基於部份計分之試題關聯結構

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(1)國立臺中教育大學教育資訊與測驗統計研究所碩士論文. 指導教授：李政軒. 博士. 基於部份計分之試題關聯結構. 研究生：廖偉如. 中. 華. 民. 國. 一. ○. 四. 撰. 年. 四. 月.

(2) 謝辭在一個偶然的機會進入了國立臺中教育大學教育資訊與測驗統計研究所的大家庭。已經在社會工作多年的我，再度回到單純的校園。除了彌補過去經濟上不允許而無法繼續就讀之外，更希望能在這次的學習過程中找到更多不同的想法，為自己締造出更多的不可能，讓我格外的珍惜這一段的學習旅程。在這個寬廣的學術領域，發現所裡的每一位老師都非常有才華。在對自己有過多期待下而產生了懼怕，非常感謝李政軒老師在百忙中撥出時間來為我一一說明所裡的學術研究並給了我學習研究的支持與鼓勵，也在我心裡種下了一顆定心丸。幾經思考之後，因為自己學習模式上的不同，決定了自己的研究歷程的指導教授 - 李政軒老師。感謝我的指導教授李政軒老師，除了撥出寶貴時間來指導我之外，隨時隨地也會提點我該注意的地方，讓我受益良多，懵懵懂懂的我也慢慢成長。不僅如此，老師給足了我無限彈性空間，一直配合我的需求，讓我在沒有負擔壓力下學習，能在老師的教導下學習更多學術讓我倍感幸福與感動。我也要感謝許天維教授以豐富的學養協助我修改審閱論文，給了我論文許多的想法及建議，在這過程中給了我寫作不同的想法，一字一句都令我銘感於心。教育資訊與測驗統計研究所所裡的所有優秀的老師，就讀期間你們都給了我最好的學習榜樣，讓我跟著老師們的步伐，大步邁進，深深向您們致上我最深的謝意。這一段時間遇見了許多貴人挺身相助，總是能在我最最需要的時候伸出援手，適時給予我幫助與協助，讓我能在最短的時間內快速補強自己不足之處，心中無限感恩；更謝謝碩士班同學的包容與鼓勵，有著你們我不再顯得孤單無助，讓學習旅程中不僅充滿了快樂歡樂的喜悅，也為我的生活添加了美麗的色彩。你們的小小的幫忙或簡短一句話都能讓我更上一層；也謝謝宜儂學妹的加入，幫我重新. II.

(3) 出題審題，更讓我的研究更加完整。最後我要感謝我的家人，一路走來的支持，並在學習路上無時無刻關心，給我加油打氣，時時協助我工作上的需要及幫忙減輕家庭的負擔，讓我能有更多時間好好學習，帶回更多的學習成果，創造更多不可能的奇蹟。最重要的是給兒子和女兒最好的身教。. 在此向您們獻上我最誠摯的謝意. 廖偉如撰中華民國一○四年四月.

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(5) 摘要目前的研究大都利用順序理論（Ordering Theory, OT）及竹谷誠的試題關聯結構分析法（Item Response Structure, IRS）理論針對二元計分模式進行試題關聯結構分析。許多研究，也已經應用 OT 或 IRS 於教育資料集上進行實證研究，特別是藉由試題關聯結構找出全班或學生個人補強路徑，進行補強教學，以達到「因材施教」的目的。然而，從測驗理論來看，測驗的試題題型包含兩大分類二元計分試題與部分得分試題。然而目前鮮有研究者針對部分得分試題，進行試題間關聯程度分析。故本研究擴展傳統的 IRS 理論，提出一個針對部份計分的 IRS 試題關聯程度決定準則，傳統二元計分的 IRS 準則為本研究提出之部分計分準則的特例。最後利用臺中市某國民小學的六年級一百一十位學生進行分數概念評量，進行實證分析。實驗結果顯示，本研究提出之部份計分試題關聯結構分析法（Partial Credit Scoring Item Relational Structure, PCIRS）可以針對非二元計分的題目有效地且準確地找出試題間的關聯結構。. 關鍵詞：試題關聯結構、二元計分、部分計分。. I.

(6) Abstract Complete test items includes two types of item items, selection-type and supplytype items. In general, selection-type items require the test takers to select from two or more alternatives, and, for each item, only single response is correct. Especially, for the single selection items, they create the greatest probability of guessing. Hence, the testing results in biased estimates of abilities. On the other hand, supply-type item requires test takers to answer the question in the form of a word, sentence, paragraph, or some equations. It is valuable in measuring the test takers’ generalized understanding of the concept with respect to the item. Recently, most researches proposed remedial instruction paths according to the ordering theory and item response theory for dichotomous items. In this study, a partial credit scoring procedure for analyzing the relationships between items was proposed. Moreover, the corresponding remedial instruction paths based on the item relation structure for supply-type items were used to identify the real missing concepts and provided guidelines for teachers of students in remedial curriculums. In the experiment, it explores the number concepts of the elementary school students in grade 6, Taiwan. The participants were 110 grade 6 elementary school students in Taichung city, Taiwan. From the experimental results, the relationship between items based on proposed partial credit scoring procedure can provide more efficient remedial instruction paths.. Keywords: item relational structure, dichotomous, partial credit scoring item relational structure analysis. II.

(7) 目錄摘要 ................................................................................................................................. I Abstract........................................................................................................................... II 目錄 ............................................................................................................................... III 表目錄 ............................................................................................................................ V 圖目錄 .......................................................................................................................... VI 第一章緒論 ................................................................................................................. 1 第一節研究背景與動機 .....................................................................................4 第二節研究目的 .................................................................................................4 第三節研究問題與假設 .....................................................................................5 第四節名詞釋義 .................................................................................................6 第五節研究範圍 .................................................................................................7 第二章文獻探討 ......................................................................................................... 9 第一節分數概念 .................................................................................................9 第二節試題關聯結構圖理論 ........................................................................... 11 第三節閥值對學生知識結構的影響 ...............................................................18 第三章研究方法 ....................................................................................................... 19 第一節研究架構 ...............................................................................................19 第二節研究對象 ...............................................................................................20 第三節研究工具 ...............................................................................................20 第四節研究實例建置 .......................................................................................23 第四章研究結果 ....................................................................................................... 31 第一節學生能力分群 .......................................................................................31 第二節 PCIRS 學生知識 ...................................................................................32 第三節學生補強教學路徑分析 .......................................................................39 第三節學生能力補強差異 ...............................................................................45 第四節真分數與真分數倍節點獨立 ...............................................................45 第五章結論與建議 ................................................................................................... 47 第一節研究結論 ...............................................................................................47 第二節研究建議 ...............................................................................................48. III.

(8) 參考文獻 ....................................................................................................................... 49 中文部分 ............................................................................................................... 49 英文部分 ............................................................................................................... 51 日文部分 ............................................................................................................... 52 附錄 ............................................................................................................................... 53 附錄一九年一貫課程分數概念能力指標 ....................................................... 53 附錄二分數乘法施驗試題 ............................................................................... 54 附錄三學生原始得分表 ................................................................................... 56 附錄四學生施測原始分數轉換等距分數 ....................................................... 59 附錄五一百一十位學生知識節點通過率 ....................................................... 63 附錄六學生補強路徑 ....................................................................................... 69. IV.

(9) 表目錄表 2-2-1 表 2-2-2 表 2-2-3 表 2-2-4 表 2-2-5 表 3-3-1 表 3-3-2 表 3-4-1 表 3-4-2 表 3-4-3 表 3-4-4 表 4-1-1 表附錄 3-1 表附錄 4-1 表附錄 5-1. 試題 j 與試題 k 得分之間的聯合機率 ....................................................13 OT 實例：二元給分模式學生作答反應 ................................................14 OT 實例：二元給分模式四分表.............................................................15 IRS 實例：二元給分模式學生作答反應 ................................................17 IRS 實例：二元給分模式四分表 ............................................................17 Bloom 2001 雙向細目分析表 ..................................................................21 試題型式和教材內容對照表 ...................................................................22 本研究提出之部分給分模式範例 ...........................................................24 根據表 3-4-1 得到的部分給分模式四分表.............................................26 依據概念所開發的試題之部分給分模式範例 .......................................27 本研究提出概念合併之部分給分模式範例 ...........................................28 學生能力分群 ...........................................................................................32 110 位學生在 16 題作答所得之原始分數..........................................56 110 位學生施測原始分數轉換等距分數 ............................................59 110 位學生八個知識節點之通過率 ....................................................63. V.

