數學科學能力競賽複試試題

國 立 台 灣 師 範 大 學

九 十 八 學 年 度

高中科學實驗能力競賽【第二階段】數學科試題

_{P. 0 1}

附 屬 高 級 中 學

第 一 學 期 2009/09/30 一、填充題（每題 12 分，共計 72 分） 1. 假設 m < n 且 m, n 都是正整數，滿足_(23 _{m }3 _n)2 _2823 _{6。試求數對(m, n)。} 2. 在 4×4 的方格中，每個方格中填入一數，使得對於其中任意一個方格，與其相鄰(有公共的邊)的所有方格中的數之和 皆為 4，求這 16 個數的總和。 3. 以正十二邊形頂點作為頂點的所有三角形中，鈍角三角形共有幾個？ 4. 求最小的自然數 n，使得 n2的末四位為 9876。 5. 求 ? 3 2 3 8 3 4 3 2 3 1 2009                              其中

 

x 表示不大於 x 的最大整數。 6. 設 a, b, c 為正實數，滿足2005_a2008_b2011_{c =} 2006_a2009_b2012_c= 2007_a2010_b2013_{c= 98，試求 log} 98(abc)之值。

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九 十 八 學 年 度

高中科學實驗能力競賽【第二階段】數學科試題

_{P. 0 2}

附 屬 高 級 中 學

第 一 學 期 2009/09/30 二、計算證明題（每題 18 分，共計 108 分） 1. 在一條很長且筆直的路上，有甲乙丙丁四輛車子，各自以相同的速率行駛。已知在今天中午 12 點之前，甲乙丙三車往 相同方向行駛，而且甲車在乙車後面；乙車在丙車後面，丁車自遠方向這三輛車駛來。中午 12 點時，甲車追上乙車； 下午 2 點時，甲車追上丙車；下午 5 點時，甲車第一個遇到丁車；下午 6 點時，乙車遇到丁車；下午 6 點 30 分，丙車 遇到丁車。問：乙車何時追上丙車？ 2. 找出所有滿足下列條件的函數 f ：對於不為 0 或 1 的任意實數，都有 f (x) + f (1 −1 x) = x + 1 + 1 1 x 。 3. 凸四邊形 ABCD 中， 2 AB +CD2=AD2+BC2，證明：此四邊形 ABCD 對角線互相垂直。

4. 三角形 ABC 中，∠BAC = 60，∠ABC = 80，∠BAC 的平分線交BC於 D；∠ABC 的平分線交AC於 E。試證：

AB+BD = AE+BE。 5. 兩圓 C1, C2之圓心分別為 O1, O2，且交於相異兩點 A, B，若射線O B₁  ,O B₂ 分別交圓 C2, C1於 D, E。證明：A, O1, O2, E, D 五點共圓。 6. 設 x, y, z 為正實數，試證明： 5 3 3 x x y z +3 5 3 y x y z +3 3 5 z x y z  3 11。

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九 十 八 學 年 度

高中科學實驗能力競賽【第二階段】數學科答案卷

_{P. 0 3}

附 屬 高 級 中 學

第 一 學 期 2009/09/30 班級 座號 姓名 一、填充題（每題 12 分，共計 72 分） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 二、計算證明題（每題 18 分，共計 108 分） 1. 2. 3.

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九 十 八 學 年 度

高中科學實驗能力競賽【第二階段】數學科答案卷

_{P. 0 4}

附 屬 高 級 中 學

第 一 學 期 2009/09/30 班級 座號 姓名 4. 5. 6.