0916 三角函數的應用解答

三角函數的應用 0916 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.試求 cos155cos65  sin155sin65之值為 (A)  1 (B)0 (C)1

2 (D)1

【課本練習題-自我評量.】 解答 B

解析 設  155， 65，則

原式  cos  cos  sin  sin  cos(155 65)  cos90 0

（ ）2.已知四邊形 ABCD（按順序）中，AB8，BC5，AD3，且ABC  ADC  60，則 CD 之長為多少？ (A)5 (B)6 (C)7

(D)8 【098 年歷屆試題數(C).】 解答 D 解析 設CDx （x  0） 在△ABC 中， 2 2 2 8 5 2 8 5 cos 60 49 AC         在△ADC 中， 2 2 2 2 3 2 3 cos 60 3 9 AC  x    x  x  x 由和知 x2 3x  9  49  x2_ 3x  40  0  (x  8)(x  5)  0  x  8 或  5（不合） 故CD8

（ ）3.在△ABC 中，若 D 點在線段 AC 上且 AD ： DC1：2，又∠BAD  30°，∠BDC  60°，則∠DCB 的角度為何？ (A)30° (B)45° (C)60° (D)75° 【099 年歷屆試題數(C).】 解答 A 解析 令ADt、DC2t，其中 t  0 ∵ ∠BDC  60°  ∠BDA  120°  ∠ABD  30° ∴ △DAB 為等腰三角形  DBt 由餘弦定理知，在△BCD 中， 2 2 2 2 cos BC DB DC  DB DC  (∠BDC)  t2 (2t)2 2  t  2t  cos60°  3t2  BC 3t 由正弦定理，在△BCD 中 3 sin 60 sin t t C    sin 1 2 C  ∠C  30°或 150°（不合） 故∠DCB  30°

（ ）4.△ABC 中，AB10，C  30，則△ABC 的外接圓半徑為 (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 (E)40

【龍騰自命題.】 解答 B

解析 利用正弦定理 2 sin 30 R  1 2 2 R  ∴ R  10 （ ）5.若sin 2 2

 ，為第二象限角，cot   1， 為第四象限角，則 cos(   )之值為 (A)0 (B)1 (C)  1 (D) 2 2  【龍騰自命題.】 解答 C 解析 ∵ 為第二象限角，且sin 2 2  ∴ cos 2 2   ∵  為第四象限角，且 cot 1 ∴ sin 1 2   ，cos 1 2  

∴ cos( ) cos cos sin sin 2 1 2 ( 1 )

2 2 2 2

            

( 1) ( 1) 1

2 2

     

（ ）6.設f x

 

3sinx4cosx，則f x 的最大值為 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 7

 

【隨堂講義補充題.】 解答 C

解析 f x

 

3sinx4cosx 5 3sin 4cos 5 x 5 x

 

 _  _

 

5 cos sin



 xsin cos x



5sin x







其中cos 3 5   ，sin 4 5   又 1 sin



x



1 ∴ f x

 

的最大值為5 （ ）7.已知平面上兩點 (cos3 ,sin3 ) 4 4 A   、 (cos ,sin ) 12 12 B   ，求線段 AB 之長。 (A)1 (B) 3 1 2  (C) 2 (D) 3 【102 年歷屆試題數(B).】 解答 D 解析 如圖所示： 23 23 cos sin 1 4 4 OA     ， _cos2 _sin2 ₁ 12 12 OB     3 2 4 12 3 AOB        由餘弦定理： 2 ₁2 ₁2 _{2 1 1 cos}2 ₃ 3 AB         得AB 3 （ ）8.自一塔頂測得地面正西 A 點俯角為 45、正南 B 點俯角為 30，AB100公尺，則塔高為 (A)50 公尺 (B)60 公尺 (C)70 公尺 (D)80 公尺

【課本練習題-自我評量.】 解答 A

解析 如圖所示：

設塔高PQh公尺

直角△APQ 中，PAhcot 45 h；直角△BPQ 中，PBhcot 30  3h； 直角△APB 中，∠APB  90 所以₁₀₀2 _h2_{( 3 )h} 2_{，得 4h}2 ₁₀₀2_{，故 h}  _{50（公尺）} （ ）9.若cos 3 5   ，在第四象限內，sin 12 13   ， 在第二象限內，則 tan(   )之值為 (A)33 56 (B) 33 56  (C) 56 33  (D)56 33 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 3 2 2    ，  2   3 cos 5   ，sin 12 13   ， 3 2 4 sin 1 ( ) 5 5      ∴ tan sin 4 cos 3       2 12 5 cos 1 ( ) 13 13       ∴ tan sin 12 cos 5       4 12 tan tan _{3 5} 56 tan( ) 4 12 1 tan tan _{1 ( )( )} 33 3 5               _{  }

