大氣微中子之振盪與簡併性之消除

全文

(1)國立交通大學物理研究所碩士論文. 大氣微中子之振盪與 θ 23 簡併性之消除 The lifting of θ 23 degeneracy in atmospheric neutrino oscillations.. 研究生：張鑑源指導教授：林貴林. 教授. 中華民國九十五年六月.

(2) 大氣微中子之振盪與 θ23 簡併性之消除 The lifting of θ23 degeneracy in atmospheric neutrino oscillations.. 研究生：張鑑源. Student：Jian-Yuan Chang. 指導教授：林貴林. Advisor：Dr. Guey-Lin Lin. 國立交通大學物理研究所碩士論文. A Thesis Submitted to Institute of Physics College of Science National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master in. Institute of Physics June 2006 Hsinchu, Taiwan, Republic of China. 中華民國九十五年六月.

(3) 大氣微中子之振盪與 θ 23 簡併性之消除. 學生：張鑑源. 指導教授：林貴林. 國立交通大學物理研究所碩士班摘. 要. 由超級神岡﹙Super-K﹚實驗與索德柏立微中子觀測站﹙SNO﹚實驗的結果提供了重要的證據，可以證實微中子其實是具有質量的，而且不同類型的微中子之間會相互轉換。然而目前仍然存在著許多微中子的問題，等待著我們持續深入研究，我們知道在微中子混合矩陣中具有許多的微中子振盪參數，但是由於部分的振盪參數具有簡併性，因此讓我們很困難獲得單一數值的振盪參數，在此篇碩士論文中，我們會計算出穿透地球的大氣微中子流量，然而 θ 23 是其中的一個振盪參數，我們的研究目標就是探討在大氣微中子振盪中，不同的微中子類型是否分別具有 θ 23 簡併性之消除，而我們發現 e 微中子會發生 θ 23 簡併性之消除，但是 μ 微中子與 τ 微中子則不會發生。. i.

(4) The lifting of θ23 degeneracy in atmospheric neutrino oscillations. Student：Jian-Yuan Chang. Advisor：Dr. Guey-Lin Lin. Institute of Physics National Chiao Tung University. ABSTRACT. The Super Kamiokande﹙Super-K﹚experiment and the Sudbury Neutrino Observatory﹙SNO﹚experiment have provided important evidences for neutrino oscillation and the existence of neutrino mass. It is well known that there are several neutrino oscillation parameters in the lepton mixing matrix. However, it is difficult to determine uniquely the values of the oscillation parameters due to oscillation parameter degeneracies. To achieve more understanding on the lifting of θ 23 degeneracy in atmospheric neutrino oscillations, the atmospheric neutrino fluxes for neutrinos traversing the earth are discussed in the thesis. We found that the lifting of θ 23 degeneracy only happens to e neutrino, but does not happen to μ neutrino and τ neutrino.. ii.

(5) 誌. 謝. 很高興我順利完成了碩士論文，在研究所碩士班的兩年求學階段中，我首先必須感謝的是我的指導老師-林貴林教授，因為老師總是很細心教導我，在研究工作中給與了我許多的幫助，讓我的研究進度可以很順利，所以我很感謝老師的教導，我其次必須感謝的是劉宗哲學長，因為學長也給與了我許多的教導，讓我可以解決研究工作中所遭遇的問題，我最後必須感謝的是我的外公，外婆與媽媽，因為我很感謝他們的養育恩情，讓我可以順利獲得碩士學位。. iii.

(6) 章節目錄. 中文摘要英文摘要誌謝章節目錄圖表目錄第一章第二章 2.1 2.2 2.3 2.4 第三章 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 第四章參考文獻. 微中子的介紹穿透地球的微中子振盪理論真空中的微中子振盪物質中的微中子振盪穿透地球的微中子振盪微中子穿透地球的振盪機率穿透地球的微中子流量分析微中子穿透地球的振盪圖形穿透地球的微中子流量穿透地球的微中子平均流量微中子平均流量的等高曲線 e 微中子與 e 反微中子的共同平均流量的等高曲線微中子流量分析的結論. iv. i ii iii iv v 1 3 3 6 8 11 16 16 20 25 30 38 42 44.

(7) 圖表目錄. 圖一圖二圖三圖四圖五圖六圖七圖八圖九圖十圖十一圖十二圖十三圖十四圖十五圖十六圖十七圖十八圖十九圖二十圖二十一圖二十二圖二十三圖二十四圖二十五圖二十六. 微中子只穿透地幔的示意圖微中子穿透地幔與地核的示意圖只穿透地幔的 e 微中子振盪機率圖形只穿透地幔的 μ 微中子振盪機率圖形只穿透地幔的τ 微中子振盪機率圖形穿透地幔與地核的 e 微中子振盪機率圖形穿透地幔與地核的 μ 微中子振盪機率圖形穿透地幔與地核的τ 微中子振盪機率圖形只穿透地幔的 e 微中子流量圖形只穿透地幔的 μ 微中子流量圖形只穿透地幔的τ 微中子流量圖形穿透地幔與地核的 e 微中子流量圖形穿透地幔與地核的 μ 微中子流量圖形穿透地幔與地核的τ 微中子流量圖形 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.4 的 e 微中子平均流量圖形 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.4 的 μ 微中子平均流量圖形 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.4 的 τ 微中子平均流量圖形 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 的 e 微中子平均流量圖形 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 的 μ 微中子平均流量圖形 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 的 τ 微中子平均流量圖形 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 的 e 微中子平均流量比較圖形 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 的 μ 微中子平均流量比較圖形 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 的 τ 微中子平均流量比較圖形 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 2GeV 到 3GeV 的 e 微中子平均流量的三維立體圖形 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 2GeV 到 3GeV 的 e 微中子平均流量的等高曲線圖形 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 2GeV 到 3GeV 的 μ 微中子平均流量的三維立體圖形. v. 8 9 16 16 17 18 18 19 21 21 22 23 23 24 26 26 26 27 27 27 28 29 29 32 32 33.

(8) 圖二十七圖二十八圖二十九圖三十圖三十一圖三十二圖三十三圖三十四圖三十五圖三十六. 圖三十七圖三十八. 圖三十九圖四十圖四十一. cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在. 2GeV 到 3GeV 的 μ 微中子平均流量的等高曲線圖形 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 2GeV 到 3GeV 的 τ 微中子平均流量的三維立體圖形 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 2GeV 到 3GeV 的 τ 微中子平均流量的等高曲線圖形 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的 e 微中子平均流量的三維立體圖形 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的 e 微中子平均流量的等高曲線圖形 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的 μ 微中子平均流量的三維立體圖形 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的 μ 微中子平均流量的等高曲線圖形 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的 τ 微中子平均流量的三維立體圖形 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的 τ 微中子平均流量的等高曲線圖形 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 2GeV 到 3GeV 的 e 微中子平均流量的等高曲線圖形與 e 反微中子平均流量的等高曲線圖形 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 2GeV 到 3GeV 的 e 微中子與 e 反微中子的共同平均流量的等高曲線圖形 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的 e 微中子平均流量的等高曲線圖形與 e 反微中子平均流量的等高曲線圖形 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的 e 微中子與 e 反微中子的共同平均流量的等高曲線圖形只穿透地幔的 e 微中子與 e 反微中子的流量圖形穿透地幔與地核的 e 微中子與 e 反微中子的流量圖形. vi. 33 34 34 35 35 36 36 37 37 39. 39 40. 40 41 41.

(9) 第一章微中子的介紹. 十九世紀初期，梅特納﹙L. Meitner﹚在實驗中發現了 β 射線中的電子能譜是不具有固定能量的，讓物理學界開始研究放射線物質在 β 衰變中的能量守恆問題。鮑立﹙W. Pauli﹚為了解釋 β 衰變中的電子能譜為何是連續的，而假設在 β 衰變中會釋放出一種自旋數為二分之一，而且不具有質量的中性粒子，雖然鮑立在當時所提出的想法並不是完全正確的，但是卻開啟了微中子﹙neutrino﹚的研究。然而微中子的偵測是很困難的，直到二十幾年之後，科文﹙C. L. Cowan﹚及芮內斯﹙F. Reines﹚，利用原子反應爐所放射出的微中子而偵測到微中子與物質的碰撞，才證實了微中子的存在。物理學界為了更加瞭解微中子，又進行了許多的研究，巴寇﹙J. N. Bahcall﹚首先建構了太陽標準模型，可以預測太陽製造出的微中子數目與微中子能譜，但是戴維斯﹙R. Davis﹚偵測到的微中子數目卻只是太陽標準模型預測的三分之一，這就是太陽微中子問題﹙solar neutrino problem﹚ 。. 直到十九世紀末期，由小柴昌俊﹙M. Koshiba﹚所領導的日本｢超級神岡｣﹙Super Kamiokande，簡稱 Super-K﹚微中子觀測站，利用微中子與純水的碰撞以測量微中子，此實驗可以偵測高能量的太陽微中子，也可以觀測大氣微中子的性質，而加拿大｢索德柏立微中子觀測站｣﹙Sudbury Neutrino Observatory，簡稱 SNO﹚，則利用全部微中子與重水的碰撞以測量微中子，此實驗可以驗證其它微中子振盪實驗的結果，也可以驗證太陽標準模型的準確性。兩項微中子實驗都是藉由光電倍增管﹙photomultiplier﹚偵測反應中產生的電子在水中釋放出的契忍可夫輻射 ﹙Cerenkov radiation﹚ ，而且兩項微中子實驗的偵測器則都是放置在地底下深度. 1.

(10) 大約二公里的礦坑中，這是為了減低宇宙射線干擾微中子訊號。由 SNO 的實驗數據﹝1﹞配合 Super-K 的實驗結果﹝2﹞可以推論出太陽微中子在產生當時的總數目，而且居然與太陽標準模型的理論預期是吻合的，所以讓困擾著物理學家三十幾年的太陽微中子問題﹝3﹞終於獲得解答。. 我們將許多類似 β 衰變的物理程序統稱為弱作用﹙weak interaction﹚，而且我們已經發現 μ 介子與 τ 介子是性質與電子完全相似的基本粒子，然而在弱作用反應的過程中，伴隨著電子出現的稱為 e 微中子﹙electron neutrino﹚，伴隨著 μ 介子出現的稱為 μ 微中子﹙muon neutrino﹚，伴隨著 τ 介子出現的稱為 τ 微中子﹙tau neutrino﹚，這是我們目前的物理實驗中所發現的三種微中子類型﹝4﹞。由 SNO 的實驗數據配合 Super-K 的實驗結果也可以證實微中子其實是具有質量的，而且不同類型的微中子之間會相互轉換，所以部分由太陽內部因為核融合反應而發射出的 e 微中子在傳播到地球的路途中會轉變成 μ 微中子或 τ 微中子，因此實驗上偵測到的 e 微中子數目當然會少於太陽標準模型的預期數目，而不同類型的微中子之間會相互轉換的現象稱為微中子振盪﹙neutrino oscillation﹚。. 雖然目前已經證實微中子是具有質量與振盪現象的，但是仍然存在著許多關於微中子的問題，等待著我們持續深入研究。在此篇碩士論文中，我們會推導出微中子振盪機率，然而在微中子振盪機率中具有許多的參數，而且必須藉由微中子的實驗結果以選取出合理的參數範圍， θ 23 即是其中的一個參數，我們的研究目標就是探討不同的微中子類型是否分別具有 θ 23 簡併性之消除，而詳細的討論會在之後的論文內容中。. 2.

