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老師教得有感覺，學生學得有意義！
一個國小教師對『九九乘法』的看法
閻依萍 國立台北教育大學附設實驗國民小學最近新聞炒得很熱的話題是小二回復教九九乘法，在我與同事交換心得感想 是新聞媒體並沒有全面性了解國小教師在教學現場的實際狀況。回頭翻翻教育部 64 年版國民小學數學課程標準、82 年國民小學數學課程標準、91 年國民中小學 數學學習領域暫行綱要及 92 年國民中小學九年一貫課程綱要正式版，試將有關 初步引入乘法學習整理如下： 第二學年：理解使用乘法的情境而構成乘法九九 64 年版 教材綱要Æ乘法的初步意義。2 到 9 的乘法表的構造。 低年級目標：瞭解乘法的意義，並應用乘法表解決問題。 82 年版 二年級教材綱要Æ2 到 9 的基本乘法。查乘法表寫出計算結果。 91 年暫綱 分段能力指標 N-1-4 能理解乘法的意義並解決生活中簡單（積≤ 100）的整數倍問 題。 N-1-03 能理解乘法的意義，並解決生活中簡單整數倍的問題。 N-1-06 九九乘法 N-1-07 能理解乘法直式計算 92 年正綱 二年級分年細目Æ 2-n-06 能理解乘法的意義，使用×、＝作橫式記錄，並解決生活中 的問題。 2-n-08 能理解九九乘法。
三年級分年細目Æ 3-n-03 能熟練三位數乘以一位數的直式計算，並解決二位數乘以二 位數的乘法問題。 綜合以上教育部所頒行有關乘法學習目標看來，在運用九九乘法前都要能理 解九九乘法的意義，並不是盲目的讓學生沒有意義的背誦「二一得二、二二得四… 二九一十八」。這是在教育現場的老師都知道的事情，唯一比較不同的是 82 年版 九九乘法是用查表的方式，強調學生必須先理解再背誦，不要因為強調九九乘法 而忽略情境與意義的了解。 對一個不懂九九乘法的小孩來說，他要強背九九乘法的困難，就有如我們要 背底下的表格。以下的表格是擷取 NCTM(2003)和 Fuson(2003)在非負整數運算 中發展數學能力中提出的表格:想想看，我們能知道其中的規律嗎?如果沒有了解 規律原理原則就要我們背起來，這樣的難度就像要小孩強背九九乘法表而不告訴 他背後原理原則的困難是一樣的。 表一：從數字 C 到 CL 的乘法表。 C D E F G H I J K CL C C D E F G H I J K CL D D F H J CL CD CF CH CJ DL E E H K CD CG CJ DC DF DI EL F F J CD CH DL DF DJ ED EH FL G G CL CG DL DG EL EG FL FG GL H H CD FJ DF EL EH FD FJ GF HL I I CF DC DJ EG FD FK GH HE IL
J J CH DF ED FL FJ GH HF ID JL K K CJ DI EH FG GF HE ID JC KL CL CL DL EL FL GL HL IL JL KL CLL 從表一我們可以看出用有限的機械方法「記憶乘法事實」觀點會有的問題。 表一.使用一張類似字母表的表格來呈現乘法乘積︰假定你將學習一個新的乘法 組合的計算表(C、D、E、 F、G、H、L、J、K)。我們假裝你並不知道這項任務 的答案。注意這表格，且明白全部和學習這些機械性記憶的兩個刺激物有關事實 回應的干擾。那些任務是難以應付的，因為那些「數字」看起來非常的相似(對 年輕的孩子來說，他們就像 1、2、3、4…等等一樣)。注視這表格一會，並想想 你可以怎樣以另一種方法去著手這項難以應付的任務。看看你是否能找到的全部 規律。你看見乘以 C 的規律嗎？(注意最上排或最左列)。你看見乘以 CL 的規律 嗎？(看最後一列或最後一排)。注意有趣的 G 的規律。你能找到 D 的規律嗎？E 和 F 的規律更令人難解。K 有一種令人驚嘆的規律；你能解釋它嗎？ 表格裡的一些規律如下︰ 一、C 只是複製和所乘以相同一樣乘積的數目。 二、乘以 CL 則只是加上 L，因此 D 變成 DL，E 變成為 EL…等等。 三、G 的乘積則是在個位的位置由 G 和 L 交替出現；十位的位置則有兩次 C、 兩次 D，兩次 E…等等。 四、在 K 的規律中，十位的位置增加一，個位的位置則減少一個；十位和個位 的和是 K。 這種規律的發生是因為任何值(n×9)只不過是[(n×10)－(n×1)]。用英語數目 單詞和數目來看，2 個 9 是 2 個 10－2＝20－2＝18，3 個 9 是 3 個 10－3＝30 －3＝27…等等。 在解釋上面的規則是否有加深你的印象呢？比其一開始什麼都不知道的情
