数学（二）职业模块 - 万水书苑-出版资源网

7.1  算法与程序框图 

7.1.1  算法的概念 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础．在现代社会里， 计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具．听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡 通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域．那么，计算机是怎样工作的呢？ 要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始．同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的 能力，提高逻辑思维能力． 在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量 的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等，完成这些工作都需要一系列程序化的步 骤，这就是算法的思想．下面举例说明． 例 1：写出你在家里烧开水过程的一个算法． 解：第一步：把水注入电锅． 第二步：打开电源把水烧开． 第三步：把烧开的水注入热水瓶． （以上算法是解决某一问题的程序或步骤） 例 2：给出求 1+2+3+4+5 的一个算法． 解：算法 1：按照逐一相加的程序进行． 第一步：计算 1+2，得到 3． 第二步：将第一步中的运算结果 3 与 3 相加，得到 6． 第三步：将第二步中的运算结果 6 与 4 相加，得到 10． 第四步：将第三步中的运算结果 10 与 5 相加，得到 15． 算法 2：可以运用公式 1+2+3+…+ n =  ( 1)  2  n n + _{直接计算．} 第一步：取 n =5． 第二步：计算  ( 1)  2  n n + _． 第三步：输出运算结果． （说明算法不唯一）

例 3：解二元一次方程组的步骤． （可推广到解一般的二元一次方程组，说明算法的普遍性） 例 4：用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤． 第一步：根据题意，选择标准方程或一般方程． 第二步：根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组． 第三步：解出 a、b、r 或 D、E、F，代入标准方程或一般方程． 算法的概念 通过对以上几个问题的分析，我们对算法有了一个初步的了解．在解决某些问题时，需 要设计出一系列可操作或可计算的步骤，广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序．菜谱 是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法．在数学 中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程 序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成． 例题分析 例 1：任意给定一个大于 1 的整数 n，试设计一个程序或步骤对 n 是否为质数做出判定． 算法分析：根据质数的定义，很容易设计出下面的步骤： 第一步：判断 n 是否等于 2，若 n=2，则 n 是质数；若 n>2，则执行第二步． 第二步：依次从 2 至 n­1 检验是不是 n 的因数，即整除 n 的数，若有这样的数，则 n 不是 质数；若没有这样的数，则 n 是质数． 这是判断一个大于 1 的整数 n 是否为质数的最基本算法． 例 2：用二分法设计一个求方程  2  2 0  x - = 的近似根的算法． 算法分析：回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过  0.005，则不难设计出以下步骤： 第一步：令  2  ( ) 2  f x =x - ．因为  (1)f < ，  (2)0  f > ，所以设 0  x₁ =1， x ₂ = 2 ． 第二步：令 m=(x1+ x 2 ) / 2 ，判断  ( ) f m  是否为  0，若是，则  m  为所求；若否，则继续判 断 f x( )₁  × f m ( ) 大于 0 还是小于 0． 第三步：若 f x( )₁  × f m ( ) >0，则令 x₁ = m ；否则，令 x₂ = m ． 第四步：判断 |x1-x 2 | 0.005 < 是否成立．若是，则 x1、x2 之间的任意取值均为满足条件的 近似根；若否，则返回第二步． 小结：算法具有以下特性：有穷性、确定性、顺序性、不唯一性、普遍性． 例 3：写出解二元一次方程组  2 1  2 1  x y  x y - = - ì ï í + = ï î 解：第一步：②­①×2 得 5y=3．③ 第二步：解③得 y=3/5． 第三步：将 y=3/5 代入①，得 x=1/5． ① ②

