國小六年級學童分數除法計算及文字題概念結構分析之研究
113
0
0
全文
(2) 摘要 本研究的目的旨在建立一份具有效度及信度的分數除法試題，並藉由選項分 析及試題關聯結構分析來探討國小六年級學童在分數除法上的概念結構，根據研 究結果做出以下結論： 一、依通過率由高到低排序，計算題型部分為整數除以整數、分數除以分數、整 數除以分數及分數除以整數，文字題部分為等分除、包含除、逆運算、當量 數、有餘數題型。 二、低分組學生除了在整數除以整數的計算題外，其他的計算題型及文字題皆表 現不佳，而高分組學生除了有餘數的文字題外，其他的計算題型及文字題皆 表現很好。 三、分數除法計算概念的教學，以「整數除以整數」-「分數除以分數」-「分數 除以整數」-「整數除以分數」的順序來進行教學會比較符合學生的概念結構。 四、要進行分數除法等分除教學時，應先設計「分數除以整數」題型的教學再進 行「整數除以整數」題型的教學。 五、進行分數除法倍數關係的教學時，可以先從「同分母且分子可被整除」的題 型著手，再來再進行「整數除以分數」或「分數除以整數」的題型，最後再 進行「分數除以分數(異分母)」的教學。 六、在進行逆運算題型教學時可以先從面積逆運算的問題作引入，而對於求基準 量的問題，學生們的概念是獨立的，也就是說教學時對於這個概念可以獨立 教學。 七、在當量除的題型中，求單位當量的題型與求單量數的題型對學生而言是互有 關聯的，所以老師在教學時可以同時講解兩種題型，加強學生對這兩題型的 關聯性。 八、要進行「分數除法文字題(有餘數)」題型的教學時，教學順序依序為「計算 概念」-「分數除法文字題(等分除)」-「分數除法文字題(當量除)」-「分數 I.
(3) 除法文字題(有餘數)」。 九、文字題教學應先由包含除的題型教起，再來是等分除，再來是逆運算，然後 是當量除的題型，最後才是有餘數的題型。. 關鍵詞：分數除法，選項分析，試題關聯結構分析. II.
(4) Abstract Establishing the reliability and validity of factional division examination questions is the purpose of the study. The factional division conception of the sixth grade students in elementary schools are discussed with the test of Options Analysis and Item Relational Structure Analysis. According to the result of the study, there are some conclusions. 1.. The arrangement of the pass rate is from high to low. The whole questions are divided into two parts. One is calculation problem which is composed of number division, fractions divided by fractions (identical denominators), fractions divided by fractions (different denominators), integrals divided by fractions and fractions divided by integrals. The other is word problem that consists of partitive division, quotative division, division as the inverse of multiplication , extended partitive division and the questions of remainder.. 2.. The low part students didn’t do well on the word problem and the calculation problem except number division. However, the high part students did well on the word problem and the calculation problem except remainder questions.. 3.. The best order of factional division teaching that the learners may comprehend easily is from number division, fractions divided by fractions (identical denominators and different denominators), fractions divided by integrals to integrals divided by fractions.. 4.. The teaching of number division should be introduced before the unit of fractions divided by integrals.. 5.. The questions of the same denominator and numerator which can be divided with no remainder are regarded as the first method of the introduction of factional division multiple relations. The next one is integrals divided by fractions or fractions divided by integrals. The last is fractions divided by III.
(5) fractions (different denominators). 6.. The teaching of division as the inverse of multiplication can be understood by the measure of area teaching. Not only the learners but also the training is independent for the baseline.. 7.. It’s relative for the students to learn basic quantity and ratio quantityfor students about extended partitive division. Therefore, teachers could introduce them at the same time. It will reinforce the students’ comprehension.. 8.. The word problem of factional division with remainder which can be taught hsd four methods. The best order is computing concepts, partitive division, extended partitive division and the factional division with remainder.. 9.. The first item of the word problem teaching is quotative division. The second is partitive division. The third is division as the inverse of multiplication. The fourth is extended partitive division. And then the last one is remainder questions.. Key words: Factional Division ,Option Analysis,Item Relational Structure Analysis. IV.
(6) 目次 第一章 緒論 .................................................................................................................... 1 第一節 研究動機 .................................................................................................... 1 第二節 研究目的 .................................................................................................... 2 第三節 名詞釋義 .................................................................................................... 3 第四節 研究範圍與限制 ........................................................................................ 5 第二章 文獻探討 ............................................................................................................ 7 第一節 分數的意義 ................................................................................................ 7 第二節 分數除法相關研究 .................................................................................. 10 第三節 國小分數除法教材分析 .......................................................................... 15 第四節 試題關聯結構分析 .................................................................................. 21 第三章 研究方法 .......................................................................................................... 33 第一節 研究架構 .................................................................................................. 33 第二節 研究對象 .................................................................................................. 34 第三節 研究工具 .................................................................................................. 34 第四節 研究流程 .................................................................................................. 41 第五節 資料處理 .................................................................................................. 42 第四章 研究結果與分析 .............................................................................................. 43 第一節 試題性質分析 .......................................................................................... 43 第二節 選項分析 .................................................................................................. 47 第二節 選項分析 .................................................................................................. 48 第三節 試題關聯結構分析 .................................................................................. 70 第五章 結論與建議 ...................................................................................................... 87 第一節 結論 .......................................................................................................... 87 第二節 建議 .......................................................................................................... 90 V.
(7) 參考文獻 ........................................................................................................................ 92 中文部分 ................................................................................................................ 92 英文部分 ................................................................................................................ 93 附錄.................................................................................................................................96 附錄一 國小學童分數除法試題 .......................................................................... 96 附錄二 試題檢核表 ............................................................................................ 100 附錄三 國小六年級學童分數除法概念試題專家效度調查問卷 .................... 101. VI.
(8) 表 次 表 2-1. 九年一貫數學領域 92 課綱與 97 課綱比較...................................................18. 表 2-2. A、B 組學生得分情形.....................................................................................22. 表 2-3. A、B 組學生得分情形簡.................................................................................22. 表 2-4. A、B 組學生得分高低排序.............................................................................23. 表 2-5. A、B 組學生得分高低、答對人數排序 S-P.....................................................23. 表 2-6. 試題順序係數...................................................................................................27. 表 2-7. 試題順序 0-1 矩陣............................................................................................28. 表 3-1. 分數除法試題細目...........................................................................................38. 表 3-2. 預試結果分析...................................................................................................40. 表 4-1. 試題 Cronbach’s α 信度分析.............................................................................43. 表 4-2. 試題難度分析...................................................................................................45. 表 4-3. 試題鑑別度分析...............................................................................................47. 表 4-4. 第一題選項分析...............................................................................................48. 表 4-5. 第二題選項分析...............................................................................................49. 表 4-6. 第三題選項分析...............................................................................................49. 表 4-7. 第四題選項分析...............................................................................................50. 表 4-8. 第五題選項分析...............................................................................................50. 表 4-9. 第六題選項分析...............................................................................................51. 表 4-10 第七題選項分析...............................................................................................51 表 4-11 第八題選項分析...............................................................................................52 表 4-12 第九題選項分析...............................................................................................52 表 4-13 第十題選項分析...............................................................................................53 表 4-14 第十一題選項分析...........................................................................................53 VII.
(9) 表 4-15 第十二題選項分析...........................................................................................54 表 4-16 第十三題選項分析...........................................................................................54 表 4-17 第十四題選項分析...........................................................................................55 表 4-18 第十五題選項分析...........................................................................................55 表 4-19 第十六題選項分析...........................................................................................56 表 4-20 第十七題選項分析...........................................................................................56 表 4-21 第十八題選項分析...........................................................................................57 表 4-22 第十九題選項分析...........................................................................................57 表 4-23 第二十題選項分析...........................................................................................58 表 4-24 第二十一題選項分析.......................................................................................58 表 4-25 第二十二題選項分析.......................................................................................59 表 4-26 第二十三題選項分析.......................................................................................59 表 4-27 第二十四題選項分析.......................................................................................60 表 4-28 第二十五題選項分析.......................................................................................60 表 4-29 第二十六題選項分析.......................................................................................61 表 4-30 第二十七題選項分析.......................................................................................62 表 4-31 第二十八題選項分析.......................................................................................62 表 4-32 第二十九題選項分析.......................................................................................63 表 4-33 第三十題選項分析...........................................................................................64 表 4-34 全部學生分數除法計算題通過率分析...........................................................65 表 4-35 全部學生分數除法情境題通過率分析...........................................................66 表 4-36 高分組學生分數除法計算題通過率分析.......................................................67 表 4-37 高分組學生分數除法情境題通過率分析.......................................................67 表 4-38 低分組學生分數除法計算題通過率分析.......................................................68 表 4-39 低分組學生分數除法情境題通過率分析.......................................................68 表 4-40 試題關聯順序性係數一覽...............................................................................70 VIII.