況，現在是不是好背了一些呢？至少知其所以然吧！ 再者，小朋友在學習乘法的情境都是由加法而來，一開始在學生沒有學到× 符號時，學生依照自己舊有的經驗，當然是用加法做紀錄， 舉例：一隻手有 5 根手指頭，兩隻手有 5+5=10 根手指頭 一隻青蛙有四條腿，八隻青蛙有 4+4+4+4+4+4+4+4=32 條腿 加法的算法是老師還沒有正式教學前每位學生都會的方式解題，此時老師再 引導學生「倍的概念」，如青蛙問題中有八個 4，就是「4 的八倍」，計成「4×8」。 學生要學習使用「×」來做紀錄，但是計算過程方面還是可以用他們所熟悉的「連 加法」。當連加法計算繁複且容易在計算過程中出錯誤，造成一個環節錯，全盤 皆錯的情況下，了解連加法是較耗時又耗力情況下，「九九乘法表」的價值就會 創造出來的。學生知道這項投資是穩賺不賠的，就會心甘情願的去背誦九九乘法 表。許多家長常跑來問老師：九九乘法要不要背？當然要背！在四年級除法的直 式計算時，也要靠乘法的經驗才能加速學習。只是我們要問的是學生是在什麼情 況之下被要求去背九九乘法表？過與不及都不好，在教學現場呈現兩極化的現 象。有些學生早在家長及補習班的「不能輸在起跑點上」的觀念，在小一或是幼 稚園階段就開始背誦「九九乘法表」，這樣的學生進入教室中，當老師出個題目 給他（她），他就直覺寫出答案，你請他解釋，學生反應：「就是這樣啊，因為背 過九九乘法，答案就出來了。」短時間看來，這樣好像也不錯，這單元學得真好， 但是如果老師稍微在題目中多加一個無關的條件或是一張考卷中有加法、減法及 乘法，只有死背九九乘法的學生可能就會開始跌倒了，因為在平常訓練有素的情 況下是不需要去思考題目的，這單元是「乘法」，就全部用乘的，肯定沒問題。 不及的部份則是大家所詬病的「葡萄算法」，因為沒有要求背「九九乘法表」，所 以慢慢加，82 年版一直到第三階段(6-7 年級)能力指標才有「能嘗試理解乘、除
為課本所提供的所有策略學生都要學會且習作都要配合習作來寫步驟，造成學生 與家長的困擾，大家有數學越學越倒退的感嘆。 以下就列出小朋友在用九九乘法表常見的錯誤分析： 2 12 × 6 因為「位值概念不清」，背二六得 12，紀錄成「寫 1 進 2」，然後再 81 六一得六。加 2，等於 8。 15 13 0 × 5 × 8 「加法」影響，「5×5」算成「5+5」、「8×0」算成「8+0」。 50 1 0 4 8 以下列出讓學生熟練九九乘法表的一些方法： 一、讓學生完成九九乘法表的表格，讓學生去發現規律的地方。如被乘數和乘 數顛倒不會影響答案。如 9×3 忘記了，可以從 3×9 去想。 二、自己製作九九乘法表的小卡，正面寫 ，背面寫答案 可以 獨自學習或是兩兩合作競賽，以遊戲方式來背誦九九乘法表，讓學生將答 案提取的過程變成自動化。 三、利用學生喜歡上網玩電腦遊戲的心理，網站打入關鍵字-九九乘法軟體，可 以馬上小試伸手。 四、老師每天上數學課前，全班抽問九九乘法表。 五、老師以數學日誌的方式，給一個算式，要學生利用算式設計題目，檢驗單 位量與單位數是否清楚。 九年一貫正式綱要已經在小一正式登場了，暑假過後升上小二的學生開始要 學習乘法，我們希望看到的是理解與運算並重，九年一貫總體目標是要培養學生 的演算能力、抽象能力、推理能力與溝通能力。以往台灣最引以為傲的數學計算 4×5 20
能力我們希望能帶起來外，在國際評比的重要指標之ㄧ是解決問題的能力，也要 能夠提升。陳竹村(民 92)提到台灣學生在國際評比測驗 TIMSS-1999 報告書是名 列前茅，但是調查結果台灣數學教育偏於講述式教學、且學生喜愛數學的程度並 沒有跟評比成績成正比，且這樣的教學法會降低學生的推理能力與、解決非例行 性的能力與降低學生的創造力。 因此在教學評量中鼓勵放進一些非例形性題目，讓學生在不同真實情境中應 用問題，而不只是磨練計算能力。要學生「知其然，知其所以然」，有成功解題 經驗，學生成就感與信心自然會提升。
參考文獻
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to Principles and Standards for School Mathematics, (pp. 68 - 94), Reston, VA:
