1-3-5指數與對數-指數、對數的應用

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(1)3-5 指數與對數-指數、對數的應用【目標】能認識常用對數及使用常用對數表與內插法求對數值，進而利用科學記號﹑對數表處理乘除與次方的運算，以及生活中與指數方程式﹑對數方程式相關的應用問題。【討論】一般而言，對一個正實數 A ，必有唯一的整數 n ，使 10n  A  10n1 ，故 1  令. A  10 。 10n. A A  a ，則 A  n  10n  a  10n ，其中 n 是整數，且 1  a  10 。 n 10 10. 正實數 A 以上述 a  10n 型式表示時，稱為 A 的科學記號表示法，簡稱科學記號。【定義】 1. 科學記號：正實數 A 可表為科學記號 A  a 10n ，其中 n 是整數，且 1  a  10 。 2. 常用對數：以 10 為底的對數稱為常用對數，且 log10 x 可簡記為 log x 。 3. 對數表：對數表可以查 x  1.00,1.01,1.02,,9.99 ，的常用對數 log x 的四位小數近似值。 4. 內插法： t  x1 )取若已知 log x1  y1 , log x2  y 2 ，又 x1  t  x2 ，則可把 y1  ( y 2  y1 )( x 2  x1 為 log t 的近似值。 5. 首數與尾數：設正實數 A 的科學記號表為 A  a 10n 時， log A  log a  n ，其中整數 n 是 log A 的首數，小數 log a ( 0  log a  1)是 log A 的尾數。. 25.

(2) 【目的】對數在計算上的應用：數的四則運算中，加、減法比乘、除法簡單，為了將乘除法運算化成加、減法的運算，德國數學家 Stifel(1487~1567)發現了等比數列與等差數列之間的關係，將乘除法運算化成加、減法的運算。後來瑞士人 Briggs(1552~1632)，英國人 Napier(1550~1617)等人都先後發展出對數表。【名詞】 1. 常用對數表：以 10 為底的對數表一般稱為常用對數表，常用對數的使用中，常以符號 log 來代替 log10 。一般對數可以化成常用對數，故只需列出常用對數表即可。 2. 對數表：對數表 log10 x ，其中 1  x  10 ，利用表尾差可求得真數到小數點以下第三位之對數值，且其對數值為有效數字四位的小數。常用對數表. 例如：要查 log3.27 ，可得 log3.27  0.5145。 3. 自然對數：以無理數 e  2.718281828 為底數的對數表，叫做自然對數表。  1 實際上， e   。 n 0 n! 【問題】課本附表中所附的對數表 log10 x ，其中 1  x  10，且利用表尾差可求得到小數點以下二位的函數值，如果有一個數不在此範圍內或者不是兩位小數或者有效數字不止二位數的時候，這對數表是否夠用？解答： 1. 如果有一個數不在此範圍內時，利用科學記號可以將數化成 1  x  10 之間，就可以利用對數表了。 2. 不是兩位小數或者有效數字不止四位數的時候，則可以利用內插法求出近似值。 26.

(3) 【範例】如果需要 log 3.278 的近似值，可由對數表查到： log3.27  0.5145 ， log3.28  0.5159 ，故 0.5145  log3.278  0.5159 。當真數從 3.27 加到 3.28 ，增加 0.01 ，此時對數值從 0.5145增加到 0.5159 ，增加了 0.0014 。而真數由 3.27 開始增加時，對數值的增加量與真數的增加量近似成正比。若以正比關係估算 log 3.278 的值是 k ，如圖所示，則 k  0.5145 3.278  3.27 ，  0.5159  0.5145 3.28  3.27 k  0.5145 0.008 8    0.8 ， 0.0014 0.01 10 k  0.5145  0.00112 ， k  0.5145  0.00112  0.5145  0.0011  0.5156 。所以取 log 3.278  0.5156 ，這種估算法稱為內插法。. 【方法】 1. 內插法(利用線性的方法求估計值)：若已知 log x1  y1 , log x2  y 2 ，且 x1  t  x2 ，其中 x1 , x2 很接近， t  x1 ) 做為 y  logt 的近似值。則可以用 y '  y1  ( y 2  y1 )( x 2  x1 註： (1) 在對數表中無法將全部實數的對數值都列出來，此時可用線性內插法來估算，此法對其他函數如多項函數、指數函數、三角函數等也都適用，但前提是 x 的變化量必須很小才行，對應的函數值變化也必須很小才行，如此求出的誤差才會很小，而內插法應用到的概念也就是相似三角形的想法。 (2) 表尾差是利用內插法 ( 線性估計法 ) 求出來的，誤差為 y  l o gt 與 t  x1 y '  y1  ( y 2  y1 )( ) 之差。 x 2  x1 【問題】 1. 已知 log 3.27  0.5145, log 3.28  0.5159，試利用內插法求 log 3.278 之值。 2. 已知 3.14  1.7720, 3.15  1.7748 ，試利用內插法求 3.148 之值。. 27.

