第八章·假设检验
概率论与数理统计
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假设检验的基本概念
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第一节
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单个正态总体的参数检验
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第二节
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两个正态总体的参数检验
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第三节
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假设检验
统计推断的另一种形式是假设检验．
所谓假设检验，就是根据样本的信息检验总体的分布 参数或分布形式是否具有事先给定的取值或特征．
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假设检验
统计推断的另一种形式是假设检验．
所谓假设检验，就是根据样本的信息检验总体的分布 参数或分布形式是否具有事先给定的取值或特征．
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假设检验
假设检验分为参数检验和非参数检验两类． 非参数检验则是研究总体分布未知情形下的假设检验 问题． 例如，对 49 个人的总胆固醇含量进行采样，检验样 本是否服从正态分布（期望与方差未知）．.
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假设检验
假设检验分为参数检验和非参数检验两类． 非参数检验则是研究总体分布未知情形下的假设检验 问题． 例如，对 49 个人的总胆固醇含量进行采样，检验样 本是否服从正态分布（期望与方差未知）．.
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假设检验
假设检验分为参数检验和非参数检验两类． 非参数检验则是研究总体分布未知情形下的假设检验 问题． 例如，对 49 个人的总胆固醇含量进行采样，检验样 本是否服从正态分布（期望与方差未知）．.
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假设检验
假设检验分为参数检验和非参数检验两类． 参数检验是指在总体分布已知情形下，检验未知参数 取某个确定值的假设能否为我们接受． 例如，对一个正态总体，检验其均值是否为某一给定 的（已知）常数 μ0，或检验其方差是否小于等于某一 给定的（已知）常数 σ2 0．.
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假设检验
假设检验分为参数检验和非参数检验两类． 参数检验是指在总体分布已知情形下，检验未知参数 取某个确定值的假设能否为我们接受． 例如，对一个正态总体，检验其均值是否为某一给定 的（已知）常数 μ0，或检验其方差是否小于等于某一 给定的（已知）常数 σ2 0．.
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假设检验
假设检验分为参数检验和非参数检验两类． 参数检验是指在总体分布已知情形下，检验未知参数 取某个确定值的假设能否为我们接受． 例如，对一个正态总体，检验其均值是否为某一给定 的（已知）常数 μ0，或检验其方差是否小于等于某一 给定的（已知）常数 σ2．.
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假设检验
例 1 某工厂生产 10 欧姆的电阻．根据以往生产的 电阻实际情况，可以认为：电阻值 X 服从正态分布 N(μ,0.12)．现在随机抽取 10 个电阻，测得它们的电 阻值为 9.9, 10.1, 10.2, 9.7, 9.9, 9.9, 10.0, 10.5, 10.1, 10.2. 问，从样本来看，我们能否认为该厂生产的电阻的平 均值 μ = 10 欧姆？.
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假设检验
在数理统计中，把“均值 μ = 10”这样一个待检验的 假设称为原假设或零假设，记为 H0 : μ = 10. 原 假 设 的 对 立 面 是 “均 值 μ ̸= 10”，称为备 择 假 设或对立假设，记为 H1 : μ̸= 10. 通常把原假设和备择假设合写在一起，就是 H0 : μ = 10 ↔ H1 : μ̸= 10..
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假设检验
在数理统计中，把“均值 μ = 10”这样一个待检验的 假设称为原假设或零假设，记为 H0 : μ = 10. 原 假 设 的 对 立 面 是 “均 值 μ ̸= 10”，称为备 择 假 设或对立假设，记为 H1 : μ̸= 10. 通常把原假设和备择假设合写在一起，就是 H0 : μ = 10 ↔ H1 : μ̸= 10..
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假设检验
在数理统计中，把“均值 μ = 10”这样一个待检验的 假设称为原假设或零假设，记为 H0 : μ = 10. 原 假 设 的 对 立 面 是 “均 值 μ ̸= 10”，称为备 择 假 设或对立假设，记为 H1 : μ̸= 10. 通常把原假设和备择假设合写在一起，就是.
