龍騰數亦優第18期

編輯室墨記

二次方程式ax²+bx+ = 有根的判別式c 0 D=b²−4ac：當D> 時，方程式有兩個相異實0 根；當D= 時，方程式有二重根0

2 x b

a

= − ；當D< 時，方程式的兩根為共軛虛數。而四次方程0

式根的判別是否也有類似的規則可循？繼續讓葉善雲老師帶領我們一起來探索吧！

針對高中數學線性規劃單元中，利用圖解法求運輸問題的解題過程，因計算過程繁瑣，導 致學生學習效果差，鍾國華老師提出更簡易的計算方法—最小成本法，改善學生的學習狀況，

您不妨試試看！

在平面幾何所探討的圖形中，三角形是最受青睞、也擁有最多定理的一種。在這裡，趙文 敏教授要介紹 Morley 角三等分線定理及它的一些不同證法，千萬別錯過喔！

本期收錄「101 學年度大學甄選入學指定項目甄試試題」，若有想要推甄入學的同學，可動 手試試自己的實力！

※ 勘誤啟示：

第 17 期戲說數學「雞同鴨講…相間何太急」：

p.6 最後一行「針對『六』對雞、鴨」，『六』更正為『七』。

※ 竭誠邀稿：

歡迎將您的教學生活趣聞、甘苦談，教案分享、教材探討，以1000~2000字的內容，註明主 題、作者簡歷、聯絡電話與地址，投稿予 [email protected]。

發 行 人：李枝昌 編輯顧問：許志農 總 編 輯：陳韻嵐 副總編輯：陳美吟 執行編輯：張幸蓮 美術編輯：范文禎

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龍騰數亦優 2012.05 目次 龍騰業務跑天下 數學質好畫亦優

葉善雲 ^{臺北市東山高中}

》 》四次方程式根的判別

鍾國華 ^{臺北市祐德高中}

》 》利用最小成本法求運輸問題

趙文敏 ^{臺灣師大數學系}

》 》膾炙人口的 Morley 角三等分線定理 (一)三內角的情形

許志農 ^{臺灣師大數學系}

》 》國立臺灣師範大學數學系 101 學年度大學甄選入學指定項目甄試試題

許志農 ^{臺灣師大數學系}

》 》動手玩數學專欄

》 》動手玩數學《第 17 期》破解秘笈 3

18

25

36

44

＊＊ 摘要

二次方程式ax²+bx+ = 有根的公式c 0

2 b D

x a

=− ± ，其中D=b²−4ac為判別式：

當D> 時，方程式有兩個相異實根；當0 D= 時，方程式有二重根0 2 x b

a

=− ；當D< 時，方程式0

的兩根為共軛虛數。十六世紀的義大利數學家卡丹諾（G. Cardano﹐1501~1576）或費拉里

（L. Ferrari﹐1522~1565）僅提供三次、四次方程式的解法，但沒有寫出具體的判別式與根的公 式！後來有多項式方程式的判別式（discriminant）或結式（resultant）可用來判別根的性質

○

¹ 。 在本刊第 14 期，我們已探討三次方程式根的判別，在本刊第 16 期，也已探討四次方程式的解 法，此處繼續引用行列式的方法探討四次方程式根的判別。

＊＊內文

延續前一篇文章「三次方程式根的行列式判別」中行列式的符號（數亦優第 14 期，P.5~14），

考慮多項式函數 f x( )=a x_n ⁿ+a_n−1xⁿ⁻¹+"+a x₁ +a₀與其導函數 f x′( )的關係，得

(

^{2 3}

)

1

1 2 2 1

2 2

( ) ( ) ⁿ 1 ^{n n} _{n n}

n n

x a

f x f x x x x

n n a n a

− −

− − −

⎛ ⎞

= ′ ⋅⎜ + ⎟+ ⋅ Δ + Δ + + Δ + Δ

⎝ ⎠ " (＊)

其中Δ （1_k ≤ ≤ − ）為下列表達式第 1 列與第k n 1 k+ 列所成之二階行列式：1

1

2 1

2 1

0 1

2 ( 1)

( 1) 2

n n

n n

a na

a n a

n a a

na a

−

−

−

⎛ ⎞

⎜ − ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ − ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

# # ，即 ¹

1

,1 1

( ) ( 1)

n n

k

n k n k

na a

k n n k a k a

−

− − −

Δ = ≤ ≤ −

− + 。

在式子(＊)兩側同乘n aⁿ _nⁿ⁻¹，得

( ) ( )

1 2 2 2 3

1 1 2 2 1

( ) ( ) ( ) ( )

n n n n n n

n n n n n n n

n a ⁻ f x = na ⁻ f x′ ⋅ na x+a ₋ + na ⁻ ⋅ Δx ⁻ + Δ x ⁻ + + Δ" ₋ x+ Δ ₋ ， 可將上式化成

(

na xn +an₋1

)

的函數，同時使次高項（

(

^{n− 次項）消失。 1}

)

此處，我們討論n= 時的情形：4

註 1：方程式的判別式 discriminant 為方程式所有根差平方的乘積；多項式的結式 resultant 為多項式與其 導函數所形成的行列式。關於此兩者的關聯，請參考北京大學數學科學學院網站：高等代數第二 學期第二十六次課結式http://www.math.pku.edu.cn:8000/misc/course/algebra/index.html。

葉善雲／臺北市東山高中

4 數亦優

設 f x( )=ax⁴+bx³+cx²+dx+ 為四次多項式函數，e f x′( )=4ax³+3bx²+2cx+ Δ （d, _k k=1, 2,3）

為下列表達式第 1 列與第k+ 列所成之二階行列式：1 4 3 2 2 3 4 a b b c c d d e

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

，即 ₁ 4 ₂ 4

, ,

3 2 2 3

a b a b

b c c d

Δ = Δ =

3

4 4 a b d e

Δ = 。

由 ^{f x( )= f x′( )⋅⎛}⎜⎝₄^x+₁₆^b_a^⎞⎟⎠⁺₁₆¹_a^{⋅ Δ}

(

^{1x2+ Δ + Δ2x 3}

)

，得

( ) ^{( )} ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ^{( )( )}

( ) ( ) ^{( )}

3 2 3 2 2 2

1 2 3

3 2 2 3 2 2 3

2 2 2 2 2

1 2 1 3 1 2

3 2

256 ( ) 16 4 3 2 4 16

4 3 4 3 4 8 4 3 4 16 8 2 4

16 4 2 4 2 4 16 4

4 8 3 4 4

3

a f x a ax bx cx d ax b a x x

ax b ax b ax b ac ax b b ax b a d abc b ax b

a x ax b b a b ax b a b ab

ax b ac b ax b a

⋅ = ⋅ + + + ⋅ + + ⋅ Δ + Δ + Δ

⎡ ⎤

=⎣ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + − ⋅ + + − + ⎦⋅ +

+ Δ ⋅ + ⋅ + + Δ − Δ + + Δ + Δ − Δ

= + + − + +

( ) ( ) ^{( )}

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

2

2 2 2

1 2 1 1 2 3

3

1 2 1

2 2 2

1 2 1 1 2 3

4 2 1

1

2

12 2 2 8 3 4

3

4 4 2 4 4 16

4 2

4 4 4

3 3

4 4 2 4 4 16

4 4

4 2 4 4 4

2

3 0

ad bc b ac b ax b

ax b a b ax b b ab a

a b

ax b ax b ax b

ax b a b ax b b ab a

a a

ax b ax b ax b b

b

⎡ − − − ⎤⋅ +

⎢ ⎥

⎣ ⎦

+ Δ ⋅ + + Δ − Δ + + Δ − Δ + Δ

⎡ ⎤

=⎢⎣ + + Δ ⋅ + + ⋅ Δ − ⋅ Δ ⋅⎥⎦ +

+ Δ ⋅ + + Δ − Δ + + Δ − Δ + Δ

= + + Δ ⋅ + + ⋅ Δ ⋅ + + Δ

1

2

3

0 4a

b Δ Δ Δ

。

利用上面的寫法（實際上，也可反覆運用綜合除法求得），解四次方程式ax⁴+bx³+cx²+dx+ =e 0 就是解下列缺三次項的四次方程式

( )

⁴ 1

( )

^{2 1}

( )

¹2 2

3

4 0 4 4

4 2 4 4 4 0

3 2

0 a a

ax b ax b ax b b a

b b

Δ Δ

+ + Δ ⋅ + + ⋅ ⋅ + + Δ =

Δ Δ

。

由費拉里解法的討論，解上述四次方程式相當於解下列三次（預解）方程式

1 2

2 1

3 2

1 1 2

2 3

4 0

16 4

4 4 4 4 0

2 0 9

a a

y y b a y

b b

⎛ Δ ⎞

⎛ Δ ⎞

⎜ ⎟

+ Δ + Δ − ⋅⎜⎜⎝ ΔΔ ⎟⎟⎠⋅ − ⋅⎜⎜⎝ Δ ⎟⎟⎠ =

(＊＊)

而解上述三次方程式就是解下列缺二次項的三次方程式

○

²

(

^{3y+ Δ4 1}

) (

^{3+ −12}

)

^{⋅ Δ +}

(

^{12 3M}

)

^⋅

⁽

^3y+ Δ + Φ = ， ^{4 1}

⁾

⁰ 註 2：三次方程式Ax³+Bx²+Cx+ =D 0可化成

( )

³ 1

( )

¹

2

3 3

3 3 0

2

Ax B Ax B A

B

+ + ⋅ Δ ⋅ + + Δ =

Δ ，其中

₁ 3 ²

6 2 2 2

A B

AC B

B C

Δ = = − 且 ₂ 3

3 9 A B

AD BC

C D

Δ = = − 。

其中

1

2 2

2 1 2 3

3

4 0

4 4 16

0 a

M b a b ab a

b Δ

= Δ = Δ − Δ + Δ

Δ

，

( )

( )

( ) ( )

( )

2 1

2 3

1 2 1 1 1

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 1 2 1 1 1 1 2 1 3

2 2

2 1 2 1 1 3

1

2 1

3 2

8 3

3

4 16 4 2

16 48 48 12 8 3 9 4 16

64 12 3 2 36

4 0

64 3 3 2 9

M

a b M

a ab b ac b b ab a

a a b c a

a a b c

− Δ +

Φ = Δ − ⋅⎡⎣ Δ − Δ + Δ − Δ ⎤⎦

⎡ ⎤

= − ⋅⎣ Δ − Δ Δ + Δ + − Δ − ⋅ Δ − Δ Δ + Δ Δ ⎦

= − ⋅ Δ − Δ Δ + Δ − Δ Δ Δ

= − ⋅ Δ Δ Δ Δ

。

再由卡丹諾解法，解上述三次方程式相當於解下列二次方程式

(

²

)

