一、基本概念
1. 集合
: 具有某种特定性质的事物的总体 .
组成这个集合的事物称为该集合的元素 .
} ,
, ,
{a1 a2 an
A
} {x x所具有的特征 M
有限集 无限集 ,
M
a a M,
. ,
,则必 就说 是 的子集
若x A x B A B .
B A 记作
数集分类 : N---- 自然数集 Z---- 整数集 Q---- 有理数集 R---- 实数集 数集间的关系 : N Z , Z Q, Q R.
. ,
,且 就称集合 与 相等
若A B B A A B (A B) },
2 , 1
{ 例如 A
}, 0 2
3
{ 2
x x x
C 则 A C.
不含任何元素的集合称为空集 . (记作 )
例如 , {x x R, x2 1 0} 规定
空集为任何集合的子集 .
2. 区间
: 是指介于某两个实数之间的全体实数 . 这两个实数叫做区间的端点 .
. ,
,b R a b
a
且
}
{x a x b 称为开区间 , 记作 ( ba, )
}
{x a x b 称为闭区间 , 记作 [ ba, ]
o a b x
o a b x
} {x a x b
} {x a x b
称为半开区间 , 称为半开区间 ,
) , [ ba 记作
] , ( ba 记作
} {
) ,
[a x a x (,b) {x x b}
o a x
o b x
有限区间 无限区间
区间长度的定义 :
两端点间的距离 ( 线段的长度 ) 称为区间的长度 .
3. 邻域
: 设a与是两个实数 , 且 0.
).
(
0 a
U 记作 叫做这邻域的中心 ,
点a 叫做这邻域的半径 .
. } {
)
(
a x a x a U
a x
a a
邻域, 的去心的
点a
. } 0
{ )
(
a x x a U
, }
{ 称为点 的 邻域
数集 x x a a
4. 常量与变量 :
在某过程中数值保持不变的量称为常量 ,
注意 常量与变量是相对“过程”而言的 .
通常用字母 a, b, c 等表示常量 , 而数值变化的量称为变量 .
常量与变量的表示方法：
用字母 x, y, t 等表示变量 .
5. 绝对值 :
0 0 a
a
a
a a ( a 0)
运算性质 : ab a b; b ;
a
a b a b a b a b. )
0 (
a a
x a x a; )
0 (
a a
x x 或a x a;
绝对值不等式 :
因变量 自变量
. )
(
, 0 0
0 时 称 为函数在点 处的函数值 当x D f x x
. }
), (
{ 称为函数的值域
函数值全体组成的数集 D x
x f y
y
W
定义设x和y是两个变量,D是一个给定的数集，
数集 D 叫做这个函数的定义域
) ( x f
y
如果对于每个数xD,
二、函数概念
( (
)
)
x0
) (x0 f
自变量 因变量 对应法则 f
函数的两要素 : 定义域与对应法则 . x
y D
W
约定 : 定义域是自变量所能取的使算式有意 义的一切实数值 .
1 x2
y
例如， D :[1,1] 1 2
1 y x
例如， D : (1,1)
定义 :
. )
(
} ),
( )
, {(
的图形 函数
称为 点集
x f
y
D x
x f
y y x C
o x
y
) , (x y x
W y
D
如果自变量在定 义域内任取一个数值 时，对应的函数值总 是只有一个，这种函 数叫做单值函数，否 则叫与多值函数．
． 例如，x2 y2 a2
(1) 符号函数
0 1
0 0
0 1
sgn
x x x x
y
当 当 当
几个特殊的函数举例
1
-1
x y
o
x x
x sgn
(2) 取整函数 y=[x]
[x] 表示不超过 的最大整数
1 2 3 4 5 -2
-4 -4 -3 -2 -1
4 3 2 1
-1 -3
x y
o
阶梯曲线
x
当 是无理数时
是有理数时 当
x x x
D
y 0
) 1 (
有理数点 无理数点•
1
x y
o
(3) 狄利克雷函 数
(4) 取最值函数
)}
( ), (
max{ f x g x
y y min{ f (x), g( x)}
y
o x
) ( x f
) ( x g
y
o x
) ( x f
) ( x g
0 ,
1
0 ,
1 ) 2
(
, 2
x x
x x x
例如 f
1 2 y x
2 1
x y
在自变量的不同变化范围中 , 对应法则用 式子来表示的函数 , 称为分段函数 .不同的
例 1脉冲发生器产生一个单三角脉冲 , 其波形如 图所示 , 写出电压 U 与时间 的函数 关系式 . t(t 0)
解 U
o t
E
) 2,
( E
) 0 (,
2
, 2]
, 0
[ 时
当 t E t
U
2
2 ; E t
单三角脉冲信号的电压
, ]
2 ,
( 时
当 t
), (
2
0 0
E t
U 2 ( )
E t 即U
, )
,
( 时
当 t U 0.