(10) 表 4-41 試題關聯順序 0-1 矩陣....................................................................................71 表 4-42 計算試題概念分析...........................................................................................72 表 4-43 等分除試題概念分析.......................................................................................75 表 4-44 包含除試題概念分析.......................................................................................77 表 4-45 逆運算試題概念分析.......................................................................................79 表 4-46 當量除試題概念分析.......................................................................................80 表 4-47 有餘數試題概念分析.......................................................................................82. IX.
(11) 圖 次 圖 2-1. A、B 組學生試題關聯結構圖...........................................................................25. 圖 2-2. 試題關聯結構圖之簡化圖...............................................................................29. 圖 3-1. 研究架構圖.......................................................................................................33. 圖 3-2. 分數除法概念結構圖.......................................................................................35. 圖 3-3. 分數除法試題結構圖(計算概念) ....................................................................36. 圖 3-4. 分數除法試題情境分佈結構圖.......................................................................37. 圖 3-5. 研究流程圖.......................................................................................................41. 圖 4-1. 分數除法計算概念結構圖...............................................................................73. 圖 4-2. 分數除法等分除概念結構圖...........................................................................75. 圖 4-3. 分數除法包含除概念結構圖...........................................................................78. 圖 4-4. 分數除法逆運算概念結構圖...........................................................................79. 圖 4-5. 分數除法當量除概念結構圖...........................................................................81. 圖 4-6. 分數除法有餘數概念結構圖...........................................................................83. 圖 4-7. 分數除法情境題概念結構圖...........................................................................84. X.
(12) 第一章 緒論 除法在小學階段一直都是很重要的課題，尤其是分數的除法，許多學生在學 習時常常形成一些迷思概念，而加上文字敘述後的情境題，更使學生學習產生困 難。本研究依據測驗理論編製了一分試題，用來分析國小六年級學生在分數除法 的知識結構，且藉由試題關聯結構分析法(簡稱IRS)，來分析學生在分數除法這單 元的概念結構，以供教師們了解學生們的概念結構，進而改善教學。 本章第一節先說明研究動機，第二節說明研究目的，第三節則對於研究內容 所提到的名詞作釋義，最後第四節再對研究範圍與限制做說明。. 第一節 研究動機 「分數」在小學階段一直以來都是一個非常重要的概念，九年一貫九十二年 公佈的正式課程綱要中將原本要在國中一年級學習的分數學習內容提早一年到國 小六年級進行，可見分數在小學階段的重要性；所以分數對於學生甚至是老師來 說是都是很重要的一個課題，因為學生分數的概念在小學時就必需建構完整，學 生如何建構分數概念？老師如何教學？這是非常重要的。 分數對於學生的重要性如何？可由以下學者看出：楊瑞智(2000)曾談到分數的 重要性，可以從三個方面來探討：(1)從實際層面，有效的處理分數概念可以增進 瞭解與掌握真實世界問題的能力；(2)從心理層面，分數提供豐富的領域可用以發 展兒童智力及擴展心智結構；(3)從數學層面，分數的瞭解提供之後學習小數、比、 機率、基本代數運算的基礎。可見分數對於學生的影響不只是數學能力，連生理、 心理都會有影響。呂玉琴(1991)也曾指出分數在數學科和自然科甚至日常生活中是 很常用的概念，所以分數的概念對學生來說真的很重要。 然而，大部分的學生在學習分數時卻遭遇到困難，就如同國外學者Behr, Harel, Post and Lesh（1992）所說的： 「學習分數為兒童數學發展上的嚴重障礙」 ，因為在 國小階段分數是最高概念，也是國小最難教材(劉秋木，1996)；而分數教學中最後 教到的單元為「分數除法」 ，分數除法通常被認為是國小數學課程中，最機械化且 1.
(13) 最難理解的內容(Fendel,1987)。 分數除法是所有分數概念中最後教到的概念，這單元被安排在國小六年級， 研究者剛好任教於六年級，而在進行「分數除法」單元教學時，發現除了程度較 差的學生之外，大部分學生對於分數的計算大都沒問題，但對於文字題的表現卻 與計算題落差很多，鄭昭明（1996）認為國小學生解數學文字題的能力比基本計 算能力差主要原因是因為從語文式的數學變成形式數學的過程中涉及許多的轉 換，所以學生在分數除法的學習結構是如何發展？尤其在文字題方面的概念結 構，是研究者所想要探討的問題。 關於概念結構的研究方法，有日本學者竹谷誠提出的試題關聯結構分析法（簡 稱 IRS），IRS是以測驗試題的結果，按題目間反應所得的順序關係，製成具有指 向性的圖形結構，來分析試題特性的分析法，有助於教師進行教學設計、了解學 童的認知學習構造及概念的形成過程、對形成性評量的結果進行補救教學並提供 教科書編者對課程教材構造之了解(許天維，1995)。它與古典測驗理論及試題反應 理論不同的是，它能分析出試題之間的層次與關係，並藉由結構圖表示出試題之 間的關係，以了解學生的知識結構（簡茂發、劉湘川、許天維、林原宏，1995）。 因此，本研究依據南一版第十一冊「分數除法」單元，編製一份包含計算及 文字題的分數除法試題作為測驗工具，先對於學生的計算概念及文字題作答表現 做分析，再應用試題關聯結構分析法，來分析學童在分數除法上的認知結構，藉 此了解學童分數除法的概念及其知識結構的發展。期望透過此研究能對國小學童 在分數除法上的學習及教師的教學上有所幫助。. 第二節 研究目的 綜合上述的研究動機，提出本研究的目的，分述如下： 一、建立一份具信度、效度，並能檢視分數除法概念的試題。 二、利用選項分析，探討國小六年級學童在分數除法單元計算題及文字題的解題 情形。 2.
(14) 三、利用IRS，瞭解國小六年級學童分數除法概念的上下位結構。. 第三節 名詞釋義 此節將本研究重要的相關名詞定義如下： 一、國小六年級學童 本研究中所指之國小六年級學童係指雲林縣某國小六年級全體學生共65人。 二、低分組學生 本研究中所指之低分組學生係指將受試學童的施測成績由低排到高，以累積 百分比第25%之分數作為標準，施測成績等於或少於此分數的學生為低分組學生， 本研究低分組學生共有17人。 三、高分組學生 本研究中所稱之高分組學生係指將受試學童的施測成績由低排到高，以累積 百分比第75%之分數作為標準，施測成績高於此分數的學生為高分組學生，本研究 高分組學生共有16人。 四、分數 本研究中所稱之分數即包含真分數、假分數、帶分數。 五、單位分數. 1 1 1 本研究所指之單位分數係指分子為1的分數，如 、 …等即為單位分數，而 3 7 3 是. 2 1 3 的單位， 是 的單位。 3 7 7. 六、分數除法 根據幼獅數學大辭典(1983)解釋，分數除法即分數與他數相除之法；而本研究 所指分數除法包含整數÷整數＝分數、分數÷整數、整數÷分數、分數÷分數。 七、情境問題. Cummins（1991）認為文字題是以日常的生活事件為材料，且用語文型態來描 述數學問題情境；而本研究所指的情境問題為九年一貫課程數學領域中分數除法 3.
(15) 單元的情境問題，且依問題情境將分數除法分為包含除情境、等分除情境、逆運 算情境、當量除情境、有餘數情境。. (一)包含除情境 包含除即單位數未知的單位量轉換問題，其式子為「總量÷單位量＝單位數」， 例如：「20塊大餅，每. 4 塊裝一盤，全部裝完，可以裝多少盤？」 5. (二)等分除情境 等分除即單位量未知的單位量轉換問題，其式子為「總量÷單位數＝單位量」， 2 例如：「將1 張紙平分給3人，每人可得多少張？」 5. (三)當量除情境 當量除即當量轉換的問題，其式子為「當量值÷單位當量=當量數」，例如： 1 2 「一個籃子可以裝1 公斤的物品，現在有6 公斤的物品，全部裝完，可以裝幾 7 5 7 個籃子？」，另一式子為「當量值÷當量數=單位當量」，例如：「一條繩子的 是 8 2 2 公尺，這條繩子的全長是多少公尺？」 3. (四)逆運算情境 本研究所稱逆運算即為乘法的逆運算的情境題，利用除法來解題，例如：「有 3 一塊長方形的土地，面積是6 平方公尺，寬是3公尺，則這塊土地的長是幾公尺？」 5. (五)有餘數情境 本研究所稱有餘數情境，即分數相除之後的餘數問題，亦即該題的答案是有 餘數的，學生必須判斷該題分數相除後的餘數是多少，例如： 「一袋麵粉有5公斤， 每. 2 公斤裝滿1包，最多可以裝滿多少包？剩下多少公斤？」 7. 八、試題關聯結構分析法 本研究所稱試題關聯結構分析法即日本學者竹古誠在1980年所提出的試題概 念分析法，此分析法是依試題間的上下位關係來分析學生的概念結構，而此分析 4.