³

2

4 1 12 0 z + Φ ⋅ + Δ +z M = ，

而此方程式的判別式為ℜ = Φ − ⋅ Δ +^{2 4}

(

^{4 12 12M}

)

³，由此可得預解方程式(＊＊)的三根，並解出四 次方程式。

接著，我們寫出判別式ℜ = Φ − ⋅ Δ +^{2 4}

(

^{4 12 12M}

)

³的行列式表示。

引理 1：

延續前面Δ （_k k=1, 2,3）的符號，

設

1 1

2 2 1

3 3 2

4 0 4 0

4 , 64 3 3

0 2 9

a a

M b a a b

b c

Δ Δ

= Δ Φ = − ⋅ Δ Δ

Δ Δ Δ

，及判別式ℜ = Φ − ⋅ Δ +^{2 4}

(

^{4 12 12M}

)

³，

則

1

2 1

16 3 4

3 2 1

2 3

3

0

4 0 0

0 3 4

2 3 2 3

2 0

0 0 0

a b a a c b d c d

Δ Δ Δ ℜ = − ⋅ ⋅ ⋅ Δ Δ Δ

Δ Δ

Δ

。（證明請參閱附錄的説明）

說得更明確些，若Δ ≠ ，則₁ 0

1 1

16 3 4

2 2 1

2 1

3 2

1 0 2 3

0 a

Δ Ω ℜ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Δ Ω Ω

Δ Δ Ω

，其中Ω 為下列表達式第 1 列、_k

6 數亦優

第 2 列與第k+ 列所成之三階行列式：2

1 2 1

2 3

3

0 4

3 2

0 a b c d

⎛ Δ ⎞

⎜ Δ Δ ⎟

⎜ ⎟

⎜ Δ Δ ⎟

⎜ ⎟

⎜ Δ ⎟

⎝ ⎠

，即

1

1 2 1

3 2

4 0

3 2 a b c

Δ Ω = Δ Δ

Δ Δ 且

1

2 2 1

3

4 0

3 0 a b d

Δ Ω = Δ Δ

Δ

。

○

³

由實係數三次方程式根的判別定理，知判別式ℜ 的正負或為 0 可決定三次方程式根的性質

○

⁴；再根據解四次方程式的討論，預解方程式三根的性質也決定了原四次方程式四根的性質

○

⁵。 利用上述引理中判別式ℜ 的表示法及解四次方程式的討論，我們有下面的結論：

定理一（四次方程式根的判別）：

設 f x( )=ax⁴+bx³+cx²+dx+ 為實係數四次多項式函數，符號e Δ （_k k=1, 2,3）如前所述，並令

1

2 1

*

1

3 2

2 3

3

0

4 0 0

3 4 0 2 3

2 0

0 0 0

a b a c b d c d

Δ Δ Δ

ℜ = Δ Δ Δ

Δ Δ Δ

，則我們有下列方程式實根個數的判別：

○

⁶

(1) ( )f x = 有重根0 ⇔ ℜ = 。 ^* 0

(2) ( )f x = 有 4 個相異實根或 4 個虛根0 ⇔ ℜ > 。 ^* 0 (3) ( )f x = 有 2 個相異實根與 2 個虛根0 ⇔ ℜ < 。 ^* 0

註 3：關於Ω 之選取：四次函數_k f x( )=ax⁴+bx³+cx²+dx+ 除以其導函數 ( )e f x′ 的餘式為 ^{( ) 1}

(

^{1 2 2 3}

)

r x 16 x x

= a⋅ Δ + Δ + Δ ；f x′( )=4ax³+3bx²+2cx+ 除以 ( )d r x 的餘式為

( )

2

(

1 2

)

1

1 ⋅ Ω + Ωx

Δ 。

註 4：ℜ = 預解方程式有重根；0 ℜ < 預解方程式有三個相異實根；0 ℜ > 預解方程式有一個實根及兩個 0 共軛虛根。

註 5：若預解方程式有重根，則四次方程式有重根；若預解方程式有三個相異實根，則四次方程式有四個 相異實根或四個虛根；若預解方程式有一個實根及兩個共軛虛根，則四次方程式有兩個相異實根及 兩個共軛虛根。

註 6：在附錄我們推導：ℜ =^* 256a R f f× ( , ′)=256a²×D f( )，讀者亦可經由網頁 http://www.wolframalpha.com/計算引擎來驗證。

定理二（四次方程式有四個相異實根的條件）：

設 f x( )=ax⁴+bx³+cx²+dx+ 為實係數四次多項式函數，符號e Δ （_k k=1, 2,3）﹐Ω （_j j=1, 2）

如前所述，則 ( ) 0f x = 有四個相異實根⇔ Δ <₁ 0,aΩ < 且₁ 0

1 1

2 2 1

3 2

0 0 0

Δ Ω

Δ Ω Ω >

Δ Ω

。

○

⁷

首先，我們列出兩個證明需要引用的預備引理。

預備引理 1：

若實係數三次方程式x³+Ax²+Bx+ = 的三根為相異非負實數，則C 0 AB−9C< 。0

○

⁸ 將此結果應用：

若三次方程式

1 2

2 1

3 2

1 1 2

2 3

4 0

16 4

4 4 4 4 0

9 2 0

a a

x x b a x

b b

⎛ Δ ⎞

⎛ Δ ⎞

⎜ ⎟

+ Δ + Δ − ⋅⎜⎜⎝ ΔΔ ⎟⎟⎠⋅ − ⋅⎜⎜⎝ Δ ⎟⎟⎠ =

的三根為相異非負實

數，則

1 2

2 1

1 1 2

2 3

4 0

4 4 4 4 16 4

0 2

a a

b a b b

⎛ Δ ⎞

⎛ Δ ⎞

⎜ ⎟

Δ ⋅ Δ − ⋅⎜⎜⎝ ΔΔ ⎟⎟⎠+ ⋅⎜⎜⎝ Δ ⎟⎟⎠

( ) ( )