(10) 圖目錄圖 2-1-1 專家知識結構 ........................................................................................... 11 圖 3-1-1 研究步驟圖 ............................................................................................... 19 圖 3-4-1 試題聯合機率相對應的面積 ................................................................... 23 圖 3-4-2 研究流程圖 ............................................................................................... 29 圖 4-2-1 當閥值為 0.48 時，PCIRS 得到的試題關聯結構 .................................. 33 圖 4-2-2 當閥值為 0.4 時，PCIRS 得到的試題關聯結構 .................................... 33 圖 4-2-3 當閥值為. 026 時，PCIRS 得到的試題關聯結構 .................................. 34 圖 4-2-4 當閥值為 0.14 時，PCIRS 得到的試題關聯結構 .................................. 35 圖 4-2-5 利用 PCIRS 產生的學生知識結構 .......................................................... 36 圖 4-2-6 第 25 號學生知識結構與專家知識結構進行比對圖 ............................. 37 圖 4-2-7 第 25 號學生的知識結構 ......................................................................... 37 圖 4-2-8 專家與學生知識結構進行試題概念比對差異。 ................................... 38 圖 4-3-1 高分群實例一：第 2 號學生知識結構和補強路徑 ............................... 39 圖 4-3-2 高分群實例二：第 56 號學生知識結構和補強路徑 ............................. 40 圖 4-3-3 中分群實例一：第 13 號學生知識結構和補強路徑 ............................. 41 圖 4-3-4 中分群實例二：第 41 號學生知識結構和補強路徑 ............................. 42 圖 4-3-5 低分群實例一：第 25 號學生知識結構和補強路徑 ............................. 43 圖 4-3-6 低分群實例二：第 108 號學生知識結構和補強路徑 ........................... 44 圖附錄 6-1 實例一：第 13 號學生知識結構和補強路徑 .................................. 69 圖附錄 6-2 實例二：第 17 號學生知識結構和補強路徑 .................................. 70 圖附錄 6-3 實例三：第 20 號學生知識結構和補強路徑 .................................. 70 圖附錄 6-4 實例四：第 23 號學生知識結構和補強路徑 .................................. 70 圖附錄 6-5 實例五：第 25 號學生知識結構和補強路徑 .................................. 70 圖附錄 6-6 實例六：第 26 號學生知識結構和補強路徑 .................................. 70 圖附錄 6-7 實例七：第 41 號學生知識結構和補強路徑 .................................. 70 圖附錄 6-8 實例八：第 48 號學生知識結構和補強路徑 .................................. 70 圖附錄 6-9 實例九：第 78 號學生知識結構和補強路徑 .................................. 70 圖附錄 6-10 實例十：第 81 號學生知識結構和補強路徑 ................................ 70 圖附錄 6-11 實例十一：第 104 號學生知識結構和補強路徑 ........................... 70 圖附錄 6-12 實例十二：第 108 號學生知識結構和補強路徑 .......................... 70 圖附錄 6-13 第 13 號學生學生知識結構與專家知識結構進行比對圖 ............ 70 圖附錄 6-14 第 17 號學生學生知識結構與專家知識結構進行比對圖 ............ 70 圖附錄 6-15 第 20 號學生學生知識結構與專家知識結構進行比對圖 ............ 70 圖附錄 6-16 第 23 號學生學生知識結構與專家知識結構進行比對圖 ............ 70 圖附錄 6-17 第 25 號學生學生知識結構與專家知識結構進行比對圖 ............ 70. VI.

(11) 圖附錄 6-18 圖附錄 6-19 圖附錄 6-20 圖附錄 6-21 圖附錄 6-22 圖附錄 6-23 圖附錄 6-24. 第 26 號學生學生知識結構與專家知識結構進行比對圖.............70 第 41 號學生學生知識結構與專家知識結構進行比對圖.............70 第 48 號學生學生知識結構與專家知識結構進行比對圖.............70 第 78 號學生學生知識結構與專家知識結構進行比對圖.............70 第 81 號學生學生知識結構與專家知識結構進行比對圖.............70 第 104 號學生學生知識結構與專家知識結構進行比對圖...........70 第 108 號學生學生知識結構與專家知識結構進行比對圖...........70. VII.

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(13) 第一章. 緒論. 在少子化的衝擊下，學校班級人數漸漸減少，因應經濟的持續發展，學生素質的提升顯得非常重要。因此應該利用每一位學生的潛在想法（Potential Ideas）與多元知識（Multiple Knowledge）（王為國，2001；林奕宏、張景媛，2001；陳彥廷、劉祥通，2001），來提升學生的學習能力，以達到因材施教的效果。但學習並非一帆風順，必定會遇到挫折。因此診斷學生的學習錯誤（Wu, Kuo, & Yang, 2012），是一個非常重要課題。一般而言，測驗後只是針對錯誤題型加以訂正並重複練習，無法針對系統化錯誤及學生迷思（洪素敏，2004）獲得補強，造成學生學習障礙。所以，能由錯誤題型來診斷出學生錯誤結構，再根據錯誤結構找出個人的補強路徑，以解決學生的問題。有效地找到學生的補強路徑即必須了解學生的學習路徑，故學習內容的設計要達到結構化，必須透過學習概念要素之間的關聯，建立符合學習者學習的先後順序。而測驗除了檢核教學外，最重要是能透過測驗，找出學習錯誤地方。將學習者的錯誤概念與專家知識結構進行比對。如此一來，就能分析學生在錯誤學習結構中，試題要素相關聯性，擬出一個屬於個人的補救路徑，進而加以補強，以達到更有效率的施測的方法或工具。在林原宏、陳進春與許天維的詮釋結構模式分析法的應用示例研究中，顯示詮釋結構模式分析法的應用示例（Interpretive Structural Modeling, ISM）的分析法，對於分析教材構造、設計教材內容以及建立學習者的知識概念結構等方面有不少貢獻（林原宏，2004；許天維、林原宏，1997）。近年來，許多的電腦測驗系統已被開發使用於診斷學生學習曲線。但是為了找到一個能精確診斷學生學生知識狀態又可以縮短施測時間的方法是非常具有挑戰。因應時代的不同，教學不再是單一形式，教學測驗著重在適性化及學生的個別化差異。如何在簡短的時間能準確地進行有效的測驗，並提供更完整的學習訊息，是現今教學一大重點。在郭伯臣的知識結構為基礎的適性測驗（Knowledge. 1.

(14) Structure based Adaptive Test, KAST）研究中，以網格搜尋與反覆試驗的適性測驗計算法來進行分析，選擇最佳正確猜測的適性測驗方法。透過專家知識結構來進行命題，可以在簡短的時間內檢測出學生在單元學習上的盲點，透過這樣即時的測驗，即可馬上導正學生迷思概念，對症下藥以達到無死角的教學（Wu et al., 2012）。從測驗理論來看，依教育測驗用途，測驗的試題題型包含兩大分類選擇型試題（Selection-Type Items）與補充型試題（Supply-Type Item）（余民寧，1997，2002；簡茂發，1999）。選擇型試題已提供正確答案選項來讓受試者選擇，所以給分標準僅有答對則得到該題目全部分數；或答錯，則完全得不到任何分數，即得 0 分的情形，這種二元計分法參雜了猜測變因，也產生測驗的不準確性，並無法真正精確瞭解學生的學習狀況。現今的教育有別於以往，不僅要在教學上花心思，而且檢測學生的方式也更加多元。部份給分能提供更多概念組合的作答訊息及測驗試題的排序方法（Masters, 1982；Masters and Wright, 1997），因此部分給分分析理論應運而生。此種理論解決補充型試題需要學生自行作答，作答結果有可能會呈現其中某種概念錯誤或半對半錯的可能性，則所得到的分數會依作答概念對錯比重進行給分，這種部分得分情形，才能完全掌握學生的潛在想法與多元知識。目前試題反應理論（Item Response Theory）（余民寧，2009）與認知診斷模型（Cognitive Diagonosis Anslys）（余民寧，1995；涂金堂，2003）等測驗理論，也已經考慮到部份給分的測驗模型。然而，順序理論（Ordering Theory, OT）（Bart & Krus, 1973）及試題關聯結構（Item Response Structure, IRS）（Lord, 1980）目前大部分都是針對二元計分（Dichotomous）模式進行探討，即只能針對選擇型試題或部分補充型試題（只考慮全對或全錯）進行探討。對於計算題或可以部份給分的題型，鮮有著墨。故本研究，針對 IRS 提出一種簡單的部份給分（Partial Credit Scoring）模式，並藉此來探討試題間的關聯。再透過學生的關聯結構，找出學生個人補強路徑，進行補強教學，以達到「因材施教」的目的（廖偉如、許天維、. 2.