(16) 法也簡稱為IRS。. 第四節 研究範圍與限制 由於時間、人力、物力及受試者等種種因素的影響，本研究有以下的研究限 制與研究範圍。 一、就研究內容而言 本研究之測驗內容為九年一貫國民小學數學領域六年級的「分數除法」單元， 因此不宜將本研究結果推論到其他單元的概念。 二、就研究對象而言 受限於時間、人力等因素，本研究以雲林縣海線某國民小學六年級學童共65 人為研究對象，所以結果不宜過度推論以及解釋成為普遍性的類推，若人力及時 間許可，可以增加研究對象的區域及人數。 三、就研究方法而言 本研究方法是為一種「驗證測試」，所以推論結果只能適用於相同的情境， 不能過度解釋，對於其他不同的情境，此研究方法不見得適用。 四、就研究工具而言 本研究只以紙筆測驗的結果，用試題關聯結構分析法(IRS) 分析學童分數除法 概念的認知情形，如果時間及人力允許，可以利用實作評量、晤談等研究的工具。. 5.
(17) 6.
(18) 第二章 文獻探討 本章主要探討分數除法的相關理論及教材內容，以及試題關聯結構分析理 論，本章共分成四節，第一節為分數的意義，第二節為分數除法相關研究，第三 節為國小分數除法教材分析，第四節為試題關聯結構分析。. 第一節 分數的意義 數學發展先是以自然數為基礎，但在日常生活中，常常有無法以整數來呈現 的情況， 「分數」就是用來解決這種情況的數學表示方法，像呂玉琴（1996）就認 為分數概念是起於「分」，是用來解決不滿一個單位量的量，其量的數值的問題， 如日常生活中的分蛋糕、分pizza就是分數的問題。而劉秋木(1996)認為在國小的課 程中，分數的概念是算比較高階的概念，分數概念是往後學習數學的基石，也是 基礎數學與高深數學的分水嶺，所以分數的概念在國小階段可說是一個非常重要 的概念；分數的相關研究國內外的文獻都相當的多，各學者專家在分數的定義或 分類也有不同的看法跟見解，以下介紹各學者對於分數的定義與分類。 一、在數學上是以有理數來定義分數，若能以. q 表示的即為分數，其中 p、q 皆為 p. 整數，且 p 不能為 0。（教育部，2003；Corwin, Russel, & Tierney, 1990）。 二、教育部的九年一貫課程綱要則指出有理數即是分數，而且有理數有四種意涵， 最後歸結成日後數學學習中，有理數最核心的意涵－「除的意涵」。（教育部，. 2003）。 (一)平分的意涵 (二)測量的意涵 (三)比例的意涵 (四)部分/整體的意涵。 三、林碧珍（1990）對於分數的定義有下列五種：. (一)部分－整體模式：全部區域的部分區域，以連續量為主（容積、長度、面積） 7.
(19) (二)子集合－集合模式：集合中的部分集合 (三)數線模式：數線上的一個數值 (四)商模式：兩個整數相除的結果 (五)比值模式：二個集合或二個度量相除的結果 四、Kieren(1980)認為分數有下列五種意義. (一)部分－整體的關係 (二)比值關係 (三)商 (四)運算元 (五)測量 五、Dickson, Brown and Gibson（1984）提出分數的五個意義：. (一)部分－整體 (二)子集合和全體集合的比較 (三)數線上兩個整數間的一點 (四)除法運算的結果 (五)兩個集合或兩個測量物的大小比較 六、楊瑞智（2000）認為分數概念具有以下的十種意義：. (一)「部分/全部」 (連續量) (二)「子集合/集合」 (離散量) (三)乘法運算元 (四)等值分數 (五)整數除法的結果 (六)分數是一個數或數線上的一個點 (七)平均（含速率、密度） (八)當量 8.
(20) (九)比例或比值 (十)機率 七、楊壬孝認為分數有四種意義. (一)一個整體之相等的部份 (二)一個集合等分組後的幾組 (三)數線上的一個數值 (四)兩數相除的結果 八、Behr and Post（1988）定義分數為：. (一)部分-全部的概念 (二)比率：即兩個數量間的關係 (三)比值：用一個數值來代表兩個數量的關係 (四)商：兩數相除的結果 由以上可以看出學者專家對於分數的定義非常多，但仔細觀察，其實每位學 者的看法大同小異，研究者綜合以上學者專家看法，將分數的意義分成四類：. (一)部分－整體 這裡的分數代表了整體裡的部分，例如一條繩子分成5等分，每一等分(部分). 1 對於整條繩子(整體)而言就是 。 5 (二)數值 這裡的分數代表了一個數，與整數是同等地位的，在數線上也占了一個位置， 如. 2 2 公斤的西瓜， 只是代表了一個數值。 5 5. (三)兩數相除的結果 這裡的分數代表了兩數相除的結果，也就是純粹以計算而言，如3除以5，我. 3 們可以寫成 。 5 (四)比值、比率 9.
(21) 這裡的分數代表了兩數間的關係，例如甲是4，乙是5，甲對乙的比值則為. 4 ， 5. 4 也可以說甲是乙的 倍。 5. 第二節 分數除法相關研究 分數的概念常是國小階段學生最感到困擾的，而其中分數的除法則是分數教 教材中最難的一個單元，Fendel（1987）和Payne（1976）就曾指出，分數除法在 國小階段通常被視為最難的單元，在處理分數除法的運算時，大多數的學生只死 記著「分數除法就是將除數倒過來乘以被除數」，並不了解為什麼，死記的結果 就容易混淆、容易忘記，所以學生在處理分數除法運算時會有許多類型的錯誤， 所以此節的第一部分將探討有關學生常見的錯誤類型；不過分數除法單元裡真正 令學生感到困擾的則是文字題的部分，Aksu (1997) 探討六年級學生在「分數的意 義」、「分數的計算」及「分數的文字題」的表現情形，發現學生表現最好的部 分是「分數的計算」，表現最差的部分則是「分數的文字題」，所以第二部分則 針對分數除法情境相關文獻做探討。 一、分數除法運算錯誤類型. (一) Tirosh(2000）指出，學生在分數除法常犯的錯誤類型有三種： 1.因演算而犯的錯誤 Ashlock（1990）, Barash and Klein（1996）提到，學生在處理分數除法的運算 時，最常見的錯誤就是將被除數顛倒，或者是將除數及被除數都顛倒。原因就是 學生死記運算方法所致。. 2.因直覺而犯的錯誤 這是因學生對於除法的直覺而產生的錯誤，Deri, Fischbein, Marino, & Nello （1985）指出學生在除法的運算中，會將自然數的運算特性套用到分數上，比如 除數必須小於被除數等等，這都是因為學生已經被自然數的運算特性給限制住了。. 3.因形式認知不足而犯的錯誤 這是學生對於運算概念的認知不足而產生的錯誤，像Hart（1981）的研究顯示， 10.
(22) 有些學生認為除法也是有交換律，比如. 2 3 3 2 ÷ ＝ ÷ 5 7 7 5. (二)分數除法錯誤情形歸納（Brueckner, 1931；Lankford, 1972；Painter, 1989）： 1. 計算方法錯誤（用乘法計算）。 例如：. 3 1 3 1× 3 ÷ ＝ ＝ 2 5 2 × 5 10. 2. 計算錯誤。 3. 不瞭解計算步驟。 （1）被除數倒置。. 3 2 5 2 例如： ÷ ＝ × 5 7 3 7 （2）除數及被除數均倒置。. 3 2 5 7 35 例如： ÷ ＝ × ＝ 6 5 7 3 2 （3）加分子，乘分母。 例如：. 6 2 4 2+4 ÷ ＝ ＝ 5× 7 35 5 7. （4）忽略被除數中的分母。. 3 4 3 7 3× 7 21 例如： ÷ ＝ × ＝ ＝ 4 4 5 7 5 4 4. 假分數化成帶分數，計算錯誤。 5. 帶分數化成假分數，計算錯誤。 6. 消去時發生錯誤。 （1）分母約分發生錯誤。 （2）分子約分發生錯誤。 （3）相消得0。. 3 3 例如： ÷ ＝0 8 8 7. 分母不變，但分子直接做除法運算。. 6 3 6÷3 2 ÷ ＝ ＝ 7 7 7 7 11.
(23) 8. 帶分數除以整數時，只做整數之間的運算。 2 2 2 例如：6 ÷3＝(6÷3)+ ＝2 5 5 5 9. 帶分數除以一個分數時，整數不變，只處理分數的部分。 例如：6. 5 2 5 3 15 ÷ ＝6 × ＝6 11 3 11 2 22. 10. 未求出第二個分數的倒數，而直接做乘法運算。 3 2 3× 2 6 例如： ÷ = = 5 7 5 × 7 35 12. 帶分數除以帶分數時，整數與分數分別運算。 4 3 4 3 20 20 例如：6 ÷3 =(6÷3)+ ( ÷ )=2+ =2 7 5 7 5 21 21 13. 除數沒有先求出其倒數，便直接計算。 例如：. 10 2 10 ÷ 2 ÷ = 17 3 17 ÷ 3. 14. 帶分數除以整數時，只以分子除以整數，其餘都不變。. 4÷2 4 2 例如：6 ÷2＝6 =6 5 5 5 15. 分母不變，但分子相減。 例如：. 5 3 5 3 2 ÷ ＝ - ＝ 7 7 7 7 7. 學生在分數除法的運算錯誤類型非常的多，而本研究的計算題選項也依這些 錯誤類型來設計題目；而在計算題型方面，本研究則依現行教科書的分類將分數 除法的計算題型分為四類：「整數÷整數」、「分數÷整數」、「整數÷分數」、「分數÷ 分數」。 二、分數除法文字情境 我們在設計數學題目時，會依學生的日常生活的情境來設計題型，希望藉此 讓學生的數學概念與生活情境相結合，不過通常卻因此加深了題目的難度，所以 學生在文字題的表現與計算題落差非常大，Greer(1992)統整文獻認為，當解題時 12.
