指數與對數函數

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指數對數函數

精選例題 指數與指數定律 例題1 計算 212 × 4 1 8 × 8 1 24 × 16 1 32 的值? [Ans:2] 例題2 化簡 (a14 − b 1 4)(a 1 4 + b 1 4)(a 1 2 + b 1 2)(a + b) =? [Ans:a2 − b2] 例題3 比較 a =2, b = √3 3, c = √6 10 三數的大小? [Ans:c > b > a] 例題4 已知 4x = 5 , 則 A = 2x, B = 8x, C = 24x 的值分別為多少? [Ans:A =√5, B = 5√5, C = 25 例題5 若 a2x = √ 2 − 1 , 則 a2x + a−2x =? 又 (a3x + a−3x ) ÷ (ax + a−x) =? [Ans:2√2; 2√2 − 1] 例題6 化簡 (2 +3)43(2 −√3) 4 3 =? [Ans:1] 指數函數及其圖形 例題1 解方程式 25x = 26 · 5x−1 − 1 [Ans:x = 1, −1 ] 例題2 如圖為 y = ax, y = bx, y = cx, y = dx 四個函數圖形, 試比較 a, b, c, d 四數的大 小? [Ans:c > d > 1 > a > b] -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10 2.5 5 7.5 10 12.5 15 y=ax y=bx y =cx y=dx -2 -1 1 2 2.5 5 7.5 10 12.5 15 y=3x y=3ÈxÈ y=3x+1 y=3x +1 y=3-x 例題3 利用 y = 3x 的圖形, 透過“平移、 鏡射 ”描繪下列函數圖形? (a) y = 3x+ 1 (b) y = 3−x (c) y = 3|x| 1

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https://sites.google.com/site/hysh4math · (d) y = 3x+1 例題4 解指數不等式 (3x − 9)(3x − 27) ≤ 0 [Ans:2 ≤ x ≤ 3] 例題5 解指數方程式 22x − 7 · 2x − 23 = 0 [Ans:x = 3 ] 例題6 解下列指數不等式 (a). 2x > 4 (b). (12)x+2 > 1 (c). (14)x + (12)x − 2 < 0 [Ans:(a)x > 2 (b) x < −2 (c) x > 0] 例題7 比較 (0.3)1.3,(0.3)0.3,(0.3)−0.3,0.3 與 1 這五個數的大小關係? [Ans:(0.3)−0.3 > 1 > (0.3)0.3 >0.3 > (0.3)1.3 對數與對數定律 例題1 求下列對數值:

(a) 2 log102 + log1015 − log106 = [Ans:1]

(b) log 59 − log 37 + log 2735 = [Ans:0]

(c) (log23 + log49)(log34 + log92) = [Ans:5]

例題2 設 log102 = a, log103 = b , 試用 a, b 表示出下列各式: (a) log1020 (b) log101.2 (c) log52 [Ans:(a) a + 1 (b) 2a + b − 1 (c) 1−aa ]

例題3 設 a = log23, b = log37 , 試用 a, b 表示 log21168 =? [Ans: 3+a+ab

a+ab ]

例題4 已知 x 是正數且 log5x = 1 +2, 求 log55x + log0.2x2 的值?

[Ans:−√2] 例題5 已知 log102 ≈ 0.3010, log103 ≈ 0.4771, log107 ≈ 0.8451 , 試求下列各數的近 似值: a = log102120, b = log102400, c = log100.375 [Ans:a = 36.12, b =

3.3801, c = −0.4259]

對數函數及其圖形

例題1 解方程式 1 + log2x = log4(x + 3) [Ans: x = 1 ] 例題2 求解 (log x)2 = (log x2) + 3 [Ans: x = 103, 1

10 ]

例題3 設 x, y, z 6= 0 的實數, 且 8x = 9y = 6z = t , 求 2z

x + 3zy [Ans:6] 例題4 解 x1+log5x = 25x2 [Ans: x = 25,1

5]

例題5 如圖為 y = logax, y = log2x, y = logbx, y = logcx 四個函數圖形, 試比較 a, b, c,2 四數的大小? [Ans:2 > a > c > b]

例題6 求函數 f (x) = log3(x2

− 2x + 10) 在 0 ≤ x ≤ 4 範圍內的最小值? [Ans:2]

例題7 方程式 log2x = x − 1 有幾個實數解? 試作圖說明之 [Ans:2個]

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https://sites.google.com/site/hysh4math · 2 4 6 8 10 -6 -4 -2 2 4 6 y=logax y=log2x y=logbx y=logcx

例題8 若 log3(log0.3(log9x)) 有意義, 求 x 的範圍? [Ans: 1 < x < 9 ] 例題9 解不等式 log2x+ log2(x + 1) > 1 [Ans: x > 1 ]

指數與對數的應用 例題1 求最小正整數 n , 使得 (54)n > 1020 [Ans: n = 207 ] 例題2 把 310 表成十進位數是多少位數? 又首位數字與末位數字是多少? [Ans: 5位數, 首位數字5, 末位數字9 ] 例題3 某一種細菌每隔一天數量會增加為原來的3倍, 如果該細菌以這樣速度增殖, 原有 100株細菌經過幾天之後會增殖超過 1010 株? [Ans:17天] 例題4 將 (56)100 表示成小數, 問從小數點後第幾位開始出現不為0的數字? [Ans:8] 例題5 已知 10 ≤ x < 100 , 且 log x2 與 log 1 x 之尾數相同, 求 x 值? [Ans: x = 10, 1034,10 5 3 ]

例題6 比較 a = log0.20.3, b = log23, c = log2030 三數的大小關係? [Ans: b > c > a ]

例題7 假設光線通過一塊透明板, 它的強度就會減弱一成, 現在將相同透明板 n 塊疊合一

起, 使通過的光線強度是原光線強度的 35 以下, 試求 n 的最小值? [Ans:(0.9)n <

0.6, n ≥ 5

數據

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參考文獻

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