学生做一做：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？ 老师评一评：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程 组的解法．下面写出求方程组  1 1 1  2 2 2  0  0  A x B y C  A x B y C + + = ì í + + = î  1 2 2 1  0  A B -A B ¹ （ ） 的解的算法． 第一步：②×A1­①×A2，得 (A B1 2-A B y2 1) + A C1 2-A C 2 1 = ．③ 0  第二步：解③得  2 1 2 2  1 2 2 1  A C A C  y  A B A B - = - ． 第三步：将  2 1 2 2  1 2 2 1  A C A C  y  A B A B - = - 代入①，得  2 1 1 2  1 2 2 1  B C B C  x  A B A B - + = - ． 此时我们得到了二元一次方程组的求解公式，利用此公式可以得到另一个算法． 第一步：取 A₁=1， B₁= -2， C₁=1， A₂ =2， B₂ =1， C ₂ = - 1 ． 第二步：计算  2 1 1 2  1 2 2 1  B C B C  x  A B A B - + = - 与  2 1 2 2  1 2 2 1  A C A C  y  A B A B - = - ． 第三步：输出运算结果． 可见利用上述算法更加有利于上机执行与操作． 例 4：写出一个求有限整数列中的最大值的算法． 解：算法如下： 第一步：假定序列中的第一个整数为“最大值” ． 第二步：将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值” ，这时就 假定“最大值”是这个整数． 第三步：如果序列中还有其他整数，重复第二步． 第四步：在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的 最大值． 学生做一做：写出对任意 3 个整数 a、b、c 求出最大值的算法． 老师评一评：在例  2  中我们是用自然语言来描述算法的，下面我们用数学语言来描述本 题的算法． 第一步：max=a  第二步：如果 b>max，则 max=b． 第三步：如果 c>max，则 max=c． 第四步：max 就是 a、b、c 中的最大值． 例 5：写出求 1+2+3+4+5+6 的一个算法． 分析：可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式 1+2+…+n=  ( 1)  2  n n + _{进行，也可以根} 据加法运算律简化运算过程．

解：算法 1： 第一步：计算 1+2 得到 3． 第二步：将第一步中的运算结果 3 与 3 相加得到 6． 第三步：将第二步中的运算结果 6 与 4 相加得到 10． 第四步：将第三步中的运算结果 10 与 5 相加得到 15． 第五步：将第四步中的运算结果 15 与 6 相加得到 21． 算法 2： 第一步：取 n=6． 第二步：计算  ( 1)  2  n n + _． 第三步：输出运算结果． 算法 3： 第一步：将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3´ 7． 第二步：计算 3´ 7． 第三步：输出运算结果． 小结： 算法 1 是最原始的方法， 最为繁琐， 步骤较多， 当加数较大时， 如 1+2+3+…+10000， 再用这种方法是行不通的；算法 2 与算法 3 都是比较简单的算法，但比较而言，算法 2 最为简 单，且易于在计算机上执行操作． 学生做一做：求 1´ 3 ´ 5 ´ 7 ´ 9´ 11 的值，写出其算法． 老师评一评： 算法 1： 第一步：先求 1´ 3，得到结果 3． 第二步：将第一步所得结果 3 再乘以 5，得到结果 15． 第三步：再将 15 乘以 7，得到结果 105． 第四步：再将 105 乘以 9，得到 945． 第五步：再将 945 乘以 11，得到 10395，即是最后结果． 算法 2：用 P 表示被乘数，i 表示乘数． 第一步：使 P=1． 第二步：使 i=3． 第三步：使 P=P´ i． 第四步：使 i=i+2． 第五步：若 i≤11，则返回到第三步继续执行，否则算法结束． 小结：由于计算机是高速计算的自动机器，能实现循环的语句．因此，上述算法  2  不仅 是正确的，而且是在计算机上能够实现得较好的算法．在上面的算法中，第三步、第四步、第 五步构成一个完整的循环，这里需要说明的是，每经过一次循环之后，变量 P、i 的值都发生

