6-2-1多項式函數的微積分-微分

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(1)(99 課綱) 選修數學甲下冊第二章多項式函數的微積分 2-1 微分【目標】了解曲線 y = f ( x) 上某一點切線斜率的意涵﹐並能求多項式函數圖形的切線．再者﹐能了解函數在一點可微分及在區間上可微分的意涵﹐並能求簡單函數的導數及導函數﹐與了解函數可微分與連續的關係﹐並熟悉微分公式﹒ 【討論】極限有兩個主要應用﹐一是求函數圖形的切線﹐另一是求函數圖形下的區域面積﹐ 此二者正是微積分所包含的微分與積分；它們是互逆的兩種運算﹐往往必須合併一起研究﹐所以合稱為微積分﹒在科學史上﹐微積分的創始一般都歸功於英國科 ﹒ 學家牛頓（Newton﹐1642～1727）與德國數學家萊布尼茲（Leibniz﹐1646～1716）由於多項式函數是最基本的函數﹐本章將以多項式函數為對象作為研究的基礎﹐ 探討其圖形的變化情形與曲線下的面積﹐再進一步探究微積分所涉及的相關問題﹒. 1.

(2) 【討論】 1. 切線與導數：給定實函數 f 及其圖形上一點 P(a﹐b)﹐其中 b = f (a) ﹐如何定義通過點 P 的切線呢？首先﹐在圖形上點 P 的附近另取一點 Q(x﹐y)﹐其中 x = a + ∆x ﹐ y = f ( a + ∆x) （∆x 讀作 delta x） ﹒∆x 的值可正可負﹐以 ∆x > 0 為例﹐如圖(a) 中直線 PQ 是過點 P 的一條割線﹐其斜率為 mQ =. f ( a + ∆x ) − f ( a ) ﹒ ∆x. 接下來﹐讓點 Q 沿著 y = f ( x) 的圖形移動而趨近點 P﹐如圖 2-1(b)﹐亦即讓 ∆x 趨近於 0﹐如果對應的割線斜率 mQ 會趨近於一定數 m﹐我們就定義 m 為通過點 P 的切線斜率﹒ 一般而言﹐給定實函數 f 圖形上的一點 P(a﹐f (a))﹐ 若下列極限存在： lim. ∆x → 0. f (a + ∆x) − f ( a) ﹐則以此極限為斜率且通過 P 的直線 ∆x. L 就稱為曲線 y = f ( x) 在點 P(a﹐f (a))的切線﹐而 P 稱為切線的切點；此切線的方程式為 y − f (a) = m( x − a) ﹐其中 m = lim. ∆x → 0. 2.. f (a + ∆x) − f (a) 為切線的斜率﹒ ∆x. 上面的描述方式﹐不僅對切線作更嚴謹的定義﹐同時也提供一種實際計算切線斜率的方法﹒ 在使用上﹐曲線 y = f ( x) 在點(a﹐f(a))的切線斜率常有不同的表示方法﹐例如： f ( a + ∆x ) − f ( a ) f ( a + h) − f ( a ) = lim ﹒ h→0 ∆x h f (a + ∆x) − f ( a ) f ( x) − f (a ) (2)若令變數 x = a + ∆x ﹐則切線斜率 lim ﹒ = lim ∆x → 0 x → a ∆x x−a f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ﹐求其極對於實函數 f 由 x0 到 x0 + ∆x 函數值的平均變化率 ∆x f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) 即為曲線限是微積分的主要概念之一﹐而其極限 lim ∆x → 0 ∆x y = f ( x) 在點(x0﹐f (x0))的切線斜率；當此極限存在時﹐就定義此極限為函數 f 在 x = x0 的導數﹒. (1)若以變數 h 取代 ∆x﹐則切線斜率 lim. ∆x → 0. 2.

