0916 三角函數的應用解答

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三角函數的應用 0916 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.試求 cos155cos65  sin155sin65之值為 (A)  1 (B)0 (C)1

2 (D)1

【課本練習題-自我評量.】 解答 B

解析 設  155, 65,則

原式  cos  cos  sin  sin  cos(155 65)  cos90 0

( )2.已知四邊形 ABCD(按順序)中,AB8,BC5,AD3,且ABC  ADC  60,則 CD 之長為多少? (A)5 (B)6 (C)7

(D)8 【098 年歷屆試題數(C).】 解答 D 解析 設CDx (x  0) 在△ABC 中, 2 2 2 8 5 2 8 5 cos 60 49 AC         在△ADC 中, 2 2 2 2 3 2 3 cos 60 3 9 AC  x    x  xx 由和知 x2 3x  9  49  x2 3x  40  0  (x 8)(x  5)  0  x  8 或  5(不合) 故CD8

( )3.在△ABC 中,若 D 點在線段 AC 上且 AD : DC1:2,又∠BAD  30°,∠BDC  60°,則∠DCB 的角度為何? (A)30° (B)45° (C)60° (D)75° 【099 年歷屆試題數(C).】 解答 A 解析 令ADtDC2t,其中 t  0 ∵ ∠BDC  60°  ∠BDA  120°  ∠ABD  30° ∴ △DAB 為等腰三角形 DBt 由餘弦定理知,在△BCD 中, 2 2 2 2 cos BCDBDCDB DC  (∠BDC) t2 (2t)2 2  t 2t  cos60°  3t2  BC 3t 由正弦定理,在△BCD 中 3 sin 60 sin t t C    sin 1 2 C  ∠C  30°或 150°(不合) 故∠DCB  30°

( )4.△ABC 中,AB10,C  30,則△ABC 的外接圓半徑為 (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 (E)40

【龍騰自命題.】 解答 B

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解析 利用正弦定理 2 sin 30 R  1 2 2 R ∴ R  10 ( )5.若sin 2 2

 ,為第二象限角,cot   1, 為第四象限角,則 cos(   )之值為 (A)0 (B)1 (C)  1 (D) 2 2  【龍騰自命題.】 解答 C 解析 ∵ 為第二象限角,且sin 2 2  ∴ cos 2 2   ∵  為第四象限角,且 cot 1 ∴ sin 1 2   ,cos 1 2  

∴ cos( ) cos cos sin sin 2 1 2 ( 1 )

2 2 2 2

            

( 1) ( 1) 1

2 2

     

( )6.設f x

 

3sinx4cosx,則f x 的最大值為 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 7

 

【隨堂講義補充題.】 解答 C

解析 f x

 

3sinx4cosx 5 3sin 4cos 5 x 5 x

 

 

5 cos sin

xsin cos x

5sin x



其中cos 3 5   ,sin 4 5   又 1 sin

x

1 ∴ f x

 

的最大值為5 ( )7.已知平面上兩點 (cos3 ,sin3 ) 4 4 A   、 (cos ,sin ) 12 12 B   ,求線段 AB 之長。 (A)1 (B) 3 1 2  (C) 2 (D) 3 【102 年歷屆試題數(B).】 解答 D 解析 如圖所示: 23 23 cos sin 1 4 4 OA     , cos2 sin2 1 12 12 OB     3 2 4 12 3 AOB        由餘弦定理: 2 12 12 2 1 1 cos2 3 3 AB         得AB 3 ( )8.自一塔頂測得地面正西 A 點俯角為 45、正南 B 點俯角為 30AB100公尺,則塔高為 (A)50 公尺 (B)60 公尺 (C)70 公尺 (D)80 公尺

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【課本練習題-自我評量.】 解答 A

解析 如圖所示:

設塔高PQh公尺

直角△APQ 中,PAhcot 45 h;直角△BPQ 中,PBhcot 30  3h直角△APB 中,∠APB  90 所以1002 h2( 3 )h 2,得 4h2 1002,故 h 50(公尺) ( )9.若cos 3 5   ,在第四象限內,sin 12 13   , 在第二象限內,則 tan(   )之值為 (A)33 56 (B) 33 56  (C) 56 33  (D)56 33 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 3 2 2    ,  2   3 cos 5   ,sin 12 13   , 3 2 4 sin 1 ( ) 5 5      ∴ tan sin 4 cos 3       2 12 5 cos 1 ( ) 13 13       ∴ tan sin 12 cos 5       4 12 tan tan 3 5 56 tan( ) 4 12 1 tan tan 1 ( )( ) 33 3 5                

( )10.在△ABC中,AB10,BC20, B 150,則△ABC的面積為 (A)30 (B) 40 (C)50 (D) 60

【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 1 sin 2 ABC  AB BC  B △ 的面積 1 10 20 sin150 50 2       ( )11.△ABC 中,已知 a  20,b  30,A  100,則此三角形為 (A)不存在 (B)直角三角形 (C)等腰三角形 (D)等腰直角三角形 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 依據正弦定理 20 30

sin100sin B,則 sinB 應該要大於 sin100,即A B 超過 180 ∴ △ABC 不存在

( )12.在△ABC 中,A,B,C 的對應邊分別為 a,b,c,若b2 6,A  45,C  75,則△ABC 的面積等於 (A) 6 2 3 (B) 3 3 (C) 6 3 (D) 6 2 3 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 B  60, 2 6 sin 60 sin 45 BC     2 6 3 2 2 2 BC   BC4 ∴ △ABC 面積  1 4 2 6 sin 75    1 4 2 6 6 2  6 2 3

