1 連鎖律

梯度與極值

1 連鎖律

• 單變數：

d

dtf (g (t)) = df dg

dg (t) dt

• 多變數（單參數）：

d

dtf (r (t))≡ lim

∆t→0

f (r (t + ∆t))− f (r (t))

∆t =?

假設f (r)可微分，則

f (r + ∆r) = f (r) +∇f · ∆r + O³ h´

∴ d

dtf (r (t)) = lim

∆t→0∇f · ∆r

∆t =∇f · r⁰(t) 或寫為

d

dtf (r (t)) = ∂f

∂x dx

dt + ∂f

∂y dy dt + ∂f

∂z dz dt

• 多變數（多參數）：

f (x, y) , 若x = x (s, t) , y = y (s, t) 則∂f

∂s = ∂f

∂x

∂x

∂s + ∂f

∂y

∂y

∂s

∂f

∂t = ∂f

∂x

∂x

∂t + ∂f

∂y

∂y

∂t 可類推到更多變數或參數

( ) ^{x, y}

θ r

x

y

Exercise 1

½ x = r cos θ

y = r sin θ 函數為f (x, y) 證明

µ∂f

∂x

¶2

+ µ∂f

∂y

¶2

= µ∂f

∂r

¶2

+ 1 r²

µ∂f

∂θ

¶2

pf: s, t → r, θ

∂f

∂r = ∂f

∂x

∂x

∂r +∂f

∂y

∂y

∂r = cos θ∂f

∂x + sin θ∂f

∂y

∂f

∂θ = ∂f

∂x

∂x

∂θ +∂f

∂y

∂y

∂θ =−r sin θ∂f

∂x + r cos θ∂f

∂y 代入上式可証得

2 切線與切面

• 平面曲線方程式：y = f (x) 或 f (x, y) = c （c為常數）e.g. x²+ y² = c²

( )

0

r t

r

( )

' t

rr

^{f r} ( ^r ( ) ^t

)

也可寫為參數式r (t) = (x (t) , y (y))

• 對∀t, f (x, y)都是常數c

∴ df (r (t))

dt =∇f · r⁰(t)

|{z}

切線

= 0

∇f ⊥切線，∴為法線方向

∴通過r⁰點的切線方程式為

(r (t)− r⁰)· ∇f (r⁰) = 0 （法線式）

• 曲面方程式：z = f (x, y)或f (x, y, z) = c

( ) r

∇

f r

令r (t) = (x (t) , y (t) , z (t))為曲面上通過r0點的某一曲線 對∀t, f (x, y, z)都是常數c

∴ df

dt =∇f · r⁰(t) = 0

上式對任意通過r0的曲線都適用（r⁰(t0)為切線）

∴ ∇f (r⁰)為曲面在r0點的法線向量

→通過r⁰點的切面方程式為 (r (t)− r⁰)· ∇f (r⁰) = 0.

Example 2 求曲面 z = x²

2a + y² 2b

在(x₀, y0, z0)點的切面方程式 Sol'n:

f (x, y, z)≡ x² 2a+ y²

2b − z = 0

∇f =³x a,y

b,−1´

→ (x − x⁰)x0

a + (y− y⁰)y0

b − (z − z⁰) = 0

3 極大與極小

若f在r₀可微分且在r₀有一區域極值，則∇f (r⁰) = 0 （反之不然）

pf: 考慮z = f (x, y)（３變數同理可証）

由於f (r₀)為極值點，沿x, y方向曲線的變化率應有

∂f (x, y0)

∂x

¯¯

¯¯

x=x0

= 0, ∂f (x0, y)

∂y

¯¯

¯¯

y=y0

= 0, ∴ ∇f (r⁰) = 0

Note: 若∇f (r⁰) = 0，則r0稱為靜止點（stationary point）．它可能為極值點，也可 能為鞍點（saddle point）

鞍點：

x

y z

4 二變數Taylor展開式

f (x, y)對(a, b)點作Taylor展開 引入參數t, 令

½ x = a + ut

y = b + vt （u, v視為常數，沿某一方向展開）

然後展開單變數函數g (t) ≡ f (a + ut, b + vt) g (0) = f (a, b)

g (1) = f (a + u, b + v) g (1) = g (0) + g⁰(0) + 1

2!g⁰⁰(0) + ... (1)

其中

g⁰(t) = dx dt

∂f

∂x +dy dt

∂f

∂y（見１.連鎖律）

= µ

u ∂

∂x + v ∂

∂y

¶

f (a + ut, b + vt)

g⁰(0) = u∂f (a, b)

∂x + v∂f (a, b)

∂y g⁰⁰(t) =

µ u ∂

∂x + v ∂

∂y

¶ g⁰(t)

= µ

u ∂

∂x + v ∂

∂y

¶2

f (a + ut, b + vt)

依此類推後，代入(1)式可得 f (a + u, b + v) = f (a, b) +

µ u ∂

∂x + v ∂

∂y

¶

f (a, b) +1

2!

µ u ∂

∂x + v ∂

∂y

¶2

f (a, b) + ...

或

f (x, y) = f (a, b) +

∙

(x− a) ∂

∂x + (y− b) ∂

∂y

¸

f (a, b) +1

2!

∙

(x− a) ∂

∂x + (y− b) ∂

∂y

¸2

f (a, b) + ...

5 極值的二階偏導數測試

單變數：f⁰(x0) = 0

若f⁰⁰(x0) > 0，則x0為極小值點 若f⁰⁰(x0) < 0，則x0為極大值點 若f⁰⁰(x0) = 0，則需進一步分析 二變數：∇f (r⁰) = 0 ，然後？

利用Taylor展式，在(a, b)附近 f (x, y) ' f (a, b) + 1

2!

∙

(x− a) ∂

∂x + (y− b) ∂

∂y

¸2

f (a, b)

= f (a, b) + 1 2

∂²f

∂x² (x− a)²+ ∂²f

∂x∂y (x− a) (y − b) +1 2

∂²f

∂y² (y− b)² 後三項形如

Ax²+ 2Bxy + Cy² ≡ h (x, y)

= 1 A

¡A²x²+ 2ABxy + ACy²¢

= 1 A

£(Ax + By)²+¡

AC− B²¢ y²¤

1. 若A > 0，且

Hesse行列式

¯¯

¯¯ A B B C

¯¯

¯¯ > 0，則h (x, y) > 0, ∀x, y （鄰近的）

2. 若A < 0，且

¯¯

¯¯ A B B C

¯¯

¯¯ > 0，則h (x, y) < 0, ∀x, y （鄰近的）

3. 若

¯¯

¯¯ A B B C

¯¯

¯¯ < 0，則(0, 0)為鞍點（證明略）

4. 若

¯¯

¯¯ A B B C

¯¯

¯¯ = 0，則需進一步判定（e.g., f (x, y) = y²− x³）

令

A = ∂²f (a, b)

∂x² , B = ∂²f (a, b)

∂x∂y , C = ∂²f (a, b)

∂y² 則由以上方式可判定f (a, b)的極值性質．

hw 1 假設由f (x, y) = 0可得出y (x)，且y (x)為一可微分函數．證明若^∂f_∂y 6= 0，則 dy

dx =−∂f /∂x

∂f /∂y

hw 2 證明由三個座標平面及曲面xyz = a³的任一個切平面所形成的4面體皆有相同的體 積．此體積是多少？