高中生學習平面向量素養導向課程之情形

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：. 謝豐瑞. 博士. 高中生學習平面向量素養導向課程之情形. 研究生：陳柏宇. 中華民國. 一0八年. 七月.

(2) 致謝. 終於走到了這一步，最後寫的這篇致謝辭卻是放在論文開頭，彷彿在提醒我碩士學位的結束迎接著下一個嶄新的開始。. 這篇論文能夠完成，首先要感謝我敬愛的指導教授謝豐瑞老師，從進入您門下學習以來您一直支持我的研究方向，在我做得好時不吝讚賞，做不好時也給予建議和鼓勵。您深入淺出的上課方式讓我受益良多，屢次突破研究瓶頸的背後是您在忙碌行程中抽空指導換來的。您不只是我論文的指導者，更是我未來作為一名教師的模範。. 感謝口試委員鄭英豪教授、王婷瑩教授蒞臨指教，點醒我從不同的觀點省思研究的不足之處，讓我有機會再修正使得論文更完整。. 感謝智昇學長、文傑學長協助研究進行；感謝嵐婷學姊、啟台學長、琬嘉學姊、原榮學長在研究的準備階段給予課程設計上的建議；感謝聖懷、怡穎、雅婷、怡萱協助處理口試相關事宜；感謝一起努力的夥伴俊皓、姿霖，有你們一起討論研究進度使我更有動力，藉著彼此間互補的特點互相幫助溫暖了我的這段學習旅途。. 最後，感謝家人在背後作我的後盾、支持我選擇的路、包容我的忙碌，讓我順利完成學業。. I.

(3) 摘要本研究欲探討高中學生學習平面向量素養導向課程之情形，包含學習前後數學素養之展現和新單元數學內容之學習遷移情形。本研究屬質性研究，研究者設計一份課程用學習單，以培養數學素養和平面向量單元內容教學為主要的. 兩個目標，與兩位協助研究進行的原班教師進. 行溝通後，實際進入課堂教學。教學結束後會回收學習單，並從學習單上的內容進行歸納分析。研究樣本為台北市兩所公立高中各兩班，一所學生程度頂尖而另一所為高程度，共 110 位學生。部分研究結果如下：在教學前，不分學校多數學生(約佔六成多)用來表示象棋馬移動的自有表徵為以直線表達移動路徑、以刻度或格子表達長度，並在終端加上箭頭表達方向的擬動態圖像表徵，此表徵與向量的幾何表示法相當接近；而坐標表示法使用人數僅一人。在教學後，所有學生都轉換為使用向量的幾何表示法與坐標表示法，且在單純表示象棋馬移動時幾乎都使用正確。本研究透過學生回答情境題的情形觀察學生數學素養之展現，研究者發現學生使用的證明策略明顯地影響了整體答題狀況，且程度不同的學生所用證明策略差異甚大。頂尖程度的兩班在學習前使用分析證明策略的學生占三成多，學習後占四成多；而高程度的兩班在學習前後使用分析證明策略的學生均不到一成。頂尖程度的兩班教學後使用了向量概念來輔助完成證明的學生約佔五成多，而高程度的兩班則不到一成。主要在情境中進行的教學之後，頂尖程度、高程度學生未經純數學例題示範能正確回答「向量平移概念題」分別約占近九成、五成多；而「向量分解概念題」則視分解的複雜度分別約占五成到八成、二成多至五成。. 關鍵詞：數學素養、平面向量、學習遷移. II.

(4) 目錄第一章緒論 ...............................................................................................................1 第一節研究背景與動機 ....................................................................................1 第二節研究目的與問題 ....................................................................................3 第三節名詞解釋 ...............................................................................................4 第二章文獻探討 .......................................................................................................5 第一節數學素養 ...............................................................................................5 壹、何謂數學素養 ......................................................................................5 貳、數學素養的評量架構 ..........................................................................9 第三章研究方法 .....................................................................................................14 第一節研究架構 ............................................................................................. 14 第二節研究方法與研究設計 .......................................................................... 16 第三節研究樣本 ............................................................................................. 17 第四節研究工具 ............................................................................................. 18 第五節研究流程 ............................................................................................. 26 第六節研究限制 ............................................................................................. 28 第四章研究結果 .....................................................................................................29 第一節學生以自有表徵表達向量概念之情形 ............................................... 29 壹、學生學習向量前所用表徵種類 ......................................................... 29 貳、各類表徵的使用人數 ........................................................................34 參、學習前後表徵轉換之情形................................................................. 40 第二節學生解情境題之情形 .......................................................................... 41 壹、學生採用證明策略之情形................................................................. 42 貳、學生於證明中使用向量概念之情形 ................................................. 50 參、學生解題三步驟與七數學力展現之情形 .........................................56 III.

(5) 第三節學生解數學題之情形 .......................................................................... 65 壹、各數學題答對率之分析 .................................................................... 66 貳、學生使用向量概念解數學題之情形 ................................................. 70 第五章結論與建議 ................................................................................................. 77 第一節結論 .....................................................................................................77 第二節建議 .....................................................................................................80 參考文獻................................................................................................................... 81 附錄 .......................................................................................................................... 83. IV.

(6) 表目錄表 3-3- 1 研究樣本概況……………………………………………………………...17 表 3-4- 1 學習單各題教學內容……………………………………………………...25 表 4-1- 1 A1 班各類表徵使用人數………………………………………………...34 表 4-1- 2 A1 班學習前所用表徵的正確性與完整性……………………………...35 表 4-1- 3 A2 班各類表徵使用人數………………………………………………...35 表 4-1- 4 A2 班學習前所用表徵的正確性與完整性……………………………...37 表 4-1- 5 B1 班各類表徵使用人數………………………………………………...37 表 4-1- 6 B1 班學習前所用表徵的正確性與完整性……………………………...38 表 4-1- 7 B2 班各類表徵使用人數………………………………………………...38 表 4-1- 8 B2 班學習前所用表徵的正確性與完整性……………………………...39 表 4-2- 1 A1 班各層次證明策略的使用人數……………………………………...46 表 4-2- 2 A2 班各層次證明策略的使用人數……………………………………...47 表 4-2- 3 B1 班各層次證明策略的使用人數……………………………………...48 表 4-2- 4 B2 班各層次證明策略的使用人數……………………………………...49 表 4-2- 5 表 4-2- 6 表 4-2- 7 表 4-3- 1 表 4-3- 2. A1 班學生使用向量語言之情形……………………………...…………53 A2 班學生使用向量語言之情形……………………………...…………54 B1 班學生使用向量語言之情形……………………………...…………55 四班學生數學題 1.1 之答對率……………………………………………66 四班學生數學題 1.2 之答對率……………………………………………67. 表 4-3- 3 四班學生數學題 1.3 之答對率……………………………………………68 表 4-3- 4 四班學生數學題 2.1 之答對率……………………………………………69. V.