(3) 3.. 設實函數 f 的定義域包含一區間(a﹐b)﹐且 x0 ∈ (a﹐b)﹐若曲線 y = f ( x) 在點 f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) 存在﹐則稱 f 在 x = x0 可微分﹐而 ∆x → 0 ∆x 此斜率稱為 f 在 x = x0 的導數﹐通常以 f ' ( x0 ) 表示﹐ f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) 即 f ' ( x0 ) = lim ﹒ ∆x → 0 ∆x. (x0﹐f (x0))的切線斜率 lim. 當 f 在區間(a﹐b)上的每一點都可微分時﹐我們稱 f 在區間(a﹐b)上可微分﹒ 此外﹐導數 f ' ( x0 ) 也可以表成以下的極限形式： f ' ( x0 ) = lim h →0. f ( x0 + h) − f ( x0 ) f ( x) − f ( x0 ) 或 f ' ( x0 ) = lim ﹒ x → x 0 h x − x0. 以函數 f ( x) = ax 2 + bx + c 為例﹐它在 x = x0 的導數可以計算如下： 2. f ( x) − f ( x0 ) (ax 2 + bx + c) − (ax0 + bx0 + c) = lim x → x0 x → x0 x − x0 x − x0 a( x − x0 )( x + x0 ) + b( x − x0 ) = lim = lim (a ( x + x0 ) + b) = a( x0 + x0 ) + b = 2ax0 + b ﹒ x → x0 x → x0 x − x0. f '(x0) = lim. 4.. 由此可知：函數 f ( x) = ax 2 + bx + c 在 R 上每一點的導數都存在﹐亦即 f 在 R 上的每一點都可微分；特別地﹐當 a = 0 時﹐我們可以得到以下的結果： (1)線型函數 f ( x) = bx + c 在任意一點的導數都是常數 b﹒ (2)常數函數 f ( x) = c 在任意一點的導數都是 0﹒ (3)直線 y = bx + c 上任意一點的切線就是直線本身﹒. 3.

(4) 【討論】 1. 一元二次方程式 ax 2 + bx + c = 0 有重根的充要條件是判別式 b 2 − 4ac = 0 ﹐在幾何上的意義﹐就是「直線 y = 0 （即 x 軸）為拋物線 y = ax 2 + bx + c 的一條切線」﹐它們恰有一個交點﹒在平面上﹐圓的切線都與圓恰交於一點﹐而與圓恰有一交點的直線都是圓的切線﹒然而﹐對於一般的曲線﹐切線與曲線的交點可能不只一個﹐如圖(a)；而與曲線恰有一交點的直線也可能不是切線﹐ 如圖(b)﹒. 2.. 3.. 關於拋物線 y = ax 2 + bx + c 的切線﹐以下我們要來驗證兩個幾何性質： (1)對任意的實數 m﹐拋物線上恰有一條斜率 m 的切線﹒ (2)拋物線的每一條切線與拋物線都恰有一交點﹒ 前面已經提過﹐函數 f ( x) = ax 2 + bx + c 在 x = x0 的導數為 f ' ( x0 ) = 2ax0 + b ﹐亦即拋物線 y = ax 2 + bx + c 在點 P( x0 , f ( x0 )) 的切線斜率 m = 2ax0 + b ﹒因 a ≠ 0 ﹐ 1 (m − b) 是唯一的﹐即切點 P( x0 , f ( x0 )) 也是唯一 2a 的﹒因此﹐切線的方程式為 L： y − f ( x0 ) = (2ax0 + b)( x − x0 ) ﹒. 給定實數 m﹐可以解得 x0 =. 4.. 另一方面﹐令 y = (2ax0 + b)( x − x0 ) + f ( x0 ) 代入拋物線方程式 y = ax 2 + bx + c ﹐即 (2ax0 + b)( x − x0 ) + f ( x0 ) = ax 2 + bx + c ﹐ 2 (2ax0 + b)( x − x0 ) + (ax0 + bx0 + c) − (ax 2 + bx + c) = 0 ﹐ (2ax0 + b)( x − x0 ) − ( ax + ax0 + b)( x − x0 ) = 0 ﹐ a( x − x0 ) 2 = 0 ﹐ 所得的解 x = x 0 （重根）是唯一的﹐這表示通過點 P( x0 , f ( x0 )) 的切線 L 與拋物線恰有一交點﹐此交點就是切點 P( x0 , f ( x0 )) ﹒ 從上面的論述﹐我們已經知道：拋物線 y = ax 2 + bx + c 上﹐任意一點為切點的切線都存在﹐而且是唯一的﹒那麼﹐「過不在拋物線上一點的切線是否也是唯一的？」. 4.

