考 試 別：國家安全情報人員 等 別：三等考試

103年公務人員特種考試司法人員、法務部調查 局調查人員、國家安全局國家安全情報人員、

海 岸 巡 防 人 員 及 移 民 行 政 人 員 考 試 試 題

代號：30930

考 試 別：國家安全情報人員 等 別：三等考試

類 科 組：數理組 科 目：數論

考試時間：2 小時 座號：

※注意： 禁止使用電子計算器。

不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。

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一、求同餘方程式 17 x 9 (mod 276)的所有整數解。（10 分）

求聯立同餘方程式 7 x + 3 y 10 (mod 16) , 2 x + 5 y 9 (mod 16)的所有整數解。

（10 分）

二、若將所有的質數依由小而大次序排列，設 p

為第 n 個質數。試證明下列敘述：

對任一正整數 n，

。（6 分）

對任一正整數 n，

。（14 分）

三、設 ø (n)為尤拉函數（Euler's function）。試證明下列敘述：

對任一正整數 n，

n

ø (n)

。（12 分）

若

且 ø (n)整除

，則 n 必然是幾個相異質數的乘積。（8 分）

四、設 p 為一奇質數。

若整數 a 與 p 互質，試證明 ax y (mod p)恆有一組整數解(x

, y

)滿足

x

0< ₀ <

且

。（10 分）

使用的結果，試證明若 p 1 (mod 4)，則 p 可以寫成兩個平方和。（10 分）

五、 F

= 2

+ 1 ，

，稱為費瑪數。若 F

為質數，試證明 3 必為 mod F

的原根（ primitive root modulo F

）。（10 分）

設 p 為一奇質數，且

2 1 2 p

1,r , ,r

r L −

為從 1 到 p − 之間所有的mod p 的二次剩餘（quadratic 1

residues modulo p）；試證明若 Π

r

1 (mod p )

1 p

1

i

≡

−

=

，則 p 3 (mod 4)。（10 分）