( )

2 2 2

2 2 2 2 2

1 1 1 2 3 2 1 2 1

2 2

1 1 2 1 3 2

1

2 1 1

3 2

16 8 3 4 16 16 16 4

16 4 2 3 4 4

4 0

64 3 64 0

2

ac b b ab a a ab b

a c b a a

a

a b a

c

⎡ ⎤

= ⋅⎣ − Δ − Δ ⋅ Δ − Δ + Δ + Δ − Δ Δ + Δ ⎦

= ⋅ ⋅ Δ − Δ Δ − Δ Δ + Δ Δ

= ⋅ Δ Δ = Ω <

Δ Δ

。

預備引理 2：

若實係數三次方程式x³+Ax²+Bx+ = 有三個相異實根滿足C 0 A<0,B> 且0 C≤ ，則0

3 2

0

x +Ax +Bx+ = 的三根為相異非負實數。C

○

⁹

註 7：此結論亦可由 Sturm 法則推得，關於 Sturm 法則請參考臺大數學系網站，微積分經典範例 http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/。

註 8：設方程式x³+Ax²+Bx C+ = 的三根為0 α β γ ，因此三數為相異非負實數，由算幾不等式得 , , 6αβγ α β α γ αβ< ² + ² + ²+β γ αγ² + ²+βγ²，即^9αβγ −

(

α β γ αβ βγ αγ+ +

)(

+ +

)

<⁰，再由根與係數 的關係得AB−9C<0。

註 9：設方程式的三根為α β γ ，由, , C≤0知三根為：三正根或「一正根兩負根」或有一根為 0，

(1)若三根有一根為 0，則由B>0知另兩根同正或同負，並由A<0知該兩根同正。

(2)若三根為一正根α 與兩負根β γ ，則由, ^{A= −}

(

^{α β γ+ +}

)

^{<0知α > −}

(

^{β γ+}

)

^>0，得

^{B=α β γ}

(

⁺

)

^{+βγ < −}

(

^{β γ+}

)

^{2+βγ = −}

(

^{β2+βγ γ+ 2}

)

^{<0與B>0不合。}

故由(1)(2)得方程式的三根為相異非負實數。

8 數亦優 定理證明：

當 ( ) 0f x = 有四個相異實根時，則根據解四次方程式的討論，

預解式

1 2

2 1

3 2

1 1 2

2 3

4 0

16 4

4 4 4 4 0

2 0 9

a a

x x b a x

b b

⎛ Δ ⎞

⎛ Δ ⎞

⎜ ⎟

+ Δ + Δ − ⋅⎜⎜⎝ ΔΔ ⎟⎟⎠⋅ − ⋅⎜⎜⎝ Δ ⎟⎟⎠ =

有三個相異非負實根，

此時判別式ℜ < ；另由三根和為0 − Δ（需為正數）得4 ₁ Δ < ，且由預備引理 1 之應用得₁ 0 aΩ < ；₁ 0

再由Δ ≠ 及引理 1 得₁ 0

1 1

2 2 1

3 2

0 0 0

Δ Ω

Δ Ω Ω >

Δ Ω

。

反之，由Δ ≠ 與₁ 0

1 1

2 2 1

3 2

0 0 0

Δ Ω

Δ Ω Ω >

Δ Ω

及引理 1 得判別式ℜ < ，得預解方程式有三個相異實根；0

再由

1 2

2 1

1 1 1 2

2 3

4 0

64 4 4 4 4 16 4 0

0 2

a a

a b a

b b

⎛ Δ ⎞

⎛ Δ ⎞

⎜ ⎟

⋅ Ω = Δ ⋅ Δ − ⋅⎜⎜⎝ ΔΔ ⎟⎟⎠+ ⋅⎜⎜⎝ Δ ⎟⎟⎠ <

，得

1 2

1 1 2

3

4 0

4 4 4 4 0

0 a b a

b

⎛ Δ ⎞

⎜ ⎟

Δ ⋅ Δ − ⋅⎜ Δ ⎟<

⎜ Δ ⎟

⎝ ⎠

，並由已知Δ < 得₁ 0

1 2

1 2

3

4 0

4 4 4 0

0 a b a

b Δ Δ − ⋅ Δ >

Δ

，

於是根據預備引理 2，知預解方程式的三根為三相異非負實數，故根據解四次方程式的討論，

知 ( ) 0f x = 有四個相異實根。

推論（四次方程式沒有實根的條件）：

設 f x( )=ax⁴+bx³+cx²+dx+ 為實係數四次多項式函數，符號e Δ 與_k Ω 同上，則 _j

( ) 0

f x = 沒有實根

1

2 1

3 2 1

2 3

3

0

4 0 0

0 3 4

2 3 0 2 0

0 0 0

a b a c b d c d

Δ Δ Δ

⇔ Δ Δ Δ >

Δ Δ

Δ

且（Δ ≥ 或₁ 0 aΩ ≥ ）。 ₁ 0

底下，我們舉些實例來說明上述定理的應用。

實例 1 》試就 k 值討論方程式3x⁴−8x³−6x²+24x− = 實根的分布。k 0

○

¹⁰

註 10：若令g x( )=3x⁴−8x³−6x²+24x，則^{g x′( )=12}

(

^{x3−2x2− +x 2}

)