(11) 第二章穿透地球的微中子振盪理論. 2.1. 真空中的微中子振盪. 我們首先考慮微中子在真空中的情形，由於微中子的產生與偵測都是屬於弱作用反應，但是微中子的傳播則是具有質量的粒子運動，因此我們公認微中子具有兩種本徵態﹙eigenstate﹚ ，分別為弱作用本徵態﹙flavor eigenstate﹚與質量本徵態 ﹙mass eigenstate﹚，我們可以先定義. ⎛ν e ⎞ ⎜ ⎟ 微中子的弱作用本徵態為 ⎜ν μ ⎟， ⎜ν ⎟ ⎝ τ ⎠. ﹙2-1﹚. 其中，ν e 為 e 微中子的弱作用本徵態，ν μ 為 μ 微中子的弱作用本徵態，ν τ 為 τ 微中子的弱作用本徵態。然而微中子無法同時存在於不同的本徵態上，我們因此可以直接定義 ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ e 微中子的弱作用本徵態為 ⎜ 0 ⎟ ， ⎜0⎟ ⎝ ⎠. ⎛0⎞ μ 微中子的弱作用本徵態為 ⎜⎜1 ⎟⎟ ， ⎜0⎟ ⎝ ⎠. ⎛0⎞ τ 微中子的弱作用本徵態為 ⎜⎜ 0 ⎟⎟。 ⎜1 ⎟ ⎝ ⎠. ﹙2-2﹚. 得到了﹙2-1﹚式的定義之後，我們可以再定義 ⎛ν 1 ⎞ ⎜ ⎟ 微中子的質量本徵態為 ⎜ν 2 ⎟， ⎜ν ⎟ ⎝ 3⎠. ﹙2-3﹚. 其中，ν 1 為 e 微中子的質量本徵態，ν 2 為 μ 微中子的質量本徵態，ν 3 為 τ 微中子的質量本徵態。由於弱作用本徵態與質量本徵態之間具有歸一化轉換﹙unitary transformation﹚的關係，亦即兩種本徵態之間的歸一化性質在轉換前後不會受到影響，因此我們必須定義出連接兩種本徵態的轉換矩陣 U ，此轉換矩陣也稱為是微中子的PMNS混合矩陣﹙PMNS neutrino mixing matrix﹚﹝5﹞，我們引用了論文資料而定義 3.

(12) ⎛ U e1 U e 2 U e 3 ⎞ ⎜ ⎟ 微中子的PMNS-混合矩陣 U = ⎜ U μ1 U μ 2 U μ 3 ⎟ ⎜U ⎟ ⎝ τ 1 Uτ 2 Uτ 3 ⎠. ⎛ c12 c13 ⎜ = ⎜ − s12 c23 − c12 s23 s13eiδ ⎜ s12 s23 − c12 c23 s13eiδ ⎝. s13e− iδ s23c13. ⎞ ⎟ ⎟， c23c13 ⎟⎠. s12 c13 c12 c23 − s12 s23 s13eiδ −c12 s23 − s12 c23 s13e. iδ. ﹙2-4﹚. 其中， sij = sin θij 與 cij = cos θij 為通用符號，而 δ 為Dirac CP-violation的相位因子 ﹝6、7、8﹞，但是我們目前並不探討其效應，所以我們直接設定相位因子 δ = 0 ，因此微中子的PMNS-混合矩陣 U 可以簡化分解為 0 ⎛1 ⎜ U = U 23U13U12 ，而且 U 23 = ⎜ 0 cos θ 23 ⎜ 0 − sin θ 23 ⎝ ⎛ cos θ13 ⎜ U13 = ⎜ 0 ⎜ − sin θ 13 ⎝. ⎞ ⎟ sin θ 23 ⎟ ， cos θ 23 ⎟⎠ 0. 0 sin θ13 ⎞ ⎛ cos θ12 ⎟ ⎜ 1 0 ⎟， U12 = ⎜ − sin θ12 ⎜ 0 0 cos θ13 ⎟⎠ ⎝. sin θ12 cos θ12 0. 0⎞ ⎟ 0 ⎟， 1 ⎟⎠. ﹙2-5﹚. 其中，我們定義 U ij 為微中子的本徵態元素ν i 與本徵態元素ν j 之間的混合矩陣 ﹙mixing matrix﹚，並且定義 θij 為微中子的本徵態元素ν i 與本徵態元素ν j 之間的混合角﹙mixing angle﹚ 。因此我們得到弱作用本徵態與質量本徵態之間的歸一化轉換關係為 ⎛ν e ⎞ ⎛ν 1 ⎞ ⎛ν 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ν μ ⎟ = U ⎜ν 2 ⎟ = U 23U13U12 ⎜ν 2 ⎟ ， ⎜ν ⎟ ⎜ν ⎟ ⎜ν ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ τ ⎠. ﹙2-6﹚. 其中，微中子的 PMNS-混合矩陣 U 必須滿足 UU † = U †U = 1 ，而且其簡化分解之後的混合矩陣 U ij 也必須滿足 U ijU ij † = U ij †U ij = 1 。由於微中子的質量很微小，而且其速度趨近於光速，所以我們的理論必須建構在相對論﹙relativity﹚的基礎之上，並且根據愛因斯坦﹙Einstein﹚的質能轉換公式，我們得到了能量 E ，動量 P 與質量 m 在高能物理慣用單位中的簡化關係式為 E = P 2 + m2 = P × 1 +. m2 m2 ≈ + P ， p2 2P. ﹙2-7﹚ 4.

(13) 而且光速 c = 1 ，能量 E ≈ 動量 P ，距離 r ≈ 時間 t 。然而微中子傳播的時候具有量子力學的效應，因此我們可以將﹙2-7﹚式轉換為算符﹙operator﹚的運算式，並且作用在質量本徵態，則我們可以得到 ⎛ ⎞ m12 0 0 ⎟ + E ⎜ 2E ⎟ ⎛ν 1 ⎞ ⎛ν 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ d ⎜ ⎟ ⎜ m2 2 0 ⎟ ⎜ν 2 ⎟， i ⎜ν 2 ⎟ = ⎜ 0 E+ 2E dr ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ν ⎟ ⎝ν 3 ⎠ ⎜ m32 ⎟ ⎝ 3 ⎠ 0 E+ ⎜ 0 2 E ⎟⎠ ⎝ 此即是微中子在真空中的薛丁格爾方程式﹙Schrodinger equation﹚。. ﹙2-8﹚. 我們緊接著先直接求解出﹙2-8﹚式，再提出矩陣中的相同因子而得到. 0 ⎛1 ⎛ν 1 ⎞ ⎜ 2 m m 2 − m12 −i ( E + 1 ) r ⎜ −i ( 2 )r ⎜ ⎟ 2E 2E ⎜ν 2 ⎟ = e ⎜0 e ⎜ν ⎟ ⎜ ⎝ 3 ⎠r ⎜0 0 ⎝. ⎞ ⎟ ⎛ν 1 ⎞ ⎟ ⎜ν ⎟ ， 0 ⎟⎜ 2 ⎟ m32 − m12 ⎟ ⎜ν ⎟ ) r ⎝ 3 ⎠0 −i ( ⎟ 2E e ⎠. 0. ﹙2-9﹚. 由於我們的目標是計算微中子的振盪機率，然而在計算的過程中，絕對值的平方會消除共同相位，亦即 e. −i ( E +. m12 )r 2E. 2. = 1，所以在之後的理論推導中，我們都會先消. 除矩陣中的共同因子再進行計算，如此的方法並不會影響振盪機率的結果。因此. m12 的單位矩陣，並且定義在﹙2-8﹚式中，我們可以先消除共同因子 E + 2E Δ 21 = m2 2 − m12 ， Δ 31 = m32 − m12 ，則微中子在真空中的薛丁格爾方程式將簡化為 ⎛ν 1 ⎞ ⎛0 0 d ⎜ ⎟ 1 ⎜ 0 Δ 21 i ⎜ν 2 ⎟ = dr ⎜ ⎟ 2 E ⎜⎜ ⎝0 0 ⎝ν 3 ⎠. 0 ⎞ ⎛ν 1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ 0 ⎟ ⎜ν 2 ⎟， Δ 31 ⎟⎠ ⎜⎝ν 3 ⎟⎠. ﹙2-10﹚. 最後再將質量本徵態轉換為弱作用本徵態，亦即﹙2-10﹚式可以表示為 ⎛ν e ⎞ ⎛0 0 d ⎜ ⎟ 1 ⎜ i ⎜ν μ ⎟ = U 0 Δ 21 dr ⎜ ⎟ 2 E ⎜⎜ ⎝0 0 ⎝ν τ ⎠. ⎞ ⎛ν e ⎞ ⎟ †⎜ ⎟ ⎟ U ⎜ν μ ⎟。 Δ 31 ⎟⎠ ⎜⎝ν τ ⎟⎠. 0 0. ﹙2-11﹚. 我們引用了論文的數據﹝9、10﹞，並且整理出合理的參數範圍，亦即. 0.28 < tan 2 θ12 < 0.58 ， 0 < sin 2 2θ13 < 0.10 ， 0.92 < sin 2 2θ 23 < 1 ，而且 7.40 ×10−5 (eV ) 2 < Δ 21 < 9.20 ×10−5 (eV ) 2 ， 1.90 × 10−3 (eV ) 2 < Δ 31 < 3.00 ×10−3 (eV ) 2 。 5.

(14) 2.2 物質中的微中子振盪當微中子穿透物質的時候，物質會對於微中子產生弱作用力﹙weak interaction force﹚，這是由於物質中的電子，質子與中子皆會對於微中子產生了散射，此種散射不會改變微中子的能量與動量，但是卻會改變不同的微中子類型間的混合情形。我們知道弱作用力的交換介子﹙exchanging mediator﹚稱為向量玻色子 ﹙intermediate vector boson﹚﹝11﹞，可以區分為三種，分別是攜帶正電荷的 W + ，攜帶負電荷的 W − ，與不攜帶電荷的 Z 0 ，也因此而產生了不同的散射結果。電子，質子與中子皆會對於 e 微中子， μ 微中子與 τ 微中子產生了以 Z 0 為交換介子的中性弱作用力﹙neutral current interaction﹚ ，較為獨特的是電子與 e 微中子會產生以 W + 與 W − 為交換介子的電性弱作用力﹙charge current interaction﹚ 。我們得到了一個重要的結論，當我們研究微中子穿透物質的時候，我們必須考慮弱作用力位能﹝12、13﹞，所以我們引用了論文資料而定義. Anm Ynm m 2 =− ρ ， GF 中性弱作用力所貢獻的位能為 V = 2E 2 mn m n. Aem Yem m 電性弱作用力所貢獻的位能為 V = = 2GF ρ ， 2E mn m e. ﹙2-12﹚. 其中， An m 與 Ae m 是位能參數﹙potential parameter﹚﹝14、15﹞，. GF 是費米常數﹙Fermi constant﹚， mn 是核子質量， ρ m 是質量密度， Yn m 是中子數， Ye m 是電子數。我們首先由﹙2-11﹚式開始，因為混合矩陣 U12 的振盪效應較為不明顯﹝16﹞，所以我們選取 Δ 21 → 0 ，亦即忽略混合矩陣 U12 的影響，則﹙2-11﹚式可以表示為. ⎛ν e ⎞ ⎛ν e ⎞ ⎛0 0 0 ⎞ ⎟ d ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ † †⎜ i ⎜ν μ ⎟ = U 23U13 ⎜ 0 0 0 ⎟ (U13 ) (U 23 ) ⎜ν μ ⎟， dr ⎜ ⎟ 2 E ⎜ ⎟ ⎜ν ⎟ ⎝ 0 0 Δ 31 ⎠ ⎝ν τ ⎠ ⎝ τ ⎠. ﹙2-13﹚. 我們緊接著將弱作用力位能加入﹙2-13﹚式中，因此我們得到了微中子在物質中的薛丁格爾方程式為. ⎡ ⎛0 0 0 ⎞ ⎛ν e ⎞ ⎛ Aem + Anm ⎢ ⎜ d ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ i ⎜ν μ ⎟ = U 23 ⎢U13 ⎜ 0 0 0 ⎟ (U13 )† + ⎜ 0 dr ⎜ ⎟ 2 E ⎢ ⎜0 0 Δ ⎟ ⎜ 0 31 ⎠ ⎝ ⎝ν τ ⎠ ⎣ ⎝. 0 Anm 0. ⎛ν e ⎞ 0 ⎞⎤ ⎟ ⎟⎥ †⎜ 0 ⎟ ⎥ (U 23 ) ⎜ν μ ⎟ ， ⎜ν ⎟ Anm ⎟⎠ ⎥⎦ ⎝ τ ⎠ ﹙2-14﹚. 最後再消除共同因子 An m 的單位矩陣，亦即﹙2-14﹚式可以簡化為 6.