(24) 的運算概念不再以單純計算為考量時，而是以問題的情境模式來考量，更加顯示 出解題運算的心理複雜度。所以劉祥通、周立勳(2001)指出，問題情境實為影響 解題者解題的重要因素。 研究者依據教科書內容及整理分數除法情境問題相關文獻（呂玉琴，1998；. Sinicrope, Mick ＆ Kolb, 2002； Greer, 1992），將現行分數除法的情境分為五類： 「等分除」、「包含除」、「當量除」、「逆運算」、「有餘數問題」。. (一) 等分除 一般來講，除法的情境通常分為等分除及包含除，等分除即：「總量÷單位數 ＝單位量」，例如「10顆蘋果分給5個人，每個人得到幾顆蘋果？」，此題的情境 就是要將10顆蘋等分為5份，求每份的量是多少，其中總量就是10顆蘋果，單位數 就是5個人，所以單位量就是10÷5＝2，而2就是單位量，以這題來講也就是每個單 位數有2個單位量。. (二)包含除 朱建正(1997）曾提到，包含除是分數除法的基本問題結構，分數除法應以包 含除為學習起始點，包含除就是探討同一度量的兩值間的關係（Vergnaud, 1983）， 其運算式為：「總量÷單位量＝單位數」，例如「10顆蘋果每人分2顆，可以分給 幾個人？」，其中10顆蘋果就是總量，每個人分2顆就是單位量，而10÷2＝5，5就 是單位數。. (三)當量除 在整數的除法裡，情境就分為等分除及包含除，但是推及分數或小數的運算 時，等分除及包含除的概念則不足以說明除法的意義，例如「. 1 公尺長的鐵條重3 7. 1 公斤，問1公尺長的鐵條重多少公斤？」，此題的解法為「3÷ ＝21」，若以包含 7 1 除的概念來看，3公斤並不包含 公尺，而以等分除的概念來看，3公斤又無法以 7 平分成. 1 等分來解釋，所以在分數或小數的部分勢必要賦予一個新的概念，所以 7 13.
(25) 在82 年部編本就將原先單位量轉換的觀點，擴充為單位當量轉換的觀點，也就是 「當量除」的題型，其運算式為：「當量值÷當量數＝單位當量」，其中「單位當 量」就是某物質「一個單位的量相當於多少的意思」，以上述題目來看，1公尺的. 1 1 重量就是單位當量，而3公斤為當量值， 為當量數，也就是說以1公尺為單位， 7 7 1 1 1 1 公尺，是占全部的 ，也就是 份，3公斤的鐵條就相當於 份單位，所以將3÷ 7 7 7 7 即可算出一個單位當量的值。簡單來講「當量除」就是在求「一單位之量」的問 題，而其擴充的算式為：「當量值÷單位當量＝當量數」。 (四) 逆運算 這裡所謂逆運算即為乘法的逆運算，常見的問題就是已知長方形面積求長或 寬，就以Sinicrope 等人（2002）曾經舉一個例子說明逆運算，「一個長方形的. 3 6 3 單位，面積為 平方單位，求此長方形寬是多少？」此題可以想成 ×寬 4 20 4. 長為 ＝. 6 6 3 ，寬＝ ÷ ，此種算法即為逆運算。 20 20 4. (五) 有餘數問題 有餘數問題其實是屬於包含除的問題，不過研究者在實際教學上發現，學生 對於「有餘數問題」的概念非常不清楚，尤其是餘數的部分，所以研究者特別把. 2 3 這類的問題從包含除裡抽出來；例如「一袋米有4 公斤，每 公斤裝滿1包，最多 5 7 1 2 1 3 2 可以裝滿多少包？剩下多少公斤？」，正確的算法應該是「4 ÷ ＝9 ， × 10 7 10 5 7. 1 1 ，最多可以裝滿9包，剩下 公斤」，而學生常犯的錯誤就是把商的分數部 35 35 1 分直接當做餘數，如上題，做錯的學生大多數都寫成「最多可以裝滿9包，剩下 10 ＝. 公斤」，而不知道其實. 1 1 代表的是 包，這也顯示其實學生只會計算，而對於算 10 10. 式所代表的意義並不了解。. 14.
(26) 第三節 國小分數除法教材分析 分數除法單元是在國小六年級開始學習，本節第一部分將就現行國小分數除 法單元南一版做探討；九年一貫92課綱由90年國小一年級開始實施，93年全部實 施，而最近教育部又對九年一貫課程綱要做微調，新頒布97課綱，將於100學年度 小一、國一開始逐年向上實施，本節的第二部分就以九年一貫課程綱要來做探討。 一、國小分數除法單元教材. 99學年度南一版教材的分數除法單元是安排在國小六年級上學期的第二單 元，其單元內容共分為七個部分：. (一) 最簡分數 最簡分數即把一個分數的分子和分母用一個比1大的公因數約分，直到不能再 約，就是最簡分數。最簡分數的概念必須應用到公因數、甚至最大公因數的概念， 所以南一版教材是安排在公因數(五上第二單元)、最大公因數(六上第一單元)教完 時才進行最簡分數的教學，而分數除法在運算時也會運用到最簡分數的概念，即 分子與分母約分的概念。. (二) 分數除以整數 南一版將這個部分分成二點：. 1、當分子是整數的倍數時，直接將分子除以整數，分母不變。 如：. 6 6÷3 2 ÷3＝ ＝ 。 7 7 7. 2、當分子不是整數的倍數時，可先將分數擴分為分子能被整數整除的分數再計算。 如：. 2 2×3 6÷3 2 ÷3＝ ÷3＝ ＝ 。 7 7×3 21 21. 南一版在分數除以整數的計算時，就是將被除數的分子直接除以整數，若被除 數的分子不能被整數給整除，則把被除數擴分成可被整數整除的分數，最後經由 歸納：「分數除以整數時，被除數的分子不變，直接將分母乘以整數。」 如. B B ÷C＝ 。 A A×C 15.
(27) (三) 整數除以分數 南一版在這個部分，先是以整數除以整數做導入，如「有四個一樣大的蛋糕， 每個小朋友分到2個，共可分給幾個小朋友？」，然後再引入整數除以單位分數的. 1 教學，如「有四個一樣大的蛋糕，每個小朋友分到 個，共可分給幾個小朋友？」， 3 最後引入整數除以非單位分數的教學，如「有四個一樣大的蛋糕，每個小朋友分 到. 2 個，共可分給幾個小朋友？」，最後再引導學生歸納「整數除以分數時，可 3. 以先將除數的分子和分母顛倒，再與整數相乘。」. (四) 分數除以分數 南一版在這個部分，先是以同分母分數的除法做導入，同分母的話就是單位量. 5 3 5 一樣，所以同分母分數的除法就是將分子除以分子，如「 ÷ ＝5÷3＝ 」，再來 7 7 3 引入異分母的分數除法，做法與同分母分數除法一樣，只不過要先通分成同分母， 如「. 5 3 35 33 35 ÷ ＝ ÷ ＝35÷33＝ 」，而最後再引導學生歸納出「在分數除法中， 11 7 77 77 33. 可以先將除數的分子、分母顛倒後，再與被除數相乘」，如. B D B C ÷ ＝ × 。 A C A D. (五) 有餘數的分數除法 此部分南一版的教材有對算式做詳細的說明，如例題：. 一袋麵粉有5公斤，每. 2 公斤裝滿1包，最多可以裝滿多少包？剩下多少 7. 公斤？. 2 35 1 5÷ ＝ ＝17 (包) 7 2 2 2 1 1 × ＝ 公斤 7 2 7 1 1 1 1 2 1 1 說明：17 包就是可以裝滿17包，剩下 包， 包是1包的 ，是 × ＝ ， 2 2 2 2 7 2 7 也就是剩下. 1 公斤。 7 16.
