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0925 向量 班級 姓名 座號
一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)
（ ）1.設 L：6x 8y 3 0 為平面上一直線，則下列方程式中何者與 L 平行， 且與 L 之距離為5
2
？ (A)3x 4y 28 0 (B)3x 4y 11 0 (C)6x 8y 19 0 (D)6x 8y 19 0 【092 年歷屆試題.】 解答 B 解析 設 L1平行 L：6x 8y 3 0 且與 L 之距離為5
2
則 L1可設為 6x 8y k 0 2 2|
( 3) |
5
2
6
8
k
|k 3| 25 k 3 25 k 22 或 28 L1可為 6x 8y 22 0 或 6x 8y 28 0 化簡得 L1：3x 4y 11 0 或 3x 4y 14 0 （ ）2.設a
與b
為兩向量，a
( , )
x y
，x、y 為實數，且|a
|
13
，(3, 2)
b
，則a
與b
之內積的最大值為何? (A)13
(B)65
(C)13 (D)65 【091 年歷屆試題.】 解答 C 解析 由題目中，|
a
|
13
，b
(3, 2)
2 2|
b
|
3
( 2)
9
4
13
所求a
、b
的內積：|
| |
| cos
13
13 cos
13cos
a
b
a
b
∵ 1 cos 1（最大） 故當 cos 1 代入 13cos 得 13，是為最大內積 （ ）3.如圖，正六邊形 ABCDEF，對角線交於 O，設AB
a
，BC
b
，AF
c
，則下列敘述何者錯誤？ (A)BO
c
(B)OD
b
(C)EF
b
(D)DE
a
【龍騰自命題】 解答 C 解析 如圖， (A)BO
c
(B)OD
b
(D)DE
a
皆正確 (C)EF
b
（ ）4.設直線 L1的斜率為 2 且通過點(0 , 4)，又直線 L2的 x、y 軸截距分別 為 1、2，則下列敘述何者正確？ (A)L1與 L2相交於點(2 , 8) (B)L1與 L2相交於點 (4 , 6) (C)L1與 L2平行且兩線相距2
5
(D)L1與 L2平行且兩線相距6
5
【100 年歷屆試題.】 解答 D 解析 L1：y ( 4) 2(x 0) 2x y 4 0 L2：1
1
2
x
y
2x y 2 0 ∵ L1與 L2的係數比：2
1
4
2
1
2
∴ L1//L2，而 L1與 L2的距離 2 24
( 2)
6
5
2
1
（ ）5.已知a
( 1,3)
，b
(2, 6)
，試求a
在b
上的正射影為 (A)( ,
4 12
)
5 5
(B)24
18
(
,
)
5
5
(C)24
18
(
,
)
5
5
(D)(
18
,
12
)
5
5
【龍騰自命題.】 解答 A 解析a
( 1,3)
，b
(2, 6)
( 1) 2
3 6 16
a
b
2 2|
b
|
2
6
4
36
2 10
∴ 216
4 12
(2,6)
( ,
)
40
5 5
|
|
a
b
b
b
（ ）6.設a
與b
為平面上的兩個向量，若|a
|
|
b
|
2
且2
a
b
，則a
與b
的夾角為何？(A)15 (B)30 (C)45 (D)60 【094 年歷屆試題.】 解答 D 解析 設a
、b
夾角為，則cos
2
1
2 2
2
|
||
|
a
b
a
b
60（∵ 0 180） ∴a
與b
的夾角為 60（ ）7.設 A(1, 3)、B(7,5)、C( 2,3)，則△ABC 中
AB
邊上的高為 (A)4 (B)6 (C)32
5
(D)8 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 過 A(1, 3)、B(7,5)的直線為5
3 5
7
1 7
y
x
: 4
3
13
0
AB
x
y
－ 2 －
△ABC 中AB
上的高為頂點 C( 2,3)到AB
: 4
x
3
y
13
0
之距離 即此高 2 2| 4( 2) 3 3 13 |
30
6
5
4
( 3)