(15) ⎡ ⎛0 0 0 ⎞ ⎛ν e ⎞ ⎛ Aem ⎢ ⎜ d ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ i ⎜ν μ ⎟ = U 23 ⎢U13 ⎜ 0 0 0 ⎟ (U13 )† + ⎜ 0 dr ⎜ ⎟ 2 E ⎢ ⎜0 0 Δ ⎟ ⎜ 31 ⎠ ⎝ 0 ⎝ν τ ⎠ ⎣ ⎝. ⎛ν e ⎞ 0 0 ⎞⎤ ⎟ ⎟⎥ †⎜ 0 0 ⎟ ⎥ (U 23 ) ⎜ν μ ⎟。 ⎜ν ⎟ 0 0 ⎠⎟ ⎥⎦ ⎝ τ ⎠. ﹙2-15﹚. 為了順利求解出微中子在物質中的薛丁格爾方程式，我們必須先將﹙2-15﹚式中的部份矩陣進行對角化﹙diagonalize﹚，所以我們定義了許多的參數，分別為. ( M 13 ) 2 =. m Δ 31 + Aem + Δ13 ， 2. (m13 ) 2 =. m Δ 31 + Aem − Δ13 ， 2. m Δ13 = (Δ 31 sin 2θ13 ) 2 + ( Aem − Δ 31 cos 2θ13 ) 2 = ( M 13 ) 2 − (m13 ) 2 ，. Δ sin 2θ sin 2θ = 31 m 13 ， Δ13 m 13. ⎛ cos θ13m ⎜ U13m = ⎜ 0 ⎜ − sin θ13m ⎝. Δ 31 cos 2θ13 − Aem ， cos 2θ = m Δ13 m 13. 0 sin θ13m ⎞ ⎟ 1 0 ⎟， 0 cos θ13m ⎟⎠. ﹙2-16﹚. 運用﹙2-16﹚式的參數，則我們可以得到. ⎡ ⎛0 0 0 ⎞ ⎛ Aem ⎢ ⎜ ⎜ ⎟ † ⎢U13 ⎜ 0 0 0 ⎟ (U13 ) + ⎜ 0 ⎢ ⎜0 0 Δ ⎟ ⎜ 0 31 ⎠ ⎝ ⎣ ⎝. ⎛ (m13 ) 2 0 0 ⎞⎤ ⎜ ⎟⎥ 0 0 ⎟ ⎥ = U13m ⎜ 0 ⎜ 0 0 0 ⎟⎠ ⎥⎦ ⎝. ⎞ ⎟ m † ⎟ (U13 ) ， ﹙2-17﹚ 2⎟ 0 ( M 13 ) ⎠ 0 0. 0 0. 因此微中子在物質中的薛丁格爾方程式經由對角化之後的形式為. ⎛ν e ⎞ ⎛ (m13 ) 2 ⎜ d ⎜ ⎟ 1 i ⎜ν μ ⎟ = U 23U13m ⎜ 0 dr ⎜ ⎟ 2 E ⎜ 0 ⎝ ⎝ν τ ⎠. ⎛ν e ⎞ ⎞ ⎟ ⎟ m † †⎜ ⎟ (U13 ) (U 23 ) ⎜ν μ ⎟， ⎜ν ⎟ 0 ( M 13 ) 2 ⎟⎠ ⎝ τ ⎠. 0 0. 0 0. ﹙2-18﹚. 我們可以再消除 (m13 ) 2 的單位矩陣，讓﹙2-18﹚式表示為. ⎛ν e ⎞ 0 ⎛0 d ⎜ ⎟ 1 m⎜ i ⎜ν μ ⎟ = U 23U13 ⎜ 0 −(m13 ) 2 dr ⎜ ⎟ 2 E ⎜ 0 ⎝0 ⎝ν τ ⎠. ⎛ν e ⎞ 0 ⎞ ⎟ ⎟ m † †⎜ 0 ⎟ (U13 ) (U 23 ) ⎜ν μ ⎟， m ⎟ ⎜ν ⎟ Δ13 ⎠ ⎝ τ ⎠. ﹙2-19﹚. 如此，﹙2-19﹚式將可以順利求解出，我們也終於得到了微中子在物質中的薛丁格爾方程式的一般形式解，亦即. 0 ⎛1 ⎛ν e ⎞ ⎜ ( m )2 i 13 r ⎜ ⎟ m⎜ 2E ⎜ν μ ⎟ = U 23U13 ⎜ 0 e ⎜ν ⎟ ⎜ ⎝ τ ⎠r ⎜0 0 ⎝. ⎞ ⎛ν e ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ m † †⎜ 0 ⎟ (U13 ) (U 23 ) ⎜ν μ ⎟ 。 ⎜ν ⎟ Δm − i 13 r ⎟ ⎝ τ ⎠0 2E ⎟ e ⎠. 0. 7. ﹙2-20﹚.

(16) 2.3 穿透地球的微中子振盪我們之後將討論微中子穿透地球﹙Earth﹚的情形，雖然地球的構造可以區分為地殼﹙Earth crust﹚，地幔﹙Earth mantle﹚與地核﹙Earth core﹚，但是地殼的相對厚度是較為微薄的，所以我們在之後的計算中會忽略地殼的影響，然而在微中子的實驗中，我們統稱如此長距離的實驗為長基準線實驗﹙long baseline experiment﹚ ﹝17、18﹞。由於我們只考慮地幔與地核的影響，為了分辨地幔與地核的參數，我們設定上標 m 代表地幔的參數，上標 c 則代表地核的參數，而且我們可以由. Stacey 的地球模型中﹝19﹞選取地幔區的平均質量密度 ρ m = 5 g / cm3 ，與地核區的平均質量密度 ρ c = 12 g / cm3 ，我們也設定地球半徑 R = 6370 Km ，與地核半徑 Rc = 3480 Km ，則我們將可以開始討論微中子穿透地球的情形。當微中子只穿透地幔的時候，亦即微中子只穿透單層的物質密度，我們可以定義 L 是微中子只穿透地幔的路徑長度，θ n 是微中子的穿透路徑與偵測器至地心連線所形成的角度，以及 θ = π − θ n ，則我們由圖一可以知道. L = 2 R cos θ n ，. ﹙2-21﹚. 我們再將﹙2-21﹚式代入﹙2-20﹚式中，則我們可以得到微中子只穿透地幔的薛丁格爾方程式的一般形式解為. 0 ⎛1 ⎛ν e ⎞ ⎜ ( m )2 i 13 L ⎜ ⎟ m⎜ 2E ⎜ν μ ⎟ = U 23U13 ⎜ 0 e ⎜ν ⎟ ⎜ ⎝ τ ⎠L ⎜0 0 ⎝. ⎞ ⎛ν e ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ m † †⎜ 0 ⎟ (U13 ) (U 23 ) ⎜ν μ ⎟ ， ⎜ν ⎟ Δm − i 13 L ⎟ ⎝ τ ⎠0 2E ⎟ e ⎠. 0. 我們之後將會運用﹙2-22﹚式計算出微中子只穿透地幔的振盪機率。偵測器. θn. 2R. 圖一. 微中子只穿透地幔的示意圖. 8. ﹙2-22﹚.

(17) 當微中子穿透地幔與地核的時候，亦即微中子穿透雙層的物質密度，我們可以再定義 Lm 是微中子穿透地幔的路徑長度， Lc 是微中子穿透地核的路徑長度， Lt 是微中子穿透地幔與地核的總路徑長度，則我們由圖二可以知道 Lm = R cos θ n − ( Rc )2 − ( R sin θ n ) 2 ， Lc = 2 ( Rc ) 2 − ( R sin θ n ) 2 ，. Lt = 2 Lm + Lc ，. ﹙2-23﹚ 偵測器. θn. 2R. 圖二. 微中子穿透地幔與地核的示意圖. 在微中子的穿透路徑中，微中子會先穿透地幔，再穿透地核，最後又穿透地幔，所以我們可以將﹙2-20﹚式依照穿透順序進行連續性的運算，亦即. 0 ⎛1 ⎛ν e ⎞ ⎜ ( mm )2 i 13 Lm ⎜ ⎟ m⎜ 2E ⎜ν μ ⎟ = U 23U13 ⎜ 0 e ⎜ν ⎟ m ⎜ ⎝ τ ⎠L ⎜0 0 ⎝. ⎞ ⎛ν e ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟⎟ (U13m )† (U 23 )† ⎜ν μ ⎟ ， ⎜ν ⎟ Δm − i 13 Lm ⎟ ⎝ τ ⎠0 e 2 E ⎟⎠. 0 ⎛1 ⎛ν e ⎞ ⎜ ( mc ) 2 i 13 Lc ⎜ ⎟ c ⎜ = U 23U13 ⎜ 0 e 2 E ⎜ν μ ⎟ ⎜ν ⎟ m c ⎜ ⎝ τ ⎠L +L ⎜0 0 ⎝ 0 ⎛1 ⎛ν e ⎞ ⎜ ( mm )2 i 13 Lm ⎜ ⎟ m⎜ = U 23U13 ⎜ 0 e 2 E ⎜ν μ ⎟ ⎜ν ⎟ m c ⎜ ⎝ τ ⎠2 L + L ⎜0 0 ⎝. 0. ⎞ ⎛ν e ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ c † †⎜ 0 ⎟ (U13 ) (U 23 ) ⎜ν μ ⎟ ， ⎜ν ⎟ Δc − i 13 Lc ⎟ ⎝ τ ⎠ Lm ⎟ 2E e ⎠. ﹙2-24﹚. 0. ⎞ ⎛ν e ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟⎟ (U13m )† (U 23 )† ⎜ν μ ⎟ ， m ⎜ν ⎟ Δ − i 13 Lm ⎟ ⎝ τ ⎠ Lm + Lc e 2 E ⎟⎠. ﹙2-25﹚. 0. 9. ﹙2-26﹚.