了变化，并且循环一次之后都要在第五步对 i 的值进行检验，一旦发现 i 的值大于 11 时，立 即停止循环，同时输出最后一个  P  的值，对于循环结构的详细情况，我们将在以后的学习中 介绍． 课堂练习  1．写出解不等式 x 2 ­2x­3<0 的一个算法． 解：第一步：x 2  ­2x­3=0 的两个根是 x1=3，x2=­1． 第二步：由 x 2  ­2x­3<0 可知不等式的解集为{x | ­1<x<3}． 评注：该题的解法具有一般性，下面给出解形如 ax 2  +bx+c>0 的不等式的步骤（为方便， 我们设 a>0）如下： 第一步：计算  2  4  b ac D = - ． 第二步：若 D >0，求出方程两根 _1,2  2  4  2  b b ac  x  a - ± - = （设  x1>x2），则不等式解集为  {x | x>x1 或 x<x2}． 第三步：若 D = 0，则不等式解集为{x | xÎR 且  2  b  x  a ¹ -  }． 第四步：若 D <0，则不等式的解集为 R．  2．求过 P(a1,b1)、Q(a2,b2)两点的直线斜率有如下的算法：

第一步：取 x1= a1，y1= b1，x2= a2，y1= b2．

第二步：若 x1= x2． 第三步：输出斜率不存在． 第四步：若 x1≠x2． 第五步：计算  2 1  2 1  y y  k  x x - = - ． 第六步：输出结果．  3．写出求过两点 M(­2,­1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法． 解： 第一步：取 x1= -2， y1= -1， x2=2， y 2 = 3 ． 第二步：计算  1 1  2 1 2 1  y y x x  y y x x - - = - - ． 第三步：在第二步结果中令 x=0 得到 y 的值 m，得直线与 y 轴交点(0,m)． 第四步：在第二步结果中令 y=0 得到 x 的值 n，得直线与 x 轴交点(n,0)． 第五步：计算  1  2  S= m n ． 第六步：输出运算结果．

7.1.2  程序框图  1．程序框图的概念 算法可以用自然语言来描述，但为了使算法的程序或步骤表达得更为直观，我们更经常 地用图形方式来表示它，即程序框图．程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及 文字说明来准确、直观地表示算法的图形．  2．构成程序框图的图形符号及其作用 （1）起止框 ：是任何流程图都不可缺少的，它表明程序的开始和结束，所以一个 完整的流程图的首末两端必须是起止框． （2）输入、输出框 ：表示数据的输入或结果的输出，它可用在算法中的任何需要 输入、输出的位置． （3）处理框 ：是用来赋值、执行计算语句、传送运算结果的图形符号． （4）判断框 ：一般有一个入口和两个出口，有时也有多个出口，它是唯一具有 两个或两个以上出口的符号，在只有两个出口的情形中，通常都分成“是”与“否” （也可用 “Y”与“N” ）两个分支． 在学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规 则如下： （1）使用标准的图形符号，如图 7­1 所示． 图 7­1  （2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画． （3）除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点．判断框是具有超过 一个退出点的唯一符号． （4）判断框分两大类，一类是“是”与“否”的两分支判断，而且有且仅有两个结果； 另一类是多分支判断，有几种不同的结果． （5）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚． 输出 输入 处理

3．顺序结构 顺序结构描述的是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺 序进行的． 例 1：交换两个变量 A 和 B 的值，并输出交换前后的值． 解：算法如下： 第一步：输入 A、B 的值． 第二步：把 A 的值赋给 x． 第三步：把 B 的值赋给 A． 第四步：把 x 的值赋给 B． 第五步：输出 A、B 的值． 程序框图如图 7­2 所示． 图 7­2  4．条件结构 一些简单的算法可以用顺序结构来表示，但是这种结构无法对描述对象进行逻辑判断并 根据判断结果进行不同的处理．因此，需要有另一种逻辑结构来处理这类问题，这种结构叫做 条件结构，它是根据指定条件选择执行不同指令的控制结构，如图 7­3 所示． 例 2：有三个整数 a、b、c，由键盘输入，输出其中最大的数． 解：算法 1： 第一步：输入 a、b、c． 第二步：若 a b > 且 a> ，则输出 a；否则，执行第三步． c 输入 A、B  开始 结束  A=B  x=A  B=x  输出 A、B

