n −m. n =0 m =0. 圖 2.4 剪切干涉波前建構示意圖 21. (2.5).

(39) 依據二項式定理， m. (x + S )m = ∑ (m : j )x m− j S j. (2.6). m! (m − j )! j!. (2.7). j =0. (m : j ) = 則(2.4)、(2.5)可改寫為， k. n. m. W ( x + S , y ) = ∑ ∑∑ Bnm ( m : j ) x m − j y n −m S j. (2.8). n =0 m =0 j = 0 k. n n −m. W ( x, y + T ) = ∑ ∑ ∑ Bnm ( n − m : j ) x m y n −m− j T. j. (2.9). n = 0 m =0 j =0. 在來以方程式表達相位差 ΔWS 及 ΔWT 為， k −1. n. ΔWS = W ( x + S , y ) − W ( x, y ) = ∑ ∑ C nm x m y n −m. (2.10). n =0 m =0 k −1. n. ΔWT = W ( x, y + T ) − W ( x, y ) = ∑ ∑ Dnm x m y n −m. (2.11). n =0 m =0. (2.10)及(2.11)式中的 Cnm 、 Dnm 分別為， k −n. C nm = ∑ ( j + m : j )S j B j + n , j + m. (2.12). j =1. k −n. Dnm = ∑ ( j + n − m : j )T j B j + n ,m. (2.13). j =1. 當從干涉圖形中之干涉條紋可以得知 ΔWS 及 ΔWT ，將所得到的相位差資訊帶入公式(2.10)、(2.11)，用最小方差曲線密合法(least squares fitting)求得 Cnm 及 Dnm ，在將 Cnm 及 Dnm 代入公式(2.12)、(2.13)及可得到 Bnm 。. 2.1.4 大發散角雷射波前的量測如之前所言，剪切干涉術一般是用於近平面光(collimated light) 或者收縮光束(convergent light)，而本實驗所使用的 980 單模雷射，. 22.

(40) 如圖 1.4 所示，在半高全寬(full width of half maximum)的定義下，其水平發散角 θ x 為 8ο 、垂直發散角 θ y 為 30 ο ，對於具發散角的雷射光束 (divergent light)通常需要將外加透鏡將光束準直後(collimation)再進行剪切干涉。其量測架構如圖 2.5 所示，雷射光束由左方打入，經過透鏡 1( L1 ) 將雷射光束準直，準直後的雷射光束先經過線性極化片 P1 將光極化成 45 度方向，進入 Savart 後原準直光束分成垂直極化以及水平極化的光，此兩道光束在空間中相對位移一距離 S，再經過第二個 45 度線性極化片 P2，將兩道光束的極化方向轉成同一方向即可產生干涉條紋，接著沿剪切方向微轉動 Savart，用 CCD 攝影機擷取影像並由干涉條紋影像的變化利用五步相移法[6]量測出每一位置上的相位差，再將相位差加上透鏡 1 準值雷射光束所校正的相位即可建構出原雷射光束的相位分佈。不過由於雷射二極體是屬於具發散角的光束，若要用側向剪切干涉術測量波前則需使用透鏡將光束準直成準直光束方可進行，不過由於外加透鏡會造成相位不確定性的扭曲，所以在量測雷射波前時若可以不需經過任何的光學元件而能直接對雷射光束進行量測的話，那就能減少量測時外加干擾，而 Hartmann 波前量測技術則符合此種要求。. 23.

(41) 圖 2.5 雷射波前量測架構. 2.2 Hartmann 波前量測系統(Hartmann wavefront system) 2.2.1 Hartmann波前量測系統介紹之前所提的側向剪切干涉術，在波前量測上有非常良好的解析度，然而空氣界質的運動以及環境的震動還是會造成擷取干涉圖形上的困難，且量測雷射光束所需外加的透鏡元件亦會造成待測波前在相位分佈上有不確定的扭曲，所以在不加外來光學元件的前提下， Hartmann波前量測技術則符合此種要求。 Hartmann波前量測技術大概在一個世紀前是由德國天文物理學家Johannes Hartmann所發明出來的[7]，原本是運用在量測天文單筒望遠鏡(telescope)中鏡片的品質，近年來常被運用在適應性光學(adaptive optics)、眼科學(phthalmology)、及雷射波前的量測中，以下將會介紹 Hartmann波前量測儀的架構、基本原理和波前量測的方法。. 24.