(28) 不過這部分依研究者實際教學情形來看，很多學生對於這類問題還是不了解， 尤其是餘數都會直接寫成商的分數部分，而有些學生雖然可以把正確答案寫出 來，但是卻不了解為什麼，以上題為例，寫對的學生對於為什麼. 2 1 × 並不了解， 7 2. 只是死記餘數就是把商的分數部分去乘以第一個算式的除數，所以甚至有些學生 是將商的分數部分去乘以第一個算式的被除數，以上題為例，這些學生的餘數會. 1 寫成5× ，會發生這種情況就是因為學生死記算法，而不了解真正意義所致。 2 (六) 分數除法的應用 此部分的題型即乘法逆運算及當量除的題型，如乘法逆運算題型：「一個長方 形的長為. 2 7 公分，面積為 平方公分，求此長方形寬是多少？」，當量除題型： 5 20. 3 3 「 公尺鐵條的重量是3 公斤，同樣的鐵條1公尺重多公斤？」，而這部分的當量 4 8 除問題，南一版的解法是以乘法逆運算來說明，如上題南一版的做法為「（ ）×. 3 ＝3 ，（ 8. 3 4. 3 3 ）＝3 ÷ 」 8 4. (七) 被除數、除數和商的關係 此部分旨在讓小朋友了解：除數小於1，商大於被除數；除數大於1，商等於 被除數；除數大於1，商小於被除數。 二、九年一貫課程綱要 新版97課綱即將在100學年度由小一、國一新生逐年實施，而97課綱與92課綱 數學學習領域的差別並不大，所以97課綱可以說是92課綱的微調而已，其中改變 最大的應該是階段的不同，92課程綱要將國小國中分為四個階段，第一階段為一~ 三年級，第二階段為四~五年級，第三階段為六年級~國中一年級，第四階段是國 中二年級~國中三年級，而97課程綱要一樣分成四個階段，不過第一階段改成一~ 二年級，第二階段改為三~四年級，第三階段改為五~六年級，第四階段則為國中 一年級~國中三年級；其中有關國小分數的部分，在97課程綱要的教學目標有提 17.
(29) 到，學生要在第二階段應初步學習分數與小數的概念，第三階段要熟練小數與分 數的四則計算；再來就是97課程綱要與92課程綱要不同的一點就是分年細目重新 詮釋，使得前後文脈絡更為順暢，讓閱讀者更容易瞭解。另外，也適度微調分年 細目的年段，讓學生學習更易達成。接下來將比較92課程綱要與97課程綱要在有 關分數方面的異同： 表 2-1 九年一貫數學領域 92 課綱與 97 課綱比較表. 97課程課綱要. 年級. 三. 3-n-11. 92課程課綱要. 能在具體情境中，初 步認識分數，並解決 同分母分數的比較 與加減問題。. 3-n-09. 能在具體情境中，初步認識 分數，並解決同分母分數的 比較與加減問題。. 4-n-06. 能在平分情境中，理解分數 之「整數相除」的意涵。. (同 3-n-09) 4-n-07. 4-n-08 四. 能理解分數之「整數 相除」的意涵。( 修 4-n-06) 能認識真分數、假分 數與帶分數，熟練假 分數與帶分數的互 換，並進行同分母分 數的比較、加、減與 整數倍的計算。. 4-n-07. 能認識真分數、假分數與帶 分數，熟練假分數與帶分數 的互換，並進行同分母分數 的比較、加、減與非帶分數 的整數倍的計算。. (同 4-n-07). 五. 4-n-09. 能認識等值分數，進 行簡單異分母分數 的比較，並用來做簡 單分數與小數的互 換。(修 4-n-08). 4-n-10. 能將簡單分數標記 在數線上。. 5-n-06. 能用約分、擴分處理 等值分數的換算。. 4-n-08. 能理解等值分數，進行簡單 異分母分數的比較，並用來 做簡單分數與小數的互換。. 5-n-04. 能用約分、擴分處理等值分 數的換算。. 5-n-05. 能用通分作簡單異分母分 數的比較與加減。. (同 5-n-04) 5-n-07. 能用通分做簡單異 分母分數的比較與 加減。(同 5-n-05) 18.
(30) 表 2-1(續). 5-n-06. 5-n-08. 能理解分數乘法的 意義，並熟練其計 算，解決生活中的問 題。. 能在測量情境中，理解分數 之「整數相除」的意涵。. 5-n-07. 能理解乘數為分數的意義 及計算方法，並解決生活中 的問題。. 5-n-11. 能將分數、小數標記在數線 上。. 6-n-03. 能理解除數為分數的意義 及計算方法，並解決生活中 的問題。. (修 5-n-07). 5-n-09. 能理解除數為整數 的分數除法的意 義，並解決生活中的 問題。. (修 6-n-03) 5-n-13. 6-n-04. 能將分數、小數標記 在數線上。(同 5-n-11) 能理解分數除法的 意義及熟練其計 算，並解決生活中的 問題。. (修 6-n-03). 六. 6-a-02. 能將分數單步驟的 具體情境問題列成 含有未知數符號的 算式，並求解及驗 算。(修 6-a-02). 6-a-02*. 能使用未知數符號，將具體 情境中的問題列成兩步驟 的算式題，並嘗試解題及驗 算其解。. (一)九年一貫各年級有關分數概念的相關探討 三年級： 由表2-1可知，國小對於分數的認識是由三年級開始，在運算部分是先學習同 分母加減的計算。 四年級： 在四年級時會學到分數的整數相除、假分數帶分數互換、分數乘以整數、等 值分數；而97課綱與92課綱不同的是97課綱在四年級加入了「能將簡單分數標記 在數線上」，這個部分原本在以往是五年級才會學到，不過97課綱在四年級就先 19.
(31) 讓學生學習將簡單分數標示在數線上，而這部分的重點是要讓學生更深刻認識到 分數與整數、小數一樣都是「數」 ，因為都可以標記在數線上。另外在『4-n-07 理 解分數之「整數相除」的意涵』細目詮釋裡有提到，可以在具體情境中，讓學童 認識有餘數(不准分割之離散量個別單位，如5個糖果分給3個小朋友)與無餘數(准 許分割之連續量個別單位，5個披薩平分給3個小朋友)兩者間的不同，進而清楚理 解這兩種情境的差別，這概念就是分數除法有餘數的概念，像細目詮釋裡有個例 題就清楚說明到有關分數除法餘數概念的問題： 「給定一條長繩長度為35公分，以 一段長度為4公分的木條去測量並標記(想成要將長繩剪成4公分長的短繩)。由整數 計算知35除以4得到8(段)，但還剩下3公分。3公分的長度，相當於4公分的. 3 ，因 4. 3 此可將剩下的3公分的繩子，記成4段。於是可以將整個測量結果，記成35÷4＝8＋ 3 3 (段)或8 (段)。」所以分數有餘數的概念在四年級時就可以用具體情境來開始建 4 4 立。 五年級： 五年級會學到約分、擴分、異分母加減、分數乘法、分數除以整數，其中97 課綱與92課綱不同的地方在於97課綱在五年級就會學到分數除以整數，以往在92 課綱分數除以整數應該是在六年級才會學到的。 六年級： 六年級會學到的就是分數的除法，而在細目詮釋裡有提到，這個部分可以先 處理整數除以分數的情況，最後再處理被除數為一般分數的情形，而且宜從「分 裝」(包含除)的觀點來處理分數的課題，而除數可以先從單位分數的情況開始， 細目詮釋對於分數除法的計算及情境題有提到，不管是計算題或者情境題，學生 都需要經常練習，兩者俱進，才會熟練；而這個部分另一個重要的課題就是當量 除的問題，而當量除的問題是從「乘除互逆」的方式來解釋的。最後六年級在 97 課綱與 92 課綱不同的地方在於 97 課綱將分數融入未知數的求解，以往在 92 課 20.
(32) 綱時是建議使用整數而已。 最後整理課程綱要裡有關分數除法的部分，四年級教到「整數除以整數」， 五年級教到「分數除以整數」 ，六年級時先教「整數除以分數」 ，再來教「分數除 以分數」。. 第四節 試題關聯結構分析 試題關聯結構分析法是由日本學者竹谷誠所提出，此分析法是以測驗試題的 結果，依題目彼此間反應所得的順序關係，製成具有指向性的圖形結構，來分析 試題的特性，此種方法稱之為試題關聯結構分析法（Itemrelational structure. analysis），簡稱IRS分析法；有了此種方法，學者或教師就可藉此分析學習情況及 教學成果（引自許天維，1995）。 一、試題關聯結構法的構想由來 教師在實施教學活動後，對於班上學童之概念能力在結構上的變化，是極欲 得知的訊息，但考驗的方法，長久以來一直付之闕如，一直到1973年，美國學者. Airasian P.W. and Bart W.M.提出「次序理論」（Order-ing theory）在教育工學的功 用（Airasian & Bart, 1973），開啟了試題關聯結構分析的一個重要里程碑，而日本 學者竹谷誠致力改良「次序理論」 ，於1979年提出「試題關聯結構分析法」，並於. 1980年完成試題關聯結構分析法的理論。 二、試題關聯結構分析理論 在此研究者舉例對試題關聯結構分析的直觀意義作說明，假設有A、B兩組學 生各有5位，參加同一分測驗，試題共5題，答對的得一分，答錯的得0分，其得分 情況如下表：. 21.