(4) 【定義】 1. 科學記號：每一個正數 x 可表成科學記號 x  a 10n ，其中 n  Z ,1  a  10 ，則 log x  n  log a ，其中 n  Z ,0  log a  1 ， n 稱為 log x 的首數(整數部分)， log a 稱為 log x 的尾數(正小數或零部分)，首數決定數字的位數，尾數決定數字的內容。 2. 符號：. 2.345 表示  2  0.345 ，即首數為  2 ，尾數為 0.345。【定理】 1. 設 x, y  0 則 log x 與 log y 的尾數相等之充要條件為 x  y  10 n , n  Z 。【討論】 1. 設 x  a 10n ，其中 n  Z ,1  a  10 ，則 log x  n  log a ，其中 n  Z ,0  log a  1 ， (1) 1  x  10  log x  0  log a 10  x  10 2  log x  1  log a 10 2  x  103  log x  2  log a 即正數 x  1時， log x 的首數為 n (其中 n  log x  n  1 )之充要條件為 x 的整數部分為 n  1 位。 (2) 10 1  x  1  log x  1  log a 10 2  x  10 1  log x  2  log a 10 3  x  10 2  log x  3  log a 即正數 0  x  1 時， log x 的首數為 n (其中 n  log x  n  1)之充要條件為 x 在小數點以下第 | n | 位始出現不為 0 的數字(有連續 | n | 1個 0 )。【性質】在科學應用上，適當利用對數定律，並配合常用對數表，可以簡化一些數值計算的工作，特別是乘﹑除﹑乘方﹑開方之類的問題。 1. 對數=首數+尾數(其中首數為整數， 0  尾數<1)，則： (1) 正數 x  1時，log x 的首數為 n (其中 n  log x  n  1 )之充要條件為 x 的整數部分為 n  1 位。 (2) 正數 0  x  1 時， log x 的首數為 n (其中 n  log x  n  1 )之充要條件為 x 在小數點以下第 | n | 位始出現不為 0 的數字(有連續 | n | 1個 0 )。【討論】 1. 如何判別最高位數或小數點以下第一個不為零的數：設 log x  n  c 且 log k  c  log(k  1) 即 (k  10c  k  1) ，  log x  log(10c  10 n )  x  10c 10n  k  10 n  x  10c  10 n  (k  1)  10 n  x 的首位數為 k. 28.

(5) 【問題】 1. 試估計 230 是幾位數是幾位數?個位數字為何？十位數字為何?首位數字為何？解答：設 x  230 ，則 log x  log 230  30log 2  30  0.3010  9.03 ，(首數是 9 ，尾數是 0.03 ) 故 x  109.03  100.03  109 ，由於 1  100.03  10 ， 109  100.03  109  1010 ，所以 230  109.03 是 10 位數。 2 2. 試問 ( )100 以十進位小數表示時，在小數點以下第 | n | 位始出現不為 0 的數 3 字？首位不為 0 的數字為何？解答： 2 2 log( )100  100log  100(log 2  log3)  100(0.3010  0.4771)  17.61 ， 3 3 2 100 得 ( )  1017.61  100.39  1018 ，由於 0  100.39  10 ， 3 2 即 100.39 的整數部分為 1 位數，故 ( )100 在小數點後第 18 位首度不是 0 。 3. 【問題】 3. 1. 利用對數表求出. 51  99. 的近似值。 60 2. 利用對數表求出 20000 (1  0.002)100 的近似值。. 29.