（ ）8.A(4,5)、B( 5,2)，若直線 L：2x y 3 0 交AB
於 P，則AP
：
PB
(A)2：3 (B)6：5 (C)3：2 (D)5：2 【龍騰自命題.】 解答 A 解析:
| 8 5 3 | | 10
:
2 3 |
6 : 9
2 : 3
5
5
AP PB
（ ）9.直線 L 經過A
(0, 2 2)
，並通過第三象限，且 L 與原點的距離為 2，則 L 的方程式為 (A)x
y
2 2
0
(B)x
2
y
4
0
(C)2
x
y
4
0
(D)x
y
2 2
0
【龍騰自命題.】 解答 A 解析 過(0, 2 2 )
及第三象限的直線其斜率 m 0 設所求直線為y
2 2
m x
(
0)
mx
y
2 2
0
，與(0,0)之距離為 2 2 2 2 2| 0
0
2 2 |
2
2
1
2 2
1
2
( 1)
m
m
m
m2 1 取 m 1（因 m 0） ∴ 所求直線為x
y
2 2
0
（ ）10.設向量a
(3, 4)
，向量b
//
a
，且a
b
50
，則| 2
a
3
b
|
(A)20 (B)40 (C)60 (D)80 【102 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵a
與b
互相平行且a
b
50
0
∴a
與b
互為反向，即夾角為 180 2 2|
a
|
3
4
5
|
||
| cos180
5 |
| ( 1)
5 |
|
50
a
b
a
b
b
b
|
b
| 10
2 2 2 2 2| 2
a
3
b
|
4 |
a
|
12
a
b
9 |
b
|
4 5
12 ( 50) 9 10
400
故| 2
a
3
b
|
400
20
〈另解〉 ∵b
//
a
∴ 可設b
t a
，其中 t 為實數 則b
t
(3, 4)
(3 , 4 )
t t
(3, 4) (3 , 4 )
3 3
4 4
25
a
b
t t
t
t
t
∵a
b
50
∴ 25t 50 t 2 則b
(3 ( 2), 4 ( 2))
( 6, 8)
而2
a
3
b
2(3, 4)
3( 6, 8)
(6,8)
( 18, 24)
( 12, 16)
故| 2
a
3
b
|
( 12)
2
( 16)
2
400
20
（ ）11.已知三向量a
(3, 4)
，b
(2, 6)
，c
(1,1)
，則(2
3
)
a
b
c
的值 (A)39
(B)17
(C)9 (D)6 【龍騰自命題.】 解答 C 解析(2
3
)
(3, 4) [2(2,6)
3(1,1)]
(3, 4) (7,15)
a
b
c
3 7
4 15
81
9
（ ）12.在△ABC
中，AB
8
，AC
2
，若
BAC
之角平分線交BC
於D
，且AD
x AB
y AC
，則x
y
(A)1
5
(B)2
5
(C)3
5
(D)4
5
【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 ∵ BD DC: AB AC: 8 : 24 :1 由向量內分點公式得1
4
4 1
4 1
AD
AB
AC
1
4
5
AB
5
AC
得1
5
x
，4
5
y
故1
4
3
5
5
5
x
y
（ ）13.設 B(4, 3)，AB
(8, 6)
，則 A 點坐標為 (A)(4,3) (B)( 4, 9) (C)(4, 3) (D)(12,3) 【龍騰自命題.】 解答 B （ ）14.若|
a
| 4
，|b
| 3
，a
與b
方向相反，則a
b
(A)12 (B) 12 (C)0 (D)6 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵a
與b
方向相反，即a
與b
交角 180|
||
| cos
4 3 cos180
12
a
b
a
b
（ ）15.已知a
1,4
，b
2,3
，若a
k b
與2
a
b
平行，－ 3 －
則k
(A)1
3
(B)1
2
(C)2
(D)3
【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 a k b
1, 4
