4B08 圓錐曲線

▲ 圖 1 雞尾酒杯的形狀像個圓錐，將酒杯平放在桌上，水面的形狀為一個圓形，若 將酒杯微微傾斜，則水面的形狀變成一個橢圓，如圖 1 所示。 除了這兩種形狀之外，會不會還有其他的形狀呢？本單元將以觀察的方法， 來說明各種圓錐與平面的截痕。

甲 直圓錐面

生活上，常常可以看到圓錐的蹤影，如下圖 2 所示。 (a)冰淇淋甜筒(b)聖誕裝置 (c)花束包裝紙 ▲圖 2 建築方面，不僅僅出現在城堡的屋頂，也有設計成圓錐形狀的建築，例如德

(a)德國藝術展覽館 (b)荷蘭 台夫特理工大學圖書館 ▲圖 3 那麼要如何用數學來描述圓錐呢？我們說明如下：在空間中，設 L 與 M 為兩 條相交於 V 點的直線，且交角為銳角



，如圖 4 所示。 ▲圖 4 以直線 L 為軸，將直線 M 維持



角繞軸旋轉一圈，如圖 5 (a)所示，如此所形 成的曲面稱為直圓錐面，而直線 M 為直圓錐面的一條母線，V 稱為頂點；例如圖 5 (b)中懸掛的吊燈，其燈罩就是以拉線為軸的直圓錐面之一部分。 (a) (b) ▲圖 5

【例题 1】 右圖為坐標空間中的一直圓錐面，其頂點 V 為原點



0, 0, 0



，直圓錐面的軸為 z 軸。已知

P



1, 3, 2 3



在直圓錐面上，求 (1) P 點在 z 軸上的投影點 Q。 (2) 此直圓錐面通過P 點的母線與 z 軸的 銳夾角



。 Ans： 【詳解】 (1) P 點在 z 軸上的投影點 Q 坐標為



0,0, 2 3



。 (2) 因為Q 點是 P 點對 z 軸的投影點， 所以

PQ

垂直z 軸， 即△PQV 為直角三角形，如右圖所示。 利用空間中兩點的距離公式，得

   

2 2 2

1

3

2 3

4,

2 3

PV

 





VQ



， 因此可得

2 3

3

cos

4

2







。 故



 

30

。

【隨堂練習 1】 常見的生日帽是一個直圓錐面的一部分，如下圖所示，選出正確的選項。 (1) 深紅色與淺紅色交接的黑線都是該生日帽的母線。 (2) 綠色與白色交接的黑線都是該生日帽的母線。 (3) 黃色與白色交接的黑線都是該生日帽的母線。 Ans： 【詳解】 因為母線會過生日帽的頂點，所以選(3)。

乙 圓錐截痕

在空間中，我們稱一個平面與直圓錐面相交的圖形為該平面與直圓錐面的截 痕。接下來，我們分成以下四種情形來討論平面與直圓錐面的截痕。 設 E 為不通過直圓錐面頂點的平面。 (1) 當平面 E 與「軸 L 垂直」時，平面 E 與直圓錐面的截痕為圓，如圖 6 所示。 ▲圖 6 觀察圖 6 可發現以下兩件事實： ①直圓錐面的頂點 V 與截痕的圓心 O 之距離

VO

，恰為頂點 V 與平面 E 的距 離。 ②圓上的任意一點到頂點 V 的距離皆相等。

【例题 2】 空間中一直圓錐面以直線 L 為軸，頂點為 V。今平面 E 與直圓錐面的截痕為 一圓，其圓心為 O。已知 P 為圓上任一點，選出正確的選項。 (1) 平面E 可能通過 V 點 (2) 軸L 與平面 E 垂直 (3) 軸L 與直線 VO 重合 (4) 若

PV

5

，且V 點與平面 E 的距離為 4，則圓半徑為 3。 Ans： 【詳解】 因為平面 E 與直圓錐面的截痕為一圓， 所以其示意圖如右。觀察可得 (1) 平面 E 不通過 V 點。 (2) 直線 L 與平面 E 垂直。 (3) 直線 L 與直線 VO 重合。 (4) 圓半徑



5 4

2

 

2

3

。 故選(2)(3)(4)。 【隨堂練習 2】 已知空間中一平面 E 與直圓錐面截出半徑為 5 的圓，且圓上任意一點與直圓 錐面頂點 V 的距離為 13，求 V 點與平面 E 的距離。 Ans： 【詳解】 依題意畫圖如右，利用畢氏定理，可得 V 點與平面 E 的距離



13 5 12

2

 

2 。

(2) 將平面 E 稍作傾斜使其「不垂直軸 L，不與任何一條母線平行，且只與其中一 個錐面相交」，此時平面 E 與直圓錐面的截痕為橢圓，如圖 7 所示。 ▲圖 7 觀察圖 7 可發現：橢圓上任意一點到頂點 V 的距離不全相等。設橢圓上距離 頂點 V 最近的點為 A，最遠的點為 B，如圖 8 所示， ▲圖 8 可得： ①直線 AB 稱為橢圓的長軸，其長度為

AB

，即橢圓的長軸長



AB

。 ②

_{A B}

_,

兩點的中點 O 為橢圓的中心。 ③

_VO

為△ABV 在

AB

邊上的中線，但直線 VO 與平面 E 並不垂直。 ④若直圓錐面母線與軸的夾角為



，則



AVB



2



，因為

VO

為△AVB 的中線， 且

_{AV BV}



，所以



AVO



BVO

。

▲圖 9 【例题 3】 空間中一直圓錐面以直線 L 為軸，頂點為 V。今平面 E 與直圓錐面的截痕為 一橢圓，令橢圓的中心為 O，且橢圓上距離頂點 V 最近的點為 A，最遠的點 為 B，選出正確的選項。 (1) 平面E 不通過 V 點 (2) 軸L 通過 O 點 (3)

VO

為



AVB

的角平分線 (4) 若

AV



5,

BV



8

，且



AVB

 

60

，則橢圓的長軸長為 7。 Ans： 【詳解】 因為平面 E 與直圓錐面的截痕為一橢圓， 所以其示意圖如右。觀察可得 (1) 平面E 不通過 V 點。 (2) 因為直線VO 與軸 L 不重合， 所以軸L 不通過 O 點。 (3) 因為



AVO



BVO

， 所以

VO

不為



AVB

的角平分線。 (4) 在△ABV 中，利用餘弦定理可得 2 _{2 2}

5 8 2 5 8 cos60

49

AB      



， 解得橢圓的長軸長

_AB

₇

。 故選(1)(4)。

【隨堂練習 3】 已知空間中一平面 E 與直圓錐面截出長軸長為 7 的橢圓，且橢圓上的點與直 圓錐面頂點最近的距離為 3，最遠的距離為 8，求直圓錐面母線與軸的夾角。 Ans： 【詳解】 設直圓錐面的頂點為 V，橢圓上距離頂點最近的點為 A， 最遠的點為 B，依題意畫圖如右，利用餘弦定理，可得 2 2 2

8

3

7

1

cos

2 8 3

2

AVB

 





_{ }



。 即



AVB

 

60

。 故直圓錐面母線與軸的夾角為

1

60

30

2

  

。 (3) 傾斜平面 E 使其與「某條母線 M 平行」，此時平面 E 與直圓錐面的截痕為拋 物線，如圖 10 所示。

▲ 圖 11 事實上，第一冊學過的二次函數圖形，即為拋物線。 觀察圖 10 可發現：因為平面 E 平行某條母線 M，即平面 E 與母線 M 不會有交點。設拋物線上距離頂點 V 最近的點為 A，如圖 11 所示，可得： ①平面 E 只與其中一個錐面相交。 ②平面 E 與直圓錐面所截出的截痕不會是封閉的曲 線。 ③A 點為拋物線的頂點。 (4) 傾斜平面 E 使其與「上下兩個錐面均相交」，此時平面 E 與直圓錐面的截痕為雙曲線，如圖 12 所示。 ▲圖 12 特別注意的是：若平面 E 與直圓錐面的軸 L 平行，則平面 E 一定與直圓錐面 的兩個錐面均相交，此時平面 E 與直圓錐面的截痕必定為雙曲線。 圓、橢圓、拋物線與雙曲線都是平面與直圓錐面相交所形成的圖形，統稱為 圓錐曲線。當我們吃冰淇淋時，手上冰淇淋筒形狀像個圓錐，如果用不同的角度 切它，可以得到如圖 13 的各種情形。 ▲圖 13

綜合以上的討論，我們可以利用平面與直圓錐面母線或軸的關係來判斷圓錐 截痕的圖形。 圓錐曲線 設 E 為不通過直圓錐面頂點的平面，它與直圓錐面的截痕有以下四種情形： (1) 圓：平面 E 與軸垂直。 (2) 拋物線：平面 E 與某條母線平行。 (3) 橢 圓： 平面 E 不垂直軸，不與任何一條母線平行，且只與其中一個錐面 相交。 (4) 雙曲線：平面 E 與兩個錐面均相交。 將以上的結論用以下的流程圖來表示。 ▲圖 14 來看一道跟引言相關的應用問題。 【例题 4】 一密閉圓錐形容器內裝有少於一半的水，今將容器放置如下列各圖。 試問水平面與容器截痕中的曲線是哪個圓錐曲線的一部分？ Ans：