(7) 圖目錄圖 2-1- 1 Model of Mathematical Literacy…………………………………….……….6 圖 2-1- 2 圖 2-1- 3 圖 2-1- 2 圖 3-1- 1. 數學素養之花………………...…………………………………….……….7 數學素養的實踐之模型……...…………………………………….……….9 七數學力在三步驟中的展現...…………………………………….……...12 研究架構圖...…………………………………….……...............................14. 圖 3-4- 1 圖 3-4- 2 圖 3-4- 3 圖 3-4- 4 圖 3-4- 5. 學習單前言-情境引入部分……………………………………………….18 學習單第一題……………………………………………………………...19 學習單第二題……………………………………………………………...19 學習單第三題……………………………………………………………...20 學習單第四題……………………………………………………………...21. 圖 3-4- 6 圖 3-4- 7 圖 3-4- 8 圖 3-4- 9. 學習單第五題……………………………………………………………...22 學習單第六題……………………………………………………………...22 學習單第七題……………………………………………………………...23 學習單數學題一…………………………………………………………...23. 圖 3-4- 10 學習單數學題二……………………………………………………….....24 圖 3-5- 1 研究流程說明圖..……………………………………………………….....27 圖 4-1- 1 箭頭圖像表徵例一………………………………………………………...29 圖 4-1- 2 箭頭圖像表徵例二………………………………………………………...29 圖 4-1- 3 箭頭圖像表徵例三………………………………………………………...29 圖 4-1- 4 圖 4-1- 5 圖 4-1- 6 圖 4-1- 7 圖 4-1- 8. 箭頭圖像表徵錯誤例……………………………………………………...30 箭頭圖像表徵部分例……………………………………………………...30 無箭頭圖像表徵例一……………………………………………………...30 無箭頭圖像表徵例二……………………………………………………...30 無箭頭圖像表徵錯誤例…………………………………………………...31. 圖 4-1- 9 文字表徵正確例一………………………………………………………...31 圖 4-1- 10 靜態圖像表徵錯誤例……..……………………………………………...31 圖 4-1- 11 靜態圖像表徵例一……………………………………..………………...31 圖 4-1- 12 文字表徵正確例二..……………………………………………………...32 圖 4-1- 13 圖 4-1- 14 圖 4-1- 15 圖 4-1- 16 圖 4-1- 17. 文字表徵正確例三..……………………………………………………...32 多重表徵例一..……………………………………………………...........32 點的坐標表徵例一……………………………………………….............33 向量的坐標表徵例一…………………………………………….............33 A1 班學習前所用表徵之比例………………………………….............34. 圖 4-1- 18 A2 班學習前所用表徵之比例………………………………….............36 圖 4-1- 19 B1 班學習前所用表徵之比例………………………………….............37 圖 4-1- 20 B2 班學習前所用表徵之比例………………………………….............38 VI.

(8) 圖 4-2- 1 學習單第二題之敘述………….……………………………………….….41 圖 4-2- 2 學習單第七題之敘述………….……………………………………….….41 圖 4-2- 3 無意義證明例一……………….……………………………………….….42 圖 4-2- 4 圖 4-2- 5 圖 4-2- 6 圖 4-2- 7. 儀式證明策略例一…………….……………………………………….….42 權威證明策略例一…………….…………………………………………..43 符號證明策略例一…………….…………………………………………..43 歸納證明策略例一…………….……………………………………….….44. 圖 4-2- 8 感官證明策略例一……….…………………………………………….….44 圖 4-2- 9 經驗證明策略例一……………………………………………..………….45 圖 4-2- 10 轉換證明策略例一…………………………………..………………..….45 圖 4-2- 11 轉換證明策略例二…………………………………..………………..….46 圖 4-2- 12 A1 班各層次證明策略的使用人數…………………………………….47 圖 4-2- 13 A2 班各層次證明策略的使用人數…………………………………….48 圖 4-2- 14 B1 班各層次證明策略的使用人數…………………………………….49 圖 4-2- 15 B2 班各層次證明策略的使用人數…………………………………….50 圖 4-2- 16 無使用向量語言例一………………………………………………….....51 圖 4-2- 17 圖 4-2- 18 圖 4-2- 19 圖 4-2- 20 圖 4-2- 21. 無使用向量語言例二………………………………………………….....51 使用向量語言有誤或不完整例一……………………………………….52 使用向量語言有誤或不完整例二……………………………………….52 使用向量語言正確且完整例一………………………………………….53 A1 班學生使用向量語言之情形……………………………………….54. 圖 4-2- 22 圖 4-2- 23 圖 4-2- 24 圖 4-2- 25 圖 4-2- 26. A2 班學生使用向量語言之情形……………………………………….54 B1 班學生使用向量語言之情形……………………………………….55 學生回答內容沒有呈現「形成數學問題」例一……………………....56 某位學生學習前分割棋盤的情形…………………………………..…..57 某位學生學習後分割棋盤的情形………………………………..……..57. 圖 4-2- 27 圖 4-2- 28 圖 4-2- 29 圖 4-2- 30. 學生回答內容沒有呈現「形成數學問題」例二………………..……..58 學生回答內容沒有呈現「形成數學問題」例三……………..………..58 學生回答內容沒有呈現「形成數學問題」例四…………..…………..59 使用分析證明策略的學生推理論述之情形例一………...…..…………59. 圖 4-2- 31 圖 4-2- 32 圖 4-2- 33 圖 4-2- 34 圖 4-2- 35. 使用分析證明策略的學生推理論述之情形例二………...…..…………60 使用分析策略之證明學習前後對比(後)………………………………..61 使用分析策略之證明學習前後對比(前)………………………………..61 使用經驗證明策略的學生在「溝通」數學力上展現不佳例一……….62 於情境中詮釋運用數學步驟得到的結果例一………………………….63. 圖 4-2- 36 沒有於情境中詮釋運用數學步驟得到的結果例一…………………….63 圖 4-3- 1 學習單數學題 1……………………………………………………………65 圖 4-3- 2 學習單數學題 2……………………………………………………………65 VII.

(9) 圖 4-3- 3 四班學生數學題 1.1 之答對率………………………………………….66 圖 4-3- 4 四班學生數學題 1.2 之答對率………………………………………….67 圖 4-3- 5 四班學生數學題 1.3 之答對率………………………………………….68 圖 4-3- 6 圖 4-3- 7 圖 4-3- 8 圖 4-3- 9 圖 4-3- 10 圖 4-3- 11 圖 4-3- 12 圖 4-3- 13 圖 4-3- 14. 四班學生數學題 2.1 之答對率………………………………………….69 難以判定學生使用的解題方法例一……………………………………70 學生將圖像表徵坐標化…………………………………………………71 幾何表徵坐標化時出錯…………………………………………………72 學生使用向量加法的三角形法……………………………………......72 向量加減法未注意方向例一…………………………………………..73 向量加減法未注意方向例二…………………………………………..73 向量加減法受到長度影響例一………………………………………..74 以有向線段符號進行向量分解例一…………………………………..75. 圖 4-3- 15 利用向量平移的性質解題例一………………………………………..75 圖 4-3- 16 利用斜率概念解題例一………………………………………………..76 圖 4-3- 17 利用對角線平分性質解題例一………………………………………..76. VIII.

(10) 第一章緒論. 第一節研究背景與動機根據「國際數學與科學教育成就調查 2015」（Trends in International Mathematics and Science Study 2015，簡稱 TIMSS 2015)之結果，我國學生對數學呈現高成就、低興趣、低信心之情況，雖然測驗當下表現優秀，卻令人不得不擔憂未來會不會每況愈下。另一方面，「學數學有什麼用？」的懷疑聲浪無論作為批評或藉口，都時常在社會輿論、傳播媒體和教育現場出現。在此影響之下，難免發生學生將數學當作一門「考試專用」的知識，不感興趣之外也不利於長久的學習藍圖。事實上，隨著社會演進，數學跟農業、商業、工業、國防、物理、心理學和天文學等重要領域相輔相成，其重要性不言而喻，斷言「學數學無用」顯然是逾越了自己的見識發表不合理的批評。然而，這不代表教育工作者們可以忽視這個現象，因為將這句話生硬的外殼褪去後，藏在其中的是不知道「學數學該怎麼用？」的無助。即將實施的 108 課綱的課程主軸「核心素養」理應是解決此現象的一大方向。「核心素養」指的是個體為了適應現在生活及面對未來挑戰，所應該具備的知識、能力、及態度 (國家教育研究院, 2018)，從字面上來看剛好對應了前述現象中「覺得數學沒有用」、「不知道該如何使用」的問題。然而，仍有第一線教師對新課綱提倡的素養持保留態度，懷疑這麼做學生學習真的會變好嗎？會不會犧牲考試成績？原本就覺得不足的上課時間，現在似乎要注入新元素，會不會使得趕課成為常態？因此，研究者欲探討素養導向課程下，學生的學習情形為何。. 1.

(11) 在國高中數學的眾多單元中，平面向量是個特別的單元，單元中的題目有許多在過去已學過其他解法，但使用向量解往往更有效率，就像是用未來的武器參與過去的戰爭 (單維彰, 2013)。研究者的教學經驗中遇到不少學生雖然形式上使用向量作為解數學題的方法，對其背後基本概念不甚理解卻不在乎。一份對 149 位高程度及中程度學生的研究也指出，有 26%的學生無法分辨純量與向量的不同 (洪志瑋, 2013)。因此研究者選定平面向量單元著手設計素養導向課程。. 2.

(12) 第二節研究目的與問題本研究的研究目的為設計平面向量素養導向課程，並探討在此課程之下，高中生學習平面向量單元之情形。依照研究目的和所設計的課程擬定下列研究問題：. 1. 在學習平面向量單元之前，學生以自有表徵表達向量概念之情形為何？學習後的轉變情形為何？. 2. 平面向量素養導向課程中，學生解情境題之數學素養展現為何？. 3. 平面向量素養導向課程後，學生平面向量概念之學習遷移情形為何？. 3.

(13) 第三節名詞解釋 1. 平面向量素養導向課程：研究者在象棋情境中找到對應的數學概念，例如：象棋的移動以向量表示、連續多次移動則以向量運算表示。以此為基礎布置合適的學習任務，讓學生從情境中形成數學問題，並使用數學描述、解釋、預測現象。. 2. 數學素養：本研究主要採用 PISA(2012)對數學素養的定義：「個人在各種脈絡裡形成、使用、詮釋數學的能力。其中包括了數學推理，以及使用數學概念、程序、事實、工具來描述、解釋、預測現象。數學素養有助於個人作為積極參與、善於反思的公民，了解數學在世界裡扮演的角色，並做出有所依據的判斷與決策。」. 3. 學習情形：指本研究中，學生學習單填寫內容所反映出的學習情形，包含其解情境題時數學素養之展現與解數學題時學習遷移情形。. 4. 學習遷移情形：指學生經過情境中的學習後，將所學概念遷移至解數學題之情形。. 4.

(14) 第二章文獻探討. 第一節數學素養. 壹、何謂數學素養. 按照字面上的意思，「素養」可以簡單的解釋為「平時之修養」。隨著時代演進，每個人所需具備的「平時之修養」也應該隨之調整。對現代人來說使用網路的能力是過去所無法想像的，而在知識較不普及的時代可能以識字為目標，但以現代來說顯然不足夠。聯合國教科文組織 (UNESCO, 2003)認為素養 (literacy)一詞不再只是指讀寫能力，它關係到我們在社會上如何溝通、實踐，也和知識、語言、文化有關聯。各國間對於數學素養的用詞與定義並不一致 (劉柏宏, 2016)，英國的用詞是 numeracy，定義從較早期「不僅指量化推理能力，也須理解科學方法，並對科學成就有些熟悉」 (Crowther, 1959)，到二十多年後重新界定 numeracy 作為教育目標主要有兩項特性：運用數學處理日常生活中的的數字，及理解以數學術語所呈現的資訊 (Cockcroft, 1982)。從前後定義的變化上可以看出，1959 年的定義較著重於以數學理解科學，而 1982 年的定義則是著重於運用數學在日常生活中，後者更適合作為普及教育之目標。美國對數學素養的用詞是 quantitative literacy 和 mathematical literacy， quantitative literacy 指「個人在日常生活與工作的量化情境中，有效處理事務所需具備的技能、知識、信念、傾向、心智習性、溝通能力和問題解決技巧」 (Steen et al.,2001)，構成 quantitative literacy 的十項元素為：1. 對數學的信心 2. 文化欣賞 3. 資料解讀 4. 邏輯思考 5. 決策 6. 情境數學. 7. 數感 8. 實用技. 能 9. 先備知識 10. 符號感知。比對之下可以看出 quantitative literacy 的定義 5.

(15) 涵蓋了 numeracy，並多出了情意面的部份。另一位美國學者提出數學素養(Mathematical literacy)的擬動態模型 (Pugalee, 1999)，如圖 2-1- 3，模型由兩個動態的迴圈構成，內層迴圈代表數學素養的賦能(enablers)，包含科技(Technology)、價值(Values)、與溝通(Communication)，而外層迴圈代表數學素養的展現，包含表徵使用(Representing)、操作 (Manipulating)、推理(Reasoning)、和解題(Problem Solving)，兩層迴圈會形成交叉作用。此模型所包含的元素是和 quantitative literacy 的十項元素類似的，主要差別在於此模型將構成元素區分為內隱和外顯兩類，由內層元素驅動著外層元素展現。. 圖 2-1- 3 Model of Mathematical Literacy (Pugalee, 1999). 丹麥學者 Mogens Niss 對數學素養的用詞是 Mathematical Competence，指的是「在各式各樣數學內部的或外部的、數學可扮演一角的情境脈絡中，理解、判斷和使用數學的能力」 (Niss M. , 2003)。而 Mathematical Competency 是 Mathematical Competence 中可明確辨識的要素，共有八個並分為兩類： (一)與數學相關的問答 1. 數學式的思考 2. 數學佈題與解題 3. 數學建模 4. 數學推理 6.

(16) (二)用數學語言和工具處理問題 1. 使用表徵 2. 處理數學的符號與形式 3. 運用數學溝通 4. 利用輔助工具. 如圖 2-1- 4，這八項要素串成數學素養之花 (Niss M. , 2011). 圖 2-1- 4 數學素養之花. 聯合國下的經濟合作暨發展組織 OECD (Organisation for Economic Cooperation and Development) 所籌劃的國際學生能力評量計畫 PISA(the Programme for International Student Assessment)對數學素養提出的定義廣泛被各國接受，其定義為 (PISA, 2012)：. 個人在各種脈絡裡形成、使用、詮釋數學的能力。其中包括了數學推理，以及使用數學概念、程序、事實、工具來描述、解釋、預測現象。數學素養有助於個人作為積極參與、善於反思的公民，了解數學在世界裡扮演的角色，並做出有所依據的判斷與決策。(p.25) 而國內學者李國偉等人以此為基礎，並配合十二年國教之需求將定義闡述如下 (李國偉、黃文璋、楊德清、劉柏宏, 2013)： 7.

(17) 數學素養的核心內涵應指個人的數學能力與態度，使其在學習、生活、社會、與職業生涯的情境脈絡中面臨問題時，能辨識問題與數學的關聯，從而根據數學知識、運用數學技能、並藉由適當工具與資訊，去描述、模擬、解釋與預測各種現象，發揮數學思維方式的特長，做出理性反思與判斷，並在解決問題的歷程中，能有效地與他人溝通觀點。 (p. 19). 雖然各國之間並未統一數學素養的用詞和定義，但仍可以找到不少相似之處：將數學運用於生活中、範疇不僅能力也牽涉到對數學的態度、解題之外利用數學做判斷和有效地溝通。. 8.

(18) 貳、數學素養的評量架構. 前一節已經探討了數個國家的學者對於數學素養的定義，並找出其中共同之處和 PISA 被廣泛接受的版本，但是這些定義難以用來對數學素養的展現作評量，也就不易達到本研究的目的-探討素養導向課程下學生的學習情形。而 PISA 本身就是一個評量計畫，其對數學素養的實踐提出一個模型 (PISA, 2012)：. 圖 2-1- 5 數學素養的實踐之模型. 如圖 2-1- 5，外層方框指的是來自現實世界情境的挑戰，其中情境類型可分為個人的、社會的、職業的、和科學的；數學內容則可分為數量、數據與不確定性、變化與關係、空間與形狀。最內層的方框是一個建模的循環，描述的是從情境中的問題形成數學問題、對數學問題運用數學得到數學上的結果、對學上的結果加以詮釋成情境中的結果、再將情境中的結果套回情境問題並評估 9.