第三步：若 b c > ，则输出 b ；否则，输出 c． 算法 2： 第一步：输入 a、b、c． 第二步：若 a b > ，则 t= ；否则， ta = ． b 第三步：若 t c > ，则输出 t ；否则，输出 c． 图 7­3  例 3：已知  2  ( ) 2 3  f x = x - x - ，求  (3)f + f ( 5) - 的值． 设计出解决该问题的一个算法，并画出程序框图． 解：算法如下： 第一步： x = ． 3  第二步：  2  1  2 3  y =x - x - ． 第三步： x = - ． 5  第四步：  2  2  2 3  y =x - x - ． 第五步： y= y₁+ y ₂ ． 第六步：输出 y ． 例 4：设计一个求任意数的绝对值的算法，并画出程序框图． 解：第一步：输入任意实数 x ． 第二步：若 x ≥ ，则 y0  = ；否则x  y= - ． x 第三步：输出 y ．  5．循环结构 例 5：设计一个计算 1+2+…+100 的值的算法． 解：算法 1：按照逐一相加的程序进行． 第一步：计算 1+2，得到 3． 第二步：将第一步中的运算结果 3 与 3 相加，得到 6． 第三步：将第二步中的运算结果 6 与 4 相加，得到 10． …… 语句 1  语句 2  否 是 条件成立？

第九十九步：将第九十八步中的运算结果 4950 与 100 相加，得到 5050．

简化描述： 进一步简化：

第一步：sum=0． 第一步：sum=0，i=1．

第二步：sum=sum+1． 第二步：依次 i 从 1 到 100 反复做 sum=sum+i．

第三步：sum=sum+2． 第三步：输出 sum． 第四步：sum=sum+3． …… 第一百步：sum=sum+99． 第一百零一步：sum=sum+100． 第一百零二步：输出 sum． 在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况， 这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然循环结构中一定包含条件结构，如图  7­4 所示． 图 7­4  循环体：反复执行的处理步骤称为循环体． 计数变量：在循环结构中，通常都有一个起到循环计数作用的变量，这个变量的取值一 般都含在执行或终止循环体的条件中． 当型循环：在每次执行循环体前对控制循环条件进行判断，当条件满足时执行循环体， 不满足则停止． 直到型循环：在执行了一次循环体之后，对控制循环体进行判断，当条件不满足时执行 循环体，满足则停止． 当型循环与直到型循环的区别：①当型循环可以不执行循环体，直到型循环至少执行一 次循环体；②当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；③对同一算法来说，当型循 环和直到型循环的条件互为反条件． 小结：画循环结构程序框图前：①确定循环变量和初始条件；②确定算法中反复执行的 循环体 是 否 条件成立？

部分，即循环体；③确定循环的转向位置；④确定循环的终止条件．  6．条件结构与循环结构的区别与联系 区别：条件结构通过判断分支，只是执行一次；循环结构通过条件判断可以反复执行． 联系：循环结构是通过条件结构来实现的． 

7.2  基本算法语句

在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具，如听  MP3、看电 影、玩游戏、打字排版、画卡通画、处理数据等，那么计算机是怎样工作的呢？ 计算机完成任何一项任务都需要算法，但是我们用自然语言或程序框图描述的算法，计 算机是无法“看得懂，听得见”的．因此还需要将算法用计算机能够理解的程序设计语言 （Programming Language）翻译成计算机程序．  7.2.1  输入语句、输出语句和赋值语句 我们知道，顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构．输入语句、输出语句和赋值语 句基本上对应于算法中的顺序结构．如图  7­5  所示，计算机从上而下按照语句排列的顺序执行 这些语句． 图 7­5  输入语句和输出语句分别用来实现算法的输入信息、输出结果的功能．如下面的例子： 用描点法作函数  3 2  3 24 30  y=x + x - x + 的图像时，需要求出自变量与函数的一组对应值．编写 程序，分别计算当 x = ­5、­4、­3、­2、­1、0、1、2、3、4、5 时的函数值．  INPUT "x=";x  y=x^3+3*x^2-24*x+30  PRINT  x  PRINT y  END  【提问】在这个程序中，你们觉得哪些是输入语句、输出语句和赋值语句呢？ 语句 1  语句 n