^。

(1)令g x′( )=0得臨界點1, 2, 1− ；(2)函數 ( )g x 在臨界點1, 2, 1− 的值分別為13,8, 19− 。 可透過函數y=g x( )圖形與水平線相交狀況，判別原四次方程式的實根個數。

令 ^{f x( )=3x4−8x3−6x2+24x−k f x, ′( ) 12=}

(

^{x3−2x2− +x 2}

)

^，

由Δ 的表達式_k

1 8 2 12 12 1 72

2 4k

⎛ − ⎞

⎜− − ⎟

⎜ ⎟

⋅⎜− ⎟

⎜ ⎟

⎜ − ⎟

⎝ ⎠

，得

Δ =1 12⋅ −

(

28 ,

)

Δ =2 12 64,⋅ Δ =3 12⋅ − +

(

4k 16

)

；

由Ω 的表達式_k

( )

²

1 7 0

2 16 7 12 48

1 4 16

2 0 4

k k

⎛ ⎞

⎜− − ⎟

⎜ ⎟

⋅ − ⋅⎜− − − ⎟

⎜ ⎟

⎜ − ⎟

⎝ ⎠

，得

( ) ( )

2 2

1 12 48 7k 11 , 2 12 48 2k 106 Ω = ⋅ ⋅ − + Ω = ⋅ ⋅ − + ； 計算判別式

( ) ( )

( )( )( )

2 2

1 1

*

2 2 1

2 2 2

1

3 2

16 5

0 7 7 11 0

12 4 12 48

1 16 2 106 7 11

12 28

0 4 0 2 106

2 3 8 13 19

k

k k

k k

k k k

Δ Ω × − × − × −

ℜ = ⋅ Δ Ω Ω = ⋅ − − −

Δ ×

Δ Ω − −

= − × × − − + 。 根據四次方程式實根個數的判別定理，我們有

(1) 當 ( )f x = 有重根時：由0 ℜ = ，得^* 0 k=8,13或 19−

○

¹¹

若k= ，則方程式的四根為 2（重根）與兩實根8 2 10

3

− ± 。

若k =13，則方程式的四根為 1（重根）與兩實根1 2 10 3

± 。

若k = − ，則方程式的四根為 119 − （重根）與兩共軛虛根7 2 2 3

± i

。 (2) 當 ( )f x = 有四個相異實根時：由0 ℜ > Δ < 且^* 0, ₁ 0 3Ω < ，得8₁ 0 < <k 13。

(3) 當 ( )f x = 沒有實根，即 ( ) 00 f x = 有四個虛根時：由ℜ > 且^* 0 3Ω ≥ ，得₁ 0 k< − 。 19 (4) 當 ( )f x = 有兩個相異實根與兩個共軛虛根時：由0 ℜ < ，得 19^* 0 − < < 或13 kk 8 < 。

註 11：經移根 2

x− 調整，原方程式成為3

4 2

2 14 2 80 2 104 9

3 3 3 27 3 27 0

x x x − k

⎛ − ⎞ − ⋅⎛ − ⎞ + ⋅⎛ − ⎞+ =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ，其預解方程

式為 ³ 28 ² 36 172 6400 3 27 729 0

y − y + k+ y− = 。當k=8時，三根為10

9 （重根）﹐64

9 ；當k=13時，三根 為40

9 （重根）﹐4

9；當k= − 時，三根為19 8

− （重根）﹐9 100 9 。

10 數亦優

實例 2 》試就 k 值討論方程式x⁴−4x²+kx− = 實根的分布。 1 0 令 f x( )=x⁴−4x²+kx−1,f x′( )=4x³−8x+ ，得 k

1 32, 2 12 ,k 3 16

Δ = − Δ = Δ = − ；^{Ω =1 42⋅ ⋅4 9}

(

^{k2−160 ,}

)

^{Ω =2 4 162⋅ k；}

計算判別式

( )

( )( ) ( )

2 2

1 1 3

* 2

2 2 1

2 10

1

3 2

8 2

0 8 9 160 0

4 4

1 3 4 9 160

0 2 4 0 4

2 4 4 27 400

k

k k k

k

k k k

Δ Ω −

ℜ = ⋅ Δ Ω Ω = − ⋅ ⋅ − −

Δ Δ Ω

= − ⋅ − + − 。

根據四次方程式實根個數的判別定理，我們有

(1) 當 ( )f x = 有重根時：由0 ℜ = ，得^* 0 k= ± 或4 20 3

± 9 。

○

¹²

若k= ，則方程式的四根為 1（重根）與兩實根 14 − ± 2。

若k= − ，則方程式的四根為 14 − （重根）與兩實根1± 2。 若 20 3

k = 9 ，則方程式的四根為 3

3 （重根）與兩實根 3 30 3

− ±

。

若 20 3

k = − 9 ，則方程式的四根為 3

− 3 （重根）與兩實根 3 30 3

± 。

(2) 當 ( )f x = 有四個相異實根時：由0 ℜ > Δ < 且^* 0, ₁ 0 Ω < ， ₁ 0

得

( )( ) (

²

)