(19) 之。而中間的方框是闡述內層的建模循環用到的三個步驟(process)和七個基本數學力(capacity)，分別解釋如下：解題三步驟： 1. 形成數學問題 (Formulate)：對應建模循環的第一個箭頭，個體辨識出使用數學的機會，並提供一個情境問題的數學結構。 2. 運用數學解題 (Employ)：對應建模循環的第二個箭頭，使用數學概念、事實、過程、和推理解題以取得數學上的結果。 3. 詮釋結果 (Interpret)：對應建模循環的第三及第四個箭頭，將數學上的結果在情境中詮釋，並且評估是否適用於情境問題。. 七個數學力： 1. 溝通 (communication)：包含人與情境之間，及人與人之間的溝通。人於情境之間的溝通即理解題意，閱讀、解碼、解讀敘述、任務、問題或物件使個體能形成心智模型。在解題過程中，中途的成果可能需要被統整或報告。找到答案後，解題者可能需要向他人報告、解釋、或證明。. 2. 數學化 (mathematising)：直接翻譯為數學化可能會令人誤解此數學力專指將情境問題形成數學問題之能力(包含結構化、概念化、做假設、形成模型)。然而按照原文，此數學力還包含了詮釋或評估數學上的結果或模型與原問題的關係、以及基本的數學活動。研究者認為這敘述幾乎涵蓋了整個建模循環，或許是因為在談論數學素養，將 mathematising 定義地太侷限也不妥。. 3. 使用表徵：選擇、詮釋、轉換和使用多樣的表徵以描繪物件或情境。表徵包含圖像、表格、圖表、方程式、具體物等。 10.

(20) 4. 推理及論述：包含透過邏輯思考過程探究和連結問題中的元素並作出推論、提供或驗證已給出的論述。 5. 構思策略：選擇或精心構思用數學解題的策略或計畫。 6. 使用符號、正式術語、和運算：包含在數學情境中以數學常規理解、詮釋、操作、和利用符號表示式。 7. 使用數學工具輔助：數學工具包含物理性工具如測量儀器、也包含計算機等的科技產品。. 11.

(21) PISA(2012)將上述的解題三步驟與七個基本數學力再交織成二十一個細項，如：. 圖 2-1- 6 七數學力在三步驟中的展現 (PISA, 2012). 這個模型是 PISA 對於「學生作為活躍解題者」的其中一個核心觀點 (PISA, 2012)。雖然模型中看似有固定的步驟，但不必然要用到每一個步驟，尤其是作為評量中的情境，例如我們可以直接操作圖像或方程式等表徵就直接得到答 12.

(22) 案。而此模型展示和後續闡述時的順序也不全然代表實際解題的順序，解題者可能在步驟之間游移或回頭再訪先前的決定。. 13.

(23) 第三章研究方法. 第一節研究架構本研究之研究目的為探討素養導向課程下高中生學習平面向量單元之情形，包含學生素養之展現及學習遷移情形，依此發展研究架構圖如下：. 圖 3-1- 1 研究架構圖. 14.

(24) 研究架構圖主要分成三個部分：素養導向課程、數學素養之展現、學習遷移情形，說明如下： (一)素養導向課程：由研究者設計課程用學習單，其中包含平面向量單元的教學和學生自行作答的情境題、數學題。詳細的課程內容在第四章-研究工具再進行報導。 (二)數學素養之展現：研究者透過課程學習單上的情境題，觀察並分析學生數學素養之展現。分析架構參考 PISA(2012)提出的解題三步驟(Mathematical processes)與七數學力( Mathematical capabilities)，再依照課程中的情境題特性與實際解題情形作調整。解題三步驟即研究架構圖左下角方框中的形成數學問題、運用數學、詮釋結果。左下角方框中的四個圓圈為七數學力之四，按照順序對應為 C1-溝通、C2-數學化、C3-表徵、C4-推理及論述、C5-構思解題策略、C6-使用符號、正式術語、和運算、C7-使用數學輔助工具。研究架構圖中由三步驟與四個數學力組成的小圖為研究者預想要觀察並分析的重點，沒出現在圖中不代表解此情境題無需該數學力，實際上只有 C7 與此情境題較無關聯。連接步驟與數學力的細線指研究者預想要觀察並分析該數學力展現的時機，如在形成數學問題、運用數學階段觀察學生表徵的使用，在運用數學階段觀察學生推理及論述、使用符號、正式術語、和運算，在形成問題與運用數學之間觀察學生構思策略之情形。而研究者認為「溝通」較難以客觀分析，「數學化」則是牽涉廣泛會涵蓋到其他數學力，因此並未放在主要架構中。 (三)學習遷移情形：研究者透過課程學習單上，由學生於情境中學習後未經例題示範自行作答的數學題，觀察並分析學生學習遷移情形。其中牽涉的主要概念按照南一版高中數學課本之節次分為向量表示法、向量加減法和係數積，分別包含向量的基本概念、反向量、向量相等與向量運算性質、向量分解。. 15.

(25) 第二節研究方法與研究設計本研究之研究目的為探討素養導向課程下高中生學習平面向量單元之情形，屬於質性研究。本研究利用課程學習單蒐集非結構化的資料，進行歸納分析( inductive analysis)。由研究者設計一份素養導向課程及課程用學習單，與兩位現職高中教師溝通課程內容後，實際進入課堂教學，並回收學生所填寫的學習單作為資料。兩位不同校的原班教師各有兩個班級配合研究，均分別由研究者及原班教師對一個班級教學(研究者對兩校各一個班級教學，兩位教師各對一個班級教學，共四個班級參與研究)。此分配為與原班教師討論的結果，並非實驗組、對照組之設計。研究者原意為都由原班教師進行教學，因為對學生來說面對不熟悉的教師與不熟悉的課程模式，可能較難適應進而影響學習單填寫內容。而原班教師表示此課程也非他們熟悉的模式，希望由最熟悉課程的研究者進行教學。最終權衡之下，便以折衷方式進行。由於學習單設計的關係，由學生自行作答的部分可分為情境題和數學題兩類，回收的資料均屬質性。對於情境題，研究者從學生填寫內容觀察浮現出的組型，並輔以量的分析整體學習情形。對於純數學題，研究者先對各題統計答對率大致掌握學生學習情形，再就學生填寫的解題過程進行質的分析，探討課程中數學概念的學習遷移情形。. 16.

(26) 第三節研究樣本本研究採方便取樣，由於研究者非現職教師，而研究中用的素養導向課程又非多數教師上課所習慣的，因此選取兩位願意保持開放心態並與研究者溝通、配合的現職教師，所任教的共四個班級進行研究。研究中用的課程適合尚未學習平面向量單元的學生，按照高中數學課綱，平面向量單元在第三冊，也就是高二學生的學習內容。然而其中一位現職教師表示，該校學生多數有超前學習，因此不適合選取高二班級，改由高一班級參與研究。兩所學校皆為台北市的公立高中，其中一所學生程度頂尖，學生入學時 PR 值大約為 98，以下簡稱 A 校；另一所學生程度高，學生入學時 PR 值大約為 89，以下簡稱 B 校。A1 班級由研究者授課，回收的有效樣本為 35 份、A2 班級由原班教師授課，回收的有效樣本為 34 份；B1 班級由研究者授課，回收的有效樣本為 18 份、B2 班級由原班教師授課，回收的有效樣本為 23 份。總共回收 110 份有效樣本。無效樣本之判定：1. 學習單上教學部分幾乎空白或填寫內容與教學無關。 2. 教學部分有一半以上空白或填寫內容與教學無關，且學生填答部分扣除兩題證明題仍有一半以上空白。符合上述兩點其中之一即視為無效樣本；其餘均為有效樣本。表 3-3- 1 研究樣本概況. 學校班級. 學生程度. 授課者. 有效樣本數. A1. 頂尖. 研究者. 35. A2. 頂尖. 原班教師. 34. B1. 高. 研究者. 18. B2. 高. 原班教師. 23. 17.