其表达式为
是一个分段函数, )
(t U U
) ,
( ,
0
] 2 ,
( ),
2 (
2] , 0 [ 2 ,
) (
t t E t
t E t
t U
U
o t
E
) 2, ( E
) 0 , (
2
例 2
. )
3 (
2, 1
2
1 0
) 1
( 求函数 的定义域
设
f x
x x x
f 解
2 1 3 2
1 3
0 ) 1
3
( x
x x f
2 1
2
1 0
) 1
( x
x x
f
1 2
2
2 3
1
x
x 故 Df :[3,1]
三、函数的特性
M
-M y
o x
y=f(x)
有界 X 无界
M
-M
y
o X x
x0
, )
( ,
, 0
, 有 成立
若X D M x X f x M
1 ．函数的有界性 :
. .
)
( 在 上有界 否则称无界 则称函数f x X
2 ．函数的单调性 :
, ,
)
(x D I D
f 的定义域为 区间 设函数
,
, 1 2
2
1及 当 时
上任意两点
如果对于区间 I x x x x
; )
( 在区间 上是单调增加的 则称函数 f x I
), (
) (
) 1
( f x1 f x2 恒有
) (x f y
) (x1 f
) (x2 f
x y
o
I
) (x f y
) (x1 f
) (x2 f
x y
o
I
; )
( 在区间 上是单调减少的 则称函数 f x I
, ,
)
(x D I D
f 的定义域为 区间 设函数
,
, 1 2
2
1及 当 时
上任意两点
如果对于区间 I x x x x ),
( )
( )
2
( f x1 f x2 恒有
3 ．函数的奇偶性 :
偶函数
有 对于
关于原点对称
设D , x D, )
( )
( x f x
f
y
x
) ( x f
) ( x f y
o x
-x
) ( x f
; )
( 为偶函数
称 f x
有 对于
关于原点对称
设D , x D, )
( )
( x f x
f 称 f ( x)为奇函数;
奇函数 )
( x f
y
x
) ( x f
o x
-x
) ( x f y
4 ．函数的周期性 :
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期） .
, )
(x D
f 的定义域为
设函数 如果存在一个不为零的
. )
( )
( 恒成立
且f x l f x
为周 则称f ( x)
. )
( ,
, x D x l D
l 使得对于任一 数
. )
(
, 称为 的周期
期函数 l f x
2
l
2 2 l
3l
2 3l
) ( x f y 直接函数
x
y
o
) , ( ab Q
) , ( ba P
) ( x y 反函数
直接函数与反函数的图形关于直线 对 称 .
x y
四、反函数
五、小结
基本概念集合 , 区间 , 邻域 , 常量与变量 , 绝对值 . 函数的概念
函数的特性
有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性 . 反函数
思考题
设 x 0 ， 函 数 值 1 ) 1 2
( x x
f x ，
求 函 数 y f ( x ) ( x 0 ) 的 解 析 表 达 式 .
思考题解答
设 u x 1
则 1 1 12 u u u
f 1 1 2 , u
u
故 1 1 . ( 0) )
(
2
x
x x x
f
一、 填空题:
1、 若 1 5 2 2 t t
f t
,则f (t) __________,
f(t2 1) __________.
2、 若
, 3 sin
, 3 1 )
(
x x x
t ,
则 ) (6
=_________， ) (3
=_________.
3、不等式x5 1的区间表示法是_________.
4、设y x2 ,要使 xU(0, )时，yU(0,2), 须 __________.