(42) 2.2.2 波前量測裝置及量測原理 Harmann波前量測裝置如圖2.6所示，此量測裝置分為兩個部分，一個是孔徑陣列(aperture array)，其功用是對待測光束進行取樣，形成一道道較小的取樣光束；另一個是CCD陣列(charge-coupled device) 其功用是對取樣的光束進行能量分佈的紀錄與分析。當入射光波前 (incident wavefront)朝z軸前進，經過孔徑陣列(aperture array)，進入孔徑後之取樣光束會在CCD陣列上產生繞射光點，由CCD紀錄其光點的能量分佈，每一個孔徑皆配對一個相對應的CCD區域。. 圖2.6 Hartmann波前量測儀示意圖接下來將用y-z二維平面來解釋如何用此波前量測器來量測待測光之波前，如圖2.7所示，待測光波前由左方往z方向入射，孔徑陣列對待測光束進行取樣，孔徑陣列中每一個孔徑大小皆遠小於待測光. 25.

(43) 束，所以當光通過第i個孔徑時，我們可以假設通過此孔徑的光近幾乎為平行光，且能量均勻分佈於孔徑上，等效於一平面波通過一小孔徑，光經過孔徑繞射於CCD上，在CCD上產生繞射光點(diffracted spot)，如圖2.8所示，此時該孔徑所對應的CCD區域上每個像數(pixel) 所記錄下的能量，依像素的位置計算出繞射光點能量重心(centroid) 的位置，則能量重心 y 計算如公式(2.14)，計算出 y 後，就可得知所取樣的入射光的平均入射角度為 θ y = y / z0 ， z0 為孔徑到CCD的垂直距離。 ∞. y=. ∫ I ( y ) ⋅ y ⋅ dy. −∞ ∞. (2.14). ∫ I ( y ) ⋅ dy. −∞. 我們亦可把他推廣到二維方向，則重心位置 x 及 y 為， ∞ ∞. x=. ∫. ∫ I (x, y ) ⋅ x ⋅ dx ⋅ dy. −∞−∞ ∞ ∞. ∫ ∫ I (x, y ) ⋅ dx ⋅ dy. ∞ ∞. , y=. ∫ ∫ I (x, y ) ⋅ y ⋅ dx ⋅ dy. −∞−∞ ∞ ∞. ∫ ∫ I (x, y ) ⋅ dx ⋅ dy. −∞−∞. (2.15). −∞−∞. 當找出能量中心 x 及 y 後，即可得知此取樣光束的平均的波前行進方向，此方向與z軸夾角角度 θ x , y 為，. θ x, y. ⎡ ⎢ x , y , z0 ⋅ (0 ,0 , z0 ) = cos−1 ⎢ ⎢ x , y , z ⋅ (0 ,0 , z ) 0 0 ⎢⎣. (. (. ). 26. ). ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦. (2.16).

(44) 圖2.7 入射光波前經過孔徑陣列進行取樣. 圖2.8 取樣光於CCD上形成繞射光點. 27.

(45) 2.2.3 波前斜率(wavefront slope) 當量出取樣光的波前前進方向後，接下來是要找出波前前近方向和相位變化斜率的關係，如圖 2.9 所示，在 y-z 平面上由左方入射一波前的光，波前量測面 S 垂直於 z 軸，假設在點 P 處量得波前前進方向與 z 軸夾角為 θ y ，入射光在 S 線上的相對相位分佈函數 ϕ = f ( y ) ，點 P 的光前進方向為 K p 、經過點 P 並沿著等相位波前在離點 P 不遠處任取一點 N，點 N 的光前進方向為 K n ， K n 交 S 線於點 Q 上，當 NP 距離很小時，可將△NQP 視為直角三角形，則 QP 兩點的相位差 ϕ p − ϕQ 為 ϕ p − ϕQ =. NQ. λ. ⋅ 2π (rad ). (2.17). 則 P 點的相位變化的斜率 ∂ϕ y / ∂y 為， ∂ϕ y ∂y. NQ = lim λ NP →0. ⋅ 2π. QP. NQ = λ. ⋅ 2π. NQ sin θ y. =. sin θ y. λ. ⋅ 2π (rad ). (2.18). 以此類推在 x 軸向上相位變化的斜率 ∂ϕ x / ∂x 為， ∂ϕ x sin θ x = ⋅ 2π (rad ) ∂x λ. (2.19). 如此當我們使用 Hartmann 波前量測儀量出 x 軸向及 y 軸向上的光行進方向角度，我們即可算出該角度在該軸向上所代表的相位變化的斜率。. 28.

(46) 圖 2.9 波前的前進方向與相位變化斜率的關係圖之後當我們知道每個取樣點的相位變化的斜率後，就可以依這些資料點進行相位分佈的還原。 2.2.4 波前相位還原公式(2.21)為電磁波理論中的電場型式，其型式包含電場強度項 U ( x, y ) 以及相位項 exp[ −iϕ ( x, y )] ， U ( x, y ) = U ( x, y ) exp[ −iϕ( x, y )]. (2.20). 從 Hartmann 波前量測儀中可以量出波前前進的方向 k ，此前進方向垂直於波前， k = (k x , k y , k z ). (2.21). 此 k 值的大小為 k = ω / c = 2π / λ ，根據電磁波理論，. 29.

(47) ∂ϕ( x, y ) ∂x ∂ϕ( x, y ) ky = ∂y kx =. (2.22). k z = ( ω / c ) 2 − k x2 − k y2. 如前一節所述，將所量得的波前前進方向轉成相位變化的斜率，求得 k x 和 k y ，則相位分佈 ϕ ( x, y ) 可以透過積分方式，公式(2.23)，求得。. ϕ ( x, y ) = ∫ k x dx + ∫ k y dy. (2.23). 2.2.5 總結 Shack-Hartmann 波前量測儀[3]是根據 Hartmann 波前量測儀所改量出來的，係利用微透鏡陣列(lenslet array)來取代孔徑陣列(aperture array)，其主要目的是利用透鏡增加對光的收集性，以便能量測到更微弱的光，其波前量測的原理與操作基本上與 Hartmann 波前量測儀是一樣。對 Hartmann 或 Shack-Hartmann 波前量測儀而言，由於每個孔徑 (或每個微透鏡)皆相對應固定面積的 CCD 區域，由於 CCD 區域的限制，所以只能量某一角度 θ max 範圍內的光，若超過某一角度則系統即產生誤判，如圖 2.10 所示，所以一般能量測的動態範圍皆不大[4]，大約為 ± 3ο 左右，所以為了能量測大發散角度的雷射，我們依據 Hartmann 與 Shack-Hartmann 波前量測儀的架構，發展出大動態量測範圍的波前量測儀，其原理架構將詳細於第三章中介紹。. 30.

(48) 圖 2.10 波前量測儀量測最大角度值示意圖. 2.3 參考文獻 1. I. Ghozeil, "Optical shop testing," D.Malacara, ed., John Wiley & Sons, Ch. 4 (1978) 2. I. Ghozeil, "Optical Shop Testing," D.Malacara, ed., John Wiley & Sons, Ch. 10 (1978) 3. A. F. Brooks, T. L. Kelly, Peter J. Veitch, and Jesper Munch, “Ultra-sensitive wavefront measurement using a Hartmann sensor,” Optics Express, Vol. 15, pp. 10370-10375 (2007) 4. M. Rocktaschel and H. J. Tiziani,”Limitations of the Shack–Hartmann sensor for testing optical aspherics,” Optics & Laser Technology, Vol. 34, pp. 631-637 (2002) 5. I. Ghozeil, "Optical Shop Testing," D.Malacara, ed., John Wiley & Sons, Ch. 3 (1978) 6. P. Hariharan, B. F. Oreb and T. Eiju, “Digital phase shifting interferometry: a simple error compensating calculation algorithm,” Applied Optics, Vol. 26, pp. 2504-2505 (1987) 7. J. Schwiegerling, D. R. Neal, “Historical Development of the Shack-Hartmann Wavefront Sensor,” www.wavefrontsciences.com.. 31.