(6) 【說明】常用對數表作法(利用線性的方法求近似值)：常用對數表 x. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 表. 尾. 差. 1 2 3 4 5 6 7 8 9. 14 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732 3 6 9 12 15 18 21 24 27 y  log x. y 0.1732  log1.49. 0.1461  log1.40. x O. 1.40. 1.41. 1.42 1.43. 1.44. 1.45. 1.46 1.47. 1.48. 1.49. 常用對數表中 x 的小數點前兩位的部分所對應的對數值為實際值的近似值(如上圖)，而 x 的小數點以下第三位所對應的對數值則為利用線性內插法所求出來的近似值(如下圖)。 y  log x. y 0.1492  log1.41. 0.0031. 0.1461  log1.40. 3. 6. 9. 12. 15. 18. 21. 24. 27. x O. 1.400 1.401. 1.402. 1.403. 1.404. 30. 1.405. 1.406. 1.407. 1.408. 1.409. 1.410.

(7) 【定義】 1. 等比數列：當 ar  0 時，形如 a, ar , ar 2 , , ar n1 , 的一列數稱為等比數列，其中 ar n 1 是第 n 項，第 1 項 a 又稱首項， r 稱為公比。【應用】 1. 單利與複利：設本金為 P ，利率為 x% ，期數為 n ，則 (1) 單利：本利和為 P(1  nx) 。(為一種等差數列) (2) 複利：本利和為 P (1  x) n 。(為一種等比數列) 【性質】 1. 等比求和公式：等比數列的首項為 a ，公比 r  1 時，前 n 項的和 Sn . a(1  r n ) a(r n  1)  。 1 r r 1. 證明：假設 a, ar , ar 2 , , ar n1 , 是一個等比數列，若令 Sn 表此等比數列前 n 項的和，即 Sn  a  ar  ar 2   ar n1 ……① 等號兩邊同乘 r ，得 rSn  ar  ar 2  ar 3   ar n ……② ①–②得 (1  r )Sn  a  ar n  a(1  r n ) ，當 r  1 時， 1  r  0 ，則 Sn . a (1  r n ) 。 1 r. 31.

(8) 【應用】 1. 已知碳 14 元素每經過 5730年(半衰期)，會有一半衰變成氮元素。現有一古生物標本，測得碳 14 之含量為生前的 43% ，試求該生物存在於多少年前。解答：設該生物存在於 t 年前，則 43 1 t  ( ) 5730 ， 100 2 t log 4.3  1  ( log 2) ， 5730 t 0.6335  1    0.3010 ，(查表) 5730 5730 t  0.3665   6977 ， 0.3010. 故大約在 6977 年前。 2. 設水溶液中氫離子的濃度為 [H+ ] (莫耳／升)，則該水溶液的 pH 值定為 A 標示其 pH  5.5 ，洗面乳 B 標示 pH  5.8 ，求 A pH   log[H 。今有洗面乳 ] 的氫離子濃度是 B 的幾倍。解答：原式即 log[H ]  pH ，故 [H ]  10 pH ﹒ 已知 [H ]A  105.5 , [H ]B  105.8 ，於是. [H ]A 105.5   100.3  1.995  2 ， [H ]B 105.8. 大約 2 倍。 3. 一個規模為 M 的地震所釋放的總能量為 E (焦耳)，則 log E  5.24  1.44M ，求規模為 7.3 的地震所釋放的總能量。解答： log E  5.24  1.44  7.3  15.752 ， E  1015.752  100.752  1015  5.649  1015 (焦耳)。 4. 聲音的強度可用單位面積上的功率 I (watt/ m 2 )量度，但實用上以分貝 dB 表示， dB 與 I 的關係為 dB  10(log I  12) 。又聲音強度會與聲源距離之平方成反比。今有一擴音器在距離 1 公尺處測得聲音為 90 分貝，則距離 10 公尺時，聲音為多少分貝？解答：原關係式可化為 1 1 dB ， log I  dB  12 ， 10 10 1 ( dB  dB1 ) 1 I 1 1 I 故 log  log I  log I1  ( dB  12)  ( dB1  12)  (dB  dB1 ) ，  1010 。 I1 10 10 10 I1 I 1 當距離為 10 倍時，強度比  ， I1 100 log I  12 . 故 102 . 1 ( dB90) 1 1 ， (dB  90)  2 ， dB  70 ，  1010 10 100. 故距離 10 公尺處之聲音為 70 分貝。. 32.

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