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假设检验
参数的假设检验主要用置信区间的方法，步骤如下： 1 根据实际问题，提出原假设 H0 与备择假设 H1 2 假定 H0 成立，选择分布已知的统计量 3 计算统计量的临界值，由此划分拒绝域与接受域 4 根据样本观测值，计算统计量的观测值 5 检查观测值所在区域，并作出结论 如果落在拒绝域，则拒绝原假设 H0 如果落在接受域，则接受原假设 H0.
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假设检验
参数的假设检验主要用置信区间的方法，步骤如下： 1 根据实际问题，提出原假设 H0 与备择假设 H1 2 假定 H0 成立，选择分布已知的统计量 3 计算统计量的临界值，由此划分拒绝域与接受域 4 根据样本观测值，计算统计量的观测值 5 检查观测值所在区域，并作出结论 如果落在拒绝域，则拒绝原假设 H0 如果落在接受域，则接受原假设 H0.
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假设检验
参数的假设检验主要用置信区间的方法，步骤如下： 1 根据实际问题，提出原假设 H0 与备择假设 H1 2 假定 H0 成立，选择分布已知的统计量 3 计算统计量的临界值，由此划分拒绝域与接受域 4 根据样本观测值，计算统计量的观测值 5 检查观测值所在区域，并作出结论 如果落在拒绝域，则拒绝原假设 H0 如果落在接受域，则接受原假设 H0.
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假设检验
参数的假设检验主要用置信区间的方法，步骤如下： 1 根据实际问题，提出原假设 H0 与备择假设 H1 2 假定 H0 成立，选择分布已知的统计量 3 计算统计量的临界值，由此划分拒绝域与接受域 4 根据样本观测值，计算统计量的观测值 5 检查观测值所在区域，并作出结论 如果落在拒绝域，则拒绝原假设 H0 如果落在接受域，则接受原假设 H0.
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假设检验
参数的假设检验主要用置信区间的方法，步骤如下： 1 根据实际问题，提出原假设 H0 与备择假设 H1 2 假定 H0 成立，选择分布已知的统计量 3 计算统计量的临界值，由此划分拒绝域与接受域 4 根据样本观测值，计算统计量的观测值 5 检查观测值所在区域，并作出结论 如果落在拒绝域，则拒绝原假设 H0 如果落在接受域，则接受原假设 H0.
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假设检验
参数的假设检验主要用置信区间的方法，步骤如下： 1 根据实际问题，提出原假设 H0 与备择假设 H1 2 假定 H0 成立，选择分布已知的统计量 3 计算统计量的临界值，由此划分拒绝域与接受域 4 根据样本观测值，计算统计量的观测值 5 检查观测值所在区域，并作出结论 如果落在拒绝域，则拒绝原假设 H0 如果落在接受域，则接受原假设 H0.
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假设检验
参数的假设检验主要用置信区间的方法，步骤如下： 1 根据实际问题，提出原假设 H0 与备择假设 H1 2 假定 H0 成立，选择分布已知的统计量 3 计算统计量的临界值，由此划分拒绝域与接受域 4 根据样本观测值，计算统计量的观测值 5 检查观测值所在区域，并作出结论 如果落在拒绝域，则拒绝原假设 H0.
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两类错误
由于人们判断检验假设 H0 是否成立的依据是一组样 本，也就是由部分来推断整体，因而假设检验不可能 绝对准确，也可能犯错误，错误有两类: 1 第一类错误：原假设 H0 符合实际情况，而检验结 果把它否定了，这称为弃真错误． 2 第二类错误：原假设 H0 不符合实际情况，而检验 结果把它肯定了，这称为取伪错误．.
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两类错误
实际情况 H0 为真 H0 为假 检 验 结 果 拒 绝 H0 第一类错误 正确 接 受 正确 第二类错误.
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两类错误
在检验问题中，犯“弃真”和“取伪”两类错误都总 是不可避免的． 在样本容量给定的条件下，不能同时控制犯两类错误 的概率： 减小第一类错误的概率 ⇨ 增大第二类错误的概率 减小第二类错误的概率 ⇨ 增大第一类错误的概率.
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两类错误
在检验问题中，犯“弃真”和“取伪”两类错误都总 是不可避免的． 在样本容量给定的条件下，不能同时控制犯两类错误 的概率： 减小第一类错误的概率 ⇨ 增大第二类错误的概率 减小第二类错误的概率 ⇨ 增大第一类错误的概率.
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假设检验
在统计学中，通常控制犯第一类错误的概率．一般事 先选定一个数 α (0 < α < 1)，要求犯第一类错误的 概率不超过 α． 称 α 为假设检验的显著性水平或检验水平．.
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假设检验
在统计学中，通常控制犯第一类错误的概率．一般事 先选定一个数 α (0 < α < 1)，要求犯第一类错误的 概率不超过 α． 称 α 为假设检验的显著性水平或检验水平．.
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两类错误
H0: 今天下雨 H0 为真 H0 为假 检 验 结 果 拒绝 H0 不带伞 第一类错误 全身湿透 正确 风和日丽 接受 H0 带伞 正确 雨中漫步 第二类错误 多此一举.
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假设检验的基本概念
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第一节
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单个正态总体的参数检验
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第二节
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两个正态总体的参数检验
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第三节
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单个正态总体的参数检验
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第二节
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正态总体均值的检验
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A
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正态总体方差的检验
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B
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单正态总体均值的检验
单个正态总体，方差 σ2 已知，检验假设 H0 : μ= μ0 ↔ H1: μ ̸= μ0. 检验方法： 1 检验统计量为 Z := X− μ0 σ/pn ∼ N(0,1)． 2 拒绝域为 |Z| ≥ Zα 2．.
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单正态总体均值的检验
单个正态总体，方差 σ2 已知，检验假设 H0 : μ= μ0 ↔ H1: μ ̸= μ0. 检验方法： 1 检验统计量为 Z := X− μ0 σ/pn ∼ N(0,1)．.
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单正态总体均值的检验
练习 1 假定某厂生产一种钢索，它的断裂强度（单 位：kg/cm2）服从正态分布 N(μ,402)．从中选取一 个容量为 9 的样本，得 = 780．能否认为这批钢索 的断裂强度为 800 (α = 0.05)？.
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单正态总体均值的检验
单个正态总体，方差未知，检验假设 H0 : μ= μ0 ↔ H1: μ ̸= μ0. 检验方法： 1 检验统计量为 T := X− μ0 S/pn ∼ tn−1． 2 拒绝域为 |T| ≥ tn−1(α 2)．.
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单正态总体均值的检验
单个正态总体，方差未知，检验假设 H0 : μ= μ0 ↔ H1: μ ̸= μ0. 检验方法： 1 检验统计量为 T := X− μ0 S/pn ∼ tn−1．.
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单正态总体均值的检验
例 1 某工厂生产 10 欧姆的电阻．根据以往生产的电 阻实际情况，可以认为：电阻值 X 服从正态分布（方 差未知）．现在随机抽取 10 个电阻，测得它们的电阻 值为 9.9, 10.1, 10.2, 9.7, 9.9, 9.9, 10.0, 10.5, 10.1, 10.2. 问，从样本来看，我们能否认为该厂生产的电阻的平 均值 μ = 10 欧姆 (α = 0.05) ？.
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单正态总体均值的检验
练习 2 从新生女婴中随机抽取 20 个，测得平均体重 为 3160 克，样本标准差为 300 克．而根据统计资 料，过去新生女婴的平均体重为 3140 克（假设新生 女婴体重服从正态分布），问现在与过去的新生女婴体 重有无显著差异 (α = 0.05)？.
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单正态总体均值的检验
在实际问题中，根据所关注结果的特征，也会选取 H1 : μ > μ0 或者 H1 : μ < μ0 作为原假设 H0 : μ = μ0 的备择假设．检验时也相应 将拒绝域改为单侧，这样的检验称为单侧检验．.
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单正态总体均值的检验
例如，工厂生产的产品的某项质量指标服从均值为 μ0 的正态分布；采用新技术后，产品的质量指标服从均 值为 μ 的正态分布． 我们关心的问题是：新技术是否给产品的质量指标带 来提升．因此，设定假设为 H0 : μ= μ0 ↔ H1 : μ > μ0..
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单正态总体均值的检验
例如，工厂生产的产品的某项质量指标服从均值为 μ0 的正态分布；采用新技术后，产品的质量指标服从均 值为 μ 的正态分布． 我们关心的问题是：新技术是否给产品的质量指标带 来提升．因此，设定假设为 H0 : μ= μ0 ↔ H1 : μ > μ0..
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单正态总体均值的检验
单个正态总体，方差 σ2 已知，单侧检验 H0 : μ= μ0 ↔ H1 : μ > μ0 (μ < μ0). 检验方法： 1 检验统计量为 Z := X− μ0 σ/pn ∼ N(0,1)． 2 拒绝域为 Z ≥ Zα (Z ≤ −Zα)．.
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单正态总体均值的检验
单个正态总体，方差 σ2 已知，单侧检验 H0 : μ= μ0 ↔ H1 : μ > μ0 (μ < μ0). 检验方法： 1 检验统计量为 Z := X− μ0 σ/pn ∼ N(0,1)．.
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单正态总体均值的检验
单个正态总体，方差未知，单侧检验 H0 : μ= μ0 ↔ H1 : μ > μ0 (μ < μ0). 检验方法： 1 检验统计量为 T := X− μ0 S/pn ∼ tn−1． 2 拒绝域为 T ≥ tn−1(α) (T ≤ −tn−1(α))．.
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单正态总体均值的检验
单个正态总体，方差未知，单侧检验 H0 : μ= μ0 ↔ H1 : μ > μ0 (μ < μ0). 检验方法： 1 检验统计量为 T := X− μ0 S/pn ∼ tn−1．.
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单正态总体均值的检验
例 2 某厂生产一种工业用绳，其质量指标是绳子所 承受的最大拉力．该指标服从均值 μ0 = 15kg 的正态 分布．现在采用一种新材料，从新产品中随机抽取 50 件，测得它们所承受的最大拉力的平均值为 15.8kg， 样本标准差 S = 0.5kg．取显著性水平 α = 0.01．问 从这些样本看：能否认为新材料提高了绳子的质量．.
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单正态总体均值的检验：总结
条件 单个正态总体，方差 σ2 已知 原假设 H0 : μ = μ0 备择假设 μ < μ0 μ ̸= μ0 μ > μ0 统计量 Z = X− μ0 σ/pn ∼ N(0,1).
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单正态总体均值的检验：总结
条件 单个正态总体，方差未知 原假设 H0 : μ= μ0 备择假设 μ < μ0 μ ̸= μ0 μ > μ0 统计量 T = X− μ0 S/pn ∼ tn−1.
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单个正态总体的参数检验
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第二节
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正态总体均值的检验
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A
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正态总体方差的检验
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B
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单个正态总体方差的检验
单个正态总体，检验假设 H0 : σ2 = σ20 ↔ H1: σ2 ̸= σ02. 检验方法： 1 检验统计量为 χ2 := (n−1)S 2 σ02 ∼ χ 2 n−1． 2 拒绝域为 χ2 ≥ χ2 n−1( α 2) 或 χ 2 ≤ χ2 n−1(1 − α 2)．.
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单个正态总体方差的检验
单个正态总体，检验假设 H0 : σ2 = σ20 ↔ H1: σ2 ̸= σ02. 检验方法： 1 检验统计量为 χ2 := (n−1)S 2 σ02 ∼ χ 2 n−1． 拒绝域为 χ2 ≥ χ2 (α) 或 χ2 ≤ χ2 (1 − α)．.
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单个正态总体方差的检验
检验目标 单个正态总体的方差 原假设 H0 : σ2 = σ02 备择假设 σ2 < σ02 σ2 ̸= σ02 σ2 > σ20 统计量 χ2 = (n − 1)S 2 σ2 0 ∼ χ2 n−1.
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单个正态总体方差的检验
例 3 某公司生产的发动机部件的直径服从正态分布． 该公司称它的标准差 σ = 0.048 厘米，现随机抽取 5 个部件，测得它们的直径（单位：厘米）为 1.32, 1.55, 1.36, 1.40, 1.44. 取 α = 0.05，问： (1) 能否认为 σ2 = 0.0482？ (2) 能否认为 σ2 ¶ 0.0482？.
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练习 3 机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从正态 分布，规定每袋标准重量为 500g，标准差不能超过 10g．某天开工后，为检查其机器工作是否正常，从 装好的食盐中随机抽取 9 袋，测量得： = 499g, s2 = 256g2. 问这几天包装机工作是否正常（α = 0.05）？.