(18) 緊接著將﹙2-24﹚式，﹙2-25﹚式與﹙2-26﹚式整理簡化之後，我們將可以得到 ⎛ν e ⎞ ⎛ν e ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ m c m †⎜ ⎜ν μ ⎟ = U 23 (U e U e U e )(U 23 ) ⎜ν μ ⎟ ， ⎜ν ⎟ ⎜ν ⎟ ⎝ τ ⎠ Lt ⎝ τ ⎠0. ﹙2-27﹚. 其中，我們定義了地幔演化算符 U em 與地核演化算符 U ec ，而且. 0 ⎛1 ⎜ ( m m )2 i 13 Lm m m⎜ U e = U13 ⎜ 0 e 2 E ⎜ ⎜0 0 ⎝. ⎞ ⎟ 0 ⎟⎟ (U13m )† ， Δm − i 13 Lm ⎟ e 2 E ⎟⎠. 0 ⎛1 ⎜ ( mc ) 2 i 13 Lc c c ⎜ U e = U13 ⎜ 0 e 2 E ⎜ ⎜0 0 ⎝. 0. ⎞ ⎟ 0 ⎟⎟ (U13c )† ， Δc − i 13 Lc ⎟ e 2 E ⎟⎠. 0. ﹙2-28﹚ 我們可以再定義總演化算符﹙evolution operator﹚U et = U emU ecU em ﹝20﹞， ﹙2-29﹚ 為了對於總演化算符進行對角化的運算，我們定義了許多的參數，分別為. α = cos(2ϕ m ) cos(ϕ c ) − cos(2θ13c − 2θ13m ) sin(2ϕ m ) sin(ϕ c ) ， β = − cos(2θ13m )[sin(ϕ c ) cos(2ϕ m ) cos(2θ13c − 2θ13m ) + cos(ϕ c ) sin(2ϕ m )] + sin(2θ13m ) sin(ϕ c ) sin(2θ13c − 2θ13m ) ，. γ 2 = 1−α 2 − β 2 ， ( M 13m ) 2 + (m13m ) 2 ( M 13c ) 2 + (m13c ) 2 c m δ= × 2L + ×L ， 4E 4E ( M 13m ) 2 − (m13m ) 2 m ( M 13c ) 2 − (m13c ) 2 c c ϕ = ×L， ×L ， ϕ = 4E 4E 則我們將可以得到總演化算符經由對角化之後的形式為 m. ⎛ α − iβ ⎜ U =⎜ 0 ⎜ −iγ ⎝ t e. 0 e. iδ. 0. −iγ ⎞ ⎟ 0 ⎟， α + i β ⎟⎠. ﹙2-30﹚. ﹙2-31﹚. 因此我們得到了微中子穿透地幔與地核的薛丁格爾方程式的一般形式解為 ⎛ν e ⎞ ⎛ α − iβ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ν μ ⎟ = U 23 ⎜ 0 ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ −iγ ⎝ν τ ⎠ Lt. 0 iδ. e 0. ⎛ν e ⎞ −iγ ⎞ ⎟ ⎟ †⎜ 0 ⎟ (U 23 ) ⎜ν μ ⎟ ， ⎜ ⎟ α + i β ⎠⎟ ⎝ν τ ⎠. ﹙2-32﹚. 0. 我們之後將會運用﹙2-32﹚式計算出微中子穿透地幔與地核的振盪機率。 10.

(19) 2.4 微中子穿透地球的振盪機率我們首先將運用﹙2-22﹚式計算出微中子只穿透地幔的振盪機率。 e 微中子只穿透地幔且振盪到 e 微中子的機率 Pee. 0 ⎛1 ⎜ ( m )2 − i 13 L m⎜ = (1 0 0 ) U 23U13 ⎜ 0 e 2 E ⎜ ⎜0 0 ⎝ = (cos θ ) + (sin θ ) e m 2 13. m 2 13. −i. 2. m Δ13 L 2E. 0 ⎞ ⎟ ⎛1 ⎞ ⎟ m †⎜ ⎟ 0 ⎟ (U 23U13 ) ⎜ 0 ⎟ ⎜0⎟ Δm i 13 L ⎟ ⎝ ⎠ 2E ⎟ e ⎠. 2. m Δ13 = 1 − (sin 2θ ) (sin L) 2， 4E m 2 13. ﹙2-33﹚. e 微中子只穿透地幔且振盪到 μ 微中子的機率 Peμ 0 ⎛1 ⎜ ( m )2 − i 13 L m⎜ = ( 0 1 0 ) U 23U13 ⎜ 0 e 2 E ⎜ ⎜0 0 ⎝ = − sin θ 23 sin θ cos θ (1 − e m 13. m 13. −i. m Δ13 L 2E. 0 ⎞ ⎟ ⎛1 ⎞ ⎟ m †⎜ ⎟ 0 ⎟ (U 23U13 ) ⎜ 0 ⎟ ⎜0⎟ Δm i 13 L ⎟ ⎝ ⎠ 2E ⎟ e ⎠. 2. 2. m Δ13 ) = (sin θ 23 ) (sin 2θ ) (sin L) 2， 4E 2. m 2 13. ﹙2-34﹚. e 微中子只穿透地幔且振盪到 τ 微中子的機率 Peτ 0 ⎛1 ⎜ ( m )2 − i 13 L m⎜ = ( 0 0 1) U 23U13 ⎜ 0 e 2 E ⎜ ⎜0 0 ⎝ = − cos θ 23 sin θ cos θ (1 − e m 13. m 13. −i. m Δ13 L 2E. 0 ⎞ ⎟ ⎛1 ⎞ ⎟ m †⎜ ⎟ 0 ⎟ (U 23U13 ) ⎜ 0 ⎟ ⎜0⎟ Δm i 13 L ⎟ ⎝ ⎠ 2E ⎟ e ⎠. 2. 2. ) = (cos θ 23 ) 2 (sin 2θ13m ) 2 (sin. μ 微中子只穿透地幔且振盪到 e 微中子的機率 Pμe 0 ⎛1 ⎜ ( m )2 − i 13 L m⎜ = (1 0 0 ) U 23U13 ⎜ 0 e 2 E ⎜ ⎜0 0 ⎝. 0 ⎞ ⎟ ⎛0⎞ ⎟ m †⎜ ⎟ 0 ⎟ (U 23U13 ) ⎜1 ⎟ ⎜0⎟ Δm i 13 L ⎟ ⎝ ⎠ 2E ⎟ e ⎠. 11. 2. m Δ13 L) 2， 4E. ﹙2-35﹚.

(20) = − sin θ 23 sin θ cos θ (1 − e m 13. m 13. −i. m Δ13 L 2E. 2. ) = (sin θ 23 ) 2 (sin 2θ13m ) 2 (sin. m Δ13 L) 2， 4E. ﹙2-36﹚. μ 微中子只穿透地幔且振盪到 μ 微中子的機率 Pμμ 0 ⎛1 ⎜ ( m )2 − i 13 L m⎜ = ( 0 1 0 ) U 23U13 ⎜ 0 e 2 E ⎜ ⎜0 0 ⎝. 0 ⎞ ⎟ ⎛0⎞ ⎟ m †⎜ ⎟ 0 ⎟ (U 23U13 ) ⎜1 ⎟ ⎜0⎟ Δm i 13 L ⎟ ⎝ ⎠ 2E ⎟ e ⎠. = (sin θ 23 ) ((sin θ ) + (cos θ ) e m 2 13. 2. m 2 13. −i. m Δ13 L 2E. ) + (cos θ 23 ) e 2. i. 2. ( m13 )2 L 2E. 2. m Δ13 (m13 ) 2 2 2 2 m 2 = 1 − (sin θ 23 ) (sin 2θ ) (sin L) − (sin 2θ 23 ) (sin θ13 ) (sin L) 4E 4E 4. m 2 13. ( M 13 ) 2 2 L) ， −(sin 2θ 23 ) (cos θ ) (sin 4E 2. m 2 13. ﹙2-37﹚. μ 微中子只穿透地幔且振盪到 τ 微中子的機率 Pμτ 0 ⎛1 ⎜ ( m )2 − i 13 L m⎜ = ( 0 0 1) U 23U13 ⎜ 0 e 2 E ⎜ ⎜0 0 ⎝. 0 ⎞ ⎟ ⎛0⎞ ⎟ m †⎜ ⎟ 0 ⎟ (U 23U13 ) ⎜1 ⎟ ⎜0⎟ Δm i 13 L ⎟ ⎝ ⎠ 2E ⎟ e ⎠. = sin θ 23 cos θ 23 ((sin θ ) + (cos θ ) e m 2 13. m 2 13. −i. m Δ13 L 2E. −e. i. ( m13 )2 L 2E. 2. 2. ). m Δ13 (m13 ) 2 2 2 2 m 2 = −(sin θ 23 ) (cos θ 23 ) (sin 2θ ) (sin L) + (sin 2θ 23 ) (sin θ13 ) (sin L) 4E 4E 2. 2. m 2 13. ( M 13 ) 2 2 L) ， + (sin 2θ 23 ) (cos θ ) (sin 4E τ 微中子只穿透地幔且振盪到 e 微中子的機率 Pτ e 2. m 2 13. 0 ⎛1 ⎜ ( m )2 − i 13 L m⎜ = (1 0 0 ) U 23U13 ⎜ 0 e 2 E ⎜ ⎜0 0 ⎝. 0 ⎞ ⎟ ⎛0⎞ ⎟ m †⎜ ⎟ 0 ⎟ (U 23U13 ) ⎜ 0 ⎟ ⎜1 ⎟ Δm i 13 L ⎟ ⎝ ⎠ 2E ⎟ e ⎠. 12. ﹙2-38﹚. 2.

(21) = − cos θ 23 sin θ cos θ (1 − e m 13. m 13. −i. m Δ13 L 2E. 2. ) = (cos θ 23 ) 2 (sin 2θ13m ) 2 (sin. m Δ13 L) 2， 4E. ﹙2-39﹚. τ 微中子只穿透地幔且振盪到 μ 微中子的機率 Pτμ 0 ⎛1 ⎜ ( m )2 − i 13 L m⎜ = ( 0 1 0 ) U 23U13 ⎜ 0 e 2 E ⎜ ⎜0 0 ⎝. 0 ⎞ ⎟ ⎛0⎞ ⎟ m †⎜ ⎟ 0 ⎟ (U 23U13 ) ⎜ 0 ⎟ ⎜1 ⎟ Δm i 13 L ⎟ ⎝ ⎠ 2E ⎟ e ⎠. = sin θ 23 cos θ 23 ((sin θ ) + (cos θ ) e m 2 13. m 2 13. −i. m Δ13 L 2E. −e. i. ( m13 )2 L 2E. 2. 2. ). m Δ13 (m13 ) 2 2 2 2 m 2 = −(sin θ 23 ) (cos θ 23 ) (sin 2θ ) (sin L) + (sin 2θ 23 ) (sin θ13 ) (sin L) 4E 4E 2. 2. m 2 13. ( M 13 ) 2 2 L) ， + (sin 2θ 23 ) (cos θ ) (sin 4E τ 微中子只穿透地幔且振盪到 τ 微中子的機率 Pττ 2. m 2 13. 0 ⎛1 ⎜ ( m )2 − i 13 L m⎜ = ( 0 0 1) U 23U13 ⎜ 0 e 2 E ⎜ ⎜0 0 ⎝ = (cos θ 23 ) ((sin θ ) + (cos θ ) e 2. m 2 13. m 2 13. = 1 − (cos θ 23 ) 4 (sin 2θ13m )2 (sin −(sin 2θ 23 )2 (cos θ13m ) 2 (sin. ﹙2-40﹚. 0 ⎞ ⎟ ⎛0⎞ ⎟ m †⎜ ⎟ 0 ⎟ (U 23U13 ) ⎜ 0 ⎟ ⎜1 ⎟ Δm i 13 L ⎟ ⎝ ⎠ 2E ⎟ e ⎠ −i. m Δ13 L 2E. ) + (sin θ 23 ) e 2. i. 2. ( m13 )2 L 2E. 2. m Δ13 (m ) 2 L) 2 − (sin 2θ 23 ) 2 (sin θ13m )2 (sin 13 L) 2 4E 4E. ( M 13 ) 2 2 L) ， 4E. ﹙2-41﹚. 由﹙2-33﹚式至﹙2-41﹚式，我們可以得知. Pee + Peμ + Peτ = 1，Pμ e + Pμμ + Pμτ = 1，Pτ e + Pτμ + Pττ = 1，. ﹙2-42﹚. 而且 Peμ = Pμ e，Peτ = Pτ e，Pμτ = Pτμ ，. ﹙2-43﹚. ﹙2-42﹚式與﹙2-43﹚式都是很基本的機率性質。. 13.