1．输入语句 在该程序中，第 1 行中的 INPUT 语句就是输入语句．这个语句的一般格式为：  INPUT "提示内容";变量 其中， “提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息．如每次运行上述程序时，依次输 入­5、­4、­3、­2、­1、0、1、2、3、4、5，计算机每次都把新输入的值赋给变量  x，并按  x  新获得的值执行下面的语句．  INPUT 语句不但可以给单个变量赋值，还可以给多个变量赋值，其格式为：  INPUT "提示内容 1,提示内容 2,提示内容 3,…";变量 1,变量 2,变量 3,… 说明：①输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；②“提示内容”提示用户输入什 么样的信息，用双引号括起来；③提示内容与变量之间用分号“;”隔开，若输入多个变量， 变量与变量之间用逗号“,”隔开，如“INPUT "a=,b=,c=";a,b,c” ；④变量是指程序在运行时其 值是可以变化的量；如③中的 a、b、c 都是变量，通俗地把一个变量比喻成一个盒子，盒子内 可以存放数据，可随时更新盒子内的数据；⑤如③中当依次输入了 1、2、3 程序在运行时把输 入的值依次赋给 a、b、c，即 a=1，b=2，c=3． 例如，输入一个学生数学、语文、英语三门课的成绩：  INPUT "Maths,Chines,English"; a,b,c  输入任意整数 n：  INPUT "n="; n  2．输出语句 在该程序中，第 3 行和第 4 行中的 PRINT 语句是输出语句．它的一般格式为：  PRINT "提示内容";表达式 说明：①输出语句的作用是实现算法的输出结果的功能，可以在计算机的屏幕上输出常 量、变量的值和系统信息；②“提示内容”提示用户输出什么样的信息，用双引号括起来；③ 提示内容与表达式之间用分号“;”隔开；④要输出表达式中的字符，需要用双引号""，如：  PRINT "提示内容：";"a+2"，这时屏幕上将显示：提示内容：a+2． 例如下面的语句可以输出斐波那契数列：  PRINT  "The Fibonacci Progression is:";  1    1    2    3    5    8    13    21    34    55 "…"  此时屏幕上显示：  The Fibonacci Progression is：1    1    2    3    5    8    13    21    34    55  …  3．赋值语句 是用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句． 除了输入语句，在该程序第 2 行中的赋值语句也可以给变量提供初值．它的一般格式为： 变量=表达式

说明：①赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；②赋值语句中的“=”叫做赋 值号，它和数学中的等号不完全一样．赋值号的左右两边不能对换，赋值语句是将赋值号右边 的表达式的值赋给赋值号左边的变量， 如 a=b 表示用 b 的值代替变量 a 原先的值；③格式中右 边的“表达式”可以是一个数据、常量和算式，如果“表达式”是一个算式时，赋值语句的作 用是先计算出“=”右边表达式的值，然后将该值赋给“=”左边的变量，如 a=1，b=2，c=a+b  是指先计算 a+b 的值 3 再赋给 c，而不是将 a+b 赋给 c．  4．输入语句、输出语句和赋值语句之间的区别 （1）输入语句和赋值语句的区别：输入语句是外部直接给程序中的变量赋值；赋值语句 是程序内部运行时给变量赋值，先计算右边的表达式，得到的值赋给左边的变量． （2）输入语句和输出语句的区别：输入语句是外部直接给程序中的变量赋值；输出语句 是程序运行的结果输出到外部，先计算表达式，得到结果输出． 例 1：编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩． 分析：先写出算法，画出程序框图（如图 7­6 所示） ，再进行编程． 图 7­6  INPUT "数学=";a  INPUT "语文=";b  INPUT "英语=";c  y=(a+b+c)/3  PRINT  "The average=";y  END  例 2：编写一个程序，要求输入一个圆的半径便能输出该圆的周长和面积（ π 取 3.14） ． 开始 输入 a、b、c  a b c  y  3 + + = 结束 输出 y

