中值定理与导数的应用

(1)

第三章·导数的应用

高等数学课程

2020 年 2 月 12 日暨南大学数学系吕荐瑞

(2)

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微分中值定理

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第一节

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洛必达法则

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第二节

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泰勒公式 .

第三节

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单调性与凹凸性

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第四节

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极值与最值

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第五节

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12 3 4 5 6 7  

(3)

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微分中值定理

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第一节

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罗尔中值定理

.

A

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拉格朗日中值定理

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B

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柯西中值定理

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C

(4)

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费马引理

费马引理设 ƒ_{() 在点 }0 的某邻域 U(0) 内有 定义，且 ∀ _{∈ U(}_{0) 有 ƒ ()} _¶ ƒ(0)（或 ƒ () ¾ ƒ(0)）．如果 ƒ () 在 0 处可导．则有 ƒ′(0) = 0． .

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(5)

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罗尔定理

定理 1 如果函数 ƒ_{() 满足条件：} (1) 在闭区间 _[,b] 上连续， (2) 在开区间 _(,b) 上可导， (3) 在端点处 ƒ_{() = ƒ (b)，} 则至少存在一点 ξ _{∈ (},b)，使得 ƒ′(ξ) = 0. 注记如果定理的三个条件中有一个不满足，则结论可能不成立．

(6)

. .

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罗尔定理

定理 1 如果函数 ƒ_{() 满足条件：} (1) 在闭区间 _[,b] 上连续， (2) 在开区间 _(,b) 上可导， (3) 在端点处 ƒ_{() = ƒ (b)，} 则至少存在一点 ξ _{∈ (},b)，使得 ƒ′(ξ) = 0. 注记如果定理的三个条件中有一个不满足，则结论可能不成立． .

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12 3 4 5 6 7  

(7)

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罗尔定理

例 1 下列函数只满足罗尔定理的条件 (2) 和 (3)，不满足条件 (1)，因此没有导数为零的点． ƒ() = ¨ , −1 ≤  < 1 −1,  = 1 ..  . y

(8)

. .

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罗尔定理

例 2 下列函数只满足罗尔定理的条件 (1) 和 (3)，不满足条件 (2)，因此没有导数为零的点． ƒ() = ||,−1 ≤  ≤ 1 ..  . y 例 3 下列函数只满足罗尔定理的条件 (1) 和 (2)，不满足条件 (3)，因此没有导数为零的点． ƒ() = ,−1 ≤  ≤ 1 ..  . y .

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(9)

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罗尔定理

例 2 下列函数只满足罗尔定理的条件 (1) 和 (3)，不满足条件 (2)，因此没有导数为零的点． ƒ() = ||,−1 ≤  ≤ 1 ..  . y 例 3 下列函数只满足罗尔定理的条件 (1) 和 (2)，不满足条件 (3)，因此没有导数为零的点． ...  y

(10)

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例 4 对 ƒ_{() = }2_{− 2 − 3 在区间 [−1}_,₃_{] 上验证} 罗尔定理．练习 1 对 ƒ_{() =} 1 1+ 2 在区间 [−2,2] 上验证罗尔定理． .

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(11)

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例 4 对 ƒ_{() = }2_{− 2 − 3 在区间 [−1}_,₃_{] 上验证} 罗尔定理．练习 1 对 ƒ_{() =} 1 1+ 2 在区间 [−2,2] 上验证罗尔定理．

(12)

. .

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罗尔定理

例 5 设 ƒ_{() 在 [0},1] 上连续，在 (0,1) 上可导，而 且 ƒ_{(0) = 0，ƒ (1) = 1．证明：存在 ξ ∈ (0},1)，使得 ƒ′_{(ξ) = 2ξ．} .

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(13)

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微分中值定理

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第一节

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罗尔中值定理

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A

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拉格朗日中值定理

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B

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柯西中值定理

.

C

(14)

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拉格朗日定理

定理如果函数 ƒ_{() 满足下列条件：} (1) 在闭区间 _[,b] 上连续， (2) 在开区间 _(,b) 内可导， 则至少存在一点 ξ _{∈ (},b) 使得 ƒ′(ξ) = ƒ(b) − ƒ () b−  . .

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(15)

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例 6 对函数 ƒ_{() = }3 _在区间 _[0_,₁_{] 上验证拉格朗} 日定理．

练习 2 对 ƒ_{() = }3_{+  在区间 [−1}_,₁_{] 上验证拉格}

(16)

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例 6 对函数 ƒ_{() = }3 _在区间 _[0_,₁_{] 上验证拉格朗} 日定理．练习 2 对 ƒ_{() = }3_{+  在区间 [−1}_,₁_{] 上验证拉格} 朗日定理． .

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12 3 4 5 6 7  

(17)

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推论 1 如果函数 ƒ_{() 在区间  上的导数恒为 0，那} 么 ƒ_{() 在区间  上是一个常数．} 例 7 证明当 ₋₁ _¶  ¶1 时，有 rcsin + rccos  = π 2.

(18)

. .

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推论 1 如果函数 ƒ_{() 在区间  上的导数恒为 0，那} 么 ƒ_{() 在区间  上是一个常数．} 例 7 证明当 ₋₁ _¶  ¶1 时，有 rcsin + rccos  = π 2. .

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12 3 4 5 6 7  

(19)

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例 8 证明当 2 > 1 时不等式成立：

rctn 2− rctn 1¶ 2− 1.

