電子自旋與光波偏振的類比

41 物理教育學刊

2014, 第十五卷第一期, 41-68

Chinese Physics Education 2014, 15(1), 41-68

電子自旋與光波偏振的

類比

龍行天 私立大同大學 物理組 摘要：光波的偏振與電子的自旋在物理與數學上 有相似的類比性，本文的目的除了在數學上回顧 偏振與自旋的相似性外，還將藉由實驗來呈現兩 者之間的類比現象，希望為物理教學與學習有所 助益。 關鍵詞：光波偏振，電子自旋

壹、前言

光波的偏振(polarization)與電子的自旋 (electron spin)在物理與數學上有相似的類比 性，兩者都遵守基底向量的疊加原理，而同 一組的基底向量符合正交與歸一性質。在測 量下，入射光波與偏極板(polarizer)方向平行 的電場分量會通過，與偏極板方向垂直的電 場分量會被濾掉。同樣的，將基態的銀原子 射入非均勻磁場中，利用遮板將空間量子化 分佈(space quantization)後的某一群自旋態 的原子群擋住，而擁有另一種自旋態的原子 群將被選取出來。本文的目的除了在數學上 回顧偏振與自旋的相似性外，還將藉由實驗 來呈現兩者之間的類比現象。

貳、光波的偏振與電子的自旋

在數學上的類比

一、光波的偏振態

光波波函數：  



i



ikz t y i x t kz i

e

e

E

j

e

E

i

e

E

E







x



y  0 0 0

ˆ

ˆ





由歸一得：：



i



ikz t e e j i E  ˆcos



 ˆsin



  上式： x y x y

E

E

0 0 1

tan

,

















定 義 光 波 的 偏 振 態 (Jones vectors) [1] ：

















_





i

e

J

sin

cos

電場在

xˆ

方向的偏振態：

_













0

1

x

yˆ

方向的偏振態：

_













1

0

y

4



方向的偏振態：

_













1

1

2

1

4



4



 方向的偏振態：

_

















1

1

2

1

4



左旋圓偏振態：

_













i

L

1

2

1

右旋圓偏振態：

_















i

R

1

2

1

上式

x

y



0

,

R

L



0

, 0 4 4  





光波的偏振(疊加)態： a__ a__ 上式



_ 與



_ 為彼此正交的兩個基底向 量 2  a 表示測到偏振態



_ 的光強度

物理與教育

2  a 表示測到偏振態



_ 的光強度

二、電子的自旋態

由角動量代數解得電子的自旋角動量矩陣算 符（包立自旋矩陣）[2]：                           1 0 0 1 ˆ 0 0 ˆ 0 1 1 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z i i y x z y x     由特徵值運算可得三個方向的矩陣算符的自 旋態波函數 電子在zˆ方向的向上自旋態：

_















0

1

z zˆ方向的向下自旋態：

_















1

0

z

xˆ

方向的向上自旋態：

_















1

1

2

1

x

xˆ

方向的向下自旋態：

_

















1

1

2

1

x

yˆ

方向的向上自旋態：

_















i

y

1

2

1

yˆ

方向的向下自旋態：

_

















i

y

1

2

1

上式 0   _{z z} , _x _x 0, _y _y 0 電子的自旋(疊加)態： a_ _ a_ _ 上式 _ 與 _ 為彼此正交的兩個基底向 量 2  a 表示測到自旋態  的機率 _ 2  a 表示測到自旋態  的機率

參、光波偏振與電子自旋的兩個

類比實驗

一、 系列的光波偏振實驗

由電磁理論知，任何非偏極光都可分解 為兩個彼此垂直的偏振電場的疊加，現在若 有一束非偏極光通過兩片偏極方向彼此垂直 的偏極板，當光波經過第一片偏極板時，垂 直於偏極軸的電場被濾掉，而平行於偏極軸 的電場通過，當光波入射到第二片偏極板， 因為這時第二片偏極板與入射光波的偏振方 向垂直，所以沒有光波輸出，屏幕上測不到 光強(圖 1)。 z  n  n 

 

1

I

 

2

P

 

圖 1：非偏極光通過兩塊偏極方向彼此垂直的偏極板，沒有光波輸出，屏幕上測不到光強 1

P

現在如果將第三片偏極板放在前述的兩片偏 極板間，且第三片與第一片間的偏極軸夾角 為



，由馬呂斯定律(Malus law)知，出射的 光 強 與 光 波 通 過 第 一 片 偏 極 版 的 光 強 比





2 1

sin

cos







I

I

_out ， 在





0

或90的 夾 角，出射的光波的光強不為零，在這樣的操 作下屏幕上可測到光強(圖 2)。

二、系列的史坦-格拉克實驗

(Stern-Gerlach experiment)

