1-2-1數列與級數-等差級數與等比級數

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(1)1-2-1 數列與級數-等差級數與等比級數【定義】數列：將數依照順序列出，就形成一個數列。數列中的第一個數叫做第一項或首項，以 a1 表示；第二個數叫做第二項，以 a 2 表示； K ；第 n 個數叫做第 n 項，以 a n 表示，通常又稱一般項。數列表示方法： 1. 列舉型：把數列中每一項都列舉出來或是把數列的前幾項列出來，使能看出 1 1 通則，其餘以「…」來表示，例如： < 1, , , L > 。 2 3 2. 概括型：假定問題只牽涉到數列的概念，而對於各項實際為何不需去探究時，我們常以 < a n > 代表數列，通常以 < a n > kn =1 代表有限數列，< a n > ∞n =1 代表無窮數列。 3. n 項型：通常所討論的數列其各項間有一定的規則存在，而這種規則通常可以用項數 n 來表示。例如： < a n >=< 2n + 1 >=< 3,5,7,L > 。有限數列：數列項數只有有限多項的數列。無窮數列：數列項數有無窮多項的數列。級數：若 < a n > 為一個數列，將 < a n > 中的各項依次相加表示所成的式子稱級數，如 a1 + a 2 + L + a n 為級數。部分和： S n = a1 + a 2 + L + a n 稱為此級數的首 n 項和或首 n 項部分和。有限級數：若 < a n > 為有限數列，則 a1 + a 2 + L + a n 稱有限級數。無窮級數：若 < a n > 為無窮數列，則 a1 + a 2 + L + a n + L 稱無窮級數。【問題】 1. 數列一定會有規律嗎？ 2. 數列 < 3,5,7, L > 的一般項為何？ 3. 若數列 < 1,2,3, L > 有規律，則其一般項為何？ 4. 數列 < 1,2,3,28, L > 是否為有規律的數列？ 5. 如何表示數列，才能有唯一的數列發生？【定義】 Σ 符號： n. 上限. k =1. 足標 = 下限. ∑ a k =a1 + a 2 + L + a n ，即「. ∑ (一般項) = 」之型式。. 註： 1. 上限及下限代表的是固定整數。 2. 足標表示的是整數變數。 3. 一般項通常用足標中的變數表示。.

(2) 【性質】 Σ 運算的性質：設數列 < a n > 與 < bn > ， c 為常數，則 n. 1.. ∑ (a k =1 n. 2.. ∑ ca k =1 n. 3.. k. n. n. k =1. k =1. ± bk ) = ∑ a k ± ∑ bk 。 n. k. = c∑ a k 。 k =1. ∑ c = nc 。 k =1. 註：乘法與除法不能拆開個別算。常用級數的性質： n. 1.. ∑1 = n 。 k =1 n. n(n + 1) 。 2 k =1 n n( n + 1)(2n + 1) 3. ∑ k 2 = 12 + 2 2 + 3 2 + L + n 2 = 。 6 k =1 n n(n + 1) 2 4. ∑ k 3 = 13 + 2 3 + 33 + L + n 3 = [ ] 。 2 k =1 註： 1. 用以上公式可以計算出下列形式的級數. 2.. ∑k = 1+ 2 + 3 +L+ n =. n. n. n. n. n. k =1. k =1. k =1. k =1. k =1. ∑ (ak 3 + bk 2 + ck + d ) =a∑ k 3 + b∑ k 2 + c∑ k + d ∑1 2. 注意各項中那些符號是不變的，那些符號隨著項數作有規律的改變，或從多少改變至多少，請注意上標、下標、足標、一般項等。【證明】 n n(n + 1) 。 2. ∑ k = 1 + 2 + 3 + L + n = 2 k =1 (證)設 S = 1 + 2 + 3 + L + n ，則 S = n + (n − 1) + ( n − 2) + L + 1 ，相加得 2 S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + L + (n + 1) ，故 2 S = n(n + 1) ， n(n + 1) 即S = 。 2 n n(n + 1)(2n + 1) 3. ∑ k 2 = 12 + 2 2 + 3 2 + L + n 2 = 。 6 k =1 (證)已知 ( x + 1) 3 = x 3 + 3 x 2 + 3x + 1 ，令 x = 1 代入，得 2 3 = 13 + 3 × 12 + 3 × 1 + 1 令 x = 2 代入，得 33 = 2 3 + 3 × 2 2 + 3 × 2 + 1 M 令 x = n 代入，得 (n + 1) 3 = n 3 + 3 × n 2 + 3 × n + 1 將上述式子全部相加，.