所以水面會與此條母線平行。 故截痕中的曲線為拋物線的一部分。 (2) 因為桌面與圓錐形容器的軸平行， 所以水面與圓錐形容器的軸平行。 故截痕中的曲線為雙曲線的一部分。 (3) 因為桌面與圓錐形容器下緣重合， 即桌面與圓錐形容器的其中一條母線重合， 所以水面與圓錐形容器的其中一條母線平行。 故截痕中的曲線為拋物線的一部分。 【隨堂練習 4】 右圖是一盞天花板的吊燈，已知其照射的燈光形成直圓錐狀，其直圓錐的軸 與地板垂直且與牆壁平行，求燈光在時鐘所在的牆面上照亮區域所形成的邊 界是哪個圓錐曲線的一部分？ (1)圓 (2)拋物線 (3)橢圓 (4)雙曲線。 Ans： 【詳解】 設直圓錐的軸為 L，時鐘所在的牆面為平面 E，如右圖所示。 ① 因為平面E 不與軸 L 垂直，所以截痕不為圓。 ② 因為平面E 不與任何一條母線平行，所以截痕不為拋物線。 ③ 因為將平面與直圓錐延伸後，平面E 與兩個錐面均相交， 所以截痕為雙曲線。 綜合以上，燈光在時鐘所在的牆面上照亮區域所形成的邊界 為雙曲線的一部分。故選(4)。

最後，來看一道較複雜的例題。 【例题 5】 設一直圓錐面的軸為 L，某一條母線為 M，且 L 與 M 的銳夾角為



。 (1) 當

0

  



45

時，其圖形如下。 (2)當



 

45

時，其圖形如下。 已知平面E 不通過直圓錐面的頂點且與母線 M 垂直， 判斷上述各情形中平面E 與直圓錐面的截痕。 Ans： 【詳解】 設 N 為直圓錐面的另一條母線， 且母線 N 與母線 M、軸 L 共平面， 可得母線 M 與 N 的夾角為

2



。 (1) 當

0

  



45

時，可得

0 2

  



90

，

(a) (b) (2) 當



 

45

時，可得

2



 

90

， 此時平面E 與母線 M 的交點如圖 (b)所示。 故平面E 與直圓錐面的截痕為一雙曲線。 【隨堂練習 5】 承例題，已知



 

45

，判斷平面 E 與直圓錐面的截痕。 Ans： 【詳解】 當



 

45

時，可得

2



 

90

， 此時平面 E 與母線 N 平行，如圖所示。 故平面 E 與直圓錐面的截痕為一拋物線。

阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中提出以不同方 向的平面切割固定圓錐面來得到各種圓錐曲線，他 也是第一位命名拋物線、橢圓與雙曲線的數學家。 圓錐曲線的應用在十七世紀大放異彩，伽利略 研究拋物運動而知道其軌跡屬於圓錐曲線（拋物線）， 克卜勒幾經嘗試才發現行星軌道也是圓錐曲線（橢 圓），如圖 15 所示。 ▲ 圖 15 阿波羅尼斯 （Apollonius of Prega， 古希臘，約 262 B. C.～ 190 B. C.），對幾何學有 極大的貢獻，特別是在 他的著作《圓錐曲線論》 （Conics）中，對於圓 錐曲線作了系統化的研 究。 之後，文藝復興時期繪畫技巧「單點透視法」的發展，當我們想要將一個圓 形杯口的杯子畫在畫板上時，在畫板上呈現的杯口形狀並不會是圓形而是橢圓， 如圖 16 所示，因而圓錐曲線也出現在藝術領域。

此後，圓錐曲線應用的範圍愈來愈廣，許多的建築都可以看到圓錐曲線的痕 跡。舉例來說，拋物線狀的拱形，因為其底部可產生最大推力且能跨越最廣的長 度，所以可以均勻地支撐垂直推力，因此它通常用於橋樑或是屋頂的設計，例如 美國加州比克斯比溪大橋、澳洲普拉瑟潘聖保羅聖公會教堂的屋頂，其形狀皆 為拋物線，如圖 17 (a)(b)所示。 (a) (b) ▲圖 17 某遊樂園的飛碟屋為橢圓形建築，如圖 18 (a)所示，它利用了橢圓形聚焦的 原理，當在橢圓其中一個焦點處發出聲音時，反射後所有聲音會匯集通過另一焦 點，如圖 18 (b)所示。因此，只要兩人各站在橢圓建築的兩焦點，即使室內吵雜 兩人依然可以清晰對話。 (a) (b) ▲圖 18