(15) 李政軒，2014）。目前順序理論（Ordering Theory, OT）及竹谷誠的試題關聯結構分析法（Item Relational Structure, IRS）常用來診斷試題之間的順序性的方法（Takeya, 1979）。然而，原始提出的閥值並不完全能符合兩兩試題之間的相關性解釋，也進而影響分析準確性。Liu、Wu 與 Chen（2011）為了找到一個更合適的算法，將閥值設定為定數情況下，進行探討，發現兩試題間無次序性，但相關係數卻是相當高或者試題間的相關係數為 0，兩試題間卻是有次序性…等情況，這種情況是相當不合理，為求分析準確性應更進一步進行探討。也因如此，更應該將眾首皆知的關係結構理論中找出更佳的順序排序方法，但是閥值的限制值是一個固定值，缺乏統計的意義與合理性的標準。所以如果能進行閥值限制值的改進，更有效地分析出試題次序關聯，更提升分析準確與合理性（Liu, Wu, & Chen, 2011；Wu et al., 2012）。 Wu、Kuo 與 Yang（2012）也提出閥值選擇對於試題結構之間的影響，利用網格搜尋與反覆試驗法找出 OT 與 IRS 之最佳閥值。為達成以上目的，本研究選定臺中市某國民小學的六年級一百一十位學生進行分數概念評量，並特別編製一份實作生活題的測驗工具，使試題從傳統選擇型的單一樣式，走向補充型試題，以呼應學生多元化的生活經驗。當然，也能減少紙筆測驗施行過多的現象，也不致於使學生發生厭惡學習的反效果，測驗才可獲得最大的效益。根據本研究提出的部分計分模式，以了解試題關聯性，從而在學生的作答反應中，找出試題與試題間上下位概念之關聯，來分析個人學習結構，建立個人錯誤學習路徑。如此一來，就能從測驗中得知學生在學習上的某種路徑出現狀況，進而針對錯誤學習路徑加以補強，以達到因材施教的目標，使學生能在學習上獲得成就。. 3.

(16) 第一節研究背景與動機在科技環境改變下，現今的教育有別於以往，不僅要利用每一位學生的潛在想法（Potential Ideas）與多元知識（Multiple Knowledge），在教學上仍需花費心思，來提升學生的學習能力，以達到因材施教的效果。針對學習者的檢測與分析方式，也要更加多元化。因此試題的檢測與分析不能只是於測驗後，針對錯誤題型加以訂正和重複練習的功能。應該針對學生系統化錯誤，找出迷思所在，使其獲得補強，以消除學生學習障礙。而「補充型試題」是多元檢測中最為普遍的題型，需要學生自行作答，作答結果有可能會呈現概念的正確、錯誤或半對半錯的多元可能性，若所得到的分數會依作答概念對錯比重進行給分，則可以掌握學生的潛在想法（Potential Ideas）與多元知識（Multiple Knowledge）。但是目前試題分析理論大都仍停留在二元計分法（Dichotomous），如果沿用，則容易參雜了猜測變因，產生測驗的不準確性，無法真正精確瞭解學生的學習狀況。因此部分計分（Partial Credit Scoring）的試題分析理論乃應運而生。. 第二節研究目的本研究旨在試圖建立一種部分計分模式，以了解試題關聯性，從而在學生的作答反應中，找出試題與試題間上下位概念之關聯，來分析個人學習結構，建立個人錯誤學習路徑。如此一來，就能從測驗中得知學生在學習上的某種路徑出現狀況，進而針對錯誤學習路徑加以補強，以達到因材施教的目標，使學生能在學習上獲得成就。目前的研究大都利用（Ordering Theory, OT）及竹谷誠的試題關聯結構分析法（Item Relational Structure, IRS）理論針對二元計分模式進行試題關聯結構分析（Takeya，1982；中內辰哉、Takeya，2006）。許多研究，也已經應用 OT 或 IRS 於教育資料集上進行實證研究，特別是藉由試題關聯結構找出全班或學生個人補. 4.

(17) 強路徑，進行補強教學，以達到「因材施教」的目的。然而，從測驗理論來看，測驗的試題題型包含兩大分類二元計分試題與部分得分試題。然而目前鮮有研究者針對部分得分試題，進行試題間關聯程度分析。故本研究擴展傳統的 IRS 理論，提出一個針對部份計分的 IRS 試題關聯程度決定準則，傳統二元計分的 IRS 準則為本研究提出之部分計分準則的特例。最後利用臺中市某間國小的六年級一百一十位學生進行分數概念評量，進行實證分析。實驗結果顯示，本研究提出之部份計分試題關聯結構分析法（Partial Credit Scoring Item Relational Structure, PCIRS）可以針對非二元計分的題目有效地且準確地找出試題間的關聯結構。試題間的相關性應該有對稱性，但是並不能被用來檢測的試題的順序性。而目前著名的兩個檢測試題順序性的方法，閥值的門檻設定值為固定值，而這個閥值僅用於大規模的數據，但是並不是符合大規模數據區間的數據。在 Liu et al. （2011）的研究中發現高相關的兩試題並沒有順序關係，導致了矛盾，則提出考慮試題及線性關係，閥值門檻值提高能更有效的讓任兩個試題的順序關係分別出來的方法。. 第三節研究問題與假設依照本研究實行目的，可以從下列問題進行探討解決問題：一、如何能透過部份給分的施測方式找出試題次序之關聯性，並能提供更多學生的作答訊息呢？二、是否能從測驗中找出學習者在學習上的某種錯誤路徑，進而從中進行補救教學? 三、如何克服教學者教學重複，解決過程中過多無效補強?. 5.

(18) 第四節名詞釋義本研究依循之相關名詞定義如下：. 壹、選擇型試題「選擇型試題」已提供正確答案選項來讓受試者選擇，所以僅有「答對」或「答錯」的情形。. 貳、補充型試題「補充型試題」需要受試者自行作答，作答結果有可能會呈現其中某種概念錯誤或半對半錯的可能性。. 參、二元計分模式在測驗中，受試學生作答正確的情形下，所得到的分數是該題目的全部分數；若作答錯誤的情形下，則無法得到該題目任何的分數，即表示該試題全錯得到 0 分。所以試題作答結果只有「答對」及「答錯」兩種情形給分。. 肆、部份給分模式在測驗中，受試學生作答完全正確的情形下，所得到的分數是該題目的全部分數；若作答有些許錯誤的情形下，評分者會依據受試學生錯誤概念多寡，給予適當該得分數。. 伍、專家知識結構由學校教學老師與該科目領域的專家，進行教學目標與教材分析，以定義每一個單元的學習重要概念，經過多次討論後決定該單元概念發展的順序和概念要素之間關係，描繪出元素之間的知識結構關係圖（郭伯臣，2004）。專家知識結構可提供作為教學教材編制的參考依據，藉由清楚了解教學過程要先教會下位概念的基礎學習概念後再進行上位概念深入進階的概念（許天維、蔡清斌、鄭百成、曾建維、俞克斌、永井正武，2013；郭伯臣、何政翰，2004）。. 6.

(19) 陸、學生知識結構學生知識結構是在學生學習後，進行學生評量施測，再根據學生測驗作答結果並配合測驗試題的順序關係，而產生試題結構性。所產生的試題結構性，可表示受試學生在該單元學習後的概念發展狀況，透過試題的順序和概念要素之間關係，描繪出元素之間的知識結構關係圖（余民寧、林曉芳、蔡佳燕，2001）。. 第五節研究範圍本研究僅以國小「分數」單元來探討試題間的關聯。以此「分數」單元為本研究範圍來進行所提出的部份計分試題關聯結構分析法，針對非二元計分的題目準確地找出試題間的關聯結構。再透過學生的關聯結構，找出學生個人補強路徑，進行補強教學，以達到「因材施教」的目的。. 7.

(20) 8.

(21) 第二章文獻探討第一節分數概念在我們日常生活中，常常需要分裝東西的時候，分數的概念就是來自於此，在數學科學的教材中也是常見的重要概念。分數概念也與除法、小數、比、百分率等概念均有密切關係，所以可說是在國小階段數學科目的學習，占有相當的份量（教育部，1993，2001）。. 壹、分數相關的研究報告有關國小階段數學分數單元概念的相關研究，許多學者也對分數的概念在不同意義及教學情境下進行探討並提出不同的想法。楊德清、洪素敏（2008）分數補強教學之歷程的研究中提出，分數常見等分概念薄弱、忽略單位量及受整數基模的影響，視分數 a / b 為兩個獨立的數三點的迷思概念。林碧珍（1990）從圖形表徵與符號表徵之間的轉換探討國小學生的分數概念，將分數意義區分成五類。. 貳、本次測驗試題題型之能力指標國民中小學九年一貫課程綱要數學分數單元學習能力指標，從當中可得知國小學生應具備的分數概念、等分概念及單位量概念。學生也能在具體情境中運用等值分數的概念來進行通分，以解決分數的合成、分解及數量間的比較問題。並且建立等值分數概念，及在具體情境中解決分數的分解合成的問題。本次測驗試題題型以能力指標 5-n-07、5-n-08 能用通分做簡單異分母分數的比較與加減，理解分數乘法的意義並熟練其計算，並解決生活中的問題。作為主軸，並續而細分分數乘法的概念，如下：. 9.

