第三章电介质

(1)

第三章电介质

(2)

(3)

电磁学03-01: 电介质极化

 回顾静电场中导体的性质：

 (1) 静电平衡条件：静电平衡时，导体內部场强处处为零，

每个导体都是等势体(电荷静止(宏观)，充要条件)。

 (2) 静电感应：静电平衡中所指的场乃一切电荷合场。

 (3) 分布在导体表面：静电平衡时，导体所带电荷分布在导

体表面, 导体内部不可能有未抵消的静电荷。 针对自由电荷真空静电场

(4)

 引入导体或者电介质会怎样？

极化电荷、束缚电荷

(5)

 电荷量不变，电势差下降？静电能下降？

(6)

 非极性分子 位移量10^-15m

p ~ e10^-15m~1.610^-34Cm

(7)

 非极性分子：极化电荷与偶极矩估算

 电子位移极化：外场下，电介质内各体积元中分子偶极矩的总和不等于零，呈电性。外场撤消后，电性消失。

(8)

 极性分子：分子正负电荷中心不重合

 本身固有电偶极矩，

如：HCl, H₂O, NH₃

 极性分子的性质：

 分子电矩量级：e(原子间隔) ~10^-29C·m

 外场中偶极矩能量：2pE ~210^-4eV

 室温下热运动能量： 3/2kT ~0.04eV

(9)

 加电场极化：

(10)

 包含电子极化与分子取向极化：

 取向极化：外场下,电介质的分子偶极子倾向于沿电场方向排列, 使得各体积元中分子偶极矩的总和不等于零。

 种类：电子极化、分子取向极化、离子极化

(11)

 电介质极化总结：

(12)

(13)

电磁学03-02: 极化物理量

 极化电荷 Q⁽^,^)：

 极化后果：从原来处处电中性变成出现了宏观的极化电荷；

可能出现在介质表面 (均匀介质)面分布；

可能出现在整个介质中(非均匀介质)体分布。

 极化电荷会产生电场——附加场(退极化场)。

 极化过程中：极化电荷与外场相互影响、相互制约，过程复 杂——达到平衡(不讨论过程)；

 平衡时总场决定了介质的极化程度。

(14)

 极化强度 P 是单位体积电偶极矩的代数和；

 P 由极化负电荷指向极化正电荷。

i i i

p Q l P ^ ^  d  ^ ^  d  ^

介质中一点的

P(宏观量 )

微观量、矢量

介质的体积，宏 观小微观大(包含

大量分子)

 如果是非极性介质，有无外电场时极化强度 P 如何？

 如果是极性分子，有无外电场时极化强度P 如何？决定于温度 T ？

(15)

 退极化场 E^：附加场

 在电介质内部：附加场与外电场方向相反，削弱；

 在电介质外部(特定空间)：附加场与外电场方向相同，加强。

(16)

 三种物理表述：

 三者从不同角度定量地描绘同一物理现象——极化，之间必有 联系，这些关系——电介质极化遵循的规律。

(17)

 极化电荷 dQ：穿过 dS 面元的偶极子电荷数目。

 P 与 Q ^的关系：

 以位移极化为例，设介质极化时每一个分子中的正电荷中心相 对于负电荷中心有一位移 l，用 q 代表正、负电荷的电量，则一 个分子电偶极矩为 P_分子；

 设单位体积内有n 个分子 —— n个电偶极子，则：

 cos dSl

V 



l q

P

^分子

 ^P ^ ⁿ ^P

^分子

^ ^nq ^l

(18)

 在介质内部任取一面元矢量dS，必有电荷因为极化而移动从而 穿过 dS，从该柱体内穿出的极化电荷总量为 dQ：

(19)

 取闭合曲面S，以曲面外法线方向 n 为正，P 经整个闭合面 S 的 通量等于因极化穿出该闭合面的极化电荷总量 q^{。根据电荷守} 恒定律，穿出S的极化电荷等于S面内净余的等量异号极化电荷 -q^。

c

'

o

'

s

S S

S

dQ

P d S q q

nq V nqldS nql d S P d S dQ P dS



        

 

  

 













  

 







穿出面内

P在dS上的通量

(20)

 极化强度 P 沿闭合曲面的积分是极化电荷的负数：

' lim /

S V S

Q P dS  P dS V divP P



 

    ^  ^      ^  ^    ^    ^

(21)

 极化电荷面密度 ：在均匀介质表面取一面元如图，则因极化 而穿过面元dS的极化电荷数量为：

'

' '

( cos )

ˆ

n

e

n

dQ P dS P dS

dQ dS nqdV

nq ldS nql d S P ndS dQ P P n

dS







  

 

    

     

 

   



(22)

电磁学03-03: 电感应强度

 微观场与宏观场的定义：

 在原子、分子、电偶极子尺度，且库仑定律依然适用前提下，

我们“探测”到的电场及其分布---微观场(它可以大幅度涨落)；

 宏观尺度下，对微元中的微观场求得的平均场---宏观场。

 介质方程：库仑定律在10^-15m尺度依然有效，因此微观场满足 真空静电学，有电场 E_m 和电荷密度 _m^，

0

0, 1

m m m

L S V

E dl E dS   d

    

 ^ ^  ^ ^ 

 

, ,

m m m m m

L L S S

E  dl  E  dl E  dS  E  dS E  E 

 ^ ^  ^ ^  ^ ^  ^ ^ ^ ^

    

( ) f ,

f f dx fdx

x x

   

 

 

(23)

 容易出现“悖论”：针对一个电荷 Q，应用下式

? ?? ?

m m

S S

E  dS  E  dS

 ^ ^  ^ ^

 

/

0

0, 0 0

m m

S S S

E  dS  Q   E  dS   dS 

 ^ ^  ^ ^  ^

  

Q

S

 微观场是针对物质内部大数的等量正负电荷体系。

0 1

/ 0,

N

m m m

S i S S

E dS ^Q



E dS E dS



 



    



^ ^



^ ^



^ ^



  

(24)

 因此，对于宏观场，有：



0

 

0

 

0



0 0 0

0

1 1 1

L

m m

S V V S

E dl

E dS

 

d

  

d



Q Q

  

  



          





   

 

 



微观电荷密度平均值

宏观自由电荷密度宏观极化电

荷密度

宏观极化电荷

宏观自由电荷

 上式为有介质时宏观环路定理和高斯定理，也可写成微分形式：



0



0

0, 1

rotE divE

 



^

     

(25)

 介质中的电势：

0

3 3

0 0

1 1 '

4 4

m

m m m

r r

E E d d

r r

E U E E U

   

 

  

     



^



^

 

  

E₀ E

(26)

 电感应强度 D：

0 0

0

' ' , 1

( )

1 '

V

S V S V

s S

S V

P dS Q d E dS d

dS d Q dS Q

d

E P D

D E P

  



   



 

         

       

 

   

 

  



  

 



 





 

内内

电感应强度电位移矢量

 电感应线源于正自由电荷，终止于负自由电荷。

 0   0 

0 0

1 1

S V S

E dS   d Q Q

 ^  ^

     

 ^ ^