雙曲線結構的曲面建築能穩定承受外來側面的力量（如風力或水的壓力）， 因此常用於高層或垂直類型的建築，例如冷卻塔（如圖 19 (a)）或水庫（如圖 19 (b)）。 (a)冷卻塔 (b)台中的德基水庫 ▲圖 19

觀念澄清

0. 設 E 為不通過直圓錐面頂點的平面，且直圓錐面的軸為 L， 以下有關平面 E 與直圓錐面的截痕，下列敘述對的打「」 (1) 當平面 E 與軸 L 垂直時，其截痕為圓。 (2) 當平面 E 與軸 L 不垂直時，其截痕為橢圓。 (3) 當平面 E 與軸 L 平行時，其截痕為雙曲線。 (4) 當平面 E 與軸 L 不平行時，其截痕為雙曲線。 (5) 當平面 E 與其中一條母線平行時，其截痕為一拋物線。 Ans： 【詳解】 (1) ○：當平面E 與軸 L 垂直時，其截痕為圓。 (2) ╳：當平面E 與軸 L 不垂直時， 其截痕可能為橢圓、雙曲線或是拋物線。 (3) ○：當平面E 與軸 L 平行時，平面 E 一定與直圓錐面 的兩個錐面均相交，因此其截痕為雙曲線。 (4) ╳：當平面E 與軸 L 不平行時，其截痕可能為 圓、橢圓、拋物線或雙曲線。 (5) ○：當平面E 與其中一條母線平行時，其截痕為一拋物線。

一、基礎題

1. 空間中一平面 E 與直圓錐面截出半徑為 5 的圓。 已知直圓錐面母線與軸的夾角為銳角



， 試問下列哪一個選項為頂點 V 點與平面 E 的距離？

(1)

5sin



(2)

5cos



(3)

5tan



(4)

5

tan



。

【詳解】 依題意畫圖如右，利用三角比的定義，

5

_tan

V

E





頂點 與平面 的距離

， 可得頂點 V 與平面 E 的距離

5

tan

VO

_

 

。 故選(4)。 2. 右圖是一盞桌上的檯燈，已知其照射 的燈光形成直圓錐狀，其直圓錐的上 緣

AB

與桌面平行，求燈光在桌面上 照亮區域所形成的邊界是哪個圓錐 曲線的一部分？ (1)圓 (2)拋物線 (3)橢圓 (4)雙曲線。 Ans： 【詳解】 因為直圓錐的上緣

AB

直線為直圓錐的母線， 又

AB

與桌面平行， 所以桌面與直圓錐的母線平行， 即燈光在桌面上所照亮區域的邊界為拋物線的一部分。 故選(2)。

3. 承上題，將檯燈罩往下壓，如右圖所 示，求燈光在桌面上照亮區域所形成 的邊界是哪個圓錐曲線的一部分？ (1)圓 (2)拋物線 (3)橢圓 (4)雙曲線。 Ans： 【詳解】 因為桌面與直圓錐的軸不垂直，與直圓錐的母線不平行， 且只與其中一個錐面相交，所以燈光在桌面上所照亮區域 的邊界為橢圓的一部分。故選(3)。

二、進階題

4. 設空間中一平面 E 與直圓錐面截出長軸長為 14 的橢圓， 且橢圓上距離頂點最近的距離為 6，最遠的距離為 10。 (1) 求直圓錐面母線與軸的夾角。 (2) 設橢圓中心點為 O，且直圓錐面的頂點為 V，求

VO

的長度。 Ans： 【詳解】 (1) 設直圓錐面的頂點為V， 橢圓上距離頂點最近的點為A，最遠的點為 B， 依題意畫圖如右， 利用餘弦定理， 可得 2 2 2

10

6 14

1

cos

2 10 6

2

AVB

 





_{ }



。 即



AVB

 

120

。 故直圓錐面母線與軸的夾角為

1

120

60

2

  

。

(2) 因為

_VO

為△ABV 的中線，利用餘弦定理， 可得 2 2 2 2 2 2

10 7

10 14 6

cos

2 10 7

2 10 14

VO

VBA

 

 





_{ }



_{ }

， 解得

VO

19

。 5. 一盞舞台的聚光燈離地

3

公尺，其照射的燈光形成直圓錐狀， 且直圓錐的軸與地板垂直。照在地板上的區域形成半徑 1 公尺 的圓，如下左圖所示。 如上右圖所示，將燈旋轉



，使其在地板上照亮區域形成一橢圓。 選出所有可能的



。 (1) 23 (2) 50 (3) 60 (4) 70。 Ans： 【詳解】 由題意可知，聚光燈照射的光形成直圓錐狀， 其母線與軸的夾角為 30， 如右圖，

的邊界形成一橢圓，