(22) （一）整數的真分數倍（二）真分數的整數倍（三）真分數的真分數倍（四）帶分數的整數倍（五）整數的帶分數倍（六）分數的帶分數倍（七）分數連乘來解決生活中的問題（八）乘數與乘數之間的關係來解決生活上的問題. 參、分數乘法知識結構根據學生作答反應結果，概念要素之間上下位關係，來建立學生的知識結構。圖 2-1-1 專家知識結構是根據國民中小學九年一貫課程於九十學年度全面逐年逐步實施，在九年一貫課程綱要數學學習領域的能力指標中，與分數相關的能力指標及學習地圖所建立的專家知識結構（教育部，2001；蔡秉燁，2007）。. 10.

(23) 分數連乘來解決生活上的問題 (12、15). 乘數與乘數和積之間的關係來解決生活上的問題 (5、16). 分數的帶分數倍 (11、14). 整數的帶分數倍(10、13). 帶分數的整數倍 (4、9). 真分數的真分數倍 (3、8). 真分數的整數倍 (2、7). 整數的真分數倍 (1、6). 圖 2-1-1 專家知識結構. 第二節試題關聯結構圖理論目前有二種方法最常被使用來定義試題與試題間的順序性。最早於 1973 年由美國學者 Airasian & Bart 提出的順序理論（Ordering Theory, OT）（林原宏、游森期，2006）；而後 1980 年日本學者竹谷誠曾針對順序理論作改良，並提出試題關聯結構分析法（Item Relational Structure, IRS）（劉湘川、許天維、郭伯臣、胡豐榮，1994；林原宏，2007c；内田大介、佐々木整、Takeya，2002；Takeya，2008）。假設一個測驗中的一位受試者，若其 j 試題的答對率高於 k 試題的答對率，並且 j 試題和 k 試題的答對率具備相當程度的相依時，則 j 試題至 k 試題具有指. 11.

(24) 向關係；則 j 試題為下位概念要素；k 試題為上位概念要素。將測驗上下位概念要素繪出概念要素之間指向的基本關係圖，稱為試題關聯結構圖。假設學生得分矩陣為  X 11 X    21     X N1. X 12 X 22  X N1.  X 1n   X 2n    ( X aj ) N n , X aj  {0, 1} ，      X Nn . 其中 N 為受試者人數；n 為試題數； X aj 第 a 號受試者在第 j 題上的得分； X ak 第 a 號受試者在第 k 題上的得分。試題 j 與試題 k 之關聯，可以由試題 j 與試題 k 得分之間的聯合機率來決定。下面列出了試題 j 與試題 k 得分之間的所有聯合機率，其中 N. 1 N. P( X j  1) .  X aj. P( X j  0) . 與. a 1. 1 N. N.  (1  X a 1. aj. ). 分別代表整體而言試題 j 答對與答錯的比例。相同地， P( X k  1) . 1 N. N.  X ak. P( X k  0) . 與. a 1. 1 N. N.  (1  X a 1. ak. ). 分別代表整體而言試題 k 答對與答錯的比例。聯合機率 A、B、C 與 D 之計算如下：. 1.. 2.. 3.. 4.. 1 A  P( X j  1, X k  1)  N. N. X a 1. B  P( X j  1, X k  0) . 1 N. C  P( X j  0, X k  1) . 1 N. D  P( X j  0, X k  0) . 1 N. aj. X ak. （1）. (1  X ak ). （2）. N. X a 1. aj. N.  (1  X a 1. aj. ) X ak. （3）. )(1  X ak ). （4）. N.  (1  X a 1. aj. 12.

(25) 其中 A、B、C 與 D 分別代表「第 j 題答對且第 k 題也答對之機率」、「第 j 題答對但第 k 題答錯之機率」、「第 j 題答錯但第 k 題答對之機率」與「第 j 題答錯且第 k 題也答錯之機率」。表 2-2-1 試題 j 與試題 k 得分之間的聯合機率試題. 試 k. j. 試. X j 1. 題. k. Xk 1. Xk  0. 總計. A. B. P( X j  1, X k  1). P( X j  1, X k  0). A B  P ( X j  1). C. D. P( X j  0, X k  1). P( X j  0, X k  0). A  C  P( X k  1). B  D  P( X k  0). 題 j. Xj 0. 總計. CD  P( X j  0). 1. 表 2-2-1 為試題 j 與試題 k 得分之間的聯合機率，透過此表可得知試題 j 與試題 k 之試題與試題間的關聯性。. 13.

(26) 壹、順序理論 1970 年美國學者 Airasian & Bart （1973）發現順序理論（Ordering Theory, OT），其概念如下。若. C  P( X j  0, X k  1)  0 ，則「第 j 題答錯但第 k 題答對之機率」非常小，其中 0  的意思為其機率值比 0 大，但相當靠近 0 或等於 0。因此，表示試題 j 到試題 k 有次序性，且試題 j 的概念為下位概念，試題 k 的概念為上位概念。根據 Airasian & Bart 的研究顯示，當 C  P( X j  0, X k  1)   ,   [0.02, 0.04]. 則試題 j 到試題 k 有次序性。. 表 2-2-2 OT 實例：二元給分模式學生作答反應. 學生代碼 a. Xj. 1- X j. Xk. 1- X k. 1. 1. 0. 1. 0. 2. 1. 0. 1. 0. 3. 1. 0. 1. 0. 4. 1. 0. 0. 1. 5. 0. 1. 0. 1. 表 2-2-2 為二元給分 OT 模式學生作答反應，實例中 5 位受試者在題目 j 與題目 k 的模擬作答反應，其中第 1、2、3 位學生答對第 j 題與第 k 題；第 4 位學生答對第 j 題但第 k 題也答錯了；第 5 位學生答錯第 j 題與第 k 題。. 14.

(27) 表 2-2-3 OT 實例：二元給分模式四分表. x k =1. x k =0. x j =1. 0.6. 0.2. 0.8. x j =0. 0. 0.2. 0.2. 0.6. 0.4. 1. 表 2-2-3 為試題 j 與試題 k 得分之間的聯合機率，透過此表可得知試題 j 與試題 k 之試題與試題間的關聯性。 P( X j  0, X k  1)  0 ，表示試題 j 到試題 k 有次序性。k 試題為 j 試題的上位概念試題；j 試題為 k 試題的下位概念試題。. 貳、試題關聯結構分析 Takeya（1991）認為除了利用上述聯合機率計算規則，需考慮兩試題之間的相關程度。為了改善這個問題，Takeya（1991）測驗基本概念要素繪出概念要素之間指向的關係圖，此圖稱為試題關聯結構圖（Item Relation Structure, IRS）。其概念減述如下：. 根據機率的獨立性，若 C  P( X j  0, X k  1)  P( X j  0) P( X k  1)  (C  D)( A  C ) ，. 則試題 k 與試題 j 之間獨立。即若 P( X j  0, X k  1) C   1， ( A  C )(C  D) P( X j  0) P( X k  1). 15.

(28) 則試題 k 與試題 j 之間獨立。反之， P( X j  0, X k  1) C  1 ( A  C )(C  D) P( X j  0) P( X k  1). 則試題 k 與試題 j 之間相依，不獨立。因此 r jk*  1 . P( X j  0, X k  1) P( X j  0) P( X k  1).  1. C ( A  C )(C  D). 可以用來量測兩試題間的相依程度。如果. C  P( X j  0, X k  1)  0 . 且兩試題間高度相依，則 r jk*  1 . P( X j  0, X k  1) P( X j  0) P( X k  1).  1. C  1 。 ( A  C )(C  D). 因此，Takeya 提出以閥值  為 0.5 為標準，若 r jk <0.5，則試題 j 及試題 k 沒有順 *. *. 序關係；反之，若當 r jk >0.5, 則表示試題 j 到試題 k 有次序性，k 試題為 j 試題的上位概念試題；j 試題為 k 試題的下位概念試題。. 16.