(22) 我們緊接著將運用﹙2-32﹚式計算出微中子穿透地幔與地核的振盪機率。 e 微中子穿透地幔與地核且振盪到 e 微中子的機率 Pee. ⎛ α + iβ ⎜ = (1 0 0 ) U 23 ⎜ 0 ⎜ iγ ⎝. 0 e − iδ 0. iγ ⎞ ⎛1 ⎞ ⎟ †⎜ ⎟ 0 ⎟ (U 23 ) ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0⎟ α − iβ ⎟⎠ ⎝ ⎠. 2. = α + iβ = α 2 + β 2， 2. ﹙2-44﹚. e 微中子穿透地幔與地核且振盪到 μ 微中子的機率 Peμ. ⎛ α + iβ ⎜ = ( 0 1 0 ) U 23 ⎜ 0 ⎜ iγ ⎝. 0. e− iδ 0. iγ ⎞ ⎛1 ⎞ ⎟ †⎜ ⎟ 0 ⎟ (U 23 ) ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0⎟ α − iβ ⎟⎠ ⎝ ⎠. 2. = iγ sin θ 23 = (sin θ 23 ) 2 (1 − α 2 − β 2 )， 2. ﹙2-45﹚. e 微中子穿透地幔與地核且振盪到 τ 微中子的機率 Peτ ⎛ α + iβ ⎜ = ( 0 0 1) U 23 ⎜ 0 ⎜ iγ ⎝. 0 e− iδ 0. iγ ⎞ ⎛1 ⎞ ⎟ †⎜ ⎟ 0 ⎟ (U 23 ) ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0⎟ α − iβ ⎟⎠ ⎝ ⎠. 2. = iγ cos θ 23 = (cos θ 23 ) 2 (1 − α 2 − β 2 )， 2. ﹙2-46﹚. μ 微中子穿透地幔與地核且振盪到 e 微中子的機率 Pμe ⎛ α + iβ ⎜ = (1 0 0 ) U 23 ⎜ 0 ⎜ iγ ⎝. 0 e− iδ 0. iγ ⎞ ⎛ 0⎞ ⎟ †⎜ ⎟ 0 ⎟ (U 23 ) ⎜1 ⎟ ⎜ 0⎟ α − iβ ⎟⎠ ⎝ ⎠. 2. = iγ sin θ 23 = (sin θ 23 ) 2 (1 − α 2 − β 2 )， 2. ﹙2-47﹚. μ 微中子穿透地幔與地核且振盪到 μ 微中子的機率 Pμμ ⎛ α + iβ ⎜ = ( 0 1 0 ) U 23 ⎜ 0 ⎜ iγ ⎝. 0 e− iδ 0. iγ ⎞ ⎛ 0⎞ ⎟ †⎜ ⎟ 0 ⎟ (U 23 ) ⎜1 ⎟ ⎜ 0⎟ α − iβ ⎟⎠ ⎝ ⎠. = (cos θ 23 ) 2 e − iδ + (α − iβ )(sin θ 23 ) 2. 2. 14. 2.

(23) = (sin θ 23 ) 4 (α 2 + β 2 ) + (cos θ 23 ) 4 + 2(sin θ 23 )2 (cos θ 23 )2 (α cos δ + β sin δ )，. ﹙2-48﹚. μ 微中子穿透地幔與地核且振盪到 τ 微中子的機率 Pμτ ⎛ α + iβ ⎜ = ( 0 0 1) U 23 ⎜ 0 ⎜ iγ ⎝. 0 e− iδ 0. iγ ⎞ ⎛ 0⎞ ⎟ †⎜ ⎟ 0 ⎟ (U 23 ) ⎜1 ⎟ ⎜ 0⎟ α − iβ ⎟⎠ ⎝ ⎠. = − sin θ 23 cos θ 23e− iδ + (α − i β ) sin θ 23 cos θ 23. 2. 2. = (sin θ 23 ) 2 (cos θ 23 ) 2 [α 2 + β 2 + 1 − 2(α cos δ + β sin δ )]，. ﹙2-49﹚. τ 微中子穿透地幔與地核且振盪到 e 微中子的機率 Pτ e ⎛ α + iβ ⎜ = (1 0 0 ) U 23 ⎜ 0 ⎜ iγ ⎝. 0 e− iδ 0. iγ ⎞ ⎛ 0⎞ ⎟ †⎜ ⎟ 0 ⎟ (U 23 ) ⎜ 0 ⎟ ⎜1 ⎟ α − iβ ⎟⎠ ⎝ ⎠. 2. = iγ cos θ 23 = (cos θ 23 ) 2 (1 − α 2 − β 2 )， 2. ﹙2-50﹚. τ 微中子穿透地幔與地核且振盪到 μ 微中子的機率 Pτμ ⎛ α + iβ ⎜ = ( 0 1 0 ) U 23 ⎜ 0 ⎜ iγ ⎝. 0 e− iδ 0. iγ ⎞ ⎛ 0⎞ ⎟ †⎜ ⎟ 0 ⎟ (U 23 ) ⎜ 0 ⎟ ⎜1 ⎟ α − iβ ⎟⎠ ⎝ ⎠. = − sin θ 23 cos θ 23e− iδ + (α − i β ) sin θ 23 cos θ 23. 2. 2. = (sin θ 23 ) 2 (cos θ 23 ) 2 [α 2 + β 2 + 1 − 2(α cos δ + β sin δ )]，. ﹙2-51﹚. τ 微中子穿透地幔與地核且振盪到 τ 微中子的機率 Pττ ⎛ α + iβ ⎜ = ( 0 0 1) U 23 ⎜ 0 ⎜ iγ ⎝. 0 e− iδ 0. iγ ⎞ ⎛ 0⎞ ⎟ †⎜ ⎟ 0 ⎟ (U 23 ) ⎜ 0 ⎟ ⎜1 ⎟ α − iβ ⎟⎠ ⎝ ⎠. = (sin θ 23 ) 2 e − iδ + (α − iβ )(cos θ 23 ) 2. 2. 2. = (cos θ 23 ) 4 (α 2 + β 2 ) + (sin θ 23 ) 4 + 2(sin θ 23 ) 2 (cos θ 23 ) 2 (α cos δ + β sin δ )，. 15. ﹙2-52﹚.

(24) 第三章穿透地球的微中子流量分析. 3.1 微中子穿透地球的振盪圖形為了繪出只穿透地幔的微中子振盪機率與能量的關係，我們將 ﹙2-33﹚式至﹙2-41﹚式中的參數採用以下的預設值：. Δ 31 = 2.40 × 10−3 (eV ) 2 ， cos θ = −0.8 ， L = 10193.6 Km ， (sin 2θ13 )2 = 0.076 ， (cos 2θ 23 ) 2 = 0.011 ，. Oscillation probability. 如此我們可以順利將圖形繪出。. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0. 圖三. 2 4 6 8 10 Neutrino energy in GeV. 只穿透地幔的 e 微中子振盪機率圖形. Oscillation probability. Pee -紅色曲線， Peμ -藍色曲線， Peτ -綠色曲線。. 1 0.8 0.6 0.4 0.2. 圖四. 0 0. 2 4 6 8 10 Neutrino energy in GeV. 只穿透地幔的 μ 微中子振盪機率圖形. Pμ e -紅色曲線， Pμμ -藍色曲線， Pμτ -綠色曲線。 16.

(25) Oscillation probability. 1 0.8 0.6 0.4 0.2. 圖五. 0 0. 2 4 6 8 10 Neutrino energy in GeV. 只穿透地幔的 τ 微中子振盪機率圖形. Pτ e -紅色曲線， Pτμ -藍色曲線， Pττ -綠色曲線。. 圖三是 e 微中子只穿透地幔的振盪機率圖形，紅色曲線是 e 微中子振盪到 e 微中子的機率圖形，藍色曲線是 e 微中子振盪到 μ 微中子的機率圖形，綠色曲線是 e 微中子振盪到 τ 微中子的機率圖形。我們可以發現當 e 微中子只穿透地幔，且能量約在 6GeV 的時候，其本徵態轉換現象達到最大值，稱為共振點﹙resonance point﹚，而且 e 微中子振盪到 μ 微中子與 e 微中子振盪到 τ 微中子的兩個機率圖形幾乎是重合的，這項性質會影響之後的 e 微中子流量曲線。圖四是 μ 微中子只穿透地幔的振盪機率圖形，紅色曲線是 μ 微中子振盪到 e 微中子的機率圖形，藍色曲線是 μ 微中子振盪到 μ 微中子的機率圖形，綠色曲線是 μ 微中子振盪到 τ 微中子的機率圖形。我們可以發現當 μ 微中子只穿透地幔的時候，由於其振盪機率較為複雜，造成共振點非常不明顯，並且在低能量的區域出現了激烈的振盪圖形，然而當能量漸漸地靠近共振點之後，便會轉變成較為緩和的振盪圖形了。 μ 微中子振盪到 μ 微中子與 μ 微中子振盪到 τ 微中子的兩個機率圖形具有明顯的差異，這項性質會影響之後的 μ 微中子流量曲線。圖五是 τ 微中子只穿透地幔的振盪機率圖形，紅色曲線是 τ 微中子振盪到 e 微中子的機率圖形，藍色曲線是 τ 微中子振盪到 μ 微中子的機率圖形，綠色曲線是 τ 微中子振盪到 τ 微中子的機率圖形。我們可以發現當 τ 微中子只穿透地幔的時候，其振盪圖形與 μ 微中子只穿透地幔的振盪圖形很相似，共振點也是非常不明顯，而且當能量漸漸地靠近共振點之後，圖形也是會由激烈的振盪圖形轉變成較為緩和的振盪圖形。 τ 微中子振盪到 μ 微中子與 τ 微中子振盪到 τ 微中子的兩個機率圖形也具有明顯的差異，這項性質會影響之後的 τ 微中子流量曲線。. 17.