[3] 由史坦-格拉克實驗(圖 3)知，若有一束基態 的銀原子



47 10 1



5

4

:

d

s

Ag

經過非均勻磁場 中，因銀原子外層只有一個處在 s 層的活性 電子       _{ } 2 1 , 0 s l ，且核磁子



_P遠小於波 耳磁子



_B ，所以單一活性電子的自旋角動 量(sin angular momentum)即為整個基態銀原 子的角動量，又因原子在磁區的平均受力

2

1













z

B

m

F

_{z s} z ，所以自旋向上(spin up)與自旋向下(spin down)的電子因受力方 向相反造成屏上原子分裂兩個區域，這現象 稱空間量子化現象。 現在若將兩個完全一樣的磁鐵(磁場的方向 皆為zˆ方向)串連在一起，當入射銀原子通過 第一塊磁鐵後，利用遮版將 _z 的原子群檔 掉，讓 _z 的原子群進入第二個磁區，而後 若再利用遮板將第二磁區出射的 _z 原子 群檔掉，那麼在第二塊磁鐵的出射屏幕上將 完全沒有原子出現(圖 4)。這現象類比於非偏 screen z Magnet S N Silver atoms Space quantization 圖 3：史坦-格拉克實驗裝置圖，其中 _      _   0 z B_z

 

3

P

out

I

2

P

 

圖 2 1

P

1

I

3

I

極光經過兩片彼此垂直的偏極板，在屏幕上 觀測不到光強的現象是一樣的。

類似前節的光學實驗操作手法，現在將 第三塊磁鐵放置在第一與第二塊磁鐵之間， 給定磁場的方向



sin



cos



,

sin



sin



,

cos





ˆ



n

         0 cos sin cos sin 0 ˆ ˆ ˆ      n n                                      cos sin sin cos cos 0 0 cos 0 sin sin sin sin 0 i i e e i i 為方便計算，令



0，表示磁場在

xz

平 面 ， 磁 場 與 zˆ 軸 夾



角 ， 則              cos sin sin cos ˆ_n 由特徵值運算可得另一組自旋態基底向量， 分別為

 

 

















2

sin

2

cos





n 與

 

 

















2

cos

2

sin





n 類似光學的實驗步驟，當銀原子通過第一塊 磁鐵後，利用遮版將 _z 的原子群檔掉，而 沒 有 被 檔 掉 的 _z 原 子 群 進 入 第 三 個 磁 區。由向量的內積與投影的概念，此時電子 的自旋態將由第三個磁鐵所造成的自旋態基 底所疊加，所以原子通過第三個磁鐵後將分 成兩區。 n n z a  a   _{ } 上式 2 cos



     n z a ， 2 sin



      n z a 接著用遮版將 _n 的原子群檔掉，沒有被檔 掉的 _n 的原子群進入第二個磁區，現在電 子的自旋態將由第二個磁鐵所造成的自旋態 基底所疊加，所以原子通過第二個磁鐵後又 將分成兩區。 z z n b  b   _{ } 上式 2 cos



     z n b ， 2 sin



     z n b 接著用遮版將 _z 的原子群檔掉，沒有被檔 掉的 _z 的原子群將呈現在屏幕上(圖 5)， 這樣的操作方式與前述三片偏極板的光學實 驗具有相似的類比性，出射的 _z 態與通過 第一個磁鐵的 _z 態的原子數目比： 2 2 2 1

2

sin

2

cos

















a

_

b

_





N

N

_out

 

   

 

濾掉 圖 4：原子通過兩塊非均勻磁鐵，在兩次不同位置的遮檔下，出射的原子數目為零 z

B

zˆ 濾掉 z  通過

肆、結語

雖然光波的偏振與電子的自旋在數學形 式與實驗結果有類比的現象，但筆者在此要 特別點出兩者在理論本質與實驗操作上的不 同。(一)、光波的兩個偏振基底集在數學與 幾何圖象上正交，而電子的兩個自旋態基底 集在數學上正交，但在幾何圖象上卻是反平 行。(二)、光波偏振態的轉換由偏極板與入 射光波的電場間的夾角決定，數學運作的結 果由 Jones matrices 控制[1]，電子自旋態的 改變由外加磁場的方向決定，數學運作的規 則由 Pauli matrices 控制[2]，而 Jones matrices 與 Pauli matrices 兩者在物理本質上是不存有 類比性的。(三)、偏極板分光是直接將與偏 極軸垂直的電場分量濾掉，平行於偏極軸方 向的電場通過，但 stern-Gerlach 實驗的屏幕 上卻是同時呈現兩種自旋態的原子群分佈， 實驗中還要藉由人為(遮板)將某一原子群檔 掉，這樣才能類比到偏極板的分光實驗。由 這篇光波偏振與電子自旋在數學與實驗上的 類比性介紹，希望能為讀者在教學或學習上 有所助益。

伍、致謝

特別感謝中央大學光電所欒丕綱教授在我求 學其間的指導與幫助。

陸、參考文獻

1. Eugene Hecht 著 Optics p.268~271 台灣歐 亞書局代理(1983)

2. Robert Eisberg 著 Quantum Physics (second edition) p.272~P.274

3. Stephen Gasiorowicz 著 Quantum Physics (3rd edition) p.158~p.163    

_nˆ

  濾掉  圖 5：第三個磁鐵(方向

nˆ

)放置在第一(方向zˆ)與第二磁鐵(方向zˆ)之間，出射原子數不為零 濾掉 通過 z

B

zˆ

z



n

B