(5) 【討論】 1. 了解導數與切線的關係之後﹐我們或許會問：導數存在與函數的連續性是否有關呢？首先﹐以函數 f ( x) = | x | 為例﹐f 在 R 上每一點都連續﹐當然在 x = 0 f ( x) − f (0) | x| = lim 不存在﹐因此﹐函數 f 在 x = 0 的導數不 x → 0 x−0 x 存在﹐亦即 f 在 x = 0 不可微分﹒一般而言﹐函數 f 在 x = x0 連續﹐未必在 x = x0 可微分﹒反之﹐當函數 f 在 x = x0 可微分時﹐就必定在 x = x0 連續﹐其理由如. 連續；但極限 lim x →0. 下：因為 f 在 x = x0 可微分﹐導數 f ' ( x0 ) = lim. x → x0. f ( x) − f ( x0 ) 存在﹐又極限 x − x0. lim ( x − x0 ) = 0 也存在﹐故由極限的加法及乘法運算性質﹐可得：. x → x0. f ( x) − f ( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) + f ( x0 )) x − x0 f ( x) − f ( x0 ) = lim ( ) ⋅ lim ( x − x0 ) + f ( x0 ) = f ' ( x0 ) ⋅ 0 + f ( x0 ) = f ( x0 ) ﹐ x → x0 x → x0 x − x0 lim f ( x) = lim(. x → x0. 2.. x − x0. 因此﹐f 在 x = x0 連續﹒ 可微分與連續的關係：若函數 f 在 x = x0 可微分﹐則 f 在 x = x0 連續﹒（反之不一定成立）. 5.

(6) 【討論】 1. 微分的運算：給定實函數 f﹐當 f 在 x = x0 可微分時﹐f 在 x = x0 的導數為 f ( x0 + h) − f ( x0 ) ﹐ h 當把 x0 看成一個變數時﹐ f ' 也是一個函數﹐稱為 f 的導函數﹐ f ( x + h) − f ( x ) 即 f ' ( x) = lim ﹐ h→0 h d 其定義域為{c | f 在 x = c 可微分}﹒我們也常用 f 來表示 f 的導函數﹒當 dx dy y = f ( x) 時﹐導函數 f ' 也可以表示為 y' 或 ﹒ dx d d2 如果 f ' 的導函數也存在﹐則此導函數可記為 f '' ﹐也可以記為 f ' 或 2 f 或 dx dx 2 d y y'' 或 2 ﹒這時﹐ f ' 及 f '' 分別稱為 f 的第一階導函數及第二階導函數﹒例 dx 如：二次函數 f ( x) = ax 2 + bx + c 的第一階導函數及第二階導函數分別為 f ' ( x) = 2ax + b ﹐ f '' ( x) = 2a ﹒ f ' ( x0 ) = lim h →0. 2.. 仿此﹐我們可以定義 f 的第三階導函數 f ''' 或記為 f (3) ﹐而一般的第 n 階導函數可記為 f ( n ) ﹒ 當 f ' ( x0 ) 存在時﹐導數 f ' ( x0 ) 就是函數 y = f ( x) 圖形上﹐以( x0 ﹐ f ( x0 ) )為切點的切線斜率﹒在運動學上﹐當 f ( x) 表示運動質點在時刻 x 時的位置函數﹐則此質點從時刻 x0 到 x 的時段內之平均速度為 lim. x → x0. f ( x) − f ( x0 ) ﹒因此﹐當極限 x − x0. f ( x) − f ( x0 ) 存在時﹐此極限就是質點在時刻 x0 的瞬時速度；換言之﹐ x − x0. f ' ( x0 ) 就表示運動質點的（瞬時）速度﹒. 3.. f ' ( x) − f ' ( x0 ) 表示質點從時 x − x0 f ' ( x) − f ' ( x0 ) 刻 x0 到 x 的時段內之平均加速度﹐因此﹐ f '' ( x0 ) = lim 就是質點 x → x0 x − x0. 第二階導數 f '' ( x0 ) 的物理意義又是什麼呢？比值. 在時刻 x0 的瞬時加速度﹒這也是科學家牛頓為了探討運動質點的瞬時速度及瞬時加速度﹐而引進導數概念的原因之一﹒. 6.