(26) 為了繪出穿透地幔與地核的微中子振盪機率與能量的關係，我們將 ﹙2-44﹚式至﹙2-52﹚式中的參數採用以下的預設值：. Δ 31 = 2.40 × 10−3 (eV ) 2 ， cos θ = −1.0 ， L = 12742 Km ， (sin 2θ13 )2 = 0.076 ， (cos 2θ 23 ) 2 = 0.011 ，. Oscillation probability. 如此我們可以順利將圖形繪出。. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0. 圖六. 2 4 6 8 10 Neutrino energy in GeV. 穿透地幔與地核的 e 微中子振盪機率圖形. Oscillation probability. Pee -紅色曲線， Peμ -藍色曲線， Peτ -綠色曲線。. 1 0.8 0.6 0.4 0.2. 圖七. 0 0. 2 4 6 8 10 Neutrino energy in GeV. 穿透地幔與地核的 μ 微中子振盪機率圖形. Pμ e -紅色曲線， Pμμ -藍色曲線， Pμτ -綠色曲線。. 18.

(27) Oscillation probability. 1 0.8 0.6 0.4 0.2. 圖八. 0 0. 2 4 6 8 10 Neutrino energy in GeV. 穿透地幔與地核的 τ 微中子振盪機率圖形. Pτ e -紅色曲線， Pτμ -藍色曲線， Pττ -綠色曲線。. 圖六是 e 微中子穿透地幔與地核的振盪機率圖形，紅色曲線是 e 微中子振盪到 e 微中子的機率圖形，藍色曲線是 e 微中子振盪到 μ 微中子的機率圖形，綠色曲線是 e 微中子振盪到 τ 微中子的機率圖形。我們可以發現當 e 微中子穿透地幔與地核的時候，會出現了兩個共振點，其能量分別約在 3GeV 與 5GeV，這是由於雙層密度所產生的效應，而且能量在 3GeV 與 5GeV 之間會具有干涉現象 ﹙interference﹚ ，但是並不是非常明顯。e 微中子振盪到 μ 微中子與 e 微中子振盪到 τ 微中子的兩個機率圖形也幾乎是重合的，會影響 e 微中子流量曲線。圖七是 μ 微中子穿透地幔與地核的振盪機率圖形，紅色曲線是 μ 微中子振盪到 e 微中子的機率圖形，藍色曲線是 μ 微中子振盪到 μ 微中子的機率圖形，綠色曲線是 μ 微中子振盪到 τ 微中子的機率圖形。我們可以發現當 μ 微中子穿透地幔與地核的時候，由於其振盪機率較為複雜，造成共振點與干涉現象都是非常不明顯，而且如同 μ 微中子只穿透地幔的振盪圖形，在低能量的區域也出現了激烈的振盪圖形，但是激烈振盪的範圍則縮小在能量 2GeV 以內，這是因為微中子穿透地核所形成的共振點位於能量 2GeV 左右。μ 微中子振盪到 μ 微中子與 μ 微中子振盪到 τ 微中子的兩個機率圖形也具有明顯的差異，會影響 μ 微中子流量曲線。圖八是 τ 微中子穿透地幔與地核的振盪機率圖形，紅色曲線是 τ 微中子振盪到 e 微中子的機率圖形，藍色曲線是 τ 微中子振盪到 μ 微中子的機率圖形，綠色曲線是 τ 微中子振盪到 τ 微中子的機率圖形。我們可以發現當 τ 微中子穿透地幔與地核的時候，其振盪圖形與 μ 微中子穿透地幔與地核的振盪圖形很相似，共振點與干涉現象都是非常不明顯，而且激烈振盪的範圍也是縮小在能量 2GeV 以內，之後的圖形則轉變成較為緩和的振盪圖形。τ 微中子振盪到 μ 微中子與 τ 微中子振盪到 τ 微中子的兩個機率圖形也具有明顯的差異，會影響 τ 微中子流量曲線。 19.

(28) 3.2 穿透地球的微中子流量我們能夠將全部的微中子振盪機率﹙oscillation probability﹚表示成一個對稱的振盪機率矩陣﹙neutrino oscillation probability matrix﹚ P ，其中. ⎛ pee ⎜ P = ⎜ peμ ⎜p ⎝ eτ. pμ e pμμ pμτ. pτ e ⎞ ⎟ pτμ ⎟， pττ ⎟⎠. ﹙3-1﹚. 我們再分別定義初態的微中子流量﹙initial neutrino flux﹚ F0 與末態的微中子流量﹙final neutrino flux﹚ F ，其中. ⎛ Fe 0 ⎞ ⎛ Fe ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ F0 = ⎜ Fμ 0 ⎟， F = ⎜ Fμ ⎟， ⎜F ⎟ ⎜F ⎟ ⎝ τ0 ⎠ ⎝ τ ⎠. ﹙3-2﹚. 而且 Fe 0 與 Fe 分別是初態與末態的 e 微中子流量， Fμ 0 與 Fμ 分別是初態與末態的 μ 微中子流量， Fτ 0 與 Fτ 分別是初態與末態的 τ 微中子流量。則我們可以得到下列的關係式，末態微中子流量 F = 振盪機率矩陣 P × 初態微中子流量 F0 ，亦即. ⎛ Fe ⎞ ⎛ pee ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ Fμ ⎟ = ⎜ peμ ⎜ F ⎟ ⎜ peτ ⎝ τ ⎠ ⎝. pμ e pμμ pμτ. pτ e ⎞ ⎛ Fe 0 ⎞ ⎟ ⎟⎜ pτμ ⎟ ⎜ Fμ 0 ⎟ ， pττ ⎟⎠ ⎜⎝ Fτ 0 ⎟⎠. ﹙3-3﹚. 我們也可以將﹙3-3﹚式展開而得到. Fe = Fe 0 Pee + Fμ 0 Pμ e + Fτ 0 Pτ e，. ﹙3-4﹚. Fμ = Fe 0 Peμ + Fμ 0 Pμμ + Fτ 0 Pτμ ，. ﹙3-5﹚. Fτ = Fe 0 Peτ + Fμ 0 Pμτ + Fτ 0 Pττ，. ﹙3-6﹚. 在之前的章節中，我們已經分別計算出只穿透地幔的微中子振盪機率與穿透地幔與地核的微中子振盪機率，我們必須再取得全部的大氣微中子流量，才可以進行穿透地球的微中子流量分析，因此我們緊接著由M. Honda與其他學者在2001年所共同發表的論文中﹝21﹞取得了e微中子與 μ 微中子的大氣微中子流量，雖然. M. Honda與其他學者在2004年又發表了一篇關於大氣微中子三維計算的論文 ﹝22﹞，但是此篇論文中的計算是建構在具有地磁效應的三維地球模型上，然而. 20.

(29) 我們的計算卻只建構在二維地球模型上，而且也並未加入地磁的影響，所以我們選用的e微中子與 μ 微中子的大氣微中子流量是2001年由其所發表的論文結果，最後我們再由Guey-Lin Lin與Fei-Fan Lee所發表的論文中﹝23﹞取得了 τ 微中子的大氣微中子流量，如此我們已經全部取得後續研究中所需要的微中子振盪機率與大氣微中子流量。我們將繪出只穿透地幔的微中子流量與能量的關係，而且微中子流量公式中的參數採用以下的預設值：. Δ 31 = 2.40 × 10−3 (eV ) 2 ， cos θ = −0.8 ， L = 10193.6 Km ， (sin 2θ13 )2 = 0.076 ， (cos 2θ 23 ) 2 = 0.011 ，. Neutrino flux in H m^2 sec sr GeVL^−1. 如此我們可以順利將圖形繪出。. 圖十. 50 40 30 20 10 0 0. 2 4 6 8 Neutrino energy in GeV. 10. 只穿透地幔的e微中子流量圖形虛線是初態微中子流量，實線是只穿透地幔的末態微中子流量。. Neutrino flux in H m^2 sec sr GeVL^−1. 圖九. 60. 50 40 30 20 10 0 0. 2 4 6 8 Neutrino energy in GeV. 10. 只穿透地幔的 μ 微中子流量圖形虛線是初態微中子流量，實線是只穿透地幔的末態微中子流量。. 21.

(30) Neutrino flux in H m^2 sec sr GeVL^−1. 圖十一. 40 30 20 10 0 0. 2 4 6 8 Neutrino energy in GeV. 10. 只穿透地幔的 τ 微中子流量圖形虛線是初態微中子流量，實線是只穿透地幔的末態微中子流量。. 圖九是只穿透地幔的e微中子流量圖形，我們可以發現e微中子初態流量與只穿透地幔的e微中子末態流量是重合的，而且兩個流量圖形都是很平滑的遞減曲線，這是因為初態的微中子流量中， Fe 0 : Fμ 0 : Fτ 0 = 1: 2 : 0 ，然而微中子的振盪機率中， Pμ e 與 Pτ e 的振盪圖形幾乎是重合的，亦即 Pμ e ≈ Pτ e ，所以我們可以將初態的微中子流量視為 Fe 0 : Fμ 0 : Fτ 0 ≈ 1:1:1 ，因此在﹙3-4﹚式中，末態的e微中子流量. Fe = Fe 0 Pee + Fμ 0 Pμ e + Fτ 0 Pτ e = Fe 0 ( Pee + Pμ e + Pτ e ) ，又其中的 Pee + Pμ e + Pτ e = 1 ，所以我們最後可以得到 Fe ≈ Fe 0 。圖十是只穿透地幔的 μ 微中子流量圖形，我們發現 μ 微中子的初態流量曲線位於末態流量曲線的上方，而且 μ 微中子初態流量是很平滑的曲線，但是只穿透地幔的 μ 微中子末態流量在低能量區域是激烈的振盪曲線，之後才轉變成較為緩和的振盪曲線，這是因為在微中子的振盪機率中， Pμμ 與 Pτμ 的振盪圖形差異性很大，所以 μ 微中子的末態流量與初態流量的差異性也是很大，而且由於 μ 微中子初態流量是很迅速的遞減曲線，所以在高能量區域的時候，只穿透地幔的 μ 微中子末態流量也呈現出很緩和的曲線，整體而言，我們可以視為 μ 微中子的部分初態流量振盪為 τ 微中子的末態流量。圖十一是只穿透地幔的 τ 微中子流量圖形，我們發現 τ 微中子的初態流量曲線位於末態流量曲線的下方，而且 τ 微中子初態流量是很平滑的曲線，但是只穿透地幔的 τ 微中子末態流量在低能量區域是激烈的振盪曲線，之後才轉變成較為緩和 22.

(31) 的振盪曲線，這也是因為微中子的振盪機率中， Pμτ 與 Pττ 的振盪圖形差異性很大，造成 τ 微中子的末態流量與初態流量的差異性也是很大，而且由於 τ 微中子初態流量也是很迅速的遞減曲線，讓只穿透地幔的 τ 微中子末態流量在高能量區域也呈現出很緩和的曲線，整體而言，我們可以視為 τ 微中子的末態流量是 μ 微中子的初態流量所振盪形成的。我們再繪出穿透地幔與地核的微中子流量與能量的關係，而且微中子流量公式中的參數採用以下的預設值：. Δ 31 = 2.40 × 10−3 (eV ) 2 ， cos θ = −1.0 ， L = 12742 Km ， (sin 2θ13 )2 = 0.076 ， (cos 2θ 23 ) 2 = 0.011 ，. Neutrino flux in H m^2 sec sr GeVL^−1. 如此我們可以順利將圖形繪出。. Neutrino flux in H m^2 sec sr GeVL^−1. 圖十二. 圖十三. 30 25 20 15 10 5 0 0. 2 4 6 8 Neutrino energy in GeV. 10. 穿透地幔與地核的e微中子流量圖形虛線是初態微中子流量，實線是穿透地幔與地核的末態微中子流量。. 50 40 30 20 10 0 0. 2 4 6 8 Neutrino energy in GeV. 10. 穿透地幔與地核的 μ 微中子流量圖形虛線是初態微中子流量，實線是穿透地幔與地核的末態微中子流量。. 23.

