0925 向量 解答

全文

(1)

- 1 -

0925 向量 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.設 L:6x 8y  3  0 為平面上一直線,則下列方程式中何者與 L 平行, 且與 L 之距離為

5

2

? (A)3x 4y  28  0 (B)3x 4y  11  0 (C)6x 8y  19  0 (D)6x 8y  19  0 【092 年歷屆試題.】 解答 B 解析 設 L1平行 L:6x 8y  3  0 且與 L 之距離為

5

2

則 L1可設為 6x 8y k  0 2 2

|

( 3) |

5

2

6

8

k

 

|k  3|  25  k  3  25  k  22 或  28  L1可為 6x 8y  22  0 或 6x 8y  28  0  化簡得 L1:3x 4y  11  0 或 3x 4y  14  0 ( )2.設

a

b

為兩向量,

a

( , )

x y

,x、y 為實數,且|

a

|

13

(3, 2)

b

,則

a

b

之內積的最大值為何? (A)

13

(B)

65

(C)13 (D)65 【091 年歷屆試題.】 解答 C 解析 由題目中,

|

a

|

13

b

(3, 2)

2 2

|

b

|

3

( 2)

9

4

13

 

 

所求

a

b

的內積:

|

| |

| cos

13

13 cos

13cos

a

b

a

b

∵  1  cos 1(最大) 故當 cos 1 代入 13cos 得 13,是為最大內積 ( )3.如圖,正六邊形 ABCDEF,對角線交於 O,設

AB

a

BC

b

AF

c

,則下列敘述何者錯誤? (A)

BO

c

(B)OD

b

(C)

EF

b

(D)

DE

 

a

【龍騰自命題】 解答 C 解析 如圖, (A)

BO

c

(B)

OD

b

(D)

DE

 

a

皆正確 (C)

EF

 

b

( )4.設直線 L1的斜率為  2 且通過點(0 ,  4),又直線 L2的 x、y 軸截距分別 為 1、2,則下列敘述何者正確? (A)L1與 L2相交於點(2 ,  8) (B)L1與 L2相交於點 (4 ,  6) (C)L1與 L2平行且兩線相距

2

5

(D)L1與 L2平行且兩線相距

6

5

【100 年歷屆試題.】 解答 D 解析 L1:y  (  4)  2(x  0)  2x y  4  0 L2:

1

1

2

x

 

y

2x y  2  0 ∵ L1與 L2的係數比:

2

1

4

2

 

1

2

∴ L1//L2,而 L1與 L2的距離 2 2

4

( 2)

6

5

2

1

 

( )5.已知

a

 

( 1,3)

b

(2, 6)

,試求

a

b

上的正射影為 (A)

( ,

4 12

)

5 5

(B)

24

18

(

,

)

5

5

(C)

24

18

(

,

)

5

5

(D)

(

18

,

12

)

5

5

【龍騰自命題.】 解答 A 解析

a

 

( 1,3)

b

(2, 6)

( 1) 2

3 6 16

a

b

     

2 2

|

b

|

2

6

4

36

2 10

∴ 2

16

4 12

(2,6)

( ,

)

40

5 5

|

|

a

b

b

b

( )6.設

a

b

為平面上的兩個向量,若|

a

|

|

b

|

2

2

a

b

,則

a

b

的夾角為何?(A)15 (B)30 (C)45 (D)60 【094 年歷屆試題.】 解答 D 解析 設

a

b

夾角為,則

cos

2

1

2 2

2

|

||

|

a

b

a

b

  60(∵ 0 180) ∴

a

b

的夾角為 60

( )7.設 A(1, 3)、B(7,5)、C( 2,3),則△ABC 中

AB

邊上的高為 (A)4 (B)6 (C)

32

5

(D)8 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 過 A(1, 3)、B(7,5)的直線為

5

3 5

7

1 7

y

x

 

: 4

3

13

0

AB

x

y

(2)

- 2 -

△ABC 中

AB

上的高為頂點 C(  2,3)到

AB

: 4

x

3

y

13

0

之距離 即此高 2 2

| 4( 2) 3 3 13 |

30

6

5

4

( 3)

   

 

( )8.A(4,5)、B( 5,2),若直線 L:2x y  3  0 交

AB

於 P,則

AP

PB

(A)2:3 (B)6:5 (C)3:2 (D)5:2 【龍騰自命題.】 解答 A 解析

:

| 8 5 3 | | 10

:

2 3 |

6 : 9

2 : 3

5

5

AP PB

 

  

( )9.直線 L 經過

A

(0, 2 2)

,並通過第三象限,且 L 與原點的距離為 2,則 L 的方程式為 (A)

x

 

y

2 2

0

(B)

x

2

y

 

4

0

(C)

2

x

  

y

4

0

(D)

x

 

y

2 2

0

【龍騰自命題.】 解答 A 解析 過

(0, 2 2 )

及第三象限的直線其斜率 m  0 設所求直線為

y

2 2

m x

(

0)

mx

 

y

2 2

0

,與(0,0)之距離為 2 2 2 2 2

| 0

0

2 2 |

2

2

1

2 2

1

2

( 1)

m

m

m

 

 

 

 

m2 1 取 m 1(因 m 0) ∴ 所求直線為

x

 

y

2 2

0

( )10.設向量

a

(3, 4)

,向量

b

//

a

,且

a

b

 

50

,則

| 2

a

3

b

|

(A)20 (B)40 (C)60 (D)80 【102 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵

a

b

互相平行且

a

b

  

50

0

a

b

互為反向,即夾角為 180 2 2

|

a

|

3

4

5

|

||

| cos180

5 |

| ( 1)

5 |

|

50

a

b

a

b

  

b

   

b

 

|

b

| 10

2 2 2 2 2

| 2

a

3

b

|

4 |

a

|

12

a

b

9 |

b

|

    

4 5

12 ( 50) 9 10

 

400

| 2

a

3

b

|

400

20

〈另解〉 ∵

b

//

a

∴ 可設

b

t a

,其中 t 為實數

b

t

(3, 4)

(3 , 4 )

t t

(3, 4) (3 , 4 )

3 3

4 4

25

a

b

t t

    

t

t

t

a

b

 

50

∴ 25t  50  t  2 則

b

  

(3 ( 2), 4 ( 2))

 

  

( 6, 8)

2

a

3

b

2(3, 4)

   

3( 6, 8)

(6,8)

 

( 18, 24)

 

( 12, 16)

| 2

a

3

b

|

 

( 12)

2

 

( 16)

2

400

20

( )11.已知三向量

a

(3, 4)

b

(2, 6)

c

(1,1)

,則

(2

3

)

a

b

c

的值  (A)

39

(B)

17

(C)9 (D)6 【龍騰自命題.】 解答 C 解析

(2

3

)

(3, 4) [2(2,6)

3(1,1)]

(3, 4) (7,15)

a

b

c

3 7

  

4 15

81

9

( )12.在

△ABC

中,

AB

8

AC

2

,若

BAC

之角平分線交

BC

D

,且

AD

x AB

y AC

,則

x

 

y

(A)

1

5

(B)

2

5

(C)

3

5

(D)

4

5

【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 ∵ BD DC: AB AC: 8 : 24 :1 由向量內分點公式得

1

4

4 1

4 1

AD

AB

AC

1

4

5

AB

5

AC

1

5

x

4

5

y

1

4

3

5

5

5

x

    

y

( )13.設 B(4,  3),

AB

(8, 6)

,則 A 點坐標為 (A)(4,3) (B)(  4,  9) (C)(4,  3) (D)(12,3) 【龍騰自命題.】 解答 B ( )14.若

|

a

| 4

,|

b

| 3

a

b

方向相反,則

a

b

(A)12 (B)  12 (C)0 (D)6 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵

a

b

方向相反,即

a

b

交角 180

|

||

| cos

4 3 cos180

12

a

b

a

b

  

  

( )15.已知

a

 

1,4

b

 

2,3

,若

a

k b

2

a

b

平行,

(3)

- 3 -

k

(A)

1

3

(B)

1

2

(C)

2

(D)

3

【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 ak b  

1, 4

   

k 2,3  2k1,3k4

   

2 ab 2 1, 4  2,3  4,5 ∵

a

k b

 

 

// 2

a

b

 

2

1

3

4

4

5

k

k

1

5 2

1

4 3

4

2

k

k

k

  

 

( )16.設

a

2

b

3

a

b

之夾角為

4

,試求

2

a

b

(A)