(29) 表 2-2-4 IRS 實例：二元給分模式學生作答反應. 學生代碼 a. Xj. 1- X j. Xk. 1- X k. 1. 1. 0. 1. 0. 2. 1. 0. 1. 0. 3. 1. 0. 1. 0. 4. 1. 0. 0. 1. 5. 0. 1. 0. 1. 表 2-2-4 為二元給分 IRS 模式學生作答反應，實例中中為 5 位受試者在題目 j 與題目 k 的模擬作答反應，其中第 1、2、3 位學生答對第 j 題與第 k 題；第 4 位學生答對第 j 題但第 k 題也答錯了；第 5 位學生答錯第 j 題與第 k 題。表 2-2-5 IRS 實例：二元給分模式四分表. x k =1. x k =0. x j =1. 0.6. 0.2. 0.8. x j =0. 0. 0.2. 0.2. 0.6. 0.4. 1. 表 2-2-5 為試題 j 與試題 k 得分之間的聯合機率，透過此表可得知試題 j 與試題 k 之試題與試題間的關聯性。. 17.

(30) rjk*  1 . P( X j  0, X k  1) C 0  1  1 1 P( X j  0) P( X k  1) ( A  C )(C  D ) (0.6  0)  (0  0.2). r jk* >0.5, 則表示試題 j 到試題 k 有次序性，k 試題為 j 試題的上位概念試題；j 試題為 k 試題的下位概念試題。. 第三節閥值對學生知識結構的影響不論是 OT 還是 IRS，閥值對於學生的知識結構影響甚鉅。閥值太小，限制太小，關聯線過多。反之，限制太大，容易造成試題間結無關聯。Liu 利用 IRS 得到的試題間關聯值分布來決定。 Wu et al.（2012）發現閥值對於知識節點之間的關聯影響甚鉅。故採用網格搜尋法與反覆試驗來決定 OT 與 IRS 的最佳閥值。根據其建議，針對 IRS，需完整考慮下面範圍 {0,0.02,0.04,...,1}，透過網格搜尋法與反覆試驗後，才決定最佳閥值與學生的試題關聯結構。Liu et al.（2011）認為 IRS 的閥值 0.5 缺乏統計意義與合理性的標準。該研究利用所有的 IRS 試題關聯值所得到的經驗分布臨界值來當作最佳閥值，並決定學生的試題關聯結構。不管是 Wu et al.（2012）與 Liu et al.（2011）的研究皆告訴讀者，固定閥值並不適用於所有的試題單元或學生的作答反應。故須透過其他的方法，來決定最佳門檻值，這樣閥值數值門檻的改變會比閥值固定來的更加準確且有效。本研究嘗試了這兩種方法於所提出的部分給分試題關聯結構，發現 Liu et al.（2011）利用經驗分布臨界值來決定最佳閥值的做法直接應用到本研究，其試題間之幾乎毫無關聯可言。也就是說，該方法得到的閥值過大，造成試題之間並無關聯。故本研究，將採用 Kuo 提出的網格搜尋法。. 18.

(31) 第三章研究方法第一節研究架構根據九年一貫課程綱要數學學習領域的能力指標、國小數學學習地圖（蔡秉燁，2007）與教材用書來建立本研究分數施測單元之專家知識結構及施測試題編製。不同能力學生進行施測，學生測驗後可得到的學生作答反應之測驗的分數。透過作答反應之所得測驗的部分給分的分數數據，加以進行試題間概念的上下位關聯分析。依據學生施測結果找出學生學習結構，建立學生知識結構及學生個人補救路徑。有了專家知識結構與學生知識結構，即可進行試題與概念之間對應關係比對，並利用所得到的試題關聯及學生個人補救路徑來加以補救，以達到因材施教的效果，如圖 3-1-1 研究步驟圖所示：. 圖 3-1-1 研究步驟圖. 19.

(32) 第二節研究對象本研究採用臺中市某國民小學六年級學生為研究對象，測驗人數共計 110 位學生。主要探討國小六年級學生的分數乘除的數學概念，試題從傳統「選擇型試題」的單一樣式，走向「補充型試題」，以符合學生生活經驗的實作多元化題型來測驗，利用部份給分，找出試題關聯結構並分析相關的數學概念結構圖，以作為教師教學之依據。. 第三節研究工具本考卷以「分數乘法」單元為測驗內容來進行編制，測驗的試題題型包含兩大分類選擇型試題與補充型試題。本次測驗選擇型試題以選擇題和填充題試題，採用二元計分模式；補充型試題以計算題、應用題與實用題類型題目呈現，則採部分給分的方式。然後再由 Bloom 2001 雙向細目分析表進行知識向度與認知歷程向度的題目類別分析，其題號分布如表 3-3-1 Bloom 2001 雙向細目分析表，而試題型式與認知歷程向度關係題號則如表 3-3-2 試題型式和教材內容對照表。本研究開發之試題由依據 Bloom 2001 雙向細目分析表來設計，如表 3-3-1 所示，整份試卷包括了 5 題選擇題，每題配分 5 分共計 25 分，其中 1 題教育目標之認知歷程向度為了解類別，另外 4 題為應用題型類別；應用題共計 7 題，每題配分 5 分共計 35 分，教育目標之認知歷程向度都是應用類別；計算題共計 4 題有 5 個問題，每一個問題配分 8 分共計 40 分，教育目標之認知歷程向度為應用類別。. 20.

(33) 表 3-3-1 Bloom 2001 雙向細目分析表認知目標. 認知歷程向度（配分）. 知識向度. 題數（配分）試題型式. 事實知識概念知識程序知識後設認知知識. 記憶. 了解. 應用. 分析. 評鑑. 創作. 選擇題. 1 4 （5）（20）. 5（25）. 計算題. 7 （35）. 7（35）. 應用題. 4 （40）. 4（40）. 本次根據專家知識結構設計 16 題的測驗試題。選擇題和填充題仍保留以往二元計分方式，共計 12 題，配分 60 分；應用題則採用部分計分方式共計 4 題，配分 40 分。測驗題型依照不同概念來設計，試題 2 與試題 7 為真分數的整數倍概念題型；試題 1 與試題 6 為整數的真分數倍概念題型；試題 4 與試題 9 為帶分數的整數倍概念題型；試題 3 與試題 8 為真分數的真分數倍概念題型；試題 10 與試題 13 為整數的帶分數倍概念題型；試題 11 與試題 14 為分數的帶分數倍概念題型；試題 12 與試題 15 為分數連乘來解決生活中的問題概念題型；試題 5 與試題 16 為乘數與乘數和積之間的關係來解決生活上的問題概念題型，試題型式和教材內容如表 3-3-2 對照表。. 21.

(34) 表 3-3-2 試題型式和教材內容對照表樣式型式題號. 選擇型試題. 選擇題. 填充題補充型試題. 應用題. 知識結構. 配分認知歷程向度. 1. 整數的真分數倍. 5. 應用-執行. 2. 真分數的整數倍. 5. 應用-實行. 3. 真分數的真分數倍. 5. 應用-執行. 4. 帶分數的整數倍. 5. 應用-實行. 5. 乘數與乘數和積之間的關係來解決生活上的問題. 5. 了解-推論. 6. 整數的真分數倍. 5. 應用-實行. 7. 真分數的整數倍. 5. 應用-實行. 8. 真分數的真分數倍. 5. 應用-實行. 9. 帶分數的整數倍. 5. 應用-執行. 10 整數的帶分數倍. 5. 應用-實行. 11 分數的帶分數倍. 5. 應用-實行. 12 分數連乘來解決生活中的問題. 5. 應用-實行. 13 整數的帶分數倍. 8. 應用-實行. 14 分數的帶分數倍. 8. 應用-實行. 15 分數連乘來解決生活中的問題. 8. 應用-實行. 16 乘數與乘數和積之間的關係來解決生活上的問題. 16. 應用-實行. 22.

(35) 第四節研究實例建置本研究改良日本學者竹谷誠的針對二元計分之試題關聯結構分析法（Item Relational Structure, IRS），提出針對部分計分之試題關聯結構分析法，簡述如下圖 3-4-1 試題聯合機率相對應的面積：. 圖 3-4-1 試題聯合機率相對應的面積. 假設學生得分矩陣為 X  ( X aj ) Nn ，其中 N 為受試者人數；n 為試題數； X aj  [0,1] 為第 a 號受試者在第 j 題上的得分，若原始得分不在 0 到 1 之間，則將. 其分數調整在 0 和 1 之間。如圖 3-4-1 所示，在部分計分中， ( xaj , xak ) 則落在單位正方形中。因此，針對第 a 號受試者的得分 ( xaj , xak ) 會將單位正方形分成四個區塊， Aa、Ba、Ca 和 Da。特別是 Ca 的面積即代表第 a 號在第 j 題答錯，但在第 k 題卻得答對的機率。因此在部分計分中：. 23.