(7) 【性質】 1. 微分公式一：若函數 f 與 g 可微分﹐則 f + g 也可微分﹐且 ( f + g )' = f ' + g' ﹒ 證明：若 f 與 g 在 x = x0 可微分﹐則由極限的加法運算性質﹐可得 ( f ( x) + g ( x)) − ( f ( x0 ) + g ( x0 )) f ( x) − f ( x0 ) g ( x) − g ( x0 ) = lim ( + ) x → x0 x → x0 x − x0 x − x0 x − x0 f ( x) + f ( x0 ) g ( x) + g ( x0 ) = lim + lim = f ' ( x0 ) + g' ( x0 ) = ( f ' + g' )( x0 ) ﹒ x → x0 x → x0 x − x0 x − x0. ( f + g )' ( x0 ) = lim. 2.. 微分公式二：若函數 f 與 g 可微分﹐則 fg 也可微分﹐且 ( fg )' = f 'g + fg' ﹒ 證明：若 f 與 g 在 x = x0 可微分﹐則 f 與 g 在 x = x0 都連續﹐因此﹐lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0. 且 lim g ( x) = g ( x0 ) ﹒再由導數的定義及極限的運算性質﹐可得 x → x0. f ( x) g ( x) − f ( x0 ) g ( x0 ) x → x0 x − x0 f ( x) g ( x) − f ( x0 ) g ( x0 ) f ( x0 ) g ( x) − f ( x0 ) g ( x0 ) = lim ( + ) x → x0 x − x0 x − x0 f ( x) − f ( x0 ) g ( x) − g ( x0 ) = lim ( ⋅ g ( x)) + lim ( f ( x0 ) ⋅ ) x → x0 x → x0 x − x0 x − x0 f ( x) − f ( x0 ) g ( x) − g ( x0 ) = lim ⋅ lim g ( x) + f ( x0 ) ⋅ lim x → x0 x → x0 x → x0 x − x0 x − x0. ( fg )' ( x0 ) = lim. 3.. 4.. 5.. = f ' ( x0 ) g ( x0 ) + f ( x0 ) g' ( x0 ) = ( f 'g + fg' )( x0 ) ﹒ 在微分公式二中﹐若 f 可微分﹐而 g ( x) = c 是常數函數﹐則 cf 也可微分﹐且 (cf )' = cf ' ﹒若 f1 與 f 2 都可微分﹐且 c1 ﹐ c2 都是實數﹐則 c1 f1 + c2 f 2 也可微分﹐ 且 (c1 f1 + c2 f 2 )' = c1 f1' + c2 f 2' ﹒更進一步的推導﹐可得：. 微分公式三（線性組合）：若函數 f1 ﹐ f 2 ﹐…﹐ f n 都可微分﹐且 c1 ﹐ c2 ﹐…﹐ cn 都是實數﹐則 c1 f1 + c2 f 2 + L + cn f n 也可微分﹐且 (c1 f1 + c2 f 2 + L cn f n )' = c1 f1' + c2 f 2' + L + cn f n' ﹒ 多項式函數 f ( x) = an x n + an −1 x n −1 + L + a2 x 2 + a1 x + a0 是 n + 1 個單項式 x k 的線性組合﹐其中 k = 0 ﹐1﹐2﹐…﹐n﹒因此﹐要求其導函數 f ' ﹐只要能求出單項式 x k 的導函數即可﹒ d 0 d x = 1 = 0 （ x 0 表示常數函數 1） ﹒ dx dx d 當 k = 1 時﹐ x1 = 1 ﹒ dx d 當 k = 2 時﹐ x 2 = 2 x ﹒ dx d 當 k = 3 時﹐ x3 = 3 x 2 ﹒ dx. 當 k = 0 時﹐. 7.