(49) 第三章具大動態量測範圍波前量測系統 Hartmann 波前量測儀相較於剪切干涉儀而言，他不易受震動的影響，而且不需外加任何光學元件即可直接對光源的波前進行量測，是個相當理想的波前量測系統，然而 980nm 的單模雷射具有極大的發散角，垂直發散角約 100ο 、水平發散角約 40 ο (full width of 1% maximum)，一般 Hartmann 波前量測儀受限於 CCD 的感應面積，使得所能量到的波前角度相當有限，一般為 ± 3ο 度左右，為了能量測大發散角的二極體雷射，本論文將對固有的 Hartmann 波前量測儀進行改良，增大能量測的動態角度範圍以便量測整個雷射光束的波前。. 3.1 具大動態範圍之波前量測儀在 Hartmann 波前量測儀中，所謂的動態範圍(dynamic range)是指波前量測儀所能量測到最大波前角度的範圍，為了增加波前量測儀的動態範圍，我們修改了固有的 Hartmann 波前量測儀，改良過的波前量測儀裝置圖如圖 3.1 所示，本波前量測儀分兩個主要部分，第一個部分為可移動式的針孔 1(pinhole 1)；第二個部分為波前斜率偵測器 (wavefront slope detector)，也可稱為波前角度偵測器。針孔 1 為可移動式針孔，可於 x-y 平面自由的上下左右移動，其作用如同 Hartmann 波前量測儀中的孔徑陣列(aperture array)，只是在 Hartmann 波前量測儀中孔徑陣列是固定位置，而在本波前量測儀器 32.

(50) 中的針孔是可隨意調整位置(可視為孔徑陣列中的任何單一孔徑)，兩者的主要功能都是對所要量測的波前光束進行取樣；第二部分波前斜率量測器，主要由三個元件所組成，包含透鏡(lens)、針孔 2(pinhole 2)、光偵測器(photodetector)，其相對的位置關係為：透鏡、針孔 2 及光偵測器放於同一個固定平台上，三個物件可做同時的移動或旋轉，針孔 2 沿著透鏡的光軸放置於透鏡後方的焦點上，在針孔 2 的後方放置光偵測器，此波前斜率量測器的主要功能是為了要偵測取樣光束的波前前進方向。. 圖 3.1 具大動態範圍之波前量測儀再看到圖 3.1 ，移動針孔 1 對雷射光源進行取樣，之後我們移動波前斜率偵測器使取樣光束由透鏡中心射入，之後旋轉整個波前斜率偵測器，使光能通過針孔 2，並以光偵測器量取穿過針孔 2 的光能量，. 33.

(51) 由於我們將針孔 2 放在透鏡後方的焦點上，若此時光束是垂直入射透鏡，那光束將被聚焦於透鏡焦點上，此時會有最多的光量透過針孔 2 被光偵測器接收，所以若我們旋轉波前斜率偵測器使得光偵測器量得最大能量時，此時的旋轉角度即是光波前的入射角度。此波前量測裝置的建構是參照 Hartmann 及 Shack-Hartmann 波前量測儀所建構成的，原本的 Hartmann 波前量測器能量測的動態範圍約為 ± 3ο，為了增加波前量測的動態範圍，我們捨棄 Hartmann 孔徑陣列的方式來對所要量測的光波前進行取樣，直接以可移動的單一針孔來取代孔徑陣列，每次僅量測一束取樣光，並利用可平移、旋轉的波前斜率偵測器，增加其動態範圍，因為波前斜率偵測器可無限制自由轉動，所以理論上本波前量測儀的動態範圍為 ± π / 2 ，實際上針孔 1 的厚度會擋住部分取樣光束而減小動態量測範圍，。波前斜率偵測器由透鏡、針孔及光偵測器所組合成的，此波前斜率偵測器功能是定量取樣光束的平均波前角度方向，其中透鏡有另一功能，如 Shack-Hartmann 波前量測儀中透鏡陣列的作用一樣，能有效的收集取樣光，量測到較微小的光能量[1]，這個特性對於量測大發散角的雷射是相當重要的，因為在大發散角的地方光相對比較微弱，若想盡可能量測所有的光波前，這項特性是相當重要的，再者所有的取樣光束皆由相同的波前斜率偵測器量測，更能提高量測環境的. 34.