(27) 第四節研究工具本研究的研究工具為素養導向課程之學習單，課程中涵蓋的數學內容大約為南一版高中數學第三冊 3-1「平面向量的運算」的前半段「向量表示法」、「向量的加減法與係數積」(p.144~p.160)，其中「零向量」、「單位向量」由於情境布置的因素沒有提及。按照南一版教師手冊的建議，「平面向量的運算」教學時數為 4~5 節，本研究課程涵蓋內容所占篇幅約 3-1 整節的一半，考慮到後半段的「分點公式」、「向量的線性組合」、「直線參數式」內容較抽象，因此本研究將課程控制在兩堂課內結束。教學日期在第二次期中考後的第一次上課，第一堂課的前段由原班教師發期中考考卷，實際教學時間約為 70~80 分鐘。本研究的平面向量素養導向課程以培養學生數學素養與平面向量單元數學內容並重為目標，其中培養學生數學素養的方式為佈置適當的學習任務，讓學生有展現數學素養的機會，累積將數學知識運用於情境脈絡中的經驗。另一方面，在選定的情境中找到與數學概念的相對應的事、物、或操作，編排於課程使學生學習時可以從情境中較具體的操作漸漸抽象化形成數學概念。本研究設計之課程大致可分為「情境引入」、「情境題」、「向量表示法教學」、「向量加減法及性質教學」、「數學題」五個部分，課程用學習單共有九大題，以下將逐題說明：如圖 3-4- 1，本研究課程選用的情境是象棋，並以象棋馬是否能走遍棋盤上的位置作為主題。. 圖 3-4- 1 學習單前言-情境引入部分 18.

(28) 在前言階段，教師將說明象棋基本規則以防有學生不清楚規則，影響到後續作答，同時也能讓學生感受為什麼只討論「馬」能否走遍棋盤。在說明各棋子的移動方式時，教師僅在投影幕上的棋盤模擬拿取跟放下棋子的動作，並不另外用任何表徵，目的為不影響接下來學習單第一題學生的作答。如圖 3-4- 2，學習單上的第一題由學生自行作答，讓學生以自有表徵表達象棋馬的移動。另外，後續教學介紹向量的兩種表示法之後，學生也能比較跟自有表徵的異同處。研究者將藉由此題觀察學生使用表徵之數學力。. 圖 3-4- 2 學習單第一題. 如圖 3-4- 3，學習單第二題為情境題，由學生自行作答並且說明原因。學生可以利用學習單最後一頁附的棋盤與教師發放的硬幣實際操作，並進一步思考整理後進行回答。研究者將藉由此題觀察學生數學素養之展現。. 圖 3-4- 3 學習單第二題. 如圖 3-4- 4，學習單第三題為向量表示法教學部分，安排在此題講解的數學內容有以下幾點： 1. 幾何表示法與坐標表示法：教師將用向量的幾何表示法表達象棋馬從固定一點的八個移動方式，再介紹對應的坐標表示法，並解釋與點的坐標表徵重複的問題。說明表徵所傳達的「方向」、「大小」兩個概念。 19.

(29) 2. 反向量的概念：教師藉由馬的八種移動可看為四組，每組內兩種移動長度相同、方向相反，則稱它們互為反向量。 3. 向量的相等：教師藉由象棋馬從不同點出發，但移動同一個向量作為例子，向學生解釋何謂向量的相等。由此延伸出向量平移後「方向」、「大小」仍相等，故與原向量為同一向量。此概念為後續教學向量加法的三角形法之基礎。另一方面，從情境中找出重要元素以表徵表達，釐清元素之間的關聯，例如將棋盤視為坐標、將象棋移動視為向量並識別相同與相反的向量，即為初步地建模。也就是說教師教學的過程中除了講述新單元內容之外，同時示範著從情境中形成數學問題。. 圖 3-4- 4 學習單第三題. 如圖 3-4- 5，學習單第四題為向量加法及其性質的教學部分。教師指示學生將象棋馬移動到指定位置，並記錄於學習單。此題可以從學生發表第二題覺得難以走到的位置中挑選，或使用預先準備的三個指定位置，分別便於教學的數學內容為：. 20.

(30) 圖 3-4- 5 學習單第四題. 1. 向量加法：使用指定位置(4,4)，即起點右上方的位置，象棋馬移動兩步即可到達。棋盤上連續移動兩步，對應到數學中為向量加法。按照直觀的寫法，起點 A(3,3)+(2,-1)+(-1,2)=(4,4)終點 B，學生可能覺得看起來易懂且合理，但此時表徵混用有些代表點、有些代表向量，因此需介紹位置向量，並以類似想法寫出 ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4-3,4-3)=(1,1)=(2,-1)+(-1,2)，解釋數學上正確的用法。教師在算式旁畫出 𝐴𝐵 對應的幾何表示法，並講述向量加法的三角形法/平行四邊形法。. 2. 向量加法的交換律：使用指定位置(6,5)，按照操作結果紀錄， (6-3,5-3)=(3,2)=(1,2)+(1,-2)+(1,2)，此時教師拋問；若調換象棋馬移動的順序，對結果會有影響嗎？之後講述向量加法的交換律。使用向量的坐標表示法講解完畢之後，改用幾何表示法操作，平移改變向量先後順序，發現結果仍然相同。. 3. 向量的係數積：使用指定位置(5,10)，在棋盤上為對方將軍的位置，需要五步才能走到。(5-3,10-3)=(2,7)=(1,2)+(-2,1)+(2,1)+(-1,2)+(2,1)，由於以向量表示法紀錄算式會有一長串，因此教師講述係數積將相同向量以係數表達。此題延續上一題，將情境中連續移動以向量的加法、係數積表示，與情境問題更深一層切合之外，也顯現數學表徵具簡潔清楚且方便操作的特性。. 如圖 3-4- 6，學習單第五題為向量的減法教學部分，向量減法在情境中的對應較不直接，講述時需要更加注意學生反應。依照題意，若學生直接將象棋馬從終點走回起點，在數學中相當於利用反向量概念，把(2,-1)+(-1,2)=(1,1) 中的 21.

(31) ⃑⃑⃑⃑⃑ 也就能走𝐵𝐴 ⃑⃑⃑⃑⃑ ，並非向量的減係數都加上負號。從結果來看代表象棋馬能走𝐴𝐵 法。因此從終點往回走時，想像是按下悔棋按鍵(所對應的數學內容是向量加法消去律)，先往回移動一步就停下來觀察。原本是 (2,-1)+(-1,2)=(1,1)，按一次悔棋後消去最後一步，變成 (2,-1)=(1,1)+ -(-1,2)=(1,1)-(-1,2)，講述向量減法相當於加上反向量。最後再以幾何表示法操作一次與坐標表示法對應。. 圖 3-4- 6 學習單第五題. 如圖 3-4- 7，學習單第六題為情境中的練習題，由學生自行作答，目的為讓學生熟練第三題到第五題所學。向量在這裡扮演的角色為使用坐標表示法、加減法性質、係數積來記錄象棋馬的移動過程，在沒有棋盤的情況下是比較簡潔清楚的方式。若有學生嘗試不在棋盤上操作，試圖直接解出四個向量分別的係數，可能會發現未知數有四個，相較於能列出的兩條方程式，無法解出唯一解 (實際上也非唯一解，因為四個向量並非線性獨立)。原本這個問題搭配課程主題 -象棋馬能不能走遍棋盤，為研究者設計將數學內容延伸至「線性組合」概念，然而礙於時間限制，考量後並未放在本次研究的課程中。. 圖 3-4- 7 學習單第六題. 22.