练习 3 证明：当 2 > 1 时有

(20)

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例 8 证明当 2 > 1 时不等式成立： rctn 2− rctn 1¶ 2− 1. 练习 3 证明：当 2 > 1 时有 sin 2− sin 1 ¶ 2− 1. .

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12 3 4 5 6 7  

(21)

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拉格朗日定理

例 9 证明当  > 0 时不等式成立：  1+  < ln(1 + ) < . 注记当 _{−1 <  < 0 时，不等式同样成立．}

(22)

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拉格朗日定理

例 9 证明当  > 0 时不等式成立：  1+  < ln(1 + ) < . 注记当 _{−1 <  < 0 时，不等式同样成立．} .

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12 3 4 5 6 7  

(23)

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微分中值定理

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第一节

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罗尔中值定理

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A

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拉格朗日中值定理

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B

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柯西中值定理

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C

(24)

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柯西定理

定理如果函数 ƒ_{() 和 g() 满足下列条件：} (1) 在闭区间 _[,b] 上都连续， (2) 在开区间 _(,b) 内都可导， (3) 在开区间 _(,b) 内 g′() ̸= 0, 则至少有一点 ξ _{∈ (},b) 使得 ƒ′(ξ) g′(ξ) = ƒ(b) − ƒ () g(b) − g(). .

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12 3 4 5 6 7  

(25)

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例 10 对函数 ƒ_{() = }3 _{和 g}_{() = }2_{+ 1 在区间}

(26)

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复习与提高

复习 1 证明：当  > 1 时，e _{− e > e( − 1)．} .

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12 3 4 5 6 7  

(27)

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复习与提高

题 1 设 ƒ_{() 在 [0},1] 上连续，在 (0,1) 上可导，而

且 ƒ_{(0) = 1，ƒ (1) = 0．证明：存在 ξ ∈ (0},1)，使

(28)

. .

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微分中值定理

.

第一节

.

洛必达法则

.

第二节

.

泰勒公式 .

第三节

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单调性与凹凸性

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第四节

.

极值与最值

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第五节

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123 4 5 6 7  

(29)

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洛必达法则

在一定条件下，我们有下面的洛必达法则： lim ƒ() g() = lim ƒ′() g′()

(30)

. .

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洛必达法则

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第二节

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无穷小比值型

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A

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无穷大比值型

.

B

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乘法减法型

.

C

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幂指函数型

.

D

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123 4 5 6 7  

(31)

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一、

0₀

型的洛必达法则

定理 1 如果 lim →ƒ() = 0， lim→g() = 0，而且 lim → ƒ′() g′_() 的极限存在（或为 ∞），则有 lim → ƒ() g() = lim→ ƒ′() g′() 例 1 求极限 lim _→2 2+  − 6 2_{− 4} ．

(32)

. .

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一、

0₀

型的洛必达法则

定理 1 如果 lim →ƒ() = 0， lim→g() = 0，而且 lim → ƒ′() g′_() 的极限存在（或为 ∞），则有 lim → ƒ() g() = lim→ ƒ′() g′() 例 1 求极限 lim _→2 2+  − 6 2_{− 4} ． .

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123 4 5 6 7  

(33)

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例 2 求极限 lim →0 (1 + ) _{− 1}  ．例 3 求极限 lim →0 e − 1 2− ．例 4 求极限 lim →0 − sin  3 ．例 5 求极限 lim →0 ln(1 + ) 2 ．

(34)

. .

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例 2 求极限 lim →0 (1 + ) _{− 1}  ．例 3 求极限 lim →0 e − 1 2_{− }．例 4 求极限 lim →0 − sin  3 ．例 5 求极限 lim →0 ln(1 + ) 2 ． .

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123 4 5 6 7  

(35)

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例 2 求极限 lim →0 (1 + ) _{− 1}  ．例 3 求极限 lim →0 e − 1 2_{− }．例 4 求极限 lim →0 − sin  3 ．例 5 求极限 lim →0 ln(1 + ) 2 ．

(36)

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例 2 求极限 lim →0 (1 + ) _{− 1}  ．例 3 求极限 lim →0 e − 1 2_{− }．例 4 求极限 lim →0 − sin  3 ．例 5 求极限 lim →0 ln(1 + ) 2 ． .

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123 4 5 6 7  

(37)

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练习 1 用洛必达法则求函数极限． (1) lim _→1 3− 3 + 2 3_{− }2_{−  + 1} (2) lim →4 p − 2 − 4 (3) lim →0 sin 3 sin 5

(38)

. .

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练习 1 用洛必达法则求函数极限． (1) lim _→1 3− 3 + 2 3_{− }2_{−  + 1} (2) lim →4 p − 2 − 4 (3) lim →0 sin 3 sin 5 .

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(39)

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练习 1 用洛必达法则求函数极限． (1) lim _→1 3− 3 + 2 3_{− }2_{−  + 1} (2) lim →4 p − 2 − 4 (3) lim →0 sin 3 sin 5

(40)

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两种方法比较

注记 1 对于  _{→ 0 时的} 0₀ 型极限，现在我们有两种方法可以使用： (1) 等价无穷小量代换 (2) 洛必达法则一般地，方法 (1) 应该优先使用，因为方法 (2) 可能变得复杂． .