(33) 表 2-2 A、B 組學生得分情形表 A組. 試題1. 試題2. 試題3. 試題4. 試題5. A組. 試題1. 試題2. 試題3. 試題4. 試題5. 學生1. 1. 0. 0. 0. 0. 學生1. 1. 1. 0. 1. 0. 學生2. 1. 1. 1. 1. 1. 學生2. 1. 1. 1. 1. 1. 學生3. 1. 1. 1. 1. 1. 學生3. 1. 1. 0. 1. 1. 學生4. 1. 1. 0. 1. 0. 學生4. 1. 1. 0. 0. 1. 學生5. 1. 1. 0. 1. 1. 學生5. 1. 0. 1. 1. 0. 答對數. 5. 4. 2. 4. 3. 答對數. 5. 4. 2. 4. 3. 由表2-2可知兩組學在在測驗後，兩組各試題的答對人數都一樣，為方便起 見，將表簡化成如表2-3 表 2-3 A、B 組學生得分情形簡表. A組. 試. B組. 題. 1. 2. 3. 4. 5. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 學. 2. 1. 1. 1. 1. 1. 生. 3. 1. 1. 1. 1. 1. 4. 1. 1. 0. 1. 5. 1. 1. 0. 答對者數. 5. 4. 2. 試. 題. 1. 2. 3. 4. 5. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 學. 2. 1. 1. 1. 1. 1. 生. 3. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 4. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 5. 1. 0. 1. 1. 0. 4. 3. 答對者數. 5. 4. 2. 4. 3. 22.
(34) 再來，依每位學生得分高低，由上而下排列，如下表2-4. 表 2-4 A、B 組學生得分高低排序表. A組. 試. B組. 題. 1. 2. 3. 4. 5. 2. 1. 1. 1. 1. 1. 學. 3. 1. 1. 1. 1. 1. 生. 5. 1. 1. 0. 1. 1. 4. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 答對者數. 5. 4. 2. 4. 3. 試. 題. 1. 2. 3. 4. 5. 2. 1. 1. 1. 1. 1. 學. 3. 1. 1. 0. 1. 1. 生. 5. 1. 0. 1. 1. 0. 4. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 答對者數. 5. 4. 2. 4. 3. 高分. 低分. 高分. 低分. 最後，以學生各試題答對人數多寡，由左到右排列可得佐藤S-P表，如下表2-5. 表 2-5 A、B 組學生得分高低、答對人數排序 S-P 表. A組. 試. B組. 題. 1. 2. 4. 5. 3. 2. 1. 1. 1. 1. 1. 學. 3. 1. 1. 1. 1. 1. 生. 5. 1. 1. 1. 1. 0. 4. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 答對者數. 5. 4. 4. 3. 2. 多. 少. 2. 4. 5. 3. 2. 1. 1. 1. 1. 1. 學. 3. 1. 1. 1. 1. 0. 生. 5. 1. 0. 1. 0. 1. 4. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 答對者數. 5. 4. 4. 3. 2. 多 23. 題. 1 高分. 低分. 試. 少. 高分. 低分.
(35) 由表2-5可知，兩組學生在得分的高低順序及每個試題答對人數都一樣，也就 是說以試題難易度來看，兩組學生在試題上的表現是一致的，但是若考慮試題關 聯結構圖，就會發現這兩組在試題結構的表現是不一樣的。. A組中，答對試題3的學生是2號及3號，他們也同時答對了試題5，所以就會有 試題5到試題3的箭頭，記做5→3，而答對試題5的學生是2號、3號、5號，他們也 同時答對了試題4跟試題2，所以可以記做4→5，2→5，而答對試題4的學生是2號、. 3號、5號、4號，他們也同時答對了試題1，所以可以記做1→4，而答對試題2的學 生也是2號、3號、5號、4號，一樣同時答對了試題1，所以可以記做1→2。. B組中，答對試題3的學生是2號及5號，他們也同時答對了試題4，所以就會有 試題4到試題3的箭頭，記做4→3，而答對試題4的學生是2號、3號、5號、1號，他 們也同時答對了試題1，所以可以記做1→4，而答對試題5的學生是2號、3號、4號， 他們同時也答對了試題2，所以可以記做2→5，而答對試題2的學生有2號、3號、4 號、1號，他們也同時答對了試題1，所以可以記做1→2。 從以上分析，並定義試題答對率如下：. 受試學生答對人數 試題答對率. ＝. 受試全體學生的人數. 以答對率為緃座標，將所有相關的指向箭頭標示出來，則可成為完整的試題 關聯結構圖，如圖2-1：. 24.
(36) 答對率. A組試題關聯結構圖. 0.2. 3. B組試題關聯結構圖. 3. 0.4 5 0.6. 4. 5. 2. 4. 2. 0.8 1. 1. 1.0. 圖 2-1 A、B 組學生試題關聯結構圖 由圖2-1，A、B組學生的試題關聯結構圖是完全的不同，雖然兩組的試題答對 率相同，可是學生們的概念結構卻是不一樣。左圖的試題是單純的一元化系列， 也就是試題1→試題2、試題4→試題5→試題3，而右圖顯示B組有兩個系列存在， 即試題1、4、3系列及試題1、2、5系列，也就是試題1→試題4→試題3跟試題1→ 試題2→試題5。所以單純以S-P表來看是無法看出試題間的順序關係，經由試題關 聯結構圖就可以觀察到試題間的上下位關係。. 三、試題關聯結構分析順序 試題關聯結構分析法是要將試題與試題間的順序性係數建立起來，作為試題 高低概念層次之基礎，然後利用此種關係建立起試題關聯結構構造圖（許天維，. 1995），而試題關聯結構分析順序說明如下： 25.
(37) (一) 建立試題關聯係數 其順序性係數求法說明如下： 試題j. 1. 0. 合計. 1. A. B. A+B. 0. C. D. C+D. 合計. A+C. B+D. N. 試題i. 表中係指N 個受試者在試題i及試題j上的答對與答錯人數。其中1代表 答對，0代表答錯，順序性係數的表示法如下（引自許天維，1995）：. r*ij＝1-. CN ( A + C )(C + D). 順序性係數r*ij表示試題i 指向試題j 的順序性程度，亦即「相對而言，試 題i 為下位概念（lower concept），而試題j 為上位概念（upper concept）的 程度」。 項目順序係數是一個數值，若此數值超過閥值，則表示順序性存在，反之 則否。根據竹谷誠（1991）的研究，此閥值為0.5（引自許天維，1995），亦 即r*ij＜0.5，則試題i 及試題j 沒有順序關係，r*ij＞0.5，則有試題i 指向試題j 之順 序關係，不過，若順序性指向過少，可以減少閥值為0.4；若順序性指向過多，則 可以增加閥值為0.6。一般閥值介於0.4 到0.6 之間。 26.
(38) (二) 建立試題間的順序關係 根據試題間的順序係數，整理出所有兩兩試題之間是否有順序關係。以表. 2-2 中A 組學童作答情形為例，可算出試題的順序性係數，如表2-6 ：. 表 2-6 試題順序係數表 試題j. 1. 2. 3. 4. 5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 2. 0. 1. 1. 1. 1. 3. 0. 0.167. 1. 0.167. .0444. 4. 0. 1. 1. 1. 1. 5. 0. 0.375. 1. 0.375. 1. 試題i. 表2-9 表示試題i指向試題j的順序性係數，以閥值0.5 為標準，得到試題的順 序係數，若r*ij 大於0.5 以上，則以1 代表，表示試題i指向試題j；反之，則以0 代 表，表示試題i指向試題j沒有順序性關係存在。如此簡化試題的順序可表示成0-1 矩陣表如表2-7：. 27.
(39) 表 2-7 試題順序 0-1 矩陣表 試題j. 1. 2. 3. 4. 5. 1. -. 1. 1. 1. 1. 2. 0. -. 1. 1. 1. 3. 0. 0. -. 0. .0. 4. 0. 1. 1. -. 1. 5. 0. 0. 1. 0. -. 試題i. （三）試題關聯結構圖的繪製方法 順序性係數之0-1 矩陣表，經IRS 軟體的處理後，可以在電腦螢幕上顯示出試 題關聯結構圖，其處理方式重點如下所述（引自許天維，1995）：. 1. 以縱座標表示通過率，下方座標表示通過率高，上方座標表示通過率低，將 試題依通過率高低標示試題題號於座標上。. 2. 在順序性係數 0-1 表中，若有1 試題間則畫出指向箭頭，如圖2-2(一)所示。 3. 為避免指向箭頭過多，影響分析工作的進行，所以需要簡化圖形，兩試題間若 能有直接與間接相連結時，則應除去直接連結的箭號，以簡化試題關聯結構圖， 增加可讀性，如圖2-2(二)。. 4. 如圖 2-2(二)所示，試題2 和試題4 有互相連結影響之關係，此現象表示試 題2和試題4具有高度相關，可視為同一性質的試題，亦即兩試題之間具有等 價關係，因此又可把試題關聯結構圖更簡化成圖2-2(三)。 28.