k 2,3 2k1,3k4
2 a b 2 1, 4 2,3 4,5 ∵
a
k b
// 2
a
b
2
1
3
4
4
5
k
k
1
5 2
1
4 3
4
2
k
k
k
（ ）16.設a
2
，b
3
，a
與b
之夾角為4
，試求2
a
b
(A)5
(B)6
(C)7
(D)8
【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 cos 45 2 3 2 3 2 a b a b ∵ 2 2 a b 2 a b 2 a b 2 2 4 a 4 a b b
8 4 3 9
5
∴2
a
b
5
（ ）17.已知|
a
| 2
，|b
| 3
，a
b
5
，求| 2a
3
b
|
(A)5 (B)6 (C)37
(D)38
【龍騰自命題.】 解答 C 解析 2 2 2 2 2| 2
a
3
b
|
4 |
a
|
12
a
b
9 |
b
|
4 2
12 5 9 3
37
∴| 2
a
3
b
|
37
（ ）18.設 A (1,1)、B (3,4)、C ( 1, 2)、D (0, 1)，則AB
在CD上的正射影 為 (A)( , )
5 5
2 2
(B)3 3
( , )
2 2
(C)5
5
(
,
)
2
2
(D)(
5
,
5
)
2
2
【課本練習題-自我評量.】 解答 A 解析AB
(3 1,4 1) (2,3)CD
(0 ( 1), 1 ( 2)) (1,1)AB
在CD
上的正射影為 2 2 2 22 1 3 1
(
)
(
)(1,1)
( 1
1 )
|
|
AB CD
CD
CD
5
2
(1,1) (5 5
,
2 2
) （ ）19.坐標平面上三點A
102,101
、B
99,97
、C
100,106
所形 成之△ABC
面積為 (A)7
4
(B)7
2
(C)23
4
(D)23
2
【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析AB
99
102 ,97 101
3, 4
100
102 ,106 101
2,5
AC
則△
ABC
的面積1
3 5
4
2
23
2
2
（ ）20.設|
a
b
| 5
且|a
b
| 5
，則a
與b
兩向量的夾角為 (A)30 (B)45 (C)60 (D)90 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 ∵|
a
b
| |
a
b
| 5
∴|
a
b
|
2
|
a
b
|
2，即 2 2 2 2|
a
|
2
a
b
|
b
|
|
a
|
2
a
b
|
b
|
∴a
b
0
，即a
b
∴ 夾角為 90 （ ）21.兩向量
、
不平行，且|
| |
| 1
，則(
)
與(
)
之夾角為 (A)30 (B)45 (C)60 (D)90 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 令夾角為 2 2(
) (
)
|
|
|
|
0
cos
0
|
||
|
|
||
|
|
||
|
∴ 90 （ ）22.已知單位向量a
與單位向量b
的夾角為3
且a
3
b
與m a
b
互相垂直，則 m 的值等於 (A)7
5
(B)7
5
(C)1 (D)5
3
【龍騰自命題.】 解答 A－ 4 －
解析1 1 cos
1
3
2
a
b
(
a
3
b
) (
m a
b
)
0
2 2|
|
(1 3 )
3 |
|
0
m a
m a
b
b
(1 3 )
1
3
0
2
m
m
7
5
m
（ ）23.設a
(2, 1)
，b
( 1, )
y
，若a
b
，則 y (A)1
2
(B)1
2
(C)2 (D) 2 【龍騰自命題.】 解答 D（ ）24.設平面二向量
u
2cos ,sin
，v
sin ,2cos
且其內積1
u
v
，若0
2
，則
之值可能為何？(A)12
(B)6
(C)4
(D)3
【103 年歷屆試題.】 解答 A 解析u
v
2cos ,sin
sin , 2cos
2cos sin
sin
2cos
2
2sin cos
2
sin 2
∵
