漫談高中數學新課程

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漫談高中數學新課程

余文卿

高中數學新課程於民國 88年7月開始實 施, 取代目前國立編譯館印行的統編本的是 民間出版的審定本, 再次驗證了“合久必分” 的名言。 筆者曾多次應邀到高級中學做有關 新數學課程方面的專題演講, 也累積一些心 得, 現藉數學傳播, 或能傳達出這方面的一些 信息。

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新課程的特色與精神

1. 早期的數學教本

民國五十六年, 筆者進入高中就讀, 所 用的數學教本是李新民與徐道寧等人所編寫 的東華本; 其主要特色是把數學抽象化, 這樣 的新教材使學生仿照唸國文或英文的方式來 唸數學, 課本習題中較缺乏深入的思考性計 算題, 取而代之的是一些概念題。 學生喪失計 算的能力, 以致聯考中很多人數學成績掛零。 民國六十年左右, 項武義教授提出了高 中數學實驗教材, 也結束了東華本的壟斷局 面; 這時市面上出現三種數學教本; 實驗本、 東華本與數理本。 實驗本前兩冊由項教授執 筆, 第三冊以後由黃武雄教授接手, 走的是高 程度路線, 非常精簡, 但高深莫測。 如利用收 斂的有理數列定出無理數, 進而導出實數的 一些運算性質。 理論上完美無缺, 但有多少學 生能真正體會? 東華本由徐道寧教授帥領一 群清華大學數學教授執筆, 仍擺脫不了之前 東華本的抽象陰影, 但已有實質改善, 而數理 本由師大教授執筆, 適合中下程度的學生, 較 著重於例題的演練與計算。 民國七十二年所公布的課程標準, 首次 把統計納入高中教材, 大大地提升了機率與 統計在數學的地位, 另一方面, 也破例地把微 積分納入高三的理科數學與商科數學中, 談 到的是一些簡單的理論與公式。 新版本由國 立編譯館統一印行, 連演習 (上、 下冊) 與 統合教材 (上、 下冊) 算在內, 總共有十冊之 多。 其中最後的五、 六冊各有三種版本; 理科 數學、 商科數學與普通數學。 理論上, 學生人 手一冊教科書; 但實質上, 學生手上只有各校 自編的講義或參考書; 而教科書只是權充擺 設的花瓶而已。

2. 新課程標準

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八十四年度所公布的新課程標準刪除了 積分的相關教材, 而僅保留少部分的微分理 論。 取消了演習與統合教材; 而五、 六冊也縮 減為甲、 乙兩種版本, 甲種版本供選考理、 工、 醫、 農的學生選用, 乙種版本提供選考文、 法、 商的學生選用。 與七十二年所公布的課程標 準比較之下, 不難發現底下的一些差異。 (1) 一開頭就引入數學上的三個基本概 念: 邏輯、 集合與函數。 透過平面幾何的知識 引出邏輯學上的充分與必要條件, 介紹集合 的聯集、 交集與差集等基運算, 以自變數與應 變數的熟知概念引出正式的函數定義。 當然, 這不是首創, 只是又復到民國六十年的編法 而已。 (2) 把機率與統計的課程區分為兩段; 較淺的前段列為高二的共同課程, 而較深的 後段則納入高三的甲種版本, 而乙種版本則 著重於實際的應用。 (3) 坐標平面上的平移與旋轉技巧被運 用於探討一般二元二次方程式的圖形, 也使 圓錐曲線的理論更加完全。 (4) 新增二次方陣所對應之線性變換的 討論; 特別是任一線性變換皆可分解為旋轉、 鏡射、 伸縮與推移等四種轉換的合成。 (5) 加重了不等式與線性規劃的份量。 當然, 新舊課程標準也有很多相同的地 方。 例如前四冊的基礎數學內容完全被保留 下來, 連先後的次序也無多大變化。 五、 六冊 是變動最大的地方, 目的在於延伸前面談過 的主題; 如坐標的平移與旋轉是承續自圓錐 曲線; 而機率與統計 (II) 也是較高層次的延 續。 只有極限的概念與應用與矩陣的理論才 是嶄新的主題。