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( )13.梯形 ABCD,AD BC ,已知// AD4,BC10,AB5,CD7,則梯形 ABCD 面積為 (A)26 (B)12 6 (C)24 (D)14 6 (E)36 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 過 D 作DE//ABCE10 4 6 △CDE 的面積 9(9 5)(9 6)(9 7)    9 4 3 2   6 6 △CDE 的高 6 6 2 2 6 6 h   梯形 ABCD 的面積 (4 10) 2 6 14 6 2     ( )14.小杰放風箏,放出100 公尺的線,而風箏的仰角為 60,則風箏的高度為多少公尺? (A)100 (B)100 3 (C)50 (D) 50 3 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 設風箏高度為h公尺 sin 60 100 h   ∴ h50 3 ( )15.地面上有二點 B,C 被一水池隔開,梁小聖在地面上找一點 A,量得AB80公尺,AC50公尺,並測得CAB  60,求 BC 長 為 (A)50 公尺 (B)60 公尺 (C)70 公尺 (D)80 公尺 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 由餘弦定理: 2 2 2 80 50 2 80 50 cos 60 6400 2500 4000 4900 BC            ∴ BC 490070(公尺)

( )16.cos cos2 cos4

7 7 7  的值為 (A)1 2 (B) 1 3  (C)1 8 (D) 1 8  【龍騰自命題.】 解答 D

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解析 原式

2 4 2 2 4

8sin cos cos cos 4sin cos cos

7 7 7 7 7 7 7 8sin 8sin 7 7            4 4 8

2sin cos sin sin

1

7 7 7 7

8 8sin 8sin 8sin

7 7 7              ( )17.設 0    90、cos 3 5

 ,則 sin2  cos2  (A)13 25 (B) 17 25 (C) 19 25 (D) 21 25 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ sin 4 5   ,cos 3 5  

∴ sin2 cos2 (2sin cos )  (2cos2 1)

4 3 3 2 24 18 17 2 2 ( ) 1 1 5 5 5 25 25 25           ( )18.三角形的三邊長為 5,7,9,設其最大內角為,則 cos 值為 (A)11 12 (B) 5 6 (C) 1 10  (D)19 36 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 ∵ 92 52 72 2 5 7 cos ∴ 81  25  49  70 cos  cos 7 1 70 10    

( )19.△ABC 中,∠A  30°,∠C  90°,AB12,△ABC 面積  (A)12 平方單位 (B)12 3 平方單位 (C)18 平方單位 (D)18 3 平 方單位 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 △ABC 為直角三角形 △ABC 面積 1 1 6 3 6 18 3 2 AC BC 2        ( )20.△ABC 中,若 a  3,b  5,c 19,則C  (A) 6  (B) 3  (C)2 3  (D)4 3  【龍騰自命題.】 解答 B 解析 2 2 2 3 5 ( 19) 1 cos 2 3 5 2 C      ∴ C  60 ( )21.三角形的三邊長為 3,5,6,則此三角形為 (A)銳角三角形 (B)直角三角形 (C)鈍角三角形 (D)等腰三角形 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 2 2 2 3 5 6 1 cos      

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∴  90 故為鈍角三角形

( )22.已知一矩形的長為 2cos1 cos2 ,寬為 2sin1 csc4 ,則此矩形面積為何? (A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

【103 年歷屆試題數(B).】 解答 A

解析 2cos1 cos2 2sin1 csc4  2sin1 cos1 2cos 2 1 sin 4      sin 2 2cos 2 1 sin 4     1 sin 4 sin 4    1

( )23.△ABC 三邊長a2 21,b 3 2,c  1,則△ABC 的最大角為 (A)60 (B)75 (C)120 (D)150

【龍騰自命題.】 解答 C 解析 ∵ b a c ∴ B A C 由餘弦定理: 2 2 2 (2 2 1) 1 (3 2) 8 4 2 1 1 9 6 2 2 cos 2 (2 2 1) 1 2(2 2 1) B                (2 2 1) 1 2 2(2 2 1)       ∴ B  120 ( )24.三角形的三邊長為 4、5、6,若其最大內角為,則 cos  (A)1 4 (B) 1 5 (C) 1 6 (D) 1 8 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 2 2 2 4 5 6 5 1 cos 2 4 5 2 4 5 8         

( )25.△ABC 中,a2 2,b2 3,∠A  45°,若∠B 為銳角,則∠B  (A)30° (B)45° (C)60° (D)75°

【龍騰自命題.】 解答 C 解析 2 2 2 3 sin 45sin B  3 sin 2 B ∴ ∠B  60°或 120° 已知∠B 為銳角 ∴ ∠B  60°

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