(32) Neutrino flux in H m^2 sec sr GeVL^−1. 圖十四. 30 25 20 15 10 5 0 0. 2 4 6 8 Neutrino energy in GeV. 10. 穿透地幔與地核的 τ 微中子流量圖形虛線是初態微中子流量，實線是穿透地幔與地核的末態微中子流量。. 圖十二是穿透地幔與地核的e微中子流量圖形，我們發現穿透地幔與地核的e微中子末態流量只呈現出很緩和的振盪曲線，而且與e微中子初態流量的曲線也幾乎是重合的，其原因與只穿透地幔的情形相同，都是由於在微中子的振盪機率中，. Pμ e 與 Pτ e 的振盪圖形幾乎是重合的，亦即 Pμ e ≈ Pτ e ，所以初態的微中子流量中，我們可以將 Fe 0 : Fμ 0 : Fτ 0 = 1: 2 : 0 視為 Fe 0 : Fμ 0 : Fτ 0 ≈ 1:1:1 ，因此在﹙3-4﹚式中，末態的e微中子流量 Fe = Fe 0 Pee + Fμ 0 Pμ e + Fτ 0 Pτ e = Fe 0 ( Pee + Pμ e + Pτ e ) ，又其中的. Pee + Pμ e + Pτ e = 1 ，最後我們也可以得到 Fe ≈ Fe 0 。圖十三是穿透地幔與地核的 μ 微中子流量圖形，我們發現 μ 微中子初態流量是很平滑的曲線，但是穿透地幔與地核的 μ 微中子末態流量在低能量區域卻是激烈的振盪曲線，之後才轉變成較為緩和的振盪曲線，這也是因為微中子振盪機率的差異性很大，以及 μ 微中子初態流量是很迅速遞減的，而造成了如此的結果，並且發現 μ 微中子的初態流量曲線也位於末態流量曲線的上方，所以我們也可以視為 μ 微中子的部分初態流量振盪為 τ 微中子的末態流量。圖十四是穿透地幔與地核的 τ 微中子流量圖形，我們發現 τ 微中子初態流量是很平滑的曲線，但是穿透地幔與地核的 τ 微中子末態流量在低能量區域卻是激烈的振盪曲線，之後才轉變成較為緩和的振盪曲線，這也是因為微中子振盪機率的差異性很大，以及 τ 微中子初態流量是很迅速遞減的，而造成了如此的結果，並且發現 τ 微中子的初態流量曲線也位於末態流量曲線的下方，所以我們也可以視為 τ 微中子的末態流量是 μ 微中子的初態流量所振盪形成的。. 24.

(33) 3.3 穿透地球的微中子平均流量我們先定義 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.4 的微中子平均流量為 2π. −0.4. 0. −1. ∫ ∫. Flux( E , cos θ )d cos θ dφ 2π. −0.4. 0. −1. ∫ ∫. d cos θ dφ. ，. ﹙3-7﹚. 其中， E 與 cos θ 為設定的變數。我們再定義 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 的微中子平均流量為 2π. −0.8. 0. −1. ∫ ∫. Flux( E , cos θ )d cos θ dφ 2π. −0.8. 0. −1. ∫ ∫. d cos θ dφ. ，. ﹙3-8﹚. 其中， E 與 cos θ 為設定的變數。在微中子流量公式的參數中，選取 Δ 31 = 2.40 × 10−3 (eV ) 2 ，而 θ13 與 θ 23 的範圍大約為 θ13 < 10° ， 37° < θ 23 < 53° ，所以我們再分別選取 θ13 = 2° ， 5° ， 8° ，以及. θ 23 = 38° ， 43° ， 48° ， 53° ，亦即分別選取 (sin 2θ13 ) 2 = 0.005 ， 0.030 ， 0.076 ，以及 (cos 2θ 23 ) 2 = 0.059 ， 0.005 ， 0.011 ， 0.076 ，則我們可以繪出對應於不同的. θ13 與 θ 23 的微中子平均流量曲線，再進行比較與分析的工作。圖十五至圖十七是 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.4 的微中子平均流量圖形，圖十五是 e 微中子的平均流量圖形，圖十六是 μ 微中子的平均流量圖形，圖十七是 τ 微中子的平均流量圖形，我們可以發現無論我們如何變換 θ13 與 θ 23 ，e 微中子的平均流量曲線是幾乎不會變動的，而且是很平滑的曲線， μ 微中子的平均流量曲線與 τ 微中子的平均流量曲線也幾乎都不會產生變動，而且不再是激烈的振盪曲線，而是都形成了較為平滑的曲線，這或許是因為我們是使用數值模擬的方法，亦即數值在大範圍的平均之下是無法呈現出明顯差異的。圖十八至圖二十是 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 的微中子平均流量圖形，圖十八是 e 微中子的平均流量圖形，圖十九是 μ 微中子的平均流量圖形，圖二十是 τ 微中子的平均流量圖形，我們可以發現當我們變換 θ13 與 θ 23 的時候，e 微中子的平均流量曲線仍然是很平滑的曲線，但是會顯示出些微的差異， μ 微中子的平均流量曲線與 τ 微中子的平均流量曲線都形成了些微振盪的曲線，而且都顯示出些微的差異，這或許是因為我們是使用數值模擬的方法，亦即數值在小範圍的平均之下才可以呈現出差異性。. 25.

(34) Neutrino flux in H m^2 sec sr GeVL^−1. 50 40 30 20 10. 0. Neutrino flux in H m^2 sec sr GeVL^−1. 50 40 30 20 10. 0. 2 4 6 8 Neutrino energy in GeV. 10. cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.4 的 μ 微中子平均流量圖形. 圖十六 Neutrino flux in H m^2 sec sr GeVL^−1. 10. cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.4 的 e 微中子平均流量圖形. 圖十五. 圖十七. 2 4 6 8 Neutrino energy in GeV. 50 40 30 20 10. 0. 2 4 6 8 Neutrino energy in GeV. 10. cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.4 的 τ 微中子平均流量圖形. 26.

(35) Neutrino flux in H m^2 sec sr GeVL^−1. 50 40 30 20 10. 0. Neutrino flux in H m^2 sec sr GeVL^−1. 50 40 30 20 10. 0. 2 4 6 8 Neutrino energy in GeV. 10. cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 的 μ 微中子平均流量圖形. 圖十九 Neutrino flux in H m^2 sec sr GeVL^−1. 10. cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 的 e 微中子平均流量圖形. 圖十八. 圖二十. 2 4 6 8 Neutrino energy in GeV. 50 40 30 20 10. 0. 2 4 6 8 Neutrino energy in GeV. 10. cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 的 τ 微中子平均流量圖形. 27.

(36) 由之前的結果，我們瞭解到數值在小範圍的平均之下才可以呈現出差異性，因此我們之後所討論的微中子平均流量都是 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 的曲線圖形。我們緊接著將繪出對應於不同的 Δ 31 的微中子平均流量曲線，在微中子流量公式的參數中，我們先選取 (sin 2θ13 )2 = 0.076，(cos 2θ 23 ) 2 = 0.011，亦即固定 θ13 與 θ 23 ，再分別選取 Δ 31 = 2.40 × 10−3 (eV ) 2 以及 Δ 31 = −2.40 ×10−3 (eV ) 2 ，則我們可以對於其曲線圖形進行比較與分析的工作。圖二十一至圖二十三是 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 的微中子平均流量圖形，黑色曲線是 Δ 31 = 2.40 × 10−3 (eV ) 2 的圖形，紅色曲線是 Δ 31 = −2.40 ×10−3 (eV ) 2 的圖形。圖二十一是 e 微中子的平均流量圖形，圖二十二是 μ 微中子的平均流量圖形，圖二十三是 τ 微中子的平均流量圖形，我們可以發現當 Δ 31 為正值或負值的時候，e 微中子的平均流量圖形都是很平滑的曲線，但是對應於 Δ 31 為正值的 e 微中子平均流量在共振點產生了很緩和的振盪曲線，而且當我們變換 Δ 31 的正負值的時候， μ 微中子的平均流量曲線與 τ 微中子的平均流量曲線也都會顯示出些微的差異，當 Δ 31 為正值的時候， μ 微中子平均流量與 τ 微中子平均流量的圖形都會形成些微振盪的曲線，然而當 Δ 31 為負值的時候， μ 微中子平均流量與 τ 微中. Neutrino flux in H m^2 sec sr GeVL^−1. 子平均流量的圖形則都會是較為平滑的曲線。. 50 40 30 20 10. 圖二十一. 0. 2 4 6 8 Neutrino energy in GeV. 10. cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 的 e 微中子平均流量比較圖形黑色曲線是 Δ 31 為正值的圖形，紅色曲線是 Δ 31 為負值的圖形。. 28.

(37) Neutrino flux in H m^2 sec sr GeVL^−1. 50 40 30 20 10. 0. 10. cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 的 μ 微中子平均流量比較圖形黑色曲線是 Δ 31 為正值的圖形，紅色曲線是 Δ 31 為負值的圖形。. 圖二十二. Neutrino flux in H m^2 sec sr GeVL^−1. 2 4 6 8 Neutrino energy in GeV. 50 40 30 20 10. 圖二十三. 0. 2 4 6 8 Neutrino energy in GeV. 10. cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 的 τ 微中子平均流量比較圖形黑色曲線是 Δ 31 為正值的圖形，紅色曲線是 Δ 31 為負值的圖形。. 29.

(38) 3.4 微中子平均流量的等高曲線我們先定義 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 ，且能量在 2GeV 到 3GeV 的微中子平均流量為 3. 2π. −0.8. 2. 0. −1. ∫∫ ∫. Flux(θ13 , θ 23 , E , cos θ )d cos θ dφ dE 3. 2π. −0.8. 2. 0. −1. ∫∫ ∫. d cos θ dφ dE. ，. ﹙3-9﹚. 其中， E 與 cos θ 為原本的變數， θ13 與 θ 23 為新加入的變數。我們再定義 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 ，且能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的微中子平均流量為 6.5. 2π. −0.8. 5.5. 0. −1. ∫ ∫ ∫. Flux(θ13 , θ 23 , E , cos θ )d cos θ dφ dE 6.5. 2π. −0.8. 5.5. 0. −1. ∫ ∫ ∫. d cos θ dφ dE. ，. ﹙3-10﹚. 其中， E 與 cos θ 為原本的變數， θ13 與 θ 23 為新加入的變數。在微中子流量公式的參數中，我們先選取 Δ 31 = 2.40 × 10−3 (eV ) 2 ，則我們可以繪出微中子平均流量的等高曲線，並且對於其曲線圖形進行比較與分析的工作。圖二十四是 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8，且能量在 2GeV 到 3GeV 的 e 微中子平均流量的三維立體圖形，圖二十五是 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8，且能量在 2GeV 到 3GeV 的 e 微中子平均流量的等高曲線圖形，其中，e 微中子平均流量大約介於. 5.0 (m2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 至 6.5 (m2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 之間。我們可以發現能量在 2GeV 到 3GeV 的 e 微中子平均流量的等高曲線圖形中，並未發生 θ 23 的簡併性，也就是當我們選取固定的 sin 2θ13 與微中子平均流量的時候，其所對應的 cos 2θ 23 是單一的數值區間，此種情況即稱為 θ 23 簡併性之消除﹝24、25﹞，而且我們也可以發現當我們選取的 sin 2θ13 愈大的時候，可以對應出較為精確的 cos 2θ 23 數值區間，總之 e 微中子平均流量的 θ 23 簡併性之消除是很重要的發現。圖二十六是 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8，且能量在 2GeV 到 3GeV 的 μ 微中子平均流量的三維立體圖形，圖二十七是 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8，且能量在 2GeV 到 3GeV 的 μ 微中子平均流量的等高曲線圖形，其中， μ 微中子平均流量大約介於. 6.5 (m2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 至 7.5 (m2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 之間。我們可以發現能量在 2GeV 到 3GeV 的 μ 微中子平均流量形成了近似對稱的等高曲線圖形，因此造成 θ 23 是. 30.