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123 4 5 6 7  

(41)

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两种方法比较

例 6 求函数极限． (1) lim _→0 sin 3 tn 6 (2) lim →0 e−sin  _{− 1} rcsin(3₎

(42)

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两种方法比较

例 6 求函数极限． (1) lim _→0 sin 3 tn 6 (2) lim →0 e−sin  _{− 1} rcsin(3₎ .

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123 4 5 6 7  

(43)

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两种方法比较

练习 2 求函数极限． (1) lim →0 sin −  cos  sin3 (2) lim →0+ p 1+ 3_{− 1} 1− cosp− sin 

(44)

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洛必达法则

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第二节

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无穷小比值型

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A

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无穷大比值型

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B

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乘法减法型

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C

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幂指函数型

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D

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(45)

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二、

∞_∞

型的洛必达法则

定理 2 如果 lim ƒ_{() = ∞，lim g() = ∞，而且} lim _gƒ′_′()_() 的极限存在（或为 ∞），则有 lim ƒ() g() = lim ƒ′() g′() 例 7 求极限 lim →∞ 22+  + 1 32_{−  + 4}．

(46)

. .

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二、

∞_∞

型的洛必达法则

定理 2 如果 lim ƒ_{() = ∞，lim g() = ∞，而且} lim _gƒ′_′()_() 的极限存在（或为 ∞），则有 lim ƒ() g() = lim ƒ′() g′() 例 7 求极限 lim →∞ 22+  + 1 32_{−  + 4}． .

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123 4 5 6 7  

(47)

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例 8 求函数极限． (1) 求极限 lim →+∞ ln  n （n > 0） (2) 求极限 lim →+∞ 3 e 练习 3 求函数极限： lim →0+ ln sin  ln  思考求极限 lim →π₂ tn  tn 3

(48)

. .

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例 8 求函数极限． (1) 求极限 lim →+∞ ln  n （n > 0） (2) 求极限 lim →+∞ 3 e 练习 3 求函数极限： lim →0+ ln sin  ln  思考求极限 lim →π₂ tn  tn 3 .

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123 4 5 6 7  

(49)

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例 8 求函数极限． (1) 求极限 lim →+∞ ln  n （n > 0） (2) 求极限 lim →+∞ 3 e 练习 3 求函数极限： lim →0+ ln sin  ln  思考求极限 lim →π₂ tn  tn 3

(50)

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例 8 求函数极限． (1) 求极限 lim →+∞ ln  n （n > 0） (2) 求极限 lim →+∞ 3 e 练习 3 求函数极限： lim →0+ ln sin  ln  思考求极限 lim →π₂ tn  tn 3 .

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123 4 5 6 7  

(51)

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例 8 求函数极限． (1) 求极限 lim →+∞ ln  n （n > 0） (2) 求极限 lim →+∞ 3 e 练习 3 求函数极限： lim →0+ ln sin  ln  思考求极限 lim tn 

(52)

. .

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注记 2 洛必达法则未必总是有效．例如： (1) lim →∞ + sin   (2) lim →+∞ p 1+ 2  .

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123 4 5 6 7  

(53)

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注记 2 洛必达法则未必总是有效．例如： (1) lim →∞ + sin   (2) lim→+∞ p 1+ 2 

(54)

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洛必达法则

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第二节

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无穷小比值型

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A

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无穷大比值型

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B

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乘法减法型

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C

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幂指函数型

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D

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123 4 5 6 7  

(55)

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三、0

· ∞ 型和 ∞ − ∞ 型的未定式

对于 0_{· ∞ 型和 ∞ − ∞ 型的未定式，我们可以将它们} 变换为 0 0 型或 ∞ ∞ 型的未定式，然后使用洛必达法则．例 9 求函数极限： (1) lim →+∞ _π 2 − rctn  (2) lim →1 1 − 1 − 1 ln 

(56)

. .

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三、0

· ∞ 型和 ∞ − ∞ 型的未定式

对于 0_{· ∞ 型和 ∞ − ∞ 型的未定式，我们可以将它们} 变换为 0 0 型或 ∞ ∞ 型的未定式，然后使用洛必达法则．例 9 求函数极限： (1) lim →+∞ _π 2 − rctn  (2) lim →1 1 − 1 − 1 ln  .

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123 4 5 6 7  

(57)

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三、0

· ∞ 型和 ∞ − ∞ 型的未定式

对于 0_{· ∞ 型和 ∞ − ∞ 型的未定式，我们可以将它们} 变换为 0 0 型或 ∞ ∞ 型的未定式，然后使用洛必达法则．例 9 求函数极限： (1) lim →+∞ _π 2 − rctn  (2) lim →1 1 − 1 − 1 ln 

(58)

. .

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洛必达法则

思考用洛必达大则求 lim →+∞ p 2_{+  −}p_2_{− }_． .

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123 4 5 6 7  

(59)

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洛必达法则

练习 4 求函数极限： (1) lim →0+ 2_{ln } _{(2) lim} →0 1  − 1 e_{− 1}

(60)

. .

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洛必达法则

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第二节

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无穷小比值型

.

A

.

无穷大比值型

.

B

.

乘法减法型

.

C

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幂指函数型

.