(3) n. n. n. k =1. k =1. k =1. 得 (n + 1) 3 = 13 + 3∑ k 2 + 3∑ k + ∑ 1 ， n(n + 1)(2n + 1) 。 6 k =1 n n(n + 1) 2 4. ∑ k 3 = 13 + 2 3 + 33 + L + n 3 = [ ] 。 2 k =1 (證)已知 ( x + 1) 4 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 ，令 x = 1 代入，得 2 4 = 14 + 4 × 13 + 6 × 12 + 4 × 1 + 1 令 x = 2 代入，得 3 4 = 2 4 + 4 × 2 3 + 6 × 2 2 + 4 × 2 + 1 M 令 x = n 代入，得 (n + 1) 4 = n 4 + 4 × n 3 + 6 × n 2 + 4 × n + 1 將上述式子全部相加， n. 化簡後得 ∑ k 2 =. n. n. n. n. k =1. k =1. k =1. k =1. 得 (n + 1) 4 = 14 + 4∑ k 3 + 6∑ k 2 + 4∑ k + ∑ 1 ， n( n + 1) 2 化簡後得 ∑ k 3 = [ ] 。 2 k =1 特殊級數的性質： 1. 分項對消法(前後對消法)： n n n n 1 (k + 1) − k 1 1 1 。 =∑ = ∑( − ) = 1− = ∑ k +1 n +1 n +1 k =1 k ( k + 1) k =1 k ( k + 1) k =1 k n n 1 1 1 n 1 ，註： ∑ ( − ) = ∑ −∑ k + 1 k =1 k k =1 k + 1 k =1 k ∞ ∞ 1 1 1 ∞ 1 ，但 ∑( − ) ≠ ∑ −∑ k + 1 k =1 k k =1 k + 1 k =1 k 因為沒有個別收斂時，不能隨便拆開。 2. 分項對消法(前後對消法)： n 1 1 n ( k + 2) − k = ∑ ∑ 2 k =1 k (k + 1)(k + 2) k =1 k ( k + 1)( k + 2) n ⎞ 1⎛ 1 1 ⎟ = ∑ ⎜⎜ − (k + 1)(k + 2) ⎟⎠ k =1 2 ⎝ k ( k + 1) n. = 3. 4.. ⎞ 1⎛1 1 ⎜⎜ − ⎟。 2 ⎝ 2 (n + 1)(n + 2) ⎟⎠. n. n. k =1 n. k =1. n. n. k =1. k =1. ∑ k (k + 1) = ∑ (k 2 + k ) = ∑ k 2 + ∑ k = n. ∑ k (k + 1)(k + 2) = ∑ (k k =1. k =1 n. 3. n(n + 1)(n + 2) 。 3. + 3k 2 + 2k ). n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 。 4 k =1 k =1 k =1 註：可由此推出一般情形的公式。 5. 階差數列：前後兩項相減，觀察規則。例如：求 1,2,4,8,15,26,42,64 之一般項為何？ n. n. = ∑ k 3 + 3∑ k 2 + 2∑ k =.