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复习与提高：检验假设的选定
H0 和 H1 的地位不是对等的．选择 H0 和 H1 的原则 1 使得后果严重的错误为第一类错误 2 使得 H0 为维持现状，比如“无改进”等 在单侧检验中，通常让 H0 对应含等号的不等式．.
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假设检验的基本概念
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第一节
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单个正态总体的参数检验
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第二节
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两个正态总体的参数检验
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第三节
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两个正态总体的参数检验
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第三节
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两个正态总体均值的比较
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A
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两个正态总体方差的比较
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B
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两个正态总体均值的比较
在应用上，经常会遇到两个正态总体均值的比较问题． 例如，比较甲、乙两厂生产的某种产品的质量．将两 厂生产的产品的质量指标分别看成正态总体 N(μ1,σ12) 和 N(μ2,σ22)．比较它们的产品质量指标的问题，就变 为比较这两个正态总体的均值 μ1 和 μ2 的问题．.
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两个正态总体均值的比较
在应用上，经常会遇到两个正态总体均值的比较问题． 例如，比较甲、乙两厂生产的某种产品的质量．将两 厂生产的产品的质量指标分别看成正态总体 N(μ1,σ21) 和 N(μ2,σ22)．比较它们的产品质量指标的问题，就变 为比较这两个正态总体的均值 μ1 和 μ2 的问题．.
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两个正态总体均值的比较
设 X1,X2,· · · ,Xm 与 Y1,Y2,· · · ,Yn 分别为抽自正态 总体 N(μ1,σ12) 和 N(μ2,σ22) 的样本，记 X 和 S2 1 分别为第一组样本的均值和方差； Y 和 S22 为第二组样本的均值和方差．.
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两个正态总体均值的比较
设 X1,X2,· · · ,Xm 与 Y1,Y2,· · · ,Yn 分别为抽自正态 总体 N(μ1,σ12) 和 N(μ2,σ22) 的样本，记 X 和 S2 1 分别为第一组样本的均值和方差； Y 和 S22 为第二组样本的均值和方差．.
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两个正态总体均值的比较
设 X1,X2,· · · ,Xm 与 Y1,Y2,· · · ,Yn 分别为抽自正态 总体 N(μ1,σ12) 和 N(μ2,σ22) 的样本，记 X 和 S2 1 分别为第一组样本的均值和方差； Y 和 S22 为第二组样本的均值和方差．.
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两个正态总体均值的比较
已知 σ2 1,σ 2 2，检验假设 H0 : μ1 = μ2. 分析：定义统计量 Z := Æ X− Y σ2 1/ m+ σ 2 2/ n . 则 Z 在假设成立的条件下服从 N(0,1) 分布．.
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两个正态总体均值的比较
已知 σ2 1,σ 2 2，检验假设 H0 : μ1 = μ2. 分析：定义统计量 Z := Æ X− Y σ2 1/ m+ σ 2 2/ n ..
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两个正态总体均值的比较
条件 两个正态总体，方差 σ2 1,σ 2 2 已知 原假设 H0 : μ1 = μ2 备择假设 μ1< μ2 μ1 ̸= μ2 μ1 > μ2 统计量 Z = Æ X− Y σ2 1/ m+ σ 2 2/ n ∼ N(0,1) 拒绝域 Z ≤ −Z |Z| ≥ Z Z ≥ Z.
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两个正态总体均值的比较
未知 σ2 1,σ 2 2，但知道 σ 2 1 = σ 2 2 = σ 2，检验假设 H0 : μ1 = μ2. 分析：定义统计量 T := q X− Y (m−1)S2 1+(n−1)S22 m+n−2 · Æ 1 m + 1 n . 则 T 在假设成立的条件下服从 tm+n−2 分布．.
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两个正态总体均值的比较
未知 σ2 1,σ 2 2，但知道 σ 2 1 = σ 2 2 = σ 2，检验假设 H0 : μ1 = μ2. 分析：定义统计量 T := q X− Y (m−1)S2 1+(n−1)S22 m+n−2 · Æ 1 m + 1 n ..
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两个正态总体均值的比较
条件 两个正态总体，方差未知但相等 原假设 H0 : μ1 = μ2 备择假设 μ1 < μ2 μ1 ̸= μ2 μ1 > μ2 统计量 T = X− Y q (m−1)S2 1+(n−1)S22 m+n−2 · Æ 1 m + 1 n.