(32) 如圖 3-4- 8，學習單第七題問題與第二題是一樣為情境題，由學生自行作答。經過了前面幾題學生又多試了幾個位置，應該都會猜測結論是可以的，但每個點一一去試顯然不具效率，因此仍希望學生再深入思考。研究者將從此題分析學生經過學習向量後的素養展現，觀察重點為學生是否有意圖及能力將新學的向量語言使用於證明中，使用的程度為何。. 圖 3-4- 8 學習單第七題. 如圖 3-4- 9，學習單數學題一由學生自行作答，參考南一版高中數學第三冊 (p.157)，並稍作修改。此題牽涉的數學概念為向量加減法、向量分解。由於本研究課程前段在情境中的教學很可能比多數老師講解同一段內容時用掉更多時間，壓縮到後續教師的例題示範，因此研究者將由此題觀察學生學習遷移情形，欲得知學生經過前段情境中的學習後，解課本中純數學題之情形。由於此題不像前面教學時均在棋盤上能很明顯地對應到直角坐標系，學生在這六角形上使用向量概念須經過學習遷移。. 圖 3-4- 9 學習單數學題一. 23.

(33) 如圖 3-4- 10，學習單數學題二由學生自行作答，選自南一版高中數學第三冊(p.148)，佈題原因同前段所述。此題牽涉概念為向量的相等，雖然難度較低，但對於向量加法的三角形法/平行四邊形法相當重要，因此仍編排於學習單中。. 圖 3-4- 10 學習單數學題二. 24.

(34) 表 3-4- 1 學習單各題教學內容. 題. 預估時間教學大綱、對應的教材內容. 號前. (分) 無對應的教材內容。教師引起動機、大致介紹象棋規則並針 7. 言. 對棋子走法作示範。楚河漢界那列須向學生解釋。. 一. 無對應的教材內容。讓學生自由使用表徵。. 5. 二. 無對應的教材內容。讓學生寫下對情境題的想法。. 8. 介紹向量的幾何表示法、坐標表示法、反向量、向量相等。三. 10 解釋「坐標表示法」和「象棋放置位置」表徵重複的問題向量加法(坐標、幾何)、位置向量、交換律、係數積. 四. 20 ---------------------第一節課結束-------------------. 五. 向量減法(坐標、幾何)、向量加法的消去律. 10. 六. 此題由學生探索，內容為第五、六、七題的統整。. 10. 此題由學生探索。教師講解前需收回學習單或提醒學生不要七. 10 更改答案。. 八純數學題，測驗學生從情境中的學習是否能解決課本例題。九. 25. 15.

(35) 第五節研究流程本研究的研究流程可以分為三個階段：準備階段、教學階段、資料分析與論文撰寫階段。一、準備階段 1. 閱讀數學素養相關文獻。 2. 研擬課程設計草稿。 3. 與專家小組討論，吸取建議並修訂版本。 4. 與配合的原班教師討論課程及實際進行方式。. 二、教學階段研究者到兩所學校共四個班級，與原班教師分別進行教學。教學內容以研究者設計的課程為主，發放每位學生一張學習單和一個硬幣(讓學生動手在棋盤上操作)，並提供課程用的投影片避免授課教師在畫圖上花費太多時間。研究者會在教室後方架設攝影機錄影，以便後續分析時回顧教學情況。. 三、資料分析與論文撰寫階段研究者先將收回的學習單做有效樣本之判定，再從學習單的情境題與數學題分別分析學生數學素養展現之情形和平面向量單元的學習遷移情形。對於情境題，研究者先觀察出較關鍵的數學力，並依此將學生素養展現情形分類後，再連帶分析其他數學力。對於數學題，研究者先統計各題答對率，配合各題對應的數學概念了解學生大致上的學習情形後，再進一步從學生作答過程分析學生運用了哪些方法解題。. 26.

(36) 圖 3-5- 1 研究流程說明圖. 27.

(37) 第六節研究限制 1. 本研究樣本為台北市兩所公立高中，程度分別為頂尖(PR 值 98)和高(PR 值 89)，故研究結果無法擴及其他區域和程度的學生。. 2. 本研究並未對「教學」面向做分析，雖然研究者與原班教師有事先溝通，授課時也按照本研究素養導向課程之大綱進行，但難免在不同教師之間細節內容的講述有差異，而本研究無法說明這些差異對學生學習情形的影響。. 3. 本研究其中一個階段為進入課堂教學，受到實際情況影響下整段教學比預估時間少了約 10 到 20 分鐘，也因此壓縮了學生作答時間，可能導致部分學生沒有完整寫出想法，進而使研究者分析學習情形時，部分題目空白者偏多。. 4. 本研究進入課堂教學時間在學生第二次期末考後的第一次上課，在班級內觀察到部分學生有時出現無心上課之情形，而研究者做的有效樣本判定僅能排除情況較嚴重者。. 5. 本研究收集資料方式為觀察學生填寫的學習單，可能受到學生平時做答習慣影響，在說明原因時填寫的較為簡略，導致研究者有時需要主觀判斷學生想表達的意思。. 28.

(38) 第四章研究結果. 第一節學生以自有表徵表達向量概念之情形本研究的學習單中處處可見向量概念的各種表徵，本節專注於探討學生在單純用來表示象棋馬的移動時所用表徵，其他牽涉到解題或說明原因時所用的表徵將在後續節次一併探討。. 壹、學生學習向量前所用表徵種類. 本研究的學習單上第一題讓學生使用自己的方法表達象棋馬的移動，分析此題填答的情形後將學生所用的表徵種類整理為以下七種：一、箭頭擬動態圖像表徵學生主要以畫圖方式模擬象棋馬的移動，以直線表達移動路徑、以刻度或格子表達長度，並在終端加上箭頭表達方向。此類表徵與向量的幾何表示法相當接近，對於「方向」、「大小」兩個資訊的呈現也很清楚。有些學生表達移動路徑的直線並非從起點直接畫到終點，而是沿著格子邊緣畫(如圖 4-1- 1)或一段直線接著一段斜線(如圖 4-1- 3)，也歸為同一類，因為他們很可能是受情境的影響認為必須沿著格線走，使用表徵的方式並無本質上的差異。. 圖 4-1- 2 箭頭圖像表徵例一. 圖 4-1- 1 箭頭圖像表徵例二. 29. 圖 4-1- 3 箭頭圖像表徵例三.

(39) 少數學生使用此類表徵但並未完整表達象棋馬的所有移動方式(如圖 4-15)，或其中傳達的資訊有誤(如圖 4-1- 4)，分類時歸為同一類但以完整性、正確性區分。. 圖 4-1- 5 箭頭圖像表徵部分例. 圖 4-1- 4 箭頭圖像表徵錯誤例. 二、無箭頭擬動態圖像表徵學生主要以畫圖方式模擬象棋馬的移動，以直線表達移動路徑及方向、以刻度或格子表達長度，但並未在終端加上箭頭表達方向(如圖 4-1- 6)。這種表徵是用直線表達移動路徑時順帶表達方向，呈現上較第一種表徵不清楚。在本研究學習單的情境中，象棋馬的移動可以來回視為一組，因此這種表徵尚能正確表達。若在其他情境，方向沒有明確標示可能導致溝通上的錯誤。有些學生表達移動路徑的直線並非從起點直接畫到終點，而是沿著格子邊緣畫(如圖 4-17)，也歸為同一類。. 圖 4-1- 6 無箭頭圖像表徵例一. 圖 4-1- 7 無箭頭圖像表徵例二. 30.

(40) 少數學生畫出直線表示象棋馬的移動路徑，但刻度不明顯導致不易判讀長度資訊(如圖 4-1- 8)，歸為此類表徵中的錯誤例。. 圖 4-1- 8 無箭頭圖像表徵錯誤例. 三、靜態圖像表徵主要以畫圖方式表達象棋馬下一步可到達之位置，以格子表示棋盤局部為底，並在上方以點或圓圈等記號表達起點和終點(如圖 4-1- 10)。此種表徵呈現的資訊更注重結果而非移動過程。少數學生標記的位置並非象棋馬下一步能移動到的位置(如圖 4-1- 9)，因此歸為此種表徵的錯誤例。. 圖 4-1- 9 靜態圖像表徵錯誤例. 圖 4-1- 10 靜態圖像表徵例一. 31.