5

(B)

6

(C)

7

(D)

8

【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 cos 45 2 3 2 3 2 abab       ∵ 2 2 ab2 ab    2 ab     2 2 4 a 4 a b b    

    

8 4 3 9

5

2

a

b

5

( )17.已知

|

a

| 2

,|

b

| 3

a

b

5

,求| 2

a

3

b

|

(A)5 (B)6 (C)

37

(D)

38

【龍騰自命題.】 解答 C 解析 2 2 2 2 2

| 2

a

3

b

|

4 |

a

|

12

a

b

9 |

b

|

 

4 2

   

12 5 9 3

37

| 2

a

3

b

|

37

( )18.設 A (1,1)、B (3,4)、C (  1, 2)、D (0, 1),則

AB

在CD上的正射影 為 (A)

( , )

5 5

2 2

(B)

3 3

( , )

2 2

(C)

5

5

(

,

)

2

2

 

(D)

(

5

,

5

)

2

2

【課本練習題-自我評量.】 解答 A 解析

AB

(3  1,4  1)  (2,3)

CD

(0  (  1), 1  (  2))  (1,1)

AB

CD

上的正射影為 2 2 2 2

2 1 3 1

(

)

(

)(1,1)

( 1

1 )

|

|

AB CD

CD

CD

  

5

2

(1,1)  (

5 5

,

2 2

) ( )19.坐標平面上三點

A

102,101

B

99,97

C

100,106

所形 成之

△ABC

面積為 (A)

7

4

(B)

7

2

(C)

23

4

(D)

23

2

【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析

AB

   

99

102 ,97 101

3, 4

100

102 ,106 101

 

2,5

AC

 

 

ABC

的面積

1

3 5

 

4

2

23

2

2

    

( )20.設

|

a

b

| 5

且|

a

b

| 5

,則

a

b

兩向量的夾角為 (A)30 (B)45 (C)60 (D)90 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 ∵

|

a

b

| |

a

b

| 5

|

a

b

|

2

|

a

b

|

2,即 2 2 2 2

|

a

|

2

a

b

|

b

|

|

a

|

2

a

b

|

b

|

a

b

0

,即

a

b

∴ 夾角為 90 ( )21.兩向量

不平行,且|

| |

| 1

,則(

)

(

)

之夾角為 (A)30 (B)45 (C)60 (D)90 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 令夾角為  2 2

(

) (

)

|

|

|

|

0

cos

0

|

||

|

|

||

|

|

||

|

 

 

 

∴  90 ( )22.已知單位向量

a

與單位向量

b

的夾角為

3

a

3

b

m a

b

互相垂直,則 m 的值等於 (A)

7

5

(B)

7

5

(C)1 (D)

5

3

【龍騰自命題.】 解答 A

(4)

- 4 -

解析

1 1 cos

1

3

2

a

b

  

(

a

3

b

) (

m a

b

)

0

 2 2

|

|

(1 3 )

3 |

|

0

m a

 

m a

b

b

(1 3 )

1

3

0

2

m

 

m

 

7

5

m

 

( )23.設

a

(2, 1)

b

 

( 1, )

y

,若

a

b

,則 y  (A)

1

2

(B)

1

2

(C)2 (D)  2 【龍騰自命題.】 解答 D

( )24.設平面二向量

u

2cos ,sin

v

sin ,2cos

且其內積

1

u

v

,若

0

2

 

,則

之值可能為何?(A)

12

(B)

6

(C)

4

(D)

3

【103 年歷屆試題.】 解答 A 解析

u

v

2cos ,sin

 

sin , 2cos

2cos sin

sin

2cos

 

2

2sin cos

2

sin 2

u

v

1

2sin 2

1

sin 2

1

2

0

2

 

2

0

2

 

sin

sin

5

1

6

6

2

2

6

5

6

12

5

12

故選(A) ( )25.設

A

 

2,1

B

 

1,3

C

 

0, 2

,則

AB

2

CB

(A)

5

(B)

2

(C)

3

(D)1 【隨堂測驗.】 解答 D 解析

AB

 

3, 2

CB

 

1,1

 

2

3,2

2

1,1

AB

CB

 

 

 

3, 2

 

 

2, 2

 

 

1,0

 

2 2

2

1

0

1

AB

CB

數據

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參考文獻

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