(39) 具有簡併性的，也就是當我們選取固定的 sin 2θ13 與微中子平均流量的時候，其所對應的 cos 2θ 23 是兩個近似對稱的數值區間，此種情況即稱為 θ 23 簡併性，而且我們也可以發現當我們選取的 sin 2θ13 愈大的時候，雖然無法完全消除 θ 23 的簡併性，但是卻可以降低 θ 23 簡併性的程度，然而當我們選取的 sin 2θ13 愈小的時候，則會讓 θ 23 的簡併性與 θ 23 的對稱性都會愈明顯。圖二十八是 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 ，且能量在 2GeV 到 3GeV 的 τ 微中子平均流量的三維立體圖形，圖二十九是 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8，且能量在 2GeV 到 3GeV 的 τ 微中子平均流量的等高曲線圖形，其中， τ 微中子平均流量大約介於. 5.75 (m2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 至 6.75 (m2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 之間。我們可以發現能量在 2GeV 到 3GeV 的 τ 微中子平均流量也形成了近似對稱的等高曲線圖形，也因此造成 θ 23 是具有簡併性的，亦即與 μ 微中子平均流量的結果是類似的，而且 θ 23 簡併性的程度與我們選取的 sin 2θ13 具有密切關係，當我們選取的 sin 2θ13 愈小的時候，則 θ 23 的簡併性與 θ 23 的對稱性也都會愈明顯。圖三十是 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 ，且能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的 e 微中子平均流量的三維立體圖形，圖三十一是 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8，且能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的 e 微中子平均流量的等高曲線圖形，其中，e 微中子平均流量大約介於 0.3 (m 2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 至 0.5 (m 2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 之間。我們可以發現能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的 e 微中子平均流量的等高曲線圖形中，並未發生 θ 23 的簡併性，而且當我們選取的 sin 2θ13 愈大的時候，可以對應出較為精確的 cos 2θ 23 數值區間，這與之前的 e 微中子能量在 2GeV 到 3GeV 的結果是很類似的。圖三十二是 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 ，且能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的 μ 微中子平均流量的三維立體圖形，圖三十三是 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 ，且能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的 μ 微中子平均流量的等高曲線圖形，其中， μ 微中子平均流量大約介於 0.4 (m 2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 至 0.8 (m 2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 之間。我們可以發現能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的 μ 微中子平均流量的等高曲線圖形中，與之前的 μ 微中子能量在 2GeV 到 3GeV 的結果是部分類似的，雖然 θ 23 仍然是具有簡併性的，但是 θ 23 的對稱性卻不是很明顯。圖三十四是 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 ，且能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的 τ 微中子平均流量的三維立體圖形，圖三十五是 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 ，且能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的 τ 微中子平均流量的等高曲線圖形，其中，τ 微中子平均流量大約介於 0.3 (m 2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 至 0.5 (m 2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 之間。我們可以發現能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的 τ 微中子平均流量的等高曲線圖形中，與之前的 τ 微中子能量在 2GeV 到 3GeV 的結果也是部份類似的，雖然 θ 23 仍然是具有簡併性的，但是 θ 23 的對稱性卻不是很明顯。 31.

(40) 6.5 Neutrino flux6 5.5 0. 0.1 Sin n@2θ130.2 D 0.3. 圖二十四. 0.2. 0Cos@2θ23D −0.2. cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 2GeV 到 3GeV 的. e 微中子平均流量的三維立體圖形. 0.2. Cos@2θ23D. 0.1 0 −0.1 −0.2. 0. 圖二十五. 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Sin@2θ13D. cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 2GeV 到 3GeV 的. e 微中子平均流量的等高曲線圖形 e 微中子平均流量大約介於 5.0 (m2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 至 6.5 (m2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 之間，將其平均分為十個流量區間而繪製成等高曲線。. 32.

(41) 7.5 7.25 Neutrino flux 7 6.75 6.5 0. 0.1 Sin n@2θ130.2 D 0.3. 圖二十六. 0.2. 0Cos@2θ23D −0.2. cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 2GeV 到 3GeV 的 μ 微中子平均流量的三維立體圖形. 0.2. Cos@2θ23D. 0.1 0 −0.1 −0.2. 0. 圖二十七. 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Sin@2θ13D. cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 2GeV 到 3GeV 的 μ 微中子平均流量的等高曲線圖形. μ 微中子平均流量大約介於 6.5 (m2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV )−1 至 7.5 (m2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 之間，將其平均分為十個流量區間而繪製成等高曲線。. 33.

(42) 6.75 6.5 Neutrino flux 6.25 6 5.75 0. 0.1 Sin n@2θ130.2 D 0.3. 圖二十八. 0.2. 0Cos@2θ23D −0.2. cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 2GeV 到 3GeV 的. τ 微中子平均流量的三維立體圖形. 0.2. Cos@2θ23D. 0.1 0 −0.1 −0.2. 0. 圖二十九. 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Sin@2θ13D. cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 2GeV 到 3GeV 的. τ 微中子平均流量的等高曲線圖形 τ 微中子平均流量大約介於 5.75 (m 2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV )−1 至 6.75 (m2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 之間，將其平均分為十個流量區間而繪製成等高曲線。. 34.

(43) 0.5 0.45 Neutrino flux 0.4 0.35 0.3 0. 0.1 Sin n@2θ130.2 D 0.3. 0.2. 0Cos@2θ23D −0.2. cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的. 圖三十. e 微中子平均流量的三維立體圖形. 0.2. Cos@2θ23D. 0.1 0 −0.1 −0.2. 0. 圖三十一. 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Sin@2θ13D. cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的. e 微中子平均流量的等高曲線圖形 e 微中子平均流量大約介於 0.3 (m2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 至 0.5 (m2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 之間，將其平均分為十個流量區間而繪製成等高曲線。. 35.

(44) 0.8 0.7 Neutrino flux 0.6 0.5 0. 0.1 Sin n@2θ130.2 D 0.3. 圖三十二. 0.2. 0Cos@2θ23D −0.2. cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的 μ 微中子平均流量的三維立體圖形. 0.2. Cos@2θ23D. 0.1 0 −0.1 −0.2. 0. 圖三十三. 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Sin@2θ13D. cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的 μ 微中子平均流量的等高曲線圖形. μ 微中子平均流量大約介於 0.4 (m2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV )−1 至 0.8 (m2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 之間，將其平均分為十個流量區間而繪製成等高曲線。. 36.

(45) 0.5 Neutrino flux 0.45 0.4 0.35 0.3 0. 0.1 Sin n@2θ130.2 D 0.3. 圖三十四. 0.2. 0Cos@2θ23D −0.2. cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的. τ 微中子平均流量的三維立體圖形. 0.2. Cos@2θ23D. 0.1 0 −0.1 −0.2. 0. 圖三十五. 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Sin@2θ13D. cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 且能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的. τ 微中子平均流量的等高曲線圖形 τ 微中子平均流量大約介於 0.3 (m 2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV )−1 至 0.5 (m2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 之間，將其平均分為十個流量區間而繪製成等高曲線。. 37.

(46) 3.5 e 微中子與 e 反微中子的共同平均流量的等高曲線在微中子的偵測實驗中，由於 e 微中子與 e 反微中子會分別造成負電子與正電子的產生，然而我們目前的實驗技術仍然無法區分負電子與正電子，所以我們最後必須考慮 e 微中子與 e 反微中子的共同平均流量。在微中子流量公式的參數中，我們先選取 Δ 31 = 2.40 × 10−3 (eV ) 2 ，則我們可以繪出微中子平均流量的等高曲線，並且對於其曲線圖形進行比較與分析的工作。圖三十六是 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8，且能量在 2GeV 到 3GeV 的 e 微中子平均流量的等高曲線圖形與 e 反微中子平均流量的等高曲線圖形，其中，e 微中子平均流量大約介於 5.0 (m 2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 至 6.5 (m 2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 之間，而 e 反微中子平均流量大約介於 4.0 (m 2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 至 4.1 (m 2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 之間。圖三十七是 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8，且能量在 2GeV 到 3GeV 的 e 微中子與 e 反微中子的共同平均流量的等高曲線圖形，其中，e 微中子與 e 反微中子的共同平均流量大約介於 9.0 (m 2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 至 10.6 (m 2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 之間。在圖四十與圖四十一中，我們可以發現由於 e 微中子平均流量大於 e 反微中子平均流量，所以能量在 2GeV 到 3GeV 的 e 微中子與 e 反微中子的共同平均流量的等高曲線圖形幾乎與能量在 2GeV 到 3GeV 的 e 微中子平均流量的等高曲線圖形很相似，因此如同之前描述的結果，當我們選取的 sin 2θ13 愈大的時候，可以對應出較為精確的 cos 2θ 23 數值區間，而且當我們選取固定的 sin 2θ13 與 e 微中子平均流量的時候，其所對應的 cos 2θ 23 是單一的數值區間，亦即 θ 23 的簡併性是消除的。圖三十八是 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 ，且能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的 e 微中子平均流量的等高曲線圖形與 e 反微中子平均流量的等高曲線圖形，其中，e 微中子平均流量大約介於 0.3 (m 2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 至 0.5 (m 2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 之間，而 e 反微中子平均流量大約介於 0.22 (m 2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 至 0.23 (m 2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 之間。圖三十九是 cos θ = −1.0 到 cos θ = −0.8 ，且能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的 e 微中子與 e 反微中子的共同平均流量的等高曲線圖形，其中，e 微中子與 e 反微中子的共同平均流量大約介於 0.52 (m 2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 至 0.73 (m 2 ⋅ sec⋅ sr ⋅ GeV ) −1 之間。在圖四十與圖四十一中，我們已經知道由於 e 微中子平均流量大於 e 反微中子平均流量，所以能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的 e 微中子與 e 反微中子的共同平均流量的等高曲線圖形幾乎與能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的 e 微中子平均流量的等高曲線圖形很相似，因此我們可以發現能量在 5.5GeV 到 6.5GeV 的 e 微中子與 e 反微中子的共同平均流量的等高曲線圖形中，也並未發生 θ 23 的簡併性，我們的結論是 e 微中子與 e 反微中子的共同平均流量的等高曲線圖形中，將可以獲得 θ 23 簡併性之消除。 38.