(36) （1）（2）（3）（4）. N. N. a 1. a 1. A  P( X j  1, X k  1)  ( X aj X ak ) / N  ( Aa ) / N N. N. a 1. a 1. N. N. a 1. a 1. B  P( X j  1, X k  0)  (  X aj (1  X ak )) / N  (  Ba ) / N C  P( X j  0, X k  1)  ( (1  X aj ) X ak ) / N  ( Ca ) / N N. N. a 1. a 1. D  P( X j  0, X k  0)  ( (1  X aj )(1  X ak )) / N  ( Da ) / N. * * 試題關聯結構順序係數仍定義成 rjk  1  C /(( A  C )(C  D)) 。若 rjk  0.5 ，則試 * 題 j 及試題 k 沒有順序關係；反之，若當 rjk  0.5 , 則表示試題 j 及試題 k 有次序. 性，k 試題為 j 試題的上位概念試題；j 試題為 k 試題的下位概念試題。. 表 3-4-1 本研究提出之部分給分模式範例學生代碼 a. Xj. 1- X j. Xk. 1- X k. 1. 0.9. 0.1. 0.8. 0.2. 2. 0.8. 0.2. 0.7. 0.1. 3. 0.7. 0.3. 0.3. 0.7. 4. 0.2. 0.8. 0.1. 0.9. 5. 0.3. 0.7. 0.2. 0.8. 表 3-4-1 中為 5 位受試者在題目 j 與題目 k 的模擬作答反應，其中第 1 位學生和第 2 位學生答對第 j 題的程度分別為 0.9 和 0.8；其第 k 題答對的程度分別為 0.8 與 0.7。第 3 位學生第 j 題得分不低（0.7）但第 k 題答對的程度不高（0.3），即答錯的程度高達 0.7；其餘 2 位學生在第 j 題與第 k 題的得分都很低。因此，會. 24.

(37) 第 j 題，不一定會第 k 題；第 k 題答對程度高，則第 j 題的分數皆不低。故以上下位概念來看，題目 j 應為題目 k 的下位概念。由表 3-4-1 可以求出第 j 題答對且第 k 題也答對之機率 N. N. a 1. a 1. A  P( X j  1, X k  1)  ( Aa ) / N  ( X aj X ak ) / N 0.9  0.8  0.8  0.7  0.7  0.3  0.2  0.1  0.3  0.2 5  0.314. . 第 j 題答對但第 k 題答錯之機率 N. N. a 1. a 1. B  P( X j  1, X k  0)  ( Ba ) / N  ( X aj (1  X ak )) / N 0.9  0.2  0.8  0.3  0.7  0.7  0.2  0.9  0.3  0.8 5  0.266. . 第 j 題答錯但第 k 題答對之機率 N. N. a 1. a 1. C  P( X j  0, X k  1)  ( Ca ) / N  ( (1  X aj ) X ak ) / N 0.1  0.8  0.2  0.7  0.3  0.3  0.8  0.1  0.7  0.2 5  0.106. . 最後，第 j 題答錯且第 k 題也答錯之機率 N. N. a 1. a 1. D  P( X j  0, X k  0)  ( Da ) / N  ( (1  X aj )(1  X ak )) / N 0.1 0.2  0.2  0.3  0.3  0.7  0.8  0.9  0.7  0.8 5  0.314. . 故其部份給分模式四分表如表 3-4-2 所示。. 25.

(38) 表 3-4-2 根據表 3-4-1 得到的部分給分模式四分表 x k =1. x k =0. x j =1. A=0.314. B=0.266. 0.58. x j =0. C=0.106. D=0.314. 0.42. 0.42. 0.58. 1. 最後，試題關聯結構順序係數為. r jk*  1  C /(( A  C )(C  D))  1 . 0.106  0.399 。 0.42  0.42. 若 r jk*   ，則試題 j 及試題 k 沒有順序關係；反之，若當 r jk*   , 則表示試題 j 及試題 k 有次序性，k 試題為 j 試題的上位概念試題；j 試題為 k 試題的下位概念試題。此方法可以直接推廣用在概念與概念之間的上下位關係，假設試題 1 到試題 3 為根據第 j 個概念所開發的試題；試題 4 到試題 6 為根據第 k 個概念所開發的試題。其 5 位學生的作答反應假設如表 3-4-3 依據概念所開發的試題之部分給分模式範例所示。表 3-4-3 依據概念所開發的試題之部分給分模式範例中，學生在試題 1 到 6 的虛擬作答反應，其中試題 1 到試題 3 為根據第 j 個概念所開發的試題；試題 4 到試題 6 為根據第 k 個概念所開發的試題。. 26.

(39) 表 3-4-3 依據概念所開發的試題之部分給分模式範例學生代碼 a. 試題 1. 試題 2. 試題 3. 試題 4. 試題 5. 試題 6. 1. 0.8. 1. 0.9. 0.8. 0.7. 0.9. 2. 0.9. 0.7. 0.8. 0.6. 0.7. 0.8. 3. 0.7. 0.8. 0.6. 0.4. 0.2. 0.3. 4. 0.3. 0.1. 0.2. 0. 0.1. 0.2. 5. 0.3. 0.4. 0.2. 0.2. 0. 0.4. 因此，我們可以利用試題的平均得分來表示該概念的達成程度。故該 5 位學生在第 j 個概念（ X j ）與第 k 個概念（ X k ）的達成程度，如表 3-4-3 依據概念所開發的試題之部分給分模式範例所示（與表 3-4-1 的結果相同）。其中第 a 位學生在第 j 個概念（ X j ）與第 k 個概念（ X k ）的達成程度即為相對應試題得分的平均。以第 3 位學生為例，其在第 j 個概念（ X j ）的達成程度為. 0.7  0.8  0.6  0.7 。 3. 在第 k 個概念（ X k ）的達成程度為. 0.4  0.2  0.3  0.3 。 3. 表 3-4-4 本研究提出概念合併之部分給分模式範例中學生在試題 1 到 6 的虛擬作答反應，其中試題 1 到試題 3 為根據第 j 個概念所開發的試題；試題 4 到試題 6 為根據第 k 個概念所開發的試題。. 27.

(40) 表 3-4-4 本研究提出概念合併之部分給分模式範例學生代碼 a. Xj. 1- X j. Xk. 1- X k. 1. 0.9. 0.1. 0.8. 0.2. 2. 0.8. 0.2. 0.7. 0.1. 3. 0.7. 0.3. 0.3. 0.7. 4. 0.2. 0.8. 0.1. 0.9. 5. 0.3. 0.7. 0.2. 0.8. 由於表 3-4-4 本研究提出概念合併之部分給分模式範例的數據與表 3-4-1 相同，因此可以利用相同的步驟算出第 j 個概念與第 k 個概念的關聯結構順序係數. r jk*  1  C /(( A  C )(C  D))  1 . 0.106  0.399 。 0.42  0.42. 若 r jk*   ，則第 j 個概念及第 k 個概念沒有順序關係；反之，若當 r jk*   , 則表示第 j 個概念及第 k 個概念有次序性，第 k 個概念為第 j 個概念的上位概念；第 j 個概念為第 k 個概念的下位概念。由於閥值  的設定會影響到概念與概念之間的連結順序，經實驗發現傳統設定的閥值   0.5 並不適用於本研究提出的部份計分之試題關聯結構分析法。另外，經實驗，利用 Liu et al.（2011）提出之 IRS 關聯係數值得到的經驗分布臨界值來當作最佳閥值，閥值數值過大，無法有效得出學生關聯結構。故本研究採用 Wu et al.（2012）提出的網格搜尋法與反覆試驗來決定本研究提出的部份計分之試題關聯結構分析法之最佳閥值。. 28.

(41) 本研究研究流程圖主要依循上述 3-1-1 研究步驟圖為基礎，所設定的標準流程，本研究研究流程如下：. 圖 3-4-2 研究流程圖. 圖 3-4-2 為本研究流程圖，流程是以分年細目表與教學重點概念來建立專家知識結構，再以專家知識結構來進行命題與審題。不同能力學生進行施測後的結果（如圖 3-4-3），再依照專家知識結構訂定的節點來得到概念節點的數據，即各概念的達成率（圖 3-4-4）。最後，利用本研究提出的部分給分關聯結構分析法進行學生的知識結構分析。最後，再搭配學生的作答反應來判斷學生的補救教學路徑。. 29.

(42) 30.

(43) 第四章研究結果本研究旨在試圖建立一種以部份計分試題關聯結構分析法（Partial Credit Scoring Item Relational Structure, PCIRS）針對非二元計分的題目有效地且準確地找出試題間的關聯結構。以了解試題關聯性，從而在學生的作答反應中，找出試題與試題間上下位概念之關聯，來分析個人學習結構，建立個人錯誤學習路徑。如此一來，就能從測驗中得知學生在學習上的某種路徑出現狀況，進而針對錯誤學習路徑加以補救，以達到因材施教的目標，使學生能在學習上獲得成就。研究結果如下：. 第一節學生能力分群本次 110 位學生測得平均分數為 71.7816。將此次施測所測得的分數區分成高分群、中分群、低分群等三群。高分群人數為 37 人，分數為 87 分以上，則分數介於 87〜100 分之間的學生群；中分群的學生群人數為 37 人，分數為施測所得分數介於 65〜86 分之間；低分群學生群人數為 36 人，分數為 65 分以下，則分數介於 0〜64 之間。其 110 位學生能力參照表 4-1-1 學生能力分群。. 31.