(52) 一致性。不過由於我們的波前量測器一次僅能量測一個取樣光束，所以在量測的速度上比一般的 Hartmann 及 Shack-Hartmann 波前量測器相對慢了許多[3,4]，也因為無法做一次的同步量測，所以不能以多次量測的方式來增加儀器的靈敏度[1]。. 3.2 波前量測的量測操作再來要介紹儀器的量測操作，其簡單的圖示裝置就如之前所提到的圖 3.1，首先看到雷射與針孔 1 的部分，如圖 3.2 所示，我們先以二維的 y-z 平面來做說明，雷射放置於針孔 1 前方 4.5mm 處，在此所使用的雷射為邊射型 980nm 單模二極體雷射，其中心波長約為 978nm，波長的半高寬度約為 0.2nm，其雷射發散角垂直軸為 30ο 、水平軸為 8ο ，此發散角是在能量半高全寬(FWHM)的定義下所量得的，若是在能量 1% 的定義下(即是完整之光束大小)，則垂直軸上的發散角約為 100ο、水平軸上的發散角約為 40ο；雷射的矩形波導尺寸大小約為 0.1μm(主動層厚度) × 4μm(脊狀波導寬度)，波前的量測面距離雷射 4.5mm 即是針孔所放置的位置，所以相對於出光口的尺寸而言，我們的量測是屬於遠場量測(far-field measurement)系統，在此所使用的針孔 1 的孔徑大小為 200μm，厚度為 12.7μm，由於是遠場量測，針孔遠小於量測光束之尺寸，所以我們可以假設通過針孔 1 的取樣光其能 35.

(53) 量分佈近似於均一分佈，而波前分佈近似於平面波的平滑曲面，如圖 3.3 所示。. 圖 3.2 雷射光源取樣示意圖. 圖 3.3 取樣光束的波前分佈 36.

(54) 當取樣光束通過針孔 1 之後，將利用波前斜率量測器來定量波前前進的角度方向，其運作方式如圖 3.4 所示，其中所使用的透鏡其焦距(focal length)為 50mm，沿著透鏡光軸在距離透鏡 50mm 的地方放置針孔 2，其針孔的孔徑大小為 200μm，取樣光束經過透鏡後會在透鏡的焦平面上形成聚焦光點(focal spot)，假設待測光進入針孔一時相位為平面分佈，則經過透鏡後其聚焦光點的大小約為 600μm(~2.44λf/a = 2.44*0.98*50,000/200-μm)，由於假設在通過針孔 1 的取樣光束其能量分佈近似於均一分佈、而波前分佈近似於平面的平滑曲面，所以取樣光束經過透鏡後所形成的聚焦光點其能量分佈的型態理論上將為對稱分佈的 Airy pattern，Airy pattern 為一中心能量集中的光點並於周圍伴隨一圈一圈漸弱的能量環，由於聚焦光點為對稱型之光點，所以其能量重心位置必在於聚焦光點的幾何中心。接著移動並旋轉波前斜率偵測器使取樣光束通過透鏡的正中心，並微量旋轉波前斜率偵測器以針孔 2 掃描此聚焦光點，針孔 2 的大小須小於聚焦光點的大小，如此才可掃描聚焦光點找出能量重心位置，基本上小一點的針孔可增加量測的解析度，但針孔孔徑若太小不但通過針孔的光能量太小會無法解析而且會產生較大角度的繞射使得光無法完全進入光偵測器中，所以在此選擇針孔 2 的此寸為 200μm，之後並用光偵測器量取通過針孔 2 的能量，如圖 3.5 所示，. 37.

(55) 當偵測器量到最大能量時，則代表此時聚焦光點的能量重心正位於針孔 2 的中心，此時波前斜率偵測器所旋轉的角度 θ 即為該取樣光束的波前前進角度。在此步驟中，針孔 1 與波前斜率偵測器中的透鏡距離會改變光經過透鏡聚焦到針孔 2 上的光點大小，但由於距焦光點為對稱光點且針孔 2 尺寸(200μm)小於最小聚焦光點 600μm，所以當光偵測器量大最大光功率值時，代表取樣光束正垂直入射透鏡，針孔 1 與波前斜率偵測器中的透鏡距離並不影響量測值，在此須強調波前斜率偵測器是量測取樣光束平均坡前的前進方向而非量測光束的相位分佈，所以針孔 1 與波前斜率偵測器中的透鏡距離不會影響最後相位還原的結果。總結而言，此改良過的波前量測器擁有大動態的量測範圍，其範圍為 ± π ，此外在量測的精準度上，我們採取對一個取樣光束重複進行十次的量測並計算其 RMS 誤差值 Δθ ，如公式(3.1)，. ∑ (θ n. Δθ =. i. −θ. i =1. ). n. 2. n. , θ=. ∑θ i =1. n. i. (3.1). ， θ i 為所量測到的角度值， θ 為所有重複量測角度的平均值，則得到量測的誤差為 ± 0.02ο 。本文中波前斜率偵測器具移動及轉動的維向，所以此裝置除了透鏡、針孔 2、光偵測器外尚有二維的移動平台及二維的轉動平台(因本實驗中僅量測水平軸以及垂直軸的波前前進方. 38.