(41) 四、文字表徵主要以文字敘述象棋馬的移動。直接描述棋子在棋盤上的移動(如圖 4-111)、借用象棋術語來形容(如圖 4-1- 12)、借用數學術語來形容(如圖 4-1- 13)均歸為此類。圖 4-1- 12 雖然有誤用象棋術語情形，但大致上不影響資訊傳達，因此仍歸為正確例。. 圖 4-1- 13 文字表徵正確例一. 圖 4-1- 12 文字表徵正確例二. 圖 4-1- 11 文字表徵正確例三. 五、多重表徵使用了兩種以上的表徵，並且其中的每一種表徵都可以獨立表達象棋馬是如何移動，而非輔助其他表徵說明的關係。如圖 4-1- 14，學生使用了箭頭圖像表徵、靜態圖像表徵、和坐標表徵。. 圖 4-1- 14 多重表徵例一. 32.

(42) 由於本研究的學習單佈題時並未要求學生盡可能地使用多種表徵，而多數學生也只填寫了一種，所以能被觀察到使用此類表徵的學生數應該比實際上能使用的人數少。六、點的坐標表徵以坐標表達象棋馬下一步可移動到的位置。與靜態圖像表徵一樣，呈現的資訊更注重結果而非移動過程。使用此類表徵的學生只有一位，由他填答的幾. 圖 4-1- 15 點的坐標表徵例一. 個點看來是受到情境影響，並未從一個固定的起點出發，而是填寫了象棋中己方兩隻馬分別走一步可移動到的位置(如圖 4-1- 15)，並未完整表達所有象棋馬的移動，故歸為此類表徵正確但不完整之例。. 七、向量的坐標表徵以坐標表達象棋馬的移動，此種表徵即向量的坐標表示法。只有一位學生使用此種表徵，他列出方程式來輔助說明 x 分量與 y 分量的關係(如圖 4-1- 16)，但並未包含到所有象棋馬的移動，歸為正確但不完整的例子。. 圖 4-1- 16 向量的坐標表徵例一. 33.

(43) 貳、各類表徵的使用人數. 以下將分別統計四個班級共 110 為學生使用前述七類表徵的人數、使用表徵的正確性及完整性。為求圖表呈現的簡潔，「箭頭擬動態圖像表徵」簡稱為「箭頭圖像」，「無箭頭擬動態圖像表徵」亦然。在使用表徵的正確性及完整性方面，若表徵已經使用錯誤，再討論完整性較不具意義，因此只分為「正確且完整」、「正確但不完整」、「錯誤」三個層次。. 一、A1 班各類表徵的使用人數表 4-1- 2. A1 班各類表徵使用人數. 表徵類型. 人數(百分比). 箭頭圖像. 24(69%). 無箭頭圖像. 5(14%). 靜態圖像. 4(11%). 文字. 0(0%). 多重. 1(3%). 坐標(點). 0(0%). 坐標(向量). 0(0%). 空白. 1(3%). 80% 70%. 69%. 60% 50% 40%. 30% 20%. 14%. 11%. 10%. 3%. 0%. 0%. 0%. 坐標(點). 坐標(向量). 3%. 0% 箭頭圖像無箭頭圖像靜態圖像. 文字. 多重. 圖 4-1- 17 A1 班學習前所用表徵之比例. 34. 空白.

(44) 如表 4-1- 2，A1 班的 35 位學生中，使用箭頭擬動態圖像表徵的人數最多，而沒有任何人使用文字表徵和坐標表徵。若扣除空白的一位，所有填答的學生皆有用到圖像表徵，顯示以圖像呈現象棋馬的移動對 A1 班學生來說是最直接的方式。表 4-1- 3 A1 班學習前所用表徵的正確性與完整性. 人數(百分比) 正確且完整. 26(74%). 正確但不完整. 5(14%). 錯誤. 4(11%). 如表 4-1- 3，A1 班學生能正確且完整地使用表徵的人數約有四分之三，而使用錯誤的人數約一成，顯示對 A1 班學生來說，以自有表徵呈現象棋馬的移動並不算難。. 二、A2 班各類表徵的使用人數表 4-1- 4 A2 班各類表徵使用人數. 表徵類型. 人數(百分比). 箭頭圖像. 19(56%). 無箭頭圖像. 4(12%). 靜態圖像. 4(12%). 文字. 4(12%). 多重. 1(3%). 坐標(點). 1(3%). 坐標(向量). 1(3%). 空白. 0(0%). 35.

(45) 60%. 56%. 50% 40% 30% 20%. 12%. 12%. 12%. 10%. 3%. 3%. 3%. 0%. 0% 箭頭圖像無箭頭圖像靜態圖像. 文字. 多重. 坐標(點) 坐標(向量). 空白. 圖 4-1- 18 A2 班學習前所用表徵之比例. 如表 4-1- 4，A2 班 34 位學生中，使用箭頭擬動態圖像表徵的人數最多，每一種表徵都有人使用並且沒有人空白。所有使用圖像表徵的人數佔八成；而呈現上更注重結果的靜態圖像表徵和點的坐標表徵合計約有一成五的學生使用。. 36.

(46) 表 4-1- 5. A2 班學習前所用表徵的正確性與完整性. 人數(百分比) 正確且完整. 28(82%). 正確但不完整. 5(15%). 錯誤. 1(3%). 如表 4-1- 5，A2 班學生能正確且完整地使用表徵的人數約有八成，而使用錯誤的人數僅一人，顯示 A2 班學生在使用表徵時的正確性與完整性比 A1 班更好一些。三、B1 班各類表徵的使用人數表 4-1- 6 B1 班各類表徵使用人數. 表徵類型. 人數(百分比). 箭頭圖像. 12(67%). 無箭頭圖像. 2(11%). 靜態圖像. 0(0%). 文字. 3(17%). 多重. 0(0%). 坐標(點). 0(0%). 坐標(向量). 0(0%). 空白. 1(6%). 80%. 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 箭頭圖像無箭頭圖像靜態圖像. 文字. 多重. 坐標(點) 坐標(向量). 圖 4-1- 19 B1 班學習前所用表徵之比例 37. 空白.

(47) 表 4-1- 6，B1 班 18 位同學中，使用箭頭. 如. 擬動態圖像表徵的人數最多，而圖像表徵、多重表徵、坐標表徵均無人使用。使用文字表徵的比例比 A 校兩班都多一些。表 4-1- 7 B1 班學習前所用表徵的正確性與完整性. 人數(百分比) 正確且完整. 11(61%). 正確但不完整. 5(28%). 錯誤. 2(11%). 如表 4-1- 7，B1 班使用表徵正確且完整的人數約佔六成，相較於 A1 班的七成多、A2 班的八成明顯更少。四、B2 班各類表徵的使用人數表 4-1- 8 B2 班各類表徵使用人數. 70%. 表徵類型. 人數(百分比). 箭頭圖像. 15(65%). 無箭頭圖像. 3(13%). 靜態圖像. 1(4%). 文字. 3(13%). 多重. 0(0%). 坐標(點). 0(0%). 坐標(向量). 0(0%). 空白. 1(4%). 65%. 60% 50% 40% 30% 20% 10%. 13%. 13% 4%. 0%. 0%. 0%. 4%. 0% 箭頭圖像無箭頭圖像靜態圖像. 文字. 多重. 坐標(點) 坐標(向量). 圖 4-1- 20 B2 班學習前所用表徵之比例 38. 空白.