3. 新課程標準的特色

每次課程標準一修訂, 馬上會有人站出 來指出其特色, 如民國五十六年的課程標準 太抽象化, 民國六十二年的課程標準太難, 民 國七十二年的課程標準太亂; 而現行的課程 標準又如何呢? 底下我們提出一些供大家參 考。 (1) 銜接尚稱順暢。 高中數學最大的問 題是如何銜接國中的數學課程; 有一趨勢非 常明顯, 國中的數學教材愈來愈容易, 因而高 中的數學課程勢必跟著簡單化。 高一上學期 是銜接的關鍵所在, 觀察到新課程所安排的 基礎概念, 數與坐標系, 級數與數列以及多項 式, 無一不是國中課程的後續教材。 如此也自 出設計課程標準人員的用心所在; 使銜接國 中數學教材亮無困難, 這或許是課程標準的 最大特色。 (2) 理論與應用並重。 著重於應用的主 題如三角函數、 機率與統計以及線性規劃明 顯地份量加重; 而較理論的綜合立體幾何則 遭刪除, 只保留空間的基本概念, 討論空間中 平面與平面, 平面與直線以及直線與直線的 關係。 又統計不再局限於理論, 而著重於實例 的處理。 種種跡象皆顯示出新課程標準的走 向是理論與應用並重。 (3) 教材平易化。 如前面所提過, 國中數 學教材已漸簡化, 沒有理由把銜接的高中數 學教材標準訂得太高, 因而一些主題已適度 的簡化; 如行列式的理論中, 只談論二階與三

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階行列式, 而克拉瑪公式也限於解二元一次 與三元一次方程組。 圓錐曲線與直線的關係 不再討論, 自然不會接觸到錐線的切線問題 了。 (4) 利用到小型計算機。 有關指數、 對 數、 三角函數與反三角函數的求值, 不再局限 於古典的查表與內插法, 而可靈活運用小型 計算機, 按出所要的數值, 這意味計算革新的 時代已經來臨, 而這只是一開端而已。 其實一 些繪圖的相關問題皆可透過適當的軟體, 統 計上的數據更可由電腦做出可靠的分析, 未 來的數學可能會更倚重個人電腦或小型計算 器; 這是前所未有的創舉, 自然是新課程標準 的另一特色。

4. 結語

觀察新的課程標準中, 第五、 六冊的甲、 乙兩種版本的差異已不太大。 甲種版本多了 極限的概念與應用, 乙種版本多了可有可無 的幾何圖形, 這顯示出訂定課程標準的人有 意促使考生跨組考試; 尤其是方便選考文、 法、 商的學生跨到理、 工、 醫、 農。 近年來, 大 學聯考中一、 四類組 (文、 法、 商) 的數學考題 有時甚至比二、 三類組 (理、 工、 醫、 農) 還難, 這也表示沒有必要再堅持甲種版本一定要比 乙種版本較難的傳統概念。 世上的事常分久 必合, 希望不久的將來會出現單一的版本供 所有學生選用。

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新舊課程差異的比較

1. 高中數學的內容

數學的天地非常廣闊, 高中數學教材也 涵蓋不少, 但歸納起來, 不外乎 「數」、「形」 與 「函數」三大類, 現分別說明如下: (1) 「數」 泛指代數方面的相關課程, 包 括數系發展、 方程式論與線性代數。 從大家所 熟知而用於計數的正整數出發, 加入零與負 整數而成為整數系; 考慮兩整數相除而得出 因數與倍數的概念; 定出有理數是兩整數相 除的商, 把有理數標示在數線上, 雖然密密麻 麻, 但仍有許許多多的空隙在, 這些空隙是無 理數的所在。 而實數包括有理數與無理數, 可 跟數線上的點做一一對應: 數線上的每一點 皆對應一實數, 而每一實數也能在數線上標 示出來。 即使解一般的實係數二次方程式, 也發 覺方程式不一定有實根, 因而有引進複數的 必要。 複數是形如 a + bi 的數, 其中 a, b 是實數。 引進複數後, 使得任一多項式皆可分 解成一次因式的乘積, 這是代數基本定理的 一主要推論。 方程式論包括解方程式與聯立方程式, 解一次與二次方程式或一般的高次方程式, 並從根與係數的關係探討根的性質; 注意到 一般五次以上的方程式並不能解出, 故能解 出的高次方程式只限於特殊形式, 如 1 的n次 方根可用三角函數表現出來。 二元一次與三 元一次聯立方程式皆有特殊的公式解, 即所 謂的克拉瑪法則, 並有附加的幾何解釋。 線性代數涵蓋平面上與空間中的向量運 算以及矩陣與行列式的基本理論, 並談論二 階方陣所對應的平面上變換。 (2) 「形」 是泛指幾何方面的相關課程。 歐基里德所著的幾何原本是古希臘人在幾何