分析：设圆的半径为  R，则圆的周长为 C= 2π R ，面积为 S= π R 2 ，可以利用顺序结构中 的 INPUT 语句、PRINT 语句和赋值语句设计程序．  INPUT "半径为 R=";R  C=2*3.14*R  S=3.14*R^2  PRINT  "该圆的周长为:";C  PRINT  "该圆的面积为:";S  END  7.2.2  条件语句和循环语句 试求自然数 1+2+3+…+99+100 的和． 显然大家都能准确地口算出它的答案：5050．而能不能将这项计算工作交给计算机来完 成呢？而要编程，以我们前面所学的输入语句、输出语句和赋值语句还不能满足“我们日益 增长的物质需要” ，因此，还需要进一步学习基本算法语句中的另外两种：条件语句和循环 语句． 1．条件语句 算法中的条件结构是由条件语句来表达的，是处理条件分支逻辑结构的算法语句．它的 一般格式为 IF­THEN­ELSE 格式． 当计算机执行上述语句时，首先对 IF 后的条件进行判断，如果条件符合，就执行 THEN  后的语句 1，否则执行 ELSE 后的语句 2．其对应的程序框图如图 7­7 所示． 图 7­7  在某些情况下，也可以只使用 IF­THEN 语句，即 IF­THEN 格式．  IF  条件  THEN  语句  END IF  满足条件？ 是 否 语句 1  语句 2

计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对 IF 后的条件进行判断，如果条件符合， 就执行  THEN  后的语句；如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句．其 对应的程序框图如图 7­8 所示． 图 7­8  INPUT  "Please input a,b,c =";a,b,c  d=b*b-4*a*c  p=­b/(2*a)  q=SQR(ABS(d))/(2*a)  IF    d>=0    THEN  x1=p+q  x2=p-q  IF    x1=x2    THEN  PRINT "One real root:";x1  ELSE  PRINT "Two real roots:x1";x1,"and x2";x2  END IF  ELSE  PRINT  "No real root!"  END IF  END  条件语句的作用：在程序执行过程中，根据判断是否满足约定的条件而决定需要转换到何 处去．需要计算机按条件进行分析、比较、判断，并按判断后的不同情况进行不同的处理． 例 1：编写程序，输入一元二次方程  2  0  ax +bx+c = 的系数，输出它的实数根． 分析：先把解决问题的思路用程序框图表示出来，然后再根据程序框图给出的算法步骤 逐步把算法用对应的程序语句表达出来． 算法分析：我们知道，若判别式  2  4 0  b ac D = - > ， 原 方程 有 两 个不 相 等 的实 数 根 ：  1  2  b  x  a - + D = 、 ₂  2  b  x  a - - D = ； 若 D = ， 0 原方程有两个相等的实数根： _{1 2}  2  b  x x  a = = - ； 若 D < ， 0 否 语句 是 满足条件？

原方程没有实数根．也就是说，在求解方程之前，需要首先判断判别式的符号．因此，这个过 程可以用算法中的条件结构来实现． 又因为方程的两个根有相同的部分，为了避免重复计算，可以在计算 