(48) 如表 4-1- 8，B2 班學生使用箭頭擬動態圖像表徵的人數最多，佔六成多，而所有使用圖像表徵的人數共佔八成多。B2 班沒有人使用坐標表徵和多重表徵，此情形與 B1 班相似，使用表徵的類型較 A1、A2 班集中於某幾類。. 表 4-1- 9 B2 班學習前所用表徵的正確性與完整性. 人數(百分比) 正確且完整. 13(57%). 正確但不完整. 7(30%). 錯誤. 3(13%). 如表 4-1- 9，B2 班學生正確且完整地使用表徵的人數近六成，而錯誤使用的人數約一成，情形與 B1 班相似。. 五、四班使用表徵情形之比較在使用表徵的種類方面，箭頭擬動態圖像表徵的使用率在四個班級都是最高，接著是無箭頭擬動態圖像、靜態圖像，而多重表徵、坐標表徵使用率最低。顯示箭頭擬動態圖像表徵是學生用來表達象棋馬的移動最直接的方式。A 校兩班使用的表徵較 B 校兩班多樣，主要差在坐標表徵、多重表徵在 B 校兩班均無人使用(A1 班的表格呈現上也是無人使用坐標表徵，但在多重表徵之中有包含坐標表徵)。在使用表徵的正確性與完整性方面，正確使用的人數在所有四個班級都超過八成，顯示以表徵表達象棋馬的移動對四班學生來說並不算難。而 A 校兩班正確且完整使用的比例較 B 校兩班高出接近兩成，顯示 A 校學生能更好地使用表徵表達象棋馬的移動。. 39.

(49) 參、學習前後表徵轉換之情形. 研究者從學生學習單中的教學部分及第六題(情境練習題)觀察學生學習後使用表徵之情形，並配合本節前述之分析，欲進一步整理得到學生學習前後表徵轉換之情形。學習單的第六題為求紀錄方便，題目中已使用向量的坐標表徵並引導學生以此表徵進行回答，故本段分析也會以坐標表徵為主。. 在學習前，使用與向量的幾何表示法極為接近的箭頭擬動態圖像表徵人數已很多，且只有少數人使用錯誤，所以這些學生學習重點主要在於多學一種坐標表示法；使用無箭頭擬動態圖像表徵的學生類似於前者，並需要標示清楚方向；使用靜態圖像表徵和點的坐標表徵的學生需要更注重移動過程的呈現；使用文字表徵的學生則需要以更精簡地方式傳達資訊。. 研究者發現所有學生經過教師教學後，在後續題目主要使用的表徵即教過的向量的幾何表示法和坐標表示法。若使用表徵時是單純表達象棋馬的移動，不牽涉說明原因等其他因素，所有學生均能正確使用此二種表徵。此情形顯示學生學習更能簡潔且清楚傳達資訊的此二種表徵並無困難。. 40.

(50) 第二節學生解情境題之情形本研究學習單中的第二題和第七題為情境題，如圖 4-2-1 和圖 4-2-2，兩題大意基本上相同，分別安排在向量教學的前後。研究者觀察這兩題的填答，並參考 PISA(2012)提出的解題三步驟與七個數學力分析學生解情境題之情形。. 圖 4-2- 1 學習單第二題之敘述. 圖 4-2- 2 學習單第七題之敘述. PISA(2012)提出了解題三步驟-「形成數學問題」、「使用數學」、「詮釋結果」與七個數學力-「溝通」、「數學化」、「使用表徵及轉換」、「推理及論述」、「構思解題策略」、「使用符號、正式的術語、和運算」、「使用數學工具」，又進一步交織成二十一個細項分別描述每個步驟中所展現的數學力。然而本研究是以學生填寫的學習單做分析，許多細項難以從學生填寫的內容中客觀地被觀察，因此本研究不會就每個細項逐一分析，而是找出能被觀察且影響較大的細項後做連帶分析。研究者發現七個數學力中的「構思策略」是對整個解題過程影響最大的，其明顯地影響了後續的「推理及論述」，並可以再往前大略得知原本難以觀察的學生「形成數學問題」之情形。「構思策略」是一個內在的過程，因此研究者會從學生最終決定回答時所用的策略著手分析。另外，雖然本研究的情境題不是一定要用向量語言才能解題，但使用向量語言能更簡潔清楚地完成整個論述，因此與之相關的「使用符號、正式的術語、和運算」也是對此情境題影響很大的數學力。基於上述原因，本節將分成「學生採用證明策略之情形」、「使用向 41.

(51) 量語言之情形」、及「三步驟與七數學力之綜合分析」三個部分探討。. 壹、學生採用證明策略之情形. 一、證明策略之判定標準本研究學習單中的情境題，學生需要證明象棋馬能否走遍棋盤上的每個位置，因此研究者參考 Harel & Sowder(1998)提出依認知層次區分的的三個證明策略，做些微調整以更合適用來將學生此二情境題的回答分類。在三個證明層次之前研究者額外加入「空白或無意義」一層，無作答者或是作答內容對題目不具意義者均歸為此類(如圖 4-2- 3)。. 圖 4-2- 3 無意義證明例一. (一)外部信念證明策略學生的證明主要是基於外部的因素時歸為此類，又可再細分為： 1. 儀式/格式證明策略：學生使用了某些看似是證明的格式、流程，但內容並非依題意進行合理推論。如圖 4-2- 4，學生使用「因為…，所以…」的方式進行論述，但前後二句敘述不具直接的因果關係，且象棋馬如何移動到單位長內的每個位置也未說明。. 圖 4-2- 4. 儀式證明策略例一. 42.

(52) 2. 權威證明策略：學生說明原因的方式是藉由權威來增加說服力，並非針對題目論述。最典型的例子像是「老師上課有說過」、「課本就是這樣寫的」。本研究之情境題不太可能出現於學生之前經歷過的課堂或課本中，因此這裡的權威主要是「象棋規則」、「象棋發明者」。如圖 4-2- 5，學生認為棋盤當初的設計就不可能讓象棋馬移動不到所有的位置，而非正面回答為什麼馬能走遍棋盤。. 圖 4-2- 5 權威證明策略例一. 3. 符號證明策略：學生主要透過符號的操作完成證明，但符號的意義不明或是進行了不合理的操作。如圖 4-2- 6，學生證明中的 X、Y、Z 均未說明其代表之意義，且並非只是表達不清的小錯誤，他人難以推測其意思。. 圖 4-2- 6 符號證明策略例一. 43.

(53) (二)經驗證明策略學生主要透過其經驗說明原因，又可細分為： 1.. 歸納證明策略：學生舉數個例子驗證，並歸納出結論。由於本研究的學習單有附上棋盤方便學生以硬幣實際操作，因此在本題作答欄學生通常不會將其選用的例子填上(如圖 4-2- 7)。儘管如此，可以推測學生得到結論的方法是透過找例子驗證並歸納，故歸為此類。. 圖 4-2- 7 歸納證明策略例一. 2.. 感官證明策略：學生以較初步的心智圖像判斷出結果後，進行直觀的推論(如圖 4-2- 8)。. 圖 4-2- 8 感官證明策略例一. 另外，有一類學生從回答內容看來不太符合歸納證明策略和感官證明策略，似乎到達下一個分析證明的層次，但研究者認為其證明的演繹推理有誤，推測學生之所以認為這樣的論述正確主要還是來自經驗，因此也歸為經驗證明策略。如圖 4-2- 9，學生欲利用向量加減法去湊出棋盤上每個位置所對應的坐標，然而 x 分量與 y 分量必須同時湊到才能確定走到該位置，分別湊到對應數字並不保證另一分量也能同時達到目標數字，也就還不能保證象棋馬能走遍棋盤上每個位置。研究者推測學生即使論述有誤，卻有把握用向量加 44.

(54) 減法都能得到想要的結過，應該跟他操作了多次的經驗有關，因此仍然將其歸類為經驗證明策略而非分析證明策略。. 圖 4-2- 9 經驗證明策略例一. (三)分析證明策略學生的證明主要利用邏輯演繹推理，又可細分為： 1. 轉換證明策略：學生針對物件進行目標導向的變換操作，並以演繹推理的方式完成具一般性的證明。以本研究的情境題來說，學生主要是將棋盤上的所有位置變換成較小的區塊，像是二成二的方格(如圖 4-2- 10)或是起點的前後左右四格(如圖 4-2- 11)，在小區塊中說明如何走遍所有位置並類推至整個棋盤。. 圖 4-2- 10 轉換證明例一. 45.