2

4 4 27 400 0 9 160 0

k k k

k

⎧ + − − <

⎪⎨

− <

⎪⎩ ，取 20 3

4 k 9

− < < − 或20 3

9 < < 。 k 4

(3) 當 ( )f x = 沒有實根時：由0 ℜ > 且^* 0 Ω ≥ ， ₁ 0

得

(

^k+4

)(

^{k−4 27}

) (

^k2−400

)

^{< 且0 9k2−160}≥ ，此時 k 無實數解。 ⁰ 也就是說，不論 k 為何實數值， ( ) 0f x = 恆有實根。

(4) 當 ( )f x = 有兩個相異實根與兩個共軛虛根時：由0 ℜ < ， ^* 0 得 20 3 20 3

4, 9 9

k< − − < <k 或 4 k< 。

註 12：預解方程式為y³−8y²+20y−k² = 。 0

當k= ± 時，三根為 2（重根）﹐4；當4 20 3

k= ± 9 時，三根為10

3 （重根）﹐4 3。

實例 3 》討論方程式3x⁴−4kx³+ = 實根的分布。1 0

○

¹³（取材自 91 年指考數甲考題）

方法一：

令 f x( )=3x⁴−4kx³+1,f x′( ) 12= x³−12kx²，得

2

1 48k , 2 0, 3 48

Δ = − Δ = Δ = ；Ω =₁ 2¹⁰⋅ ⋅3³ k²,Ω = −₂ 2¹⁰⋅ ⋅ 。 3³ k³ 就Δ 是否為 0 討論： ₁

情形 1：當k= 時，方程式0 3x⁴−4kx³+ = 沒有實根。 1 0 情形 2：當k≠ 時，0 Δ ≠ ，計算判別式 ₁ 0

( )

( ) ( )

2 2

10 3 2

1 1

* 16 5 4

2 2 1

2 2 2

1

3 2

0 1 0

48 2 3

1 0 1 2 3 1

0 48 1 0

k k

k k

k k

Δ Ω

− ⋅ ⋅ ⋅

ℜ = ⋅ Δ Ω Ω = ⋅ − = − ⋅ ⋅ −

Δ Δ Ω − −

。

根據四次方程式實根個數的判別定理，我們有 (1) 當 ( )f x = 有重根時：由0 ℜ = ，得^* 0 k= ± ， 1

若k= ，則方程式的四根為 1（重根）與兩共軛虛根1 1 2 3

− ± i

。 若k = − ，則方程式的四根為 11 − （重根）與兩共軛虛根1 2

3

± i

。

(2) 當 ( )f x = 有四個相異實根時：由0 ℜ > Δ < 且^* 0, ₁ 0 3Ω < ，得₁ 0

( )( ) (

²

)

2

1 1 1 0

0

k k k

k

⎧ + − + <

⎪⎨

⎪⎩ < ，

此時k 無解。也就是說，不論 k 為何實數值， ( )f x = 都不會有四個相異實根。 0 (3) 當 ( )f x = 沒有實根時： 0

情形 1：當k= 時，方程式0 3x⁴−4kx³+ = 沒有實根。 1 0 情形 2：當k≠ 時，0 Δ ≠ ，由₁ 0 ℜ > 且^* 0 Δ ≥ 或₁ 0 Ω ≥ ， ₁ 0

得

( )( ) (

²

)

2

1 1 1 0

0, 0

k k k

k k

⎧ + − + <

⎪⎨

≥ ≠

⎪⎩ 且 ，取 1− < < 但k 1 k≠ 。合併上述結果，取 10 − < < 。 k 1 (4) 當 ( )f x = 有兩個相異實根與兩個共軛虛根時：由0 ℜ < ，得^* 0 k< − 或1 k1 < 。

註 13：經移根 3

x− 調整，原方程式成為k

4 2 2 3 4

2 8 9

3 3 3 27 3 27 0

k k k k k k

x x x −

⎛ − ⎞ − ⋅⎛ − ⎞ − ⋅⎛ − ⎞+ =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ，

其預解方程式為

2 4 6

3 4 2 16 36 64

3 27 729 0

k k k

y − y + − y− = ，當k= ± 時，三根為1 ²

−9 （重根）﹐¹⁶ 9 。

12 數亦優

方法二：作倒根變換

方程式3x⁴−4kx³+ = 實根的分布相當於方程式1 0 x⁴−4kx+ = 實根的分布。 3 0 令g x( )=x⁴−4kx+3,g x′( )=4x³−4k，得Δ = Δ = −₁ 0, ₂ 48 ,k Δ =₃ 48；計算判別式

○

¹⁴

( )

1

2 1

* 2 3 16 3 4

3 2 1

2 3

3

0

4 0 0 1 0 0 0 0

0

3 4 0 1 0 0

4 48 2 3 1

2 3 0 0 1 0

2 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 1

a

b a k

c b k k

d c k k

d k

Δ

Δ Δ −

ℜ = Δ Δ Δ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ −

Δ

Δ − −

Δ −

。

根據四次方程式實根個數的判別定理，我們有 (1) 當 ( )g x = 有重根時：由0 ℜ = ，得^* 0 k= ± 。 1

(2) 不論 k 為何實數值， ( )g x = 都不會有四個相異實根（因0 Δ = ）。 ₁ 0

(3) 當 ( )g x = 沒有實根時：由0 ℜ > （因^* 0 Δ = ），得₁ 0

(

^k+1

)(

^k−1

) (

^k2+ < ，取 1¹

)