(56) 向，所以轉動維度僅有一維)，每個元件的不準度均會造成量測上的誤差，而針對每個元件分析量測上的不準度以及整體組合時的量測不準度是困難且繁複的，所以在此我們使用同一個取樣光束(不變的參考物)，進行多次量測得到此波前斜率偵測器的 RMS 值，此 RMS 值代表此量測儀器的量測時的重現性，亦可視為此量測儀器量測的誤差值。因為在此量測到的波前前進角度是代表取樣光束區域的平均波前角度，非單一空間點的波前角度，所以在此所謂的量測精準度是指儀器量測取樣光束平均波前角度的 RMS 值，實際上取樣光束中每一點波前角度的標準差值則受限於繞射極限 (Δθ ~ λ / d ) ， λ 為光源之波長， d 為針孔 1 的針孔直徑長度。. 圖 3.4 波前斜率偵測器 39.

(57) 圖 3.5 聚焦光點能量重心. 3.3 建構空間中雷射光束場型分佈誠如第一章所言，用高斯光束模型或繞射模型都不能完全代表真實的雷射光束行為，為了能得到較精準的雷射光束場型分佈，本論文將利用波前量測儀量得在空間中任一個垂直 z 軸的平面上光束之電場分佈 U (x, y ) ，如圖 3.6 所示， U ( x, y ) = U ( x, y ) exp[ −iϕ ( x, y )]. (3.2). 當用波前量測儀得到該平面光束的能量分佈以及相位分佈後，即可算出該平面的電場 U (x, y )，之後將該電場用傅立葉轉換切分成不同頻率的平面波 F (k x , k y ) ，. 40.

(58) F (k x , k y ) =. ∞ ∞. ∫ ∫ U ( x, y ) exp(ik. x. x + ik y y )dxdy. (3.3). −∞−∞. 使這些不同頻率之平面波沿著 z 軸在空間中隨意傳播一段距離 z 到任一平面，即可得到該平面光束電場 U Z ( x, y ) ，如公式(3.4)所示，如此當知道光束在某一平面的電場分佈，即可藉由傅氏轉換推得光束中任一平面的電場分佈。 U Z ( x, y ) =. ∞ ∞. ∫ ∫ F (k. x. , k y ) exp(−ik x x − ik y y − ik z z )dk x dk y. (3.4). − ∞−∞. 圖 3.6 雷射光束於空間中任一平面之場量分佈在進行空間中快速傅立葉轉換(FFT)時，為了能精準的解析相位的變化，其取樣點的間隔須小於十分之一個波長(一般要完整描述一個量測物，則至少須以小於量測物尺度最小位數的十分之一進行分析，如本例子中波長為 0.98μm ，則取樣點的最小間隔須小於 41.

(59) 0.098μm)，在本實驗中距離雷射 4.5mm 的地方其垂直軸光束寬度約 12mm，在水平軸的光束寬度約 3mm，光源波長的為 0.98μm，所以取樣間格取為 0.1μm(十分之一個波長寬度)，因為傅立葉轉換是將原函數在某一周期下分解為的正交基底函數的組合，為了避免進行運算時受到相鄰週期的干擾效應，所以在光束外圍需再補零，若取二維傅立葉轉換光是雷射光束部份至少需要 120,000 × 30,000 取樣點，由於計算機運算能力的緣故，其計算能力只能容許 400,000 點取樣點，因此計算機無法進行二維快速傅立葉計算。不過對於矩形波導之雷射，其場型為上下、左右對稱，所以假設傳播常數 k 值在 x 軸及 y 軸上分別只有 x 分量及 y 分量的變化，在另一個軸向上的變化極小，所以在本論文中，只有分別對 x 軸及 y 軸進行波前的量測與建構，僅進行一維光學傅立葉轉換，進而得到垂直 z 軸的任意平面中 x 軸及 y 軸的電場分佈。. 3.4 雷射波前行進角度的量測接著量測 x 軸及 y 軸上波前的行進方向角度，首先將針孔 1 放置於雷射前方 4.5mm 的地方，假設雷射光束是上下、左右對稱，中心點即是能量密度最高之處，利用針孔 1 掃描整個光束，並用光偵測器 (photodetector)量取能量，定位出能量最大點的位置，再從此位置將針孔 1 往上以及往下掃描，量測出 y 軸(vertical axis)上取樣位置的波 42.