x 

₁ 和 

x 

₂ 之前先计算  2  b  p  a = - ，  2  q  a D = ． 例 2：编写程序，使得任意输入的 3 个整数按从大到小的顺序输出． 算法分析：用 a、b、c 表示输入的 3 个整数；为了节约变量，把它们重新排列后，仍用 a、  b、c 表示，并使 a≥b≥c．具体操作步骤如下： 第一步：输入 3 个整数 a、b、c． 第二步：将 a 与 b 比较，并把小者赋给 b，大者赋给 a． 第三步：将 a 与 c 比较，并把小者赋给 c，大者赋给 a，此时 a 已是三者中最大的． 第四步：将 b 与 c 比较，并把小者赋给 c，大者赋给 b，此时 a、b、c 已按从大到小的顺 序排列好． 第五步：按顺序输出 a、b、c． 补例：铁路部门托运行李的收费方法如下：y 是收费额（单位：元），x 是行李重量（单位：  kg） ，当 0<x≤20 时，按 0.35 元/kg 收费；当 x>20kg 时，20kg 的部分按 0.35 元/kg 收费；超出  20kg 的部分，则按 0.65 元/kg 收费．请根据上述收费方法编写程序． 分析：首先由题意得：  0.35 0 20  0.35 20 0.65( 20) 20  x x  y  x x < ì ï = í ´ + - > ï î ≤ ，该函数是个分段函数， 需要对行李重量作出判断，因此这个过程可以用算法中的条件结构来实现．  INPUT "请输入旅客行李的重量（kg）x=";x 

IF    x>0    AND    x<=20    THEN  y=0.35*x  ELSE  y=0.35*20+0.65*(x­20)  END IF  PRINT "该旅客行李托运费为：";y  END  2．循环语句 算法中的循环结构是由循环语句来实现的．对应于程序框图中的两种循环结构，一般程 序设计语言中也有当型（WHILE 型）和直到型（UNTIL 型）两种语句结构，即 WHILE 语句 和 UNTIL 语句． （1）WHILE 语句． 一般格式如下：  WHILE  条件

循环体  WEND  其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的．WHILE 后面的“条件”是用于控制 计算机执行循环体或跳出循环体的． 当计算机遇到  WHILE  语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行  WHILE  与  WEND  之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程 反复进行，直到某一次条件不符合为止．这时，计算机将不执行循环体，直接跳到 WEND 语 句后，接着执行 WEND 之后的语句．因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环．其对应 的程序结构框图如图 7­9 所示． 图 7­9  （2）UNTIL 语句． 一般格式如下：  DO  循环体  LOOP    UNTIL  条件 其对应的程序结构框图如图 7­10 所示． 图 7­10  满足条件？ 否 循环体 是 满足条件？ 是 否 循环体

【思考】直到型循环又称为“后测试型”循环，参照其直到型循环结构对应的程序框图， 说说计算机是按怎样顺序执行 UNTIL 语句的（让学生模仿执行 WHILE 语句的表述）？ 从 UNTIL 型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的 判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行， 直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到 LOOP  UNTIL 语句后执行其他语句，是先执 行循环体后进行条件判断的循环语句． 【提问】通过对照，大家觉得 WHILE 型语句与 UNTIL 型语句之间有什么区别呢（让学 生表达自己的感受）？ 区别：在 WHILE 语句中，是当条件满足时执行循环体；而在 UNTIL 语句中，是当条件 不满足时执行循环体． 例 3：编写程序，计算自然数 1+2+3+…+99+100 的和． 分析：这是一个累加问题．我们可以用 WHILE 型语句，也可以用 UNTIL 型语句．由 此看来，解决问题的方法不是唯一的，当然程序的设计也是有多种的，只是程序简单与复 杂的问题．  WHILE 型：  UNTIL 型：  i=1  i=1  sum=0  sum=0 

WHLIE    i<=100  DO 

sum=sum+i  sum=sum+i 

i=i+1  i=i+1 

WEND  LOOP UNTIL    i>100 

PRINT    sum  PRINT    sum 

END  END  例 4：将程序框图 7­4 转化为程序语句． 分析：仔细观察，该程序框图中既有条件结构，又有循环结构．  INPUT  "n=";n  flag=1  IF    n>2    THEN  d=2 