(40) 答對率. 試題關聯結構圖. 0.2 3 0.4 5 0.6 4. 2. 0.8 1 1.0 (一). 答對率. 試題關聯結構圖. 0.2 3 0.4 5 0.6 4. 2. 0.8 1 1.0 答對率. 試題關聯結構圖. (二). 0.2 3 0.4 5 0.6 4. 2. 0.8 1 1.0 (三). 圖 2-2 試題關聯結構圖之簡化 29.
(41) 四、試題關聯結構分析法的功能 經研究結果，試題關聯結構分析法具有下列五種功能（引自許天維，1995）：. (一)教學設計之運用 在教學前，老師可以將即將進行教學的新課程之先備知識作結構分析，分析 出先備知識的概念結構，然後再依這些知識概念分別出題施測，施測完的結果再 利用「試題關聯結構分析法」進行分析，可以分析出學生在什麼概念有困難，老 師在教學前就可以針對這些有問題的概念進行先備概念的補救教學，甚至可以從 而想像未來教學時可能會出現的困難所在，以作為設計教學歷程的參考。. (二)形成性評量之運用 教學過後，老師若欲知學生的學習結果，可以根據教材的知識結構來出題實 施形成性評量，而施測的結果再以「試題關聯結構分析法」進行分析，可以知道 學生學習過後，那個部分的結構或概念還有不足的地方，老師可以針對這些部分 再進行加強。. (三)認知學習構造之分析 而形成性評量的測驗結果，也可利用佐藤S-P 表獲得注意係數，從中偵測出 有異質性的兒童，然後從這類兒童所畫出結構圖與班上的結構圖來進行比較，即 可知道此類異質性的兒童與一般兒童不同的地方，從而加強輔導教學。. (四)概念形成過程之考驗 兒童對於概念的形成是有順序性的，例如 Van Hiele(1986)將學童的幾何概念分 為五個層次，即視覺期(visual level)、描述期(descriptive level)、關係期(theoretical. level)、形式運作期(formal level)、公理期(the nature of logical laws level)，如果以此 五層次來評定各年級班上學生概念的形成過程，並建立各年級的概念結構圖，即 可知學生的概念形成過程的發展。對橫斷研究而言，亦可知班上學生的概念形成 過程的分布。. (五)課程教材構造之解析 30.
(42) 經由「試題關聯結構分析法」的分析，可以建構出學生的概念構圖，得知學 生概念的順序關係，對於教科書的編寫而言，是極為寶貴的資料，對於教學現場 的老師或相關研究學者而言，學生們的概念發展結構也是一項貴重的資料。 所以「試題關聯結構分析法」在教學前可以得知學生對於先備知識的概念有 無不足，可以作為老師進行新單元教學的參考；在教學後也可以藉著「試題關聯 結構分析法」，分析學生教學後有無概念不足的地方，讓老師可以進行補救教學； 老師亦可分析個別學生的概念結構圖，針對個別學生進行個別輔導；再者，研究 人員或教師，可藉由概念結構圖來分析學生的概念結構發展順序。 本研究即利用第二即第五個功能，在分數除法單元教學後，針對分數除法的 概念進行形成性評量，希望藉此可以得知學生在分數除法的概念結構，以供教師 們了解學生們的概念結構，進而改善教學。. 31.
(43) 32.
(44) 第三章 研究方法 本研究之目的是在設計一份具有良好信度、效度的分數除法測驗，冀依此測 驗能了解學生對於分數除法單元的學習情形，並藉由試題關聯結構分析法（IRS） 分析，來了解學生們在分數除法各概念間的上下位關係，本章共分為五節，依序 為研究架構、研究對象、研究工具、研究流程及資料處理，分述如下：. 第一節 研究架構 本研究依據研究目的及參考國內外相關文獻，提出研究架構，如圖 3-1 所示： 國小分數除法教材. 閱讀分數除法相關文獻. 分數除法概念圖. 試題細目表. 編製分數除法概念試題. 預試. 正式施測. 試題關聯結構分析. 選項分析. 解釋試題關聯結構圖. 依學生答題情形進行概念分析. 圖 3-1 研究架構圖 33.
(45) 第二節 研究對象 本研究是要進行國小學童分數除法的概念分析，而分數除法單元是安排在六 年級，故以國小六年級學童為研究對象。而本研究是採用試題關聯分析法(IRS)來 進行概念分析，只要小樣本數即可，所以研究者以選定鄰近學校的一班六年級學 生為預試對象，而研究者任教的學校六年級學生為正試施測對象。 由於人力及時間的限制，研究者所選定的預試學生為鄰近學校的一班六年級 學生，人數共22人，而正式施測的學生則選定研究者所任教學校的六年級學生三 個班共65人，施測地點在每班教室，由該班導師進行監考；施測前，研究者先向 該班老師說明筆測的目的、答題的方式，由於本研究是要分析國小學童對於分數 除法的概念，所以希望學生能有足夠時間完成所有試題，並減少因計算而產生的 錯誤，所以學童作答時間不限，以做完為止。. 第三節 研究工具 本研究欲探討國小六年級學童對於分數除法的概念分析，所採用的工具為研 究者的自編試題，研究者先參考國內外相關文獻及國小分數除法教材，編製分數 除法概念結構圖，如圖3-2；再以分數除法概念結構圖，並依據教育部所發布之九 年一貫課程綱要（教育部，2003）能力指標及分年細目，及參考現行國民小學六 年級各版本分數除法單元編製分數除法試題結構圖，如圖3-3、圖3-4；並同時編製 試題細目表，如表3-1，最後依試題細目表編製預試試題，經由專家審定及預試信 度、鑑別度等結果修正試題為正式試題，其說明如下： 一、試題編製過程. (一) 分數除法概念結構圖 研究者參考多篇國內外文獻，並參酌現行國小分數除法教材，編製出國小分 數除法的概念圖如下：. 34.
(46) 分數除法概念 整數除以整數. 分數除以分數. 整數除以分數. 分數除以整數. 帶分數除以帶分數. ). 帶分數除以真分數. 真分數除以真分數 異(分母. ). 真分數除以帶分數. 真分數除以真分數 同(分母. 除數非單位分數. 除數是單位分數. 分子不可被整除. 分子可被整除. 圖 3-2 分數除法概念結構圖. (二)分數除法試題結構圖 研究者依據分數除法概念結構圖，並參考國小各版本，將分數除法分為計算 題及文字題兩部分，分數除法試題的結構圖如下圖，圖3-3依分數除法的計算概念 來編，圖3-4則是依分數除法的情境題型編制：. 35.
(47) 整數除以整數(題 1、11、2、20 ). 分子可被整除 (題 2、13、21) 分數除以整數 分數除法計算概念. 分子不可被整除 (題 3、14、19). 除數是單位分數 (題 4、15、25) 整數除以分數. 除數非單位分數 (題 5、16、23、28). 真分數除以真分數(同分母) (題 6、17). 真分數除以真分數(異分母) (題 7、18). 分數除以分數. 帶分數除以真分數 (題 8、24、27、29). 真分數除以帶分數 (題 9、22). 帶分數除以帶分數 (題 10、26、30). 圖 3-3 分數除法試題結構圖(計算概念) 36.
(48) 分數除法試題情境分佈. 計算題. 題 1、2、3、4、5、6、7、8、 9、10. 等分除. 題 11、12、13、14. 包含除. 題 15、16、17、18、19. 逆運算. 題 20、21、22、23. 當量除. 題 24、25、26、27. 有餘數. 題 28、29、30. 圖 3-4 分數除法試題情境分佈結構. (三)分數除法試題細目表 本研究依據圖3-2分數除法概念結構圖、圖3-3分數除法試題結構圖(計算概 念)、圖3-4分數除法試題情境分佈結構，編製成分數除法試題細目表，如表3-1， 並參考國內外文獻、國小分數除法教材，共編製30題試題。 37.
(49) 表 3-1 分數除法試題細目表 題型情境 計算. 等分除. 包含除. 逆運算. 1. 11，12. 20. 分子 可被整除. 2. 13. 21. 分子 不可被整除. 3. 14. 除數 是單位分數. 4. 15. 除數 非單位分數. 5. 16. 真分數÷真分數 (同分母). 6. 17. 真分數÷真分數 (異分母). 7. 18. 當量除. 有餘數. 主概念及子概念 整 數 ÷ 整 數 分 數 ÷ 整 數 整 數 ÷ 分 數. 分 數 ÷ 分 數. 帶分數÷真分數. 真分數÷帶分數. 帶分數÷帶分數. 19. 25. 23. 8. 9. 28. 24，27. 29. 26. 30. 22. 10. 38.