(44) 表 4-1-1 學生能力分群能力高分群. 學生編號 1,29,30,56,57,83,84,85,31,32,58,2,3,4,5,33,34,35,59,60,36,61,62,86,. （37 人） 37,87,88,6,38,63,64,65,89,7,39,90,91 中分群. 8,92,66,67,93,40,68,69,94,41,70,71,72,73,95,96,9,42,43,97,10,11,98,. （37 人） 12,74,99,44,13,100,101,14,15,16,45,17,46,102. 低分群. 75,76,77,47,78,103,18,19,104,20,48,105,49,79,21,22,50,23,51,52,53,. （36 人） 80,106,107,24,81,108,25,26,82,109,27,54,110,28,55. 第二節. PCIRS 學生知識. 本研究利用 PCIRS 方法，使用不同閥值進行網格搜尋及反覆試驗所產生的知識節點的關聯圖，閥值從 0 到 1 之間，每 0.02 為一個範圍來做閥值的反覆試驗。發現值對於學生的知識結構影響甚鉅。從所有得到的試題關聯結構圖中，舉出四種不同閥值所產生的知識節點的關聯圖來加以說明。圖 4-2-1、圖 4-2-2、圖 4-23 及圖 4-2-4 等圖形是利用 MATLAB 程式所依據不同閥值所產生的試題關聯圖。當閥值為 0.48 時，PCIRS 得到的試題關聯結構圖中，只有真分數的整數倍與分數連乘來解決生活上的問題的概念有相關聯線外，其他概念產生概念間並沒有關聯性的狀況。如圖 4-2-1 所示：. 32.

(45) 整數的真分數倍. 真分數的整數倍. 真分數的真分數倍. 帶分數的整數倍. 整數的帶分數倍. 分數的帶分數倍. 乘數與乘數和積之間的關係. 分數連乘來解決生活上的問題. 圖 4-2-1. 當閥值為 0.48 時，PCIRS 得到的試題關聯結構. 當閥值為 0.4 時，PCIRS 得到的試題關聯結構圖中，關聯線包含整數的真分數倍、分數的帶分數倍及整數的帶分數倍都與乘數與乘數和積之間的關係來解決生活上的問題概念具有關聯，另外，整數的帶分數倍及真分數的整數倍與分數連乘來解決生活中的問題概念也有相關聯。故發現閥值為 0.4 時所產生的試題關聯結構比閥值為 0.48 時所產生的試題關聯結構關聯線多。當閥值為 0.4 時，PCIRS 得到的試題關聯結構如圖 4-2-2 所示：. 整數的真分數倍. 分數的帶分數倍. 乘數與乘數和積之間的關係. 圖 4-2-2. 整數的帶分數倍. 真分數的整數倍. 真分數的真分數倍. 分數連乘來解決生活上的問題. 當閥值為 0.4 時，PCIRS 得到的試題關聯結構. 33. 帶分數的整數倍.

(46) 當閥值為 0.26 時，PCIRS 得到的試題關聯結構圖中，概念與概念間都有相關聯，關聯性最為恰當也最貼近學生學習模式的學生知識結構。如圖 4-2-3 所示：. 圖 4-2-3. 當閥值為. 026 時，PCIRS 得到的試題關聯結構. 34.

(47) 當閥值為 0.14 時，PCIRS 得到的試題關聯結構圖中，概念與概念間關聯線多。發現，閥值太小，限制太小，所以關聯線過多。如圖 4-2-4 所示：. 整數的真分數倍. 真分數的整數倍. 分數連乘來解決生活上的問題. 帶分數的整數倍. 整數的帶分數倍. 乘數與乘數和積之間的關係. 分數的帶分數倍. 真分數的真分數倍. 圖 4-2-4 當閥值為 0.14 時，PCIRS 得到的試題關聯結構. 35.

(48) 依據 PCIRS 方法所產生的學生知識結構，依據圖 4-2-3 當閥值為 0.26 時， PCIRS 得到最貼近學生學習模式的試題關聯結構圖，再重新繪製的學生知識結構，如下圖 4-2-5 利用 PCIRS 產生的學生知識結構所示。. 乘數與乘數和積之間的關係來解決生活上的問題. 分數連乘來解決生活上的問題. 帶分數的整數倍分數的帶分數倍. 整數的真分數倍. 整數的帶分數倍. 真分數的整數倍. 真分數的真分數倍. 圖 4-2-5 利用 PCIRS 產生的學生知識結構為使教學能更貼近學生學習模式，將 PCIRS 分析所得到之學生試題關聯結構，與專家知識結構進行試題概念比對。專家知識結構是根據老師及專家的教學經驗所建立的教學知識學習過程。教學過程的順序均由題型容易開始教導，進而由易漸漸變難。所以專家知識學習過程通常都是單一縱向方式進行。而學生學習過程會因為學生學習模式的差異而不同，也因如此學生學習過程也較有層次，因而產生所作答試題關聯結構之上位及下位學習過程是多方向橫向方式。. 36.

(49) 分數連乘來解決生活上的問題. 乘數與乘數和積之間的關係來解決生活上的問題. 分數的帶分數倍. 整數的帶分數倍. 帶分數的整數倍. 真分數的真分數倍. 真分數的整數倍. 整數的真分數倍. 圖 4-2-6 第 25 號學生知識結構與專家知識結構進行比對圖乘數與乘數和積之間的關係來解決生活上的問題. 分數連乘來解決生活上的問題. 帶分數的整數倍分數的帶分數倍. 整數的真分數倍. 整數的帶分數倍. 真分數的真分數倍. 真分數的整數倍. 圖 4-2-7 第 25 號學生的知識結構 37.

(50) 比較兩者知識結構比對結果：根據上面兩圖（專家知識結構與學生知識結構是針對第 25 號學生的知識結構進行比對，不難發現根據學生作答訊息所得到的分數的帶分數倍的下位概念包含整數的真分數倍、真分數的整數倍及整數的帶分數倍多方面層次概念。而學生作答訊息在專家知識結構單一縱向學習過程中只有一層的上下位關聯。. 圖 4-2-8 專家與學生知識結構進行試題概念比對差異。資料來源：技職微積分以知識結構為基礎之適性化補救教學系統 Journal of Nan Kai, Vol. 7, No. 1, pp.1-7（2010）. 圖 4-2-8 專家與學生知識結構進行試題概念比對差異，老師與專家教學過程會從易變難，則以單一縱向方式呈現學習過程；而學生會有學習方式上的差異，學習過程較有層次，則以多方橫向方式呈現學習過程（曾炤炫、楊善翔、陳俊東、洪毓庭、林勝雄，2010）。. 38.

(51) 第三節學生補強教學路徑分析利用 PCIRS 方法進行分析研究，其中試題 1 到 12 為二元計分試題，試題 13 與試題 16 為部份計分試題。依據測驗結果所得到之學生試題關聯結構找出試題次序之關聯性，提供學生更多的作答訊息，也能找出學生在學習上某種錯誤路徑，進而從中進行補救教學之用。本節進行學生錯誤節點了解診斷分析。. 壹、高分群學生範例參考圖 4-3-1 第 2 號學生知識結構和補強路徑及 4-3-2 第 56 號學生知識結構和補強路徑. 乘數與乘數和積之間的關係來解決生活上的問題. 分數連乘來解決生活上的問題. 帶分數的整數倍分數的帶分數倍. 整數的真分數倍. 整數的帶分數倍. 真分數的整數倍. 真分數的真分數倍. 圖 4-3-1. 高分群實例一：第 2 號學生知識結構和補強路徑. 39.

(52) 第 2 號學生診斷結果：此圖在簡短的時間能準確提供第 2 號學生更完整的學習訊息。依據結果得知，第 2 號學生完全沒有錯誤節點，所以對本單元該學習的內容已能完全掌握。第 2 號學生的能力為高分群學生，也代表著本身能力高也也應該要很穩定，加上本次測驗題型偏易，依照學生本身的能力應該可以輕鬆學習。. 乘數與乘數和積之間的關係來解決生活上的問題. 分數連乘來解決生活上的問題. 帶分數的整數倍分數的帶分數倍. 整數的真分數倍. 整數的帶分數倍. 真分數的整數倍. 真分數的真分數倍. 圖 4-3-2. 高分群實例二：第 56 號學生知識結構和補強路徑. 第 56 號學生診斷結果：此圖在簡短的時間能準確提供第 56 號學生更完整的學習訊息。依據結果得知，第 56 號學生完全沒有錯誤節點，所以對本單元該學習的內容已能完全掌握。第 56 號學生的能力為高分群學生，也代表著本身能力高也也應該要很穩定，加上本次測驗題型偏易，依照學生本身的能力應該可以輕鬆學習。. 40.