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例 1 检验 A、B 两种药物的吸收性，挑选 14 名身体 情况相似的患者，并随机指定其中 8 人服用药品 A， 剩下 6 人服用药品 B．服药 2 小时后，病人血液中药 物浓度分别为： A : 1.23,1.42,1.41,1.62,1.55,1.51,1.60,1.76. B : 1.76,1.41,1.87,1.49,1.67,1.81. 假定这两组观测值分别抽自方差相同的两个正态总体， 试在显著性水平 α = 0.10 下，检验病人血液中药物 的浓度是否显著的不同？.
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两个正态总体均值的比较
练习 1 一篇论文中介绍了生产聚乙烯管时，使用某 种熔合方法与否所得产品抗拉强度的数据： 未使用 : m = 10 = 2902.8 s1 = 277.3 使用 : n= 8 y= 3108.1 s2 = 205.9 问在 α = 0.05 时，是否可以认为该方法显著提高了 产品的抗拉强度（假设都服从方差相同的正态分布）？.
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两个正态总体的参数检验
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第三节
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两个正态总体均值的比较
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A
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两个正态总体方差的比较
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B
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两个正态总体方差的比较
设 X1,X2,· · · ,Xm 与 Y1,Y2,· · · ,Yn 分别为抽自正态 总体 N(μ1,σ12) 和 N(μ2,σ22) 的样本，记 S2 1 为第一组样本的方差；S 2 2 为第二组样本的方差．.
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两个正态总体方差的比较
设 X1,X2,· · · ,Xm 与 Y1,Y2,· · · ,Yn 分别为抽自正态 总体 N(μ1,σ12) 和 N(μ2,σ22) 的样本，记 S2 1 为第一组样本的方差；S 2 2 为第二组样本的方差．.
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两个正态总体方差的比较
检验假设 H0 : σ12 = σ22 ↔ H1: σ12 ̸= σ22. 检验方法： 1 检验统计量 F := S21 S2 2 ∼ Fm−1,n−1 2 拒绝域 F ≥ Fm−1,n−1(α 2) 或 F ≤ Fm−1,n−1(1− α 2)．.
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两个正态总体方差的比较
检验假设 H0 : σ12 = σ22 ↔ H1: σ12 ̸= σ22. 检验方法： 1 检验统计量 F := S21 S2 2 ∼ Fm−1,n−1.
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两个正态总体方差的比较
检验目标 两个正态总体的方差 原假设 H0 : σ21 = σ22 备择假设 σ2 1 < σ 2 2 σ 2 1 ̸= σ 2 2 σ 2 1 > σ 2 2 统计量 F = S 2 1 S2 2 ∼ Fm−1,n−1.
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两个正态总体方差的比较
例 2 甲乙两厂生产同一种电阻，现从甲乙两厂的产 品中分别随机地抽取 12 个和 10 个样品，测得它 们的电阻值后，计算出样本方差分别为 S2 1 = 1.40, S2 2 = 4.38．假设两厂生产的电阻的电阻的阻值分别服 从 N(μ1,σ2 1) 和 N(μ2,σ 2 2)，在显著性水平 α = 0.10 下，是否可以认为两厂生产的电阻值的方差： (1) σ2 = σ2; (2) σ2¶ σ2..
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两个正态总体方差的比较
练习 2 在 10 个相同的地块上对甲、乙两种玉米进行 品种比较试验，得如下资料（单位：kg） 甲： 951 966 1008 1082 983 乙： 730 864 742 774 990 1 = 998,s21 = 2653.5; 2 = 820,s22 = 11784. 假定农作物产量服从正态分布，检验这两个总体的方 差是否相等（α = 0.05）．.
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例 3 分别从某年 12 月及 6 月的新生儿中抽取若干 名，测其体重如下（单位：克） 3520 2960 2560 1960 3260 3960 12 月：s2 1 ≈ 505667 3220 3220 3760 3000 2920 3740 3060 3080 2940 3060 6 月：s2 2 ≈ 93956 假定新生儿体重服从正态分布，问体重的方差是否冬 季明显超过夏季（α = 0.05）？.