(4) 【問題】 n. n. n. k =1. k =1. 1. 試問 ∑ (a k ⋅ bk ) = (∑ a k ) ⋅ (∑ bk ) 是否成立？ k =1. n. n. a 2. 試問 ∑ k = k =1 bk. ∑a k =1 n. ∑b. n. k =1 n. k =1. i =1. k. 是否成立？. k n. n. n. n. n. n. n. −2. k =1. n =1. k =1. k =1. k =1. k =1. k =n. n =1. 3. 試問 ∑ a k ， ∑ ai ， ∑ a n ， ∑ a n ， ∑1 ， ∑ k ， ∑ n ， ∑ a k ， ∑ a n ， ∑ a n 各表示何種意義？【定義】等差數列：(A.P.)(Arithmetic Sequence 或 Arithmetic Progression) 數列 < a n > 中，若後一項減前一項的差都相等，即 a 2 − a1 = a3 − a 2 = L = a n − a n −1 = d 時，稱數列 < a n > 為等差數列，其中 d 稱為公差(common difference)。等差中項：若 a, b, c 三個數成等差數列，則稱 b 為 a, c 的等差中項或算術平均數，此時 a+c 。 b= 2 等差級數：(Arithmetic Series) 設 < a n > 為一個等差數列，則 a1 + a 2 + L + a n 稱為等差級數，它們的和叫做等差級數和。等差級數的第 n 項：一個等差數列，若首項為 a1 ，第 n 項為 a n ，公差為 d ，則第 n 項(common equation)為 a n = a + (n − 1) d 。註： 1. 一般求數列的第 n 項要靠觀察與猜測，並證明之。 2. 若 S n = a1 + a2 + L + an ，則 a1 = S1 ， a n = S n − S n −1 (n ≥ 2) 。【公式】等差級數的求和公式：一個等差數列，若首項為 a1 ，第 n 項為 a n ，公差為 d ， n( a1 + a n ) n( 2a1 + (n − 1)d ) 。則首 n 項的和 S n = = 2 2 (證)已知 S n = a1 + a2 + L + a n ，則 S n = a n + a n −1 + L + a1 ，將兩式相加得 2 S n = (a1 + a n ) + (a 2 + a n −1 ) + L + (an + a1 ) ⇒ 2S n = (2a1 + (n − 1)d ) ( 2a1 + ( n − 1) d ) n ⇒ Sn = 2 【定義】調和數列：(H.P.)(Harmonic Sequence).

(5) 設數列 < a n > 的每一項都不為零，若每一項的倒數所成的新數列 <. 1 > 為一等差 an. 數列，則稱 < a n > 為調和數列， a1 + a 2 + L + a n 稱為調和級數。調和中項： 2ab 若 a, b, c 三個數成調和數列，則稱 b = 為 a, c 的調和中項或調和平均數。 a+b 【定義】等比數列：(G.P.)(Geometric Sequence 或 Geometric Progression) 數列 < a n > 中，若後一項與前一項的比值都相等，. a a 2 a3 = = L = n = r (但r ≠ 0) 時，稱數列 < a n > 為等比數列， a1 a 2 a n −1 其中 r 稱為公比(common ratio)。註：一般討論等比數列時，規定任一項都不為零，公比也不為零。等比級數：(Geometric Series) 設 < a n > 為一個等比數列，則 a1 + a 2 + L + a n 稱為等比級數，它們的和叫做等比級數和。等比中項：若 a, b, c 三個數成等比數列，則稱 b 為 a, c 的等比中項或幾何平均數，此時即. b 2 = ac ，即 b = ± ac 。等比級數的第 n 項：一個等比數列，若首項為 a1 ，公比為 r ，則第 n 項為 a n = a1 r n −1 。【公式】等比級數的求和公式： , 當r = 1時 ⎧na1 ⎪ 一個等比數列，若首項為 a1 ，公比為 r ，則首 n 項的和 S n = ⎨ a (1 − r n ) 。 1 ≠ , 當 1 時 r ⎪ ⎩ 1− r (證)當 r = 1 時， S n = a1 + a1 + L + a1 = na1 ，當 r ≠ 1 時， S n = a1 + a1r + L + a1r n −1 ，. rS n = a1r + a1r 2 + L + a1 r n ，將兩式相減得 (1 − r ) S n = a1 − a1r n. ⇒ Sn =. a1 (1 − r n ) 。 1− r. 【性質】 1. 設 a, b ≥ 0 ，則. 2 a+b ≥ ab ≥ 1 1 ， + 2 a b. 即算術平均數大於或等於幾何平均數，且幾何平均數大於或等於調和平均數。 2. 若數列 < a n > 為一個等差數列，則 S n , S 2 n − S n , S 3n − S 2 n 亦為等差數列。 3. 若數列 < a n > 為一個等比數列，則 S n , S 2 n − S n , S 3n − S 2 n 亦為等比數列。.

(6) 【應用】 1. 單利：若本金為 p ，每期利率為 x (常用百分比表示)，則 n 期後的本利和為 p (1 + nx ) 。 2. 複利：若本金為 p ，每期利率為 x ，則 n 期後的本利和為 p(1 + x) n 。註： 1. 單利即為等差級數的類型；複利即為等比級數的類型。 2. 一般利用所借的錢與所還的前相同來討論即可。.

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