(53) 貳、中分群學生範例參考圖 4-3-3 第 13 號學生知識結構和補強路徑及 4-3-4 第 41 號學生知識結構和補強路徑. 乘數與乘數和積之間的關係來解決生活上的問題. 分數連乘來解決生活上的問題. 帶分數的整數倍分數的帶分數倍. 整數的真分數倍. 整數的帶分數倍. 真分數的整數倍. 真分數的真分數倍. 圖 4-3-3. 中分群實例一：第 13 號學生知識結構和補強路徑. 第 13 號學生診斷結果：此圖在簡短的時間能準確提供第 13 號學生更完整的學習訊息。知識結構錯誤節點有包括分數的帶分數倍、帶分數的整數倍及乘數與乘數和積之間的關係來解決生活上的問題等三個學習節點來進行補救。所以第 13 號學生應從分數的帶分數倍及帶分數的整數倍的下位概念進行概念加強，再補強乘數與乘數和積之間的關係來解決生活上的問題之上位概念釐清。. 41.

(54) 乘數與乘數和積之間的關係來解決生活上的問題. 分數連乘來解決生活上的問題. 帶分數的整數倍分數的帶分數倍. 整數的真分數倍. 整數的帶分數倍. 真分數的整數倍. 真分數的真分數倍. 圖 4-3-4. 中分群實例二：第 41 號學生知識結構和補強路徑. 第 41 號學生診斷結果：此圖在簡短的時間能準確提供第 41 號學生更完整的學習訊息。知識結構錯誤節點有包括整數的帶分數倍、分數的帶分數倍及乘數與乘數和積之間的關係來解決生活上的問題等三個學習節點來進行補救。. 42.

(55) 參、低分群學生範例參考圖 4-3-5 第 25 號學生知識結構和補強路徑及 4-3-6 第 108 號學生知識結構和補強路徑. 乘數與乘數和積之間的關係來解決生活上的問題. 分數連乘來解決生活上的問題. 帶分數的整數倍分數的帶分數倍. 整數的真分數倍. 整數的帶分數倍. 真分數的真分數倍. 圖 4-3-5. 真分數的整數倍. 低分群實例一：第 25 號學生知識結構和補強路徑. 第 25 號學生學生診斷結果：此圖在簡短的時間能準確提供第 25 號學生更完整的學習訊息。知識結構錯誤節點有包括真分數的真分數倍、真分數的整數倍、整數的真分數倍、分數的帶分數倍、分數連乘來解決生活上的問題及乘數與乘數和積之間的關係來解決生活上的問題等學習節點需進行補救。. 43.

(56) 乘數與乘數和積之間的關係來解決生活上的問題. 分數連乘來解決生活上的問題. 帶分數的整數倍分數的帶分數倍. 整數的真分數倍. 整數的帶分數倍. 真分數的整數倍. 真分數的真分數倍. 圖 4-3-6. 低分群實例二：第 108 號學生知識結構和補強路徑. 第 108 號學生學生診斷結果：此圖在簡短的時間能準確提供第 108 號學生更完整的學習訊息。知識結構錯誤節點有包括真分數的真分數倍、整數的真分數倍、分數的帶分數倍、帶分數的整數倍、分數連乘來解決生活上的問題及乘數與乘數和積之間的關係來解圖 4-3-6 低分群實例二：第 108 號學生知識結構決生活上的問題等學習節點需進行補救。. 44.

(57) 第三節學生能力補強差異於第二節中針對高分群、中分群、低分群等三群，將學生區分三群能力範圍與學生知識結構進行分析。本節結果發現，於高分群範例中顯示第 2 號及第 56 號學生能力在學習上均無錯誤節點；中分群範例中顯示第 13 號及第 41 號學生能力在學習上均有三個錯誤節點；低分群範例中顯示第 25 號及第 108 號學生能力在學習上均有六個錯誤節點。由此可見能力為低分群的學生需要進行補強的錯誤節點最多，而能力為高分群的學生需要進行補強的錯誤節點最少。根據結果完全符合學生能力該有的差異。學生也能找到屬於個人的錯誤學習結構，順利進行補救加強，這樣能有效地幫助學生快速補強學生自己的錯誤學習路徑，以達到更有效率的施測。所以就可以在簡短的時間準確地進行有效的測驗，並提供更完整的學習訊息，更能減少紙筆測驗多次的狀況，也能避免導致學生厭惡學習的反效果，並克服教學者教學重複，解決過程中過多無效補強。. 第四節真分數與真分數倍節點獨立本研究中真分數與真分數倍節點獨立，相當奇怪，值得進行一步探討。從本研究所得數據中發現真分數與真分數倍節點整體通過率高，但是從此節點的兩個測驗題目中發現，落在不同能力分群中的 110 位學生，在測驗題目第八題錯誤比例並沒有跟能力分群有關係。落在高分群學生錯誤比例也偏高，透過測驗題目得知，在分數乘法的學習單元，對學生而言只要了解到分數相乘的運算規則，卻在分數倍的概念上是較薄弱，越容易造成老師教學上的盲點，而學生遇到學習上的問題時常直接忽略或跳過。所以無意間發現學生對於真分數與真分數倍節點仍尚未有穩固的概念。. 45.

(58) 46.

(59) 第五章結論與建議第一節研究結論在簡短的時間準確地進行有效的測驗，並提供完整的學習訊息，是測驗的重點。本研究透過部份給分的施測方式找出試題次序之關聯性，提供學生更多的作答訊息。根據作答訊息建立學生學習概念過程，克服教學者教學重複，解決過多紙筆測驗。過程中減少過多無效補強，也避免讓學生產生厭惡學習的反效果。並且能從測驗中找出學習者在學習上的某種錯誤路徑，進而從中進行補救教學。. 本研究可解決第一章所提到的待答問題：一、如何能透過部份給分的施測方式找出試題次序之關聯性，並能提供更多學生的作答訊息呢？提出的 PCIRS 可以根據部份給分的資訊，直接找出試題與試題之間的關聯結構，或概念與概念之間的關聯結構，可以提供授課老師或學生，了解自我的學習路徑。二、是否能從測驗中找出學習者在學習上的某種錯誤路徑，進而從中進行補救教學? 從有效的測驗中，透過學生的作答反應能有效並準確找出試題與試題間上下位概念之關聯，利用試題與試題間上下位概念之關聯來分析個人學習結構，建立個人錯誤學習路徑。有了錯誤學習路徑的完整訊息，就可以根據錯誤結構找出個人的補強路徑，從中進行補救教學。三、如何克服教學者教學重複，解決過程中過多無效補強? 透過學生的補救教學路徑，來進行教學，克服教學者教學的重複，也可避免學生產生厭惡學習的反效果。. 47.

(60) 第二節研究建議 OT、IRS 與提出的 PCIRS 皆屬於關聯式規則（Association Rule Learning）中的特例。然而在商學研究中，使用關聯分析時，會同時考慮 support、confidence 與 lift 三個不同的指標（Agrawal, Imieliński & Swami, 1993 ; Tan, Steinbach & Kumar, 2005），其中 support 指標就類似 OT 的概念，lift 指標類似 IRS 的概念。另外，若要分析試題 j 是否為試題 k 的下位概念，關聯式規則中的 confidence 即為下面條件機率：. Pr( X j  1 | X k  1)   因此，當上述條件機率大於某一個閥值時，代表試題 j 為試題 k 的下位概念。目前測驗領域使用的 OT、IRS 或本研究提出的 PCIRS 都只考慮單一指標，未來可以仿照關聯式規則分析，將所有指標同時考慮，來得到更佳的學生學習路徑。另一方面，在關聯式規則中也有考慮到項目組與項目組之間的關聯，並已經發展相關快速搜尋演算法。這些方法可以直接應用來搜尋試題組（概念）與試題組（概念）之間的關聯結構。最後，在本研究中，利用 Wu et al.（2012）提出的網格搜尋法與反覆試驗來決定部份計分之試題關聯結構分析法之最佳閥值，此方法相當耗時且仍需人工來判定哪一個關聯結構是比較合適的。未來仿照 Liu et al.（2011）提出的方法概念，來自動決定最佳閥值。. 48.

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