(60) 前行進角度；往左以及往右掃描，量測出 x 軸(horizontal axis) 上取樣位置的波前行進角度，每個取樣區域的距離為 100μm，圖 3.7、圖 3.8 分別是 x 軸及 y 軸位置對波前行進角度的關係圖，雷射水平軸的總光束寬度約 3mm，垂直軸的總光束寬度約 12mm。. 圖 3.7 x 軸對波前行進角度的關係圖. 圖 3.8 y 軸對波前行進角度的關係圖 43.

(61) 3.5 雷射光束相位分佈的建構本章中相位分佈的建構是使用 Southwell 相位建構法[4]，其建構法本身相當簡易的，此建構法是假想在兩個取樣區域之間，其相位的變化為一個平滑的二次曲線，則相位變化的斜率(即是波前前進的角度，第二章中有說明)為線性的變化關係(微分後為一次曲線)，因此兩個取樣區間的相位差 Δϕ i 可以寫成， Δϕ i = ϕ i +1 − ϕ i =. S i +1 + S i ×d 2. ϕ i +1 = ϕ i + Δϕ. (3.5) (3.6). i 為第 i 個取樣區域， Si 為第 i 個取樣區域中平均相位斜率變化， d 是兩個取樣區域中心的間隔距離，ϕ i 代表第 i 個區域中心點的相位，如圖 3.9 所示。接著訂光束能量密度最高點為相位分佈的參考點，此點之參考相位為 0，之後運用公式(3.5)知道每個取樣點之間的相位差 Δϕ i 、用公式 (3.6) 得知每個取樣點的相對相位值 ϕ i ，再利用最小方差法 (least-squares fitting)以多項式密合每個取樣點的相對相位值 ϕ i ，則密合出的曲線即為相位分佈曲線，其圖形為圖 3.10、圖 3.11。橫軸為相對位置，單位為 mm；縱軸為相對相位值，單位為 rad / 2π 。此計算方式是以量測空間中任一平面(2D)波前的前進方向資訊並計算還原相位分佈，若要還原空間中的波前(等相位面)的分佈(3D)則需配合不同. 44.

(62) 量測平面的相位方佈方能建構出。. 圖 3.9 相位分佈與相位變化斜率關係圖. 45.

(63) 圖 3.10 x 軸上相對相位關係圖. 圖 3.11 y 軸上相對相位關係圖 46.

(64) 3.6 計算空間中光束光場如 3.3 節所言，當我們量測空間中任一 x-y 平面的光場分佈，即可利用光學傅立葉轉換能得到任何一 x-y 平面的光場，利用圖 3.10 及圖 3.11 的波前分佈加上能量分佈的資訊建構出 x 軸以及 y 軸上電場的形式 U ( x ) = U ( x ) exp[− iϕ (x )] 。我們先以建構一個軸向上的電場為例，實驗中量測能量分佈的裝置如圖 3.12，將針孔 1 放置雷射前 4.5mm 處，並於針孔 1 後方放置光偵測器，檢測取樣光束的能量值，量測步驟如同量測波前角度一般，將針孔 1 往上以及往下掃描，量測出 y 軸(vertical axis)的能量分佈；往左以及往右掃描，量測出 x 軸(horizontal axis)的能量分佈，每個取樣區域的距離為 100μm。因為所量得的能量值為取樣光束的總能量 P ，其能量密度 I = P / A ， A 為光束的面積，如圖 3.13 所示，因為在不同的位置有不同的入射角，通過針孔 1 的光束的面積隨波前前進方向而改變，光束面積等於針孔的面積再乘上 cos 值，所以能量密度 I 為， Ii =. Pi Apinhole ⋅ cos (θ i ). (3.7). Pi 為針孔在第 i 個取樣位置所量得的總能量， I i 為針孔在第 i 個取樣. 位置的能量密度， Apinhole 為針孔的面積大小，θ i 為第 i 個取樣位置所量得的波前前進角度。又能量密度 I 與電場 U 絕對值的平方成正比，故. 47.