⁰ − < < 。 k 1 (4) 當 ( )g x = 有兩個相異實根與兩個共軛虛根時： 0

由ℜ < ，得^* 0

(

^k+1

)(

^k−1

) (

^{k2+ > ，取1}

)

^{0 k}< − 或1 k¹ < 。

《附錄一》說明ℜ = Φ − ⋅ Δ +^{2 4}

(

^{4 12 12M}

)

³=²¹⁶⋅ −

^{( )}

^{3 3}⋅^a4⋅ℜ 。 ^* 1. 將 5 階行列式展開化簡：

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ^{( )}

1

2 1

*

1

3 2

2 3

3

3 3 3 2 2 2

2 2 2

1 2 3 1 2 1 2 1 3

2 2 2

2

1 3 2 3 2 3 1 2 3

0

4 0 0

3 4 0 2 3

2 0

0 0 0

4 16 3 2 9 16

4 6 12 8 12 6

a b a c b d c d

d ad a bd cd b ac

c bd ab ac ad bc

Δ Δ Δ

ℜ = Δ Δ Δ

Δ Δ Δ

= Δ − Δ + Δ + Δ Δ − Δ Δ + − Δ Δ + − Δ Δ + − Δ Δ + Δ Δ + − Δ Δ Δ 。

2. 計算判別式ℜ = Φ − ⋅ Δ +^{2 4}

(

^{4 12 12M}

)

³：

(1) ^{12 1 8 2}

(

^{22 1 3 2 1 1}

)

3 2

4 0

64 3 3 2 3 9 4 9

2 9 a

a b a c bd

c Δ

Φ = − ⋅ Δ Δ = − ⋅ Δ − Δ Δ + Δ − Δ Δ Δ

(2) ^{4Δ +12 12M =16a⋅}

(

^{2cΔ − Δ +1 3b 2 12aΔ =3}

)

^16a⋅4a⋅

(

^{4c2−9bd+ Δ3 3}

)

註 14：當Δ =₁ 0時，判別方程式根的分布不需計算Ω_k。

( )

(

²

)

²

( ( ) )

³

16 4 2 2 2

2 1 3 1 3

(3) ℜ =2 a ⋅⎡⎢⎣ 3Δ − Δ Δ +9 4c −9bd Δ −16a ⋅ 4c −9bd + Δ3 ⎤⎥⎦

( ) ( )

( ) ^{( ) ( )}

( )

( ) ( )

4 2 2 2 2 2

16 4 2 2

2 1 2 3 1 3 1 2 1 3

2 2 2 3 2

2

1 3 1 2 3

2 2

2 2

1 1 2 2 3

2 2

2 2 2

1 1 2 2

4 2 2 2

16 4 2

2 1 2 3 1 3

2 9 54 81 6 4 9 18 4 9

4 9 27 4 27 4 2 3

9 4 12 9

4 9 4 12 9

2 9 54 81 24 5

a c bd c bd

c bd a a c b

c bc b

c bd c bc b

a c

= ⋅ Δ − Δ Δ Δ + Δ Δ + ⋅⎡⎣ − Δ Δ − ⋅ − Δ Δ + − Δ − ⋅ Δ − ⋅ ⋅ Δ − Δ Δ

− ⋅ Δ − Δ Δ + Δ Δ

− − Δ − Δ Δ + Δ ⎦⎤

= ⋅ Δ − Δ Δ Δ + Δ Δ +

(

−

) ( )

( )

( ) ( )

2 2 2

1 2 1 3

2 3 2

2 2 2 2

1 3 1 3

2 2 2

2 3 1 2 3 2 3

2 2 2 2

1 2 2

4 108 162

36 81 432 216

324 108 81

4 9 12 4 9 9

bd c bd

bc d b d a ac

ab bc b

c bd bc c bd b

⎡ Δ Δ + − + Δ Δ

⎣

+ − + Δ − Δ − Δ Δ

+ Δ Δ + Δ Δ Δ − Δ Δ + − ⋅ Δ Δ − − ⋅ Δ ⎦⎤

( ) ^{( )}

( ) ( ) ( )

( )

3 2 2

16 4 2 2

2 2 2 1 2 3

2 2 2

2 2 2

1 3 1 2 1 3

2 3 3 2 2

2 2 2 2

1 1 3 1 3 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 108 36 216 108 648

648 243 24 54 108 162

36 216 27 432 216 324

108 324 54

a ad b c abcd bc ad

ac b c bd c bd

bc d acd d a ac ab

bc ad bc

= ⋅⎡⎣ Δ + Δ − Δ + − Δ Δ Δ

+ − Δ Δ + − Δ Δ + − + Δ Δ

+ − + Δ − Δ − Δ − Δ Δ + Δ Δ

+ Δ Δ Δ +

(

Δ Δ Δ − Δ Δ Δ −

)

( ) ( )

( )

( ) ^{( )}

( )