（ ）10.在△ABC中，AB10，BC20， B 150，則△ABC的面積為 (A)30 (B) 40 (C)50 (D) 60

【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 1 sin 2 ABC  AB BC  B △ 的面積 1 10 20 sin150 50 2       （ ）11.△ABC 中，已知 a  20，b  30，A  100，則此三角形為 (A)不存在 (B)直角三角形 (C)等腰三角形 (D)等腰直角三角形 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 依據正弦定理 20 30

sin100sin B，則 sinB 應該要大於 sin100，即A B 超過 180 ∴ △ABC 不存在

（ ）12.在△ABC 中，A，B，C 的對應邊分別為 a，b，c，若b2 6，A  45，C  75，則△ABC 的面積等於 (A) 6 2 3 (B) 3 3 (C) 6 3 (D) 6 2 3 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 B  60， 2 6 sin 60 sin 45 BC     2 6 3 2 2 2 BC   BC4 ∴ △ABC 面積  1 4 2 6 sin 75    1 4 2 6 6 2  6 2 3

（ ）13.梯形 ABCD，AD BC ，已知// AD4，BC10，AB5，CD7，則梯形 ABCD 面積為 (A)26 (B)12 6 (C)24 (D)14 6 (E)36 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 過 D 作DE//AB ∴ CE10 4 6 △CDE 的面積 9(9 5)(9 6)(9 7)    9 4 3 2   6 6 △CDE 的高 6 6 2 2 6 6 h   梯形 ABCD 的面積 (4 10) 2 6 14 6 2     （ ）14.小杰放風箏，放出100 公尺的線，而風箏的仰角為 60，則風箏的高度為多少公尺？ (A)100 (B)100 3 (C)50 (D) 50 3 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 設風箏高度為h公尺 sin 60 100 h   ∴ h50 3 （ ）15.地面上有二點 B，C 被一水池隔開，梁小聖在地面上找一點 A，量得AB80公尺，AC50公尺，並測得CAB  60，求 BC 長 為 (A)50 公尺 (B)60 公尺 (C)70 公尺 (D)80 公尺 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 由餘弦定理： 2 _{2 2} 80 50 2 80 50 cos 60 6400 2500 4000 4900 BC            ∴ BC 490070（公尺）

（ ）16.cos cos2 cos4

7 7 7  _{ } 的值為 (A)1 2 (B) 1 3  (C)1 8 (D) 1 8  【龍騰自命題.】 解答 D

解析 原式

2 4 2 2 4

8sin cos cos cos 4sin cos cos

7 7 7 7 7 7 7 8sin 8sin 7 7            4 4 8

2sin cos sin sin

1

7 7 7 7

8 8sin 8sin 8sin

7 7 7              （ ）17.設 0    90、cos 3 5

 ，則 sin2  cos2  (A)13 25 (B) 17 25 (C) 19 25 (D) 21 25 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ sin 4 5   ，cos 3 5  

∴ sin2 cos2 (2sin cos )  (2cos2 1)

4 3 3 2 24 18 17 2 2 ( ) 1 1 5 5 5 25 25 25           （ ）18.三角形的三邊長為 5，7，9，設其最大內角為，則 cos 值為 (A)11 12 (B) 5 6 (C) 1 10  (D)19 36 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 ∵ 92 ₅2 ₇2 ₂  ₅  ₇  _cos ∴ 81  25  49  70 cos  cos 7 1 70 10    

（ ）19.△ABC 中，∠A  30°，∠C  90°，AB12，△ABC 面積  (A)12 平方單位 (B)12 3 平方單位 (C)18 平方單位 (D)18 3 平 方單位 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 △ABC 為直角三角形  △ABC 面積 1 1 6 3 6 18 3 2 AC BC 2        （ ）20.△ABC 中，若 a  3，b  5，c 19，則C  (A) 6  (B) 3  (C)2 3  (D)4 3  【龍騰自命題.】 解答 B 解析 2 2 2 3 5 ( 19) 1 cos 2 3 5 2 C      ∴ C  60 （ ）21.三角形的三邊長為 3，5，6，則此三角形為 (A)銳角三角形 (B)直角三角形 (C)鈍角三角形 (D)等腰三角形 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 2 2 2 3 5 6 1 cos      

∴  90 故為鈍角三角形

（ ）22.已知一矩形的長為 2cos1 cos2 ，寬為 2sin1 csc4 ，則此矩形面積為何？ (A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

【103 年歷屆試題數(B).】 解答 A

解析 2cos1 cos2 2sin1 csc4  2sin1 cos1 2cos 2 1 sin 4      sin 2 2cos 2 1 sin 4     1 sin 4 sin 4    1

（ ）23.△ABC 三邊長a2 21，b 3 2，c  1，則△ABC 的最大角為 (A)60 (B)75 (C)120 (D)150

【龍騰自命題.】 解答 C 解析 ∵ b  a  c ∴ B A C 由餘弦定理： 2 2 2 (2 2 1) 1 (3 2) 8 4 2 1 1 9 6 2 2 cos 2 (2 2 1) 1 2(2 2 1) B                (2 2 1) 1 2 2(2 2 1)       ∴ B  120 （ ）24.三角形的三邊長為 4、5、6，若其最大內角為，則 cos  (A)1 4 (B) 1 5 (C) 1 6 (D) 1 8 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 2 2 2 4 5 6 5 1 cos 2 4 5 2 4 5 8         

（ ）25.△ABC 中，a2 2，b2 3，∠A  45°，若∠B 為銳角，則∠B  (A)30° (B)45° (C)60° (D)75°

【龍騰自命題.】 解答 C 解析 2 2 2 3 sin 45sin B  3 sin 2 B ∴ ∠B  60°或 120° 已知∠B 為銳角 ∴ ∠B  60°