WHILE    d<=n-1    AND    flag=1  IF    n MOD d=0    THEN 

flag=0  ELSE  d=d+1  END IF  WEND  ELSE 

PRINT n;"是质数。"  ELSE  PRINT n;"不是质数。"  END IF  END IF  END  思考：上述判定质数的算法是否还能有所改进（让学生课后思考）？ 补例：某纺织厂 1997 年的生产总值为 300 万元，如果年生产增产率为 5%，计算最早在 哪一年生产总值超过 400 万元． 分析：从 1997 年底开始，经过 x 年后生产总值为 300×(1+5%) x _{，可将 1997 年生产总值} 赋给变量 a， 然后对其进行累乘， 用 n 作为计数变量进行循环， 直到 a 的值超过 400 万元为止． 解：程序框图如图 7­11 所示． 图 7­11  a=300  p=1.05  n=1997  DO  a=a*p  n=n+1  LOOP UNTIL a>400  PRINT n  END  开始  a>400？  a=a*p  a=300，p=1.05，n=1997  n=n+1  输出 n  结束 否 是

7.3  算法案例

在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出  18  与  30  的公约数吗？我们以前 都是利用找公约数的方法来求最大公约数， 如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到 一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数呢？比如求 8251 与 6105 的最大公约数．  1．辗转相除法 例 1：求两个正数 8251 和 6105 的最大公约数． 分析：8251 与 6105 两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根 据已有的知识即可求出最大公约数． 解：8251=6105×1+2146  显然 8251 的最大公约数也必是 2146 的约数，同样 6105 与 2146 的公约数也必是 8251 的 约数，所以 8251 与 6105 的最大公约数也是 6105 与 2146 的最大公约数．  6105=2146×2+1813  2146=1813×1+333  1813=333×5+148  333=148×2+37  148=37×4+0  则 37 为 8251 与 6105 的最大公约数． 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法，也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在 公元前 300 年左右首先提出的．利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： 第一步：用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 q0 和一个余数 r0． 第二步：若 r0=0，则 n 为 m 和 n 的最大公约数；若 r0≠0，则用除数 n 除以余数 r0 得到一 个商 q1 和一个余数 r1． 第三步：若 r1=0，则 r1 为 m 和 n 的最大公约数；若 r1≠0，则用除数 r0 除以余数 r1 得到 一个商 q2 和一个余数 r2． …… 依次计算直至 rn=0，此时所得到的 rn－1 即为所求的最大公约数． 练习：利用辗转相除法求两数 4081 与 20723 的最大公约数（答案：53） ．  2．更相减损术 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术． 更相减损术求最大公约数的步骤为：可半者半之，不可半者，副置分母·子之数，以少 减多，更相减损，求其等也，以等数约之． 翻译出来为： 第一步：任意给出两个正数，判断它们是否都是偶数：若是，用  2  约简；若不是，执行

第二步． 第二步： 以较大的数减去较小的数， 接着把较小的数与所得的差比较， 并以大数减小数． 继 续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数． 例 2：用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数． 解：由于 63 不是偶数，把 98 和 63 以大数减小数并辗转相减，即：  98­63=35  63­35=28  35­28=7  28­7=21  21­7=14  14­7=7  所以，98 与 63 的最大公约数是 7． 练习：用更相减损术求两个正数 84 与 72 的最大公约数（答案：12） ．  3．比较辗转相除法与更相减损术的区别 （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计 算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显． （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到，而更相减损 术则以减数与差相等而得到．  4．辗转相除法计算的程序框图及程序 利用辗转相除法与更相减损术的计算算法，我们可以设计出程序框图以及 BASIC 程序来 在计算机上实现辗转相除法与更相减损术求最大公约数， 下面由同学们设计相应框图， 相互之 间检查框图与程序的正确性，并在计算机上验证自己的结果． 辗转相除法的程序框图如图 7­12 所示． 程序如下：  INPUT "m=";m  INPUT "n=";n  IF    m<n THEN    x=m  m=n  n=x  END IF  r=m MOD n  WHILE    r<>0  r=m MOD n  m=n  n=r  WEND  PRINT    m  END