练 习 题
二 、 证 明 y lg x 在 ( 0, 上 的 单 调 性 .)
三 、 证 明 任 一 定 义 在 区 间 ( a,a ) ( a 0 )上 的 函 数 可 表 示 成 一 个 奇 函 数 与 一 个 偶 函 数 之 和 .
四 、 设 f ( x)是 以 2 为 周 期 的 函 数 ， 且
1 0
, 0
0 1
) , (
2
x x x x
f , 试 在 ( , )上 绘 出 )
( x
f 的 图 形 .
五 、 证 明 ： 两 个 偶 函 数 的 乘 积 是 偶 函 数 ， 两 个 奇 函 数 的 乘 积 是 偶 函 数 ， 偶 函 数 与 奇 函 数 的 乘 积 是 奇 函 数 . 六 、 证 明 函 数
a cx
b y ax
的 反 函 数 是 其 本 身 .
七、求 x x
x x
e e
e x e
f
)
( 的反函数，并指出其定义域.
一 、 1、 22
5t t , 2 2 2
) 1 (
) 2 1 (
5
t t ； 2、 1, 1；
3、 ( 4, 6) ； 4. (0, 2 ]. 七 、 , ( 1,1)
1
ln 1
x
y x .
练习题答案
一、基本初等函数
1. 幂函数 y x (是常数)
o x
y
) 1 , 1 ( 1 1
x2
y
x y
y 1x
x y
2. 指数函数 y a x (a 0,a 1)
a x
y
x
y a1)
(
) 1 (a
) 1 , 0
(
e x
y
3. 对数函数 y loga x (a 0,a 1) y ln x
x y loga
x y
a
log1
) 1 (a
) 0 , 1 (
4. 三角函数 正弦函数
x y sin
x y sin
x y cos
x y cos
余弦函数
正切函数 y tan x
x y tan
x y cot
余切函数
x y cot
正割函数 y sec x
x y sec
x y csc
余割函数
x y csc
5. 反三角函数
x y arcsin
x y arcsin 反正弦函数
x y arccos
x y arccos 反余弦函数
x y arctan
x y arctan 反正切函数
幂函数 , 指数函数 , 对数函数 , 三角函数 和反三角函数统称为基本初等函数 .
x y cot 反余切函数 arc
x y arccot
二、复合函数 初等函数
1. 复合函数
, u y
设 u 1 x2 , y 1 x 2
定义 : 设函数yf(u)的定义域Df, 而函数 )
(x
u的值域为Z, 若DfZ, 则称
函数yf[ x()]为x的复合函数. 自变量,
x u 中间变量, y 因变量,
注意 :1. 不是任何两个函数都可以复合成一个 复合函数的 ;
, arcsin u y
例如 u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
2. 复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成 .
2, cot x y
例如 y u, u cot v, .
2 v x
2. 由常数和基本初等函数经过有初等函数
限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并 可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
例1
)].
( [
0, ,
1
0 ,
) 2 ( 1, ,
1 ) ,
( 2
x f
x x
x x x
x x
x x e
f
x
求
设
解
1 )
( ),
(
1 )
( )] ,
( [
) (
x x
x x e
f
x
, 1 )
(
10 当 x 时 ,
0
或 x (x) x 2 1,
; 2 0 x
,
0
或 x (x) x2 1 1,
;
1
x
, 1 )
(
20 当 x 时 ,
0
或 x (x) x 2 1,
;
2 , x
0
或 x (x) x2 1 1,
; 0 1
x
综上所述
. 2 ,
1
2 0
0 1
1
, , 2 , )]
( [
2 1 2
2
x x
x x x
e x e x
f x
x
三、双曲函数与反双曲函数
sinh 2
x
x e
x e
双曲正弦
x y cosh
x y sinh
), ,
(
:
D
奇函数 .
cosh 2
x
x e
x e
双曲余弦
), ,
(
:
D
偶函数 .
1. 双曲函数
ex
y 2
1
e x
y 2 1
x x
x x
e e
e e
x
x x
cosh tanh sinh
双曲正切
奇函数 , )
, (
:
D 有界函数 ,