(8) 6.. 單項式函數 xn 的導函數：若 n 為正整數﹐則. d n x = nx n −1 ﹒ dx. 證明：利用數學歸納法﹐證明如下：當 n = 1 時﹐顯然成立﹒ 當 n = k 時﹐假設. d k x = kx k −1 成立； dx. 則當 n = k + 1 時﹐由微分公式二﹐可得 d k +1 d k d d x = ( x ⋅ x) = ( x k ) ⋅ x + x k ⋅ x = kx k −1 ⋅ x + x k ⋅ 1 = (k + 1) x k ﹒ dx dx dx dx d 故由數學歸納法可知：對每一正整數 n﹐ x n = nx n −1 ﹒ dx. 7.. 多項式函數的導函數：實係數多項式函數 f ( x) = an x n + an −1 x n −1 + L + a2 x 2 + a1 x + a0 （ an ≠ 0 ﹐n 為正整數）在 R 上可微分﹐且其導函數為 f ' ( x) = nan x n −1 + (n − 1)an −1 x n − 2 + L + 2a2 x + a1 ﹒ d d d d d (an x n ) + (an −1 x n −1 ) + L + (a2 x 2 ) + ( a1 x) + a0 dx dx dx dx dx d d d d d = an ⋅ x n + an −1 ⋅ x n −1 + L + a2 ⋅ x 2 + a1 ⋅ x + a0 dx dx dx dx dx = nan x n −1 + (n − 1)an −1 x n − 2 + L + 2a2 x + a1 ﹒ 事實上﹐多項式函數 f 的導函數 f ' 仍是多項式函數﹐次數比原多項式函數 f. 證明： f ' ( x) =. 8.. 少 1 次﹐而 x k 項之係數為 (k + 1)ak +1 ﹒由此可得：多項式函數在 R 上可微分﹐ 其每一階導函數都存在﹐且都是多項式函數﹒ 在微分公式二中﹐若 g = f ﹐則可推得 d ( f ( x)) 2 = ( f ( x) ⋅ f ( x))' = f ' ( x) ⋅ f ( x) + f ( x) ⋅ f ' ( x) = 2 f ( x) f ' ( x) ﹒ dx. 同樣地﹐ d ( f ( x))3 = (( f ( x)) 2 ⋅ f ( x))' = (2 f ( x) f ' ( x)) ⋅ f ( x) + ( f ( x)) 2 ⋅ f ' ( x) = 3( f ( x)) 2 f ' ( x) ﹒ dx. 9.. 利用數學歸納法﹐也不難證明以下一般的微分公式：函數 ( f ( x)) n 的導函數：若 f 為多項式函數﹐n 為正整數﹐則 ( f ( x))n 可微分﹐且 d ( f ( x)) n = n( f ( x)) n −1 f ' ( x) ﹒ dx. 10. 可微分函數必定連續﹐但連續函數不一定可微分﹒ 【問題】 1. 我們已經知道﹐如何求多項式函數 f 的導函數 f ' ；反過來﹐如果知道 f 的導函數 f ' ﹐那麼﹐是否可以回頭求出函數 f 呢？. 8.

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