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學上的研究結晶, 國中的平面幾何只是幾何 原本中的部分結果而已。 應天文、 航海與土地 丈量的需要而發展出三角幾何學, 其目的在 探討三角形的邊角關係。 當然, 免不了要定出 三角函數。 高中數學所涵蓋的幾何學尚還有坐標幾 何 (或稱解析幾何)。 坐標幾何是法國數學家 笛卡爾與費馬分別獨立創建的。 在平面上引 進直角座標後, 可把平面上的直線用二元一 次方程式表示出來, 而把圓、 橢圓、 雙曲線與 拋物線等圓錐曲線用二元二次方程式表現出 來; 在空間中引進直角坐標, 可把平面與直線 的方程式用三元一次方程式表現出來。 (3)「函數」 是泛指分析方面的相關課程; 除一般所熟知的一次函數與二次函數外, 在 高中的三年, 陸續會介紹多項函數、 指數函 數、 對數函數、 三角函數與反三角函數。 這些 基本函數成為微積分處理的主要對象, 在高 三數學甲類也利用導函數探討多項函數的極 值問題。 排除在上列三項之外的是機率與統計的 相關課程, 這包括排列組合理論、 機率論與敘 述統計。

2. 新舊課程標準的差異性

這次公布的新課程標準與民國七十二年 所公布的, 其間的最大差異是刪除微積分教 材; 基本架構重新調整, 取消演習與統合教材, 而五、 六冊只有兩種版本供選擇, 甲種版本供 理、 工、 醫、 農方面的學生使用, 乙種版本供 文、 法、 商方面的學生使用; 兩種版本差異性 也不大, 只是甲種版本多了極限的概念與應 用, 討論初步的微分。 對內容實質的差異現在 仔細分析如下: (1) 新課程在開頭介紹邏輯、 集合與函 數三個數學基本概念, 為使銜接國中課程能 夠順利, 特別透過平面幾何知識引出邏輯中 的充分與必要條件。 (2) 新課程引進不面坐標的平移的與旋 轉技巧, 以確定一般二元二次方程式的圖形; 使圓錐曲線的討論不再局限於標準式。 (3) 在新課程中, 考慮二階方陣所對應 的線性變換, 並加以分解為旋轉、 鏡射、 伸縮 與推移四類, 用於討論平面圖形的變化, 非常 方便。 (4) 新課程中加重線性規劃問題的份 量。 數學上的線性規劃是作業研究的一大主 題, 而作業研究又是工業工程的一大主流。 在 舊課程標準中, 線性規劃只是附屬於二元一 次不等式圖形的一小節, 現在獨立成為一章, 專門探討兩變數的規劃問題的意義、 原理及 方法。

3. 新舊課程標準的相似性

大體而言, 舊課程標準中的基礎數學 (共四冊) 內容完全被保留下來, 連次序也沒 有多大變動; 三角函數的份量加重; 而機率與 統計理論依內容深淺而區分成兩段式, 前段 列為高二的共同教材, 後段列高三的選修教 材而其中的乙種版本則加以簡化。 現在提出 一些更動的部分: (1) 有關指數、 對數與三角函數的部分, 新舊課程標準相近, 只是新課程納入反三角 函數的介紹, 並於複數的極式之前介紹平面

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上的極坐標。 注意到複數的極式在舊課程為 一章, 現被濃縮為一節, 但其重要性仍不能抹 滅。 (2) 向量、 行列式、 一次方程組與矩陣等 線性代數的教材, 新舊完全一致, 只是行列式 的理論限於二階與三階。 (3) 圓與球面方程式以及圓錐曲線新舊 課程完全相同。 在新課程中, 透過平面坐標的 平移與旋轉定出二元二次方程式的圖形。 (4) 舊課程中的綜合幾何遭刪除, 其中 部分內容納入空間中的基礎概念, 特別是空 間中, 平面與平面、 平面與直線以及直線與直 線的關係討論被保留下來。 —本文作者任教於國立中正大學數學系—

數據

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參考文獻

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