D

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123 4 5 6 7  

(61)

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四、1

∞

_型，0

0

_{型和 ∞}

0

_{型的未定式}

对于 1∞ _型，00 _{型和 ∞}0 _{型的未定式，我们可以将它} 们变换为 0_{· ∞ 型未定式，进而化为} 0₀ 型或 ∞_∞ 型，然后使用洛必达法则．

(62)

. .

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四、1

∞

_型，0

0

_{型和 ∞}

0

_{型的未定式}

对于 1∞ _型，00 _{型和 ∞}0 _{型的未定式，我们可以将它} 们变换为 0_{· ∞ 型未定式，进而化为} 0₀ 型或 ∞_∞ 型，然后使用洛必达法则．

lim ()() = lim e() ln () = elim () ln ()

.

(63)

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幂指函数型

例 10 求函数极限： (1) lim →1  1 −1 (2) lim →0+   (3) lim →+∞(1 + e ₎1_

(64)

. .

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幂指函数型

例 10 求函数极限： (1) lim →1  1 −1 (2) lim →0+   (3) lim →+∞(1 + e ₎1_ .

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123 4 5 6 7  

(65)

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幂指函数型

例 10 求函数极限： (1) lim →1  1 −1 (2) lim →0+   (3) lim →+∞(1 + e ₎1_

(66)

. .

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练习 5 求函数极限： (1) lim _→0(1 + sin ) 1  (2) lim →+∞ 1  (3) lim →0+ sin  .

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123 4 5 6 7  

(67)

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练习 5 求函数极限： (1) lim _→0(1 + sin ) 1  (2) lim →+∞ 1  (3) lim _→0+ sin 

(68)

. .

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复习与提高

复习 1 求函数极限． (1) lim _→0 e− e−  (2) lim →1 ln  − 1 (3) lim →1 3− 2−  + 1 3_{− 3 + 2} .

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123 4 5 6 7  

(69)

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复习与提高

复习 2 求函数极限： (1) lim →0+ p  ln  (2) lim →0 1 ln(1 + ) − 1 

(70)

. .

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复习与提高

复习 3 求函数极限 lim →0+ 1  tn  ． .

.

123 4 5 6 7  

(71)

.

复习与提高：倒代换

题 1 求函数极限： (1) lim →+∞ − 2ln1+ 1_ (2) lim →+∞ p 2_{+  −} p3 _3_{+ }2

(72)

. .

.

微分中值定理

.

第一节

.

洛必达法则

.

第二节

.

泰勒公式 .

第三节

.

单调性与凹凸性

.

第四节

.

极值与最值

.

第五节

.

1 234 5 6 7  

(73)

.

近似估计

假设 ƒ′_{(0) 存在．已经知道当  → 0} 时有 ƒ() = ƒ (0) + ƒ′(0)( − 0) + o  − 0 是否存在二次多项式 g_{() 使得当  → 0} 时有 ƒ() = g() +? o( − 0)2 令 g_{() = A + B( − }0) + C( − 0)2，则有 A = ƒ (0), B = ƒ′(0), C = 1 2ƒ ′′_( 0).

(74)

. .

.

近似估计

假设 ƒ′_{(0) 存在．已经知道当  → 0} 时有 ƒ() = ƒ (0) + ƒ′(0)( − 0) + o  − 0 是否存在二次多项式 g_{() 使得当  → 0} 时有 ƒ() = g() +? o( − 0)2 令 g_{() = A + B( − }0) + C( − 0)2，则有 A = ƒ (0), B = ƒ′(0), C = 1 2ƒ ′′_( 0). .

.

1 234 5 6 7  

(75)

.

近似估计

假设 ƒ′_{(0) 存在．已经知道当  → 0} 时有 ƒ() = ƒ (0) + ƒ′(0)( − 0) + o  − 0 是否存在二次多项式 g_{() 使得当  → 0} 时有 ƒ() = g() +? o( − 0)2 令 g_{() = A + B( − }0) + C( − 0)2，则有

(76)

. .

.

ƒ() = A + B( − 0) + C( − 0)2+ o ( − 0)2 · · · · 令  _{→ }0，得到 A = ƒ (0)，从而 ƒ() − ƒ (0) − 0 = B + C( − 0) + o( − 0). 再令 _{→ }0，得到 B = ƒ′(0)．因此 C = lim →₀ ƒ() − ƒ (0) − ƒ′(0)( − 0) ( − 0)2 = lim →0 ƒ′() − ƒ′(0) 2( − 0) 洛必达法则 = 1 2ƒ ′′_( 0) 导数的定义 .

.

1 234 5 6 7  

(77)

.

ƒ() = A + B( − 0) + C( − 0)2+ o ( − 0)2 · · · · 令  _{→ }0，得到 A = ƒ (0)， 从而 ƒ() − ƒ (0) − 0 = B + C( − 0) + o( − 0). 再令 _{→ }0，得到 B = ƒ′(0)．因此 C = lim →₀ ƒ() − ƒ (0) − ƒ′(0)( − 0) ( − 0)2 = lim →0 ƒ′() − ƒ′(0) 2( − 0) 洛必达法则 = 1 2ƒ ′′_( 0) 导数的定义

(78)

. .

.

ƒ() = A + B( − 0) + C( − 0)2+ o ( − 0)2 · · · · 令  _{→ }0，得到 A = ƒ (0)，从而 ƒ() − ƒ (0) − 0 = B + C( − 0) + o( − 0). 再令 _{→ }0，得到 B = ƒ′(0)．因此 C = lim →₀ ƒ() − ƒ (0) − ƒ′(0)( − 0) ( − 0)2 = lim →0 ƒ′() − ƒ′(0) 2( − 0) 洛必达法则 = 1 2ƒ ′′_( 0) 导数的定义 .

.

1 234 5 6 7  

(79)

.

ƒ() = A + B( − 0) + C( − 0)2+ o ( − 0)2 · · · · 令  _{→ }0，得到 A = ƒ (0)，从而 ƒ() − ƒ (0) − 0 = B + C( − 0) + o( − 0). 再令 _{→ }0，得到 B = ƒ′(0)．因此 C = lim →₀ ƒ() − ƒ (0) − ƒ′(0)( − 0) ( − 0)2 = lim →0 ƒ′() − ƒ′(0) 2( − 0) 洛必达法则 = 1 2ƒ ′′_( 0) 导数的定义

(80)

. .

.

ƒ() = A + B( − 0) + C( − 0)2+ o ( − 0)2 · · · · 令  _{→ }0，得到 A = ƒ (0)，从而 ƒ() − ƒ (0) − 0 = B + C( − 0) + o( − 0). 再令 _{→ }0，得到 B = ƒ′(0)．因此 C = lim _→₀ ƒ() − ƒ (0) − ƒ′(0)( − 0) ( − 0)2 = lim →0 ƒ′() − ƒ′(0) 2( − 0) 洛必达法则 = 1 2ƒ ′′_( 0) 导数的定义 .

.

1 234 5 6 7  

(81)

.

ƒ() = A + B( − 0) + C( − 0)2+ o ( − 0)2 · · · · 令  _{→ }0，得到 A = ƒ (0)，从而 ƒ() − ƒ (0) − 0 = B + C( − 0) + o( − 0). 再令 _{→ }0，得到 B = ƒ′(0)．因此 C = lim _→₀ ƒ() − ƒ (0) − ƒ′(0)( − 0) ( − 0)2 = lim_→ ƒ ′_{() − ƒ}′_(0) ( −  ) 洛必达法则 = 1 2ƒ ′′_( 0) 导数的定义

(82)

. .

.

ƒ() = A + B( − 0) + C( − 0)2+ o ( − 0)2 · · · · 令  _{→ }0，得到 A = ƒ (0)，从而 ƒ() − ƒ (0) − 0 = B + C( − 0) + o( − 0). 再令 _{→ }0，得到 B = ƒ′(0)．因此 C = lim _→₀ ƒ() − ƒ (0) − ƒ′(0)( − 0) ( − 0)2 = lim →0 ƒ′() − ƒ′(0) 2( − 0) 洛必达法则 = 1 2ƒ ′′_( 0) 导数的定义 .

.

1 234 5 6 7  

(83)

.

定理 1 (带佩亚诺余项的泰勒公式) 设 ƒ_{() 在 }0 点存在 n 阶导数，则有 ƒ() = ƒ (0) + ƒ′(0)( − 0) + ƒ′′(0) 2! ( − 0) 2 + · · · + ƒ (n)_(0) n! ( − 0) n ₊_o _{( − } 0)n 解答 连续用 n_{− 1 次洛必达法则，再用导数的定义．}

(84)

. .

.

定理 1 (带佩亚诺余项的泰勒公式) 设 ƒ_{() 在 }0 点存在 n 阶导数，则有 ƒ() = ƒ (0) + ƒ′(0)( − 0) + ƒ′′(0) 2! ( − 0) 2 + · · · + ƒ (n)_(0) n! ( − 0) n ₊_o _{( − } 0)n 解答 连续用 n_{− 1 次洛必达法则，再用导数的定义．} .

.

1 234 5 6 7  

(85)

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定理 2 (带拉格朗日余项的泰勒公式) 设 ƒ_{() 在 0} 的某邻域 U_{(0) 内存在} n+ 1 阶导数， 则 ∀ _{∈ U(}0) 有 ƒ() = ƒ (0) + ƒ′(0)( − 0) + ƒ ′′_(0) 2! ( − 0) 2 + · · · + ƒ (n)_( 0) n! ( − 0) n _{+ R} n(), 其中余项 Rn() = ƒ(n+1)(ξ) (n + 1)! ( − 0) n+1_{，ξ 介于 } 0 解答 连续用 n_{+ 1 次柯西中值定理．}

(86)

. .

.

定理 2 (带拉格朗日余项的泰勒公式) 设 ƒ_{() 在 0} 的某邻域 U_{(0) 内存在} n+ 1 阶导数， 则 ∀ _{∈ U(}0) 有 ƒ() = ƒ (0) + ƒ′(0)( − 0) + ƒ ′′_(0) 2! ( − 0) 2 + · · · + ƒ (n)_( 0) n! ( − 0) n _{+ R} n(), 其中余项 Rn() = ƒ(n+1)(ξ) (n + 1)! ( − 0) n+1_{，ξ 介于 } 0 和  之间． 解答 连续用 n_{+ 1 次柯西中值定理．} .

.

1 234 5 6 7  

(87)

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当 0= 0 时，泰勒公式称为麦克劳林公式 ƒ() = ƒ (0) + ƒ′(0) + ƒ ′′₍₀₎ 2!  2 + · · · + ƒ (n)₍₀₎ n!  n _{+ R} n(), 其中 Rn() = o (n)· · · ·佩亚诺余项 或者 Rn() = ƒ(n+1)(ξ) (n + 1)! n+1 · · · ·_{拉格朗日余项} 　　 ξ 介于 0 和  之间． 令 ξ _{= θ，则 R}n() = ƒ(n+1)(θ) (n + 1)!  n+1_{, 0 < θ < 1．}

(88)

. .

.

当 0= 0 时，泰勒公式称为麦克劳林公式 ƒ() = ƒ (0) + ƒ′(0) + ƒ ′′₍₀₎ 2!  2 + · · · + ƒ (n)₍₀₎ n!  n _{+ R} n(), 其中 Rn() = o (n)· · · ·佩亚诺余项 或者 Rn() = ƒ(n+1)(ξ) (n + 1)! n+1 · · · ·_{拉格朗日余项} 　　 ξ 介于 0 和  之间． 令 ξ _{= θ，则 R}n() = ƒ(n+1)(θ) (n + 1)!  n+1_{, 0 < θ < 1．} .

.

1 234 5 6 7  

(89)

.

当 0= 0 时，泰勒公式称为麦克劳林公式 ƒ() = ƒ (0) + ƒ′(0) + ƒ ′′₍₀₎ 2!  2 + · · · + ƒ (n)₍₀₎ n!  n _{+ R} n(), 其中 Rn() = o (n)· · · ·佩亚诺余项 或者 Rn() = ƒ(n+1)(ξ) (n + 1)! n+1 · · · ·_{拉格朗日余项} 　　 ξ 介于 0 和  之间．

(90)

. .

.

例 1 求 ƒ_{() 的带拉格朗日余项的麦克劳林公式.} .小结 (1) ƒ() = e · · · · .应用 (2) ƒ() = sin  · · · · .图形 (3) ƒ() = cos  (4) ƒ() = ln(1 + ) · · · · .应用 (5) ƒ() = (1 + )α · · · · .应用 .

.

1 234 5 6 7  

(91)

.

例 1 求 ƒ_{() 的带拉格朗日余项的麦克劳林公式.} .小结 (1) ƒ() = e · · · · .应用 (2) ƒ() = sin  · · · · .图形 (3) ƒ() = cos  (4) ƒ() = ln(1 + ) · · · · .应用 (5) ƒ() = (1 + )α · · · · .应用

(92)

. .

.

1 234 5 6 7  

(93)

.

例 1 求 ƒ_{() 的带拉格朗日余项的麦克劳林公式.} .小结 (1) ƒ() = e · · · · .应用 (2) ƒ() = sin  · · · · .图形 (3) ƒ() = cos  (4) ƒ() = ln(1 + ) · · · · .应用 (5) ƒ() = (1 + )α · · · · .应用

(94)

. .

.

1 234 5 6 7  

(95)

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例 2 证明常数 e 是无理数．证明假设 e ₌ m n 为有理数，其中 n ¾ 2．在 e  _的 麦克劳林公式中令  _{= 1，得到（0 < θ < 1）} m n = e = 1 + 1 + 1 2! + 1 3! + · · · + 1 n! + eθ (n + 1)! 两边同时乘以 n!，得到 m· n! n = n! + n! + n! 2! + n! 3! + · · · + n! n! + eθ n+ 1 由于 0 < eθ _{< 3，所以最后一项为分数，但是其他各} 项都为整数．矛盾． .返回

(96)

. .

.

例 2 证明常数 e 是无理数．证明假设 e ₌ m n 为有理数，其中 n ¾ 2．在 e _的 麦克劳林公式中令  _{= 1，得到（0 < θ < 1）} m n = e = 1 + 1 + 1 2! + 1 3! + · · · + 1 n! + eθ (n + 1)! 两边同时乘以 n!，得到 m· n! n = n! + n! + n! 2! + n! 3! + · · · + n! n! + eθ n+ 1 由于 0 < eθ _{< 3，所以最后一项为分数，但是其他各} 项都为整数．矛盾． .返回 .

.

1 234 5 6 7  

(97)

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例 2 证明常数 e 是无理数．证明假设 e ₌ m n 为有理数，其中 n ¾ 2．在 e  _的麦克劳林公式中令 _{= 1，得到（0 < θ < 1）} m n = e = 1 + 1 + 1 2! + 1 3! + · · · + 1 n! + eθ (n + 1)! 两边同时乘以 n!，得到 m· n! n = n! + n! + n! 2! + n! 3! + · · · + n! n! + eθ n+ 1 由于 0 < eθ _{< 3，所以最后一项为分数，但是其他各} 项都为整数．矛盾． .返回

(98)

. .

.

例 2 证明常数 e 是无理数．证明假设 e ₌ m n 为有理数，其中 n ¾ 2．在 e  _的麦克劳林公式中令 _{= 1，得到（0 < θ < 1）} m n = e = 1 + 1 + 1 2! + 1 3! + · · · + 1 n! + eθ (n + 1)! 两边同时乘以 n!，得到 m· n! n = n! + n! + n! 2! + n! 3! + · · · + n! n! + eθ n+ 1 由于 0 < eθ _{< 3，所以最后一项为分数，但是其他各} 项都为整数．矛盾． .返回 .

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1 234 5 6 7  

(99)

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例 2 证明常数 e 是无理数．证明假设 e ₌ m n 为有理数，其中 n ¾ 2．在 e  _的麦克劳林公式中令 _{= 1，得到（0 < θ < 1）} m n = e = 1 + 1 + 1 2! + 1 3! + · · · + 1 n! + eθ (n + 1)! 两边同时乘以 n!，得到 m· n! n = n! + n! + n! 2! + n! 3! + · · · + n! n! + eθ n+ 1 所以最后一项为分数，但是其他各项都为整数．矛盾． .返回

(100)

. .

.

例 2 证明常数 e 是无理数．证明假设 e ₌ m n 为有理数，其中 n ¾ 2．在 e  _的麦克劳林公式中令 _{= 1，得到（0 < θ < 1）} m n = e = 1 + 1 + 1 2! + 1 3! + · · · + 1 n! + eθ (n + 1)! 两边同时乘以 n!，得到 m· n! n = n! + n! + n! 2! + n! 3! + · · · + n! n! + eθ n+ 1 由于 0 < eθ _{< 3，所以最后一项为分数，但是其他各} 项都为整数．矛盾． .返回 .

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1 234 5 6 7  

(101)

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例 2 证明常数 e 是无理数．证明假设 e ₌ m n 为有理数，其中 n ¾ 2．在 e  _的麦克劳林公式中令 _{= 1，得到（0 < θ < 1）} m n = e = 1 + 1 + 1 2! + 1 3! + · · · + 1 n! + eθ (n + 1)! 两边同时乘以 n!，得到 m· n! n = n! + n! + n! 2! + n! 3! + · · · + n! n! + eθ n+ 1

(102)

. .

.

正弦函数的近似

sin  =  − 1 3! 3₊ 1 5! 5₋ 1 7! 7₊ 1 9! 9_{+ · · ·} .. _ . y . y=  . y=  − _3!13 .

.

1 234 5 6 7  

(103)

.

正弦函数的近似

sin  =  − 1 3! 3₊ 1 5! 5₋ 1 7! 7₊ 1 9! 9_{+ · · ·} .. _ . y . y=  . y=  − _3!13

(104)

. .

.

正弦函数的近似

sin  =  − 1 3! 3₊ 1 5! 5₋ 1 7! 7₊ 1 9! 9_{+ · · ·} .. _ . y . y=  . y=  − _3!13 .

.

1 234 5 6 7  

(105)

.

正弦函数的近似

sin  =  − 1 3! 3₊ 1 5! 5₋ 1 7! 7₊ 1 9! 9_{+ · · ·} .. _ . y . y=  .

(106)

. .

.

正弦函数的近似

sin  =  − 1 3! 3₊ 1 5! 5₋ 1 7! 7₊ 1 9! 9_{+ · · ·} .. _ . y . y=  − _3!13 . y=  −_3!13+_5!15 . y=  −_3!13+_5!15−_7!17 .

.

1 234 5 6 7  

(107)

.

正弦函数的近似

sin  =  − 1 3! 3₊ 1 5! 5₋ 1 7! 7₊ 1 9! 9_{+ · · ·} .. _ . y . y=  − _3!13 . y=  −_3!13+_5!15 .

(108)

. .

.

正弦函数的近似

sin  =  − 1 3! 3₊ 1 5! 5₋ 1 7! 7₊ 1 9! 9_{+ · · ·} .. _ . y . y=  −_3!13+_5!15−_7!17 . y=  −_3!13+_5!15−_7!17+_9!19 . y=  − _3!13+ _5!15− _7!17+ _9!19− _11!1 11 .

.

1 234 5 6 7   .返回

(109)

.

正弦函数的近似

sin  =  − 1 3! 3₊ 1 5! 5₋ 1 7! 7₊ 1 9! 9_{+ · · ·} .. _ . y . y=  −_3!13+_5!15−_7!17 . y=  −_3!13+_5!15−_7!17+_9!19 . .返回

(110)

. .

.

利用泰勒公式证明不等式

例 3 证明：当  > 0 时，有 ln_{(1 + ) >  −}  2 2 ．解答利用 ln_{(1 + ) 的 1 阶麦克劳林公式．} .返回 .

.

1 234 5 6 7  

(111)

.

利用泰勒公式证明不等式

例 3 证明：当  > 0 时，有 ln_{(1 + ) >  −}  2 2 ．解答利用 ln_{(1 + ) 的 1 阶麦克劳林公式．} .返回

(112)

. .

.

利用泰勒公式求极限

例 4 求极限 lim →0 p 4+ 3 +p4− 3 − 4 2 ．解答利用 p1+  的 2 阶麦克劳林公式，求得极限等于 ₋ 9 32． .返回 .

.

1 234 5 6 7  

(113)

.

利用泰勒公式求极限

例 4 求极限 lim →0 p 4+ 3 +p4− 3 − 4 2 ．解答利用 p1+  的 2 阶麦克劳林公式，求得极限等于 ₋ 9 32． .返回

(114)

. .

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初等函数的麦克劳林公式

.. e = 1 +  +  2 2! + 3 3! + 4 4! + · · · + n n! + Rn() sin =  −  3 3! + 5 5! − · · · + (−1) n−1  2n−1 (2n − 1)! + R2n() cos = 1 −  2 2! + 4 4! − · · · + (−1) n  2n (2n)! + R2n+1() · · · · ln(1 + ) =  −  2 2 + 3 3 − 4 4 + · · · + (−1) n−1 n n + Rn() (1 + )α _{= 1 + C}1 α+ C 2 α 2_{+ C}3 α 3_{+ · · · + C}n α n_{+ R} n() .

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1 234 5 6 7  

(115)

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复习与提高

复习 1 求函数 ƒ_{() = ln(2 + ) 的带有佩亚诺余项} 的 4 阶麦克劳林公式．

(116)

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复习与提高

题 1 求极限 lim →0 e2+ 2 cos  − 3 4 ． .

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1 234 5 6 7  

(117)

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题 2 设函数 ƒ_{() 在 [−1},1] 上具有三阶连续导数，

ƒ(−1) = 0, ƒ (1) = 1, ƒ′(0) = 0．证明至少存在一点

(118)

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洛必达法则

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第二节

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泰勒公式 .

第三节

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单调性与凹凸性

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第四节

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极值与最值

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第五节

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函数图形的描绘

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第六节

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(119)

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单调性与凹凸性

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第四节

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函数的单调性

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A

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曲线的凹凸性

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B

(120)

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定理 1 设 ƒ_{() 在闭区间 [},b] 上连续，在开区间 (,b) 上可导，那么 (1) 如果在 _(,b) 上恒有 ƒ′() > 0，则 ƒ () 在 [,b] 上单调增加． (2) 如果在 _(,b) 上恒有 ƒ′() < 0，则 ƒ () 在 [,b] 上单调减少． 注记若在区间上 ƒ′_{() = 0 的点仅有有限个，仍有} (1) 在 _(,b) 上 ƒ′()¾ 0 ⇨ 在 _[,b] 上单调增加． (2) 在 _(,b) 上 ƒ′()¶ 0 ⇨ 在 _[,b] 上单调减少． .

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1 2 345 6 7  

(121)

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定理 1 设 ƒ_{() 在闭区间 [},b] 上连续，在开区间 (,b) 上可导，那么 (1) 如果在 _(,b) 上恒有 ƒ′() > 0，则 ƒ () 在 [,b] 上单调增加． (2) 如果在 _(,b) 上恒有 ƒ′() < 0，则 ƒ () 在 [,b] 上单调减少． 注记若在区间上 ƒ′_{() = 0 的点仅有有限个，仍有} (1) 在 _(,b) 上 ƒ′()¾ 0 ⇨ 在 [,b] 上单调增加．

(122)

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函数的单调性

例 1 确定下列函数的单调增减区间． (1) ƒ() = 3− 3 (2) ƒ() = 3 (3) ƒ() =  − sin  (4) ƒ() = p3 2 注记通常可用这两类点来划分单调区间： (1) 导_· 数_· 为_· 零_· 的_· 点_· ； (2) 导_· 数_· 不_· 存_· 在_· 的_· 点_· ．定义导数为零的点称为函数的驻点． .

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1 2 345 6 7  

(123)

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函数的单调性

例 1 确定下列函数的单调增减区间． (1) ƒ() = 3− 3 (2) ƒ() = 3 (3) ƒ() =  − sin  (4) ƒ() = p3 2 注记通常可用这两类点来划分单调区间： (1) 导_· 数_· 为_· 零_· 的_· 点_· ； (2) 导_· 数_· 不_· 存_· 在_· 的_· 点_· ．定义导数为零的点称为函数的驻点．

(124)

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函数的单调性

例 1 确定下列函数的单调增减区间． (1) ƒ() = 3− 3 (2) ƒ() = 3 (3) ƒ() =  − sin  (4) ƒ() = p3 2 注记通常可用这两类点来划分单调区间： (1) 导_· 数_· 为_· 零_· 的_· 点_· ； (2) 导_· 数_· 不_· 存_· 在_· 的_· 点_· ．定义导数为零的点称为函数的驻点． .

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1 2 345 6 7  

(125)

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函数的单调性

例 1 确定下列函数的单调增减区间． (1) ƒ() = 3− 3 (2) ƒ() = 3 (3) ƒ() =  − sin  (4) ƒ() = p3 2 注记通常可用这两类点来划分单调区间： (1) 导_· 数_· 为_· 零_· 的_· 点_· ； (2) 导_· 数_· 不_· 存_· 在_· 的_· 点_· ．

(126)

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零点问题

例 2 证明方程 5_{− 5 + 1 = 0 在 [0}_,₁_{] 上有唯一} 实根． .

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(127)

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不等式问题

例 3 证明当  > 0 时有不等式 e _{> 1}_{+ ．} 例 4 证明当  > 0 时有 ₋  3 6 < sin ．

(128)

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不等式问题

例 3 证明当  > 0 时有不等式 e _{> 1}_{+ ．} 例 4 证明当  > 0 时有 ₋  3 6 < sin ． .

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(129)

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单调性与凹凸性

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第四节

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函数的单调性

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A

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曲线的凹凸性

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B

(130)

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定义 1 设函数 ƒ_{() 在区间  上连续．} (1) 如果对任何  上任何两点 1 和 2，恒有 ƒ(1) + ƒ (2) 2 > ƒ _ 1+ 2 2 则称曲线 ƒ_{() 在区间  上是}凹（上凹）的． (2) 如果对任何  上任何两点 1 和 2，恒有 ƒ(1) + ƒ (2) 2 < ƒ _ 1+ 2 2 则称曲线 ƒ_{() 在区间  上是}凸（下凹）的． .

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