(50) 二、試題內容 本研究依據表 3-1 分數除法試題細目表，並參考國內外文獻、國小分數除法教 材，共編製 30 題試題，其題型皆為選擇題，而試題內容的編製有經過數學教育專 長教授的討論及修改，所以是具有專家效度。. 三、統計軟體. (一) SPSS ( 12.0 for Windows ) 統計套裝軟體：用來進行施測結果的難度、信度、 鑑別度分析。. (二) IRSP：用來繪製試題間的關聯結構圖 (三) EXCEL：將施測結果資料建檔，並協助計算分析結果。 (四) Word 軟體：將 IRSP 繪出的試題關聯結構圖，經由 Word 再美化。. 四、預試結果 預試之結果以表3-2所示，以Cronbach’s α係數來求得試題之內部一致性信度， 其α值為.892，顯示此份試題的信度是可接受的；而此份試題的難度介於.33到.95 之間，因試題是包含分數除法整個單元，難易概念皆有，所以此難度是可接受的； 而其鑑別度介於.17到.83之間，也是可以接受，所以此份試題是具有鑑別度的，而 其中第7、9、17、23題的鑑別度是.17，與老師討論之後，不需刪題，只要對題目 敘述的用詞稍做修改即可；所以預試結果顯示此份試題是具有信度及鑑別度的， 其難度也可以接受，所以只須將用詞稍做修改即可進行正式施測。. 39.
(51) 表 3-2 預試結果分析表 難度 題號. P. (PH+PL)/2. 1. .90. .83. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30. .86 .76 .71 .71 .90 .90 .76 .95 .90 .81 .76 .90 .90 .90 .90 .95 .90 .81 .71 .81 .48 .76 .33 .33 .57 .48 .29 .29 .33. .75 .67 .58 .67 .83 .92 .75 .92 .83 .75 .75 .83 .83 .83 .83 .92 .83 .67 .67 .75 .58 .92 .42 .42 .67 .58 .33 .42 .42. 鑑別度 Pearson 積 PH-PL 差相關係數 rxy .33 .231. .50 .67 .50 .33 .33 .17 .50 .17 .33 .50 .50 .33 .33 .33 .33 .17 .33 .33 .67 .50 .83 .17 .50 .83 .67 .83 .67 .50 .50. .678(**) .716(**) .450(*) .340 .623(**) .175 .407 .564(**) .511(*) .638(**) .542(*) .707(**) .707(**) .371 .287 .294 .707(**) .533(*) .632(**) .429 .523(*) .156 .517(*) .657(**) .641(**) .688(**) .515(*) .387 .378. 40. 信度 項目刪除時的 Cronbach's Alpha 值. .893 .886 .884 .891 .893 .887 .894 .891 .889 .889 .886 .888 .886 .886 .891 .892 .892 .886 .888 .886 .891 .889 .897 .889 .885 .886 .884 .889 .892 .893.
(52) 第四節 研究流程 本研究之目的為針對國小學童分數除法概念進行試題的編製與分析，為了能 順利並清楚的進行本研究，研究者將本研究的研究流程繪製如圖3-5： 確定研究主題. 閱讀分數除法相關文獻. 國小分數除法教材. 分數除法概念圖. 試題細目表. 預試. 通過. 不符合. 與專家討論修改試題. 編製分數除法概念試題. 正式施測. 試題關聯結構分析. 選項分析. 解釋試題關聯結構圖. 依學生答題情形進行概念分析. 完成論文 圖 3-5 研究流程圖 41.
(53) 第五節 資料處理 本研究是採用量化研究來分析六年級學童對於分數除法的概念結構，而施測 後的資料，以 SPSS 12.0 統計套裝軟體並輔以 Excel 試算軟體來分析試題的通過 率、難易度、鑑別度及信度。 在試題關聯結構分析法方面，藉由IRSP 軟體來計算試題間的關聯係數，繪製 出各題間的上下位關係，再經由Word文書軟體繪製試題關聯結構圖，來分析學童 對於分數除法的概念結構。. 42.
(54) 第四章 研究結果與分析 本章將施測的資料結果作分析與探討。共分為三節，第一節針對自編試題的 信度、效度、難度及鑑別度做性質分析；第二節針對施測的結果進行試題選項分 析；第三節利用試題關聯分析法(IRS)進行概念結構的分析. 第一節 試題性質分析 一、信度分析 本研究所採用的信度為 Cronbach’s α 信度，經由 spss12.0 統計軟體的分析，本 研究的自編試題的 Cronbach’s α 係數為.913，而每個試題刪題後的信度與.913 差距 也很小，顯示本份試題是具有不錯的信度。而本份試題的 Cronbach’s α 信度分析表 如表 4-1 所示： 表 4-1 試題 Cronbach’s α 信度分析表 試題. 刪題後 Cronbach’s α 值. 試題. 刪題後 Cronbach’s α 值. 1. .912. 16. .908. 2. .910. 17. .912. 3. .908. 18. .906. 4. .912. 19. .907. 5. .912. 20. .913. 6. .910. 21. .907. 7. .910. 22. .908. 8. .910. 23. .911. 9. .909. 24. .912. 10. .907. 25. .911. 11. .908. 26. .908. 12. .911. 27. .909. 13. .910. 28. .916. 14. .908. 29. .915. 15. .909. 30. .916. 本份試題整體 Cronbach’s α 值：.913 43.
(55) 二、效度分析 本研究自編試題所採用的效度為內容效度及專家效度，分別敘述如下：. (一)內容效度 本研究分數除法概念是研究者參閱國內外文獻及現行九年一貫國小數學領域 綱要和教科書所歸納出來的，並依此概念製作成試題細目表，如表 3-1，再依據試 題細目表編製試題。. (二)專定效度 本研究自編試題有請三位國小資深教師及二位數學教育研究所在職班的國小 現職教師先行校閱，再與臺中教育大學測驗統計教授進行討論與修改，其審題表 格見附錄三。 綜合以上二點，本份試題具有內容效度及專家效度，可以說是一份具有效度 的測驗試題。 三、難度分析 難度分析是用來分析試題的難易度，可做為修改試題的依據，難度的值越高 表示試題通過的人數越多，也代表試題越容易，相反的，若難度的值越低表示試 題通過的人數越少，也代表試題越難；本研究參加測驗的學童共有 65 人，將學童 測驗分數由低排到高，以累積百分比第 25%之分數作為低分組標準，施測成績等 於或少於此分數的學生為低分組學生，本研究低分組學生共有 17 人，以累積百分 比第 75%之分數作為高分組標準，施測成績高於此分數的學生為高分組學生，本 研究高分組學生共有 16 人；而本研究所採用的難度值為 P 及(PH+PL)/2，以 P 代表 整體答對人數的百分率，PH 代表高分組的答對率，以 PL 代表低分組的答對率，本 測驗的難度分析表如表 4-2，以 P 值來看，難度介於.35~.88 之間，以(PH+PL)/2 來 看，介於.43~.85 之間，顯示此測驗難度分布很廣，包含了難易的題型跟概念，因 本研究是要探討學童對於分數除法的概念，難易的題型跟概念都必須有，所以此 測驗以本研究而言，是一份不錯的試題。 44.
(56) 表 4-2 題號. 試題難度分析表 答對率. 難度. 高分組 PH. 低分組 PL. P. (PH+PL)/2. 1. 1.00. .71. .88. .85. 2. 1.00. .53. .86. .76. 3. 1.00. .29. .69. .65. 4. .88. .41. .71. .64. 5. .81. .29. .65. .55. 6. 1.00. .35. .78. .68. 7. .94. .29. .75. .62. 8. 1.00. .35. .74. .68. 9. 1.00. .41. .82. .71. 10. 1.00. .29. .75. .65. 11. 1.00. .24. .69. .62. 12. 1.00. .41. .72. .71. 13. 1.00. .53. .88. .76. 14. 1.00. .18. .72. .59. 15. 1.00. .29. .71. .65. 16. 1.00. .24. .68. .62. 17. 1.00. .53. .77. .76. 18. 1.00. .06. .62. .53. 19. .94. .18. .69. .56. 20. .94. .35. .58. .65. 21. 1.00. .12. .63. .56. 22. 1.00. .18. .43. .59. 23. .94. .35. .65. .65. 24. .81. .18. .38. .49. 25. .94. .35. .46. .65. 26. .88. .06. .46. .47. 27. 1.00. .24. .49. .62. 28. .63. .35. .38. .49. 29. .63. .24. .34. .43. 30. .63. .35. .35. .49. 45.
相關文件
˙Please visit the Outpatient Clinic of Family Please visit the Outpatient Clinic of Family Medicine Division for a follow-up diagnosis and
(2013) The ‘Art’ of Teaching Creative Story Writing In (Eds., Janice Bland and Christiane Lütge) Children’s Literature in Second Language Education. (2004) Language and
Enrich the poem with a line that appeals to this missing sense.. __________________imagery that appeals to the sense of____________has not been used in the description
整數 基本的 整數的 Division Algorithm,
整數 基本的 整數的 Division Algorithm,
Curriculum planning: Teachers may introduce how to use short division to find the greatest common divisor and the least common multiple of two numbers at Learning Objective 1.4
Wang, Solving pseudomonotone variational inequalities and pseudocon- vex optimization problems using the projection neural network, IEEE Transactions on Neural Networks 17
Define instead the imaginary.. potential, magnetic field, lattice…) Dirac-BdG Hamiltonian:. with small, and matrix