2

2 3

2 2 2 3 2 2 2

1 2 1 2 2

3 3 3 2 2 2

16 4 2 2 2

2 1 3 1 2 1 2 1 3

2 2 2

2

1 3 2 3 2 3 1 2 3

3 2 2

2

216

36 24 81 36

2 108 27 432 36 54 162 108

432 243 216 324 162 324

81 216 36

ac

cd c b d b c

a ad d a cd bd bd c

ac b ac ab bc ad

b d abcd bc

Δ Δ + Δ Δ − Δ Δ + − Δ ⎦⎤

= ⋅⎡⎣ Δ − Δ − Δ + Δ Δ − Δ Δ + − Δ Δ

+ − Δ Δ − Δ Δ + Δ Δ + − Δ Δ Δ

+ − Δ + −

(

^d+216acd2

)

_{Δ ⎦}^12⎤

[ ( )

( ) ^{( )}

( ) ( ) ( )

3 3 3 2 2 2

16 4 2 2 2

1 2 3 1 2 1 2 1 3

2 2 2

2

1 3 2 3 2 3 1 2 3

2 2

1 2 1 2

3 3 3 3 2 2

16 4 2 2

1 2 3 1 2 1 2

2 27 108 432 54 36 432 243

162 108 324 216 162 324

27 18

2 3 4 16 3 2 9

a d ad a bd cd ac b

bd c ab ac bc ad

bd cd

a d ad a bd cd

= ⋅ − Δ + Δ − Δ − Δ Δ + Δ Δ + − Δ Δ

+ − Δ Δ + Δ Δ − Δ Δ + − Δ Δ Δ

− Δ Δ + Δ Δ ⎦⎤

= ⋅ − ⋅ Δ − Δ + Δ + Δ Δ − Δ Δ +

( )

( ) ( ) ^{( )}

2 2

1 3

2 2 2

2

1 3 2 3 2 3 1 2 3

16

4 6 12 8 12 6

b ac

c bd ab ac ad bc

⎡ − Δ Δ

⎣

+ − Δ Δ + − Δ Δ + Δ Δ + − Δ Δ Δ ⎦⎤ 所以ℜ = Φ − ⋅ Δ +^{2 4}

(

^{4 12 12M}

)

³=²¹⁶⋅ −

^{( )}

^{3 3}⋅^a4⋅ℜ^*。

14 數亦優

《附錄二》說明行列式轉換。

1. 行列式性質Ⅰ（三階轉換成五階）：

令Ω 為下列表達式第 1 列、第 2 列與第_k k+ 列所成之三階行列式： 2 0

0 A X B Y X C Z Y

D Z

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

，即 ₁

0 A X B Y X C Z Y

Ω = 且 ₂

0

0 A X B Y X

D Z

Ω = ，若X ≠ ， 0

則

1

2

2 1

2

0 0 0

0 0

0 0

0 0 0

A X

X B A Y X

Y X C B Z Y X

Z D C Z Y

D Z

Ω

Ω Ω = ⋅ Ω

。

說明：

1

2 2 1 2 1 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

(1) 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 A X

B Y X X C Z Y

Y D Z C Z Y

Z D Z

A X B Y X

A X A X A X

B Y X B Y X B Y X

D Z C Z Y C Z Y C Z Y

X Y Z

D Z D Z D C Z Y

A X A X A X

B Y X B Y X B Y X

X

X Y Z Y

= ⋅ − ⋅ + ⋅

Ω

= ⋅ Ω ⋅ Ω − ⋅ Ω ⋅ Ω + ⋅ Ω ⋅ Ω = Ω_{2 1} 0 2

Z

Ω Ω

1

2 1

2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

(2) 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

A X A X

B Y X B Y X

X X C Z Y X C Z Y

Y Y D Z C Z Y D Z C Z Y

Z Z D Z D Z

A X A X

B Y X X B Y X

Ω

Ω Ω = =

Ω

−

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0

A X

A X A X

B Y X

B Y X B Y X X

X C Z Y

D Z C Z Y D Z C Y

X X

D Z C Z Y

D Z D Z

D Z

A X A X

A X

C Z Y B Y X C Z Y B X

C Z Y B Y X

−

= = ⋅ = ⋅

^{2 2}

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 A X

A X A X

B Y X A

B Y X A B A Y X

D Z C Y

X X D Z C Y X C B Z Y X

D Z

D Z D C Z Y

A X

C Z Y B X D Z

C Z Y B X

= ⋅ = ⋅ = ⋅

例如，在四次方程式中，

( ) ( )

1

1 1 2 1

2 2 *

2 2 1 1 3 2 1 1

3 2 3 2

3

4 0 0 0

0 3 4 0

2 3

0 2 0

0 0 0

a b a c b d c d

Δ

Δ Ω Δ Δ

Δ Ω Ω = Δ ⋅ Δ Δ Δ = Δ ⋅ℜ

Δ Ω Δ Δ

Δ

。

2. 行列式性質Ⅱ（五階轉換成七階）：

令Ω 為下列表達式第 1 列、第 2 列與第_k k+ 列所成之三階行列式： 2 0

0 A W B X W C Y X D Z Y

E Z

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

，即 ₁

0 A W B X W C Y X

Ω = ， ₂

0 A W B X W D Z Y

Ω = ，且 ₃

0 0 A W B X W

E Z

Ω = ，

若W ≠ ，則0

1

2 1

4

3 2 1

3 2

3

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

A W

W B A X W

X W C B A Y X W

Y X W D C B Z Y X W

Z Y E D C Z Y X

Z E D Z Y

E Z

Ω Ω Ω

= ⋅ Ω Ω Ω

Ω Ω Ω

。