(65) 電場的大小 U i 為， U i = a0 ⋅ I i. (3.8). ， a0 為比例常數。圖 3.14、圖 3.15 實線部份為 z = 3.5mm 、 z = 4.5mm 、 z = 5.5mm 所量測到的能量密度分佈圖。從能量密度分佈圖中可計算得到的 U i ，再利用最小方差法 (least-squares fitting)以多項式密合每個取樣點的 U i 值，則密合出的曲線即為電場絕對值得分佈曲線函數，加上圖 3.10 及圖 3.11 的波前分佈資料則可建構出 x 軸以及 y 軸上電場的形式 U ( x ) = U ( x ) exp[− iϕ (x )]，當建構出在 z=4.5mm 的電場分佈後，運用光學傅立葉轉換往前以及往後各推算 1mm，所使用的數值軟體為 Scilab 數値運算軟體[6]，計算出 z=3.5mm 及 z=5.5mm 平面 x 軸向上及 y 軸向上的能量分佈，如圖 3.14、圖 3.15 中圓形和正方形的點資料，接著以實際量測出 z=3.5mm 及 z=5.5mm 的能量分佈曲線作比較，計算相其關係數來判定模擬曲線與實驗曲線的相關性，其相關係數 r 的表示式如下，. ∑ (I n. r=. i =1. e ,i. e ,i. − Ie. ∑ (I n. i =1. )(. − I e ⋅ I s ,i − I s. ) ⋅ ∑ (I 2. n. i =1. s ,i. ) − Is. ). 2. (3.9). I e,i 為實驗曲線中第 i 個數值， I s ,i 為模擬曲線中第 i 個數值，得到 x. 軸向以及 y 軸向上模擬推算的數值與實際量測的數值相關係數達 0.997 以上( r = 1 為完全相關)，這顯示我們的波前量測儀所建構出相位 48.

(66) 分佈的準確度是可靠的。. 圖 3.12 量測能量分佈裝置圖. 圖 3.13 總能量與能量密度關係圖. 49.

(67) 圖 3.14 在不同 z 位置上 x 軸的能量分佈圖. 圖 3.15 在不同 z 位置上 y 軸的能量分佈圖. 50.

(68) 3.7 近場光束還原因為雷射與光纖的耦合發生在雷射的近場，而本論文量測雷射波前的目的是為了求得雷射近場的電場分佈，其最佳的耦光位置運用高斯光束推算大概離雷射出光口約為 5μm，所以接下來將利用 3.3 節所述的光學傅立葉轉換求出近場光能量分佈，圖 3.16 及圖 3.17 為計算回推近場 x 軸向與 y 軸向上光腰位置的能量分佈圖。從圖中可看出垂直軸向上光束寬度(1/ e 2 )為 3.8μm，在水平軸向上光束寬度為 5.5μm，且像散(兩軸上光腰位置的差距)達 7μm，將此數據和實際量測值作比較(量測的詳細結果列於第四章中)，我們量得的光腰寬度分別為 1.52μm 和 4.39μm，像散約為 2μm，顯然和計算推導值相差甚大。. 圖 3.16 計算垂直軸近場能量分佈圖 51.

(69) 圖 3.17 計算水平軸近場能量分佈圖. 3.8 誤差可能原因理論上若遠場的相位及能量分佈的資料是準確的話，那用光學傅立葉轉換的確是可以建構整個光束能量的分佈，但是波前的量測與相位建構方法上的誤差，使得進行長距離推算時讓誤差放大，誤差的可能來源為：(1)量測波前前進方向時的誤差( ± 0.02ο )，(2)在遠場的波型重建時假設相位的變化率為線性的變化，(3)能量及相位的數值分佈以最小方差法用多項式去密合曲線時所造成的誤差，(4)作一維傅立葉轉換時假設另一軸 k 值分量變化極小。以上這些原因使的我們做近距離( ≤ 1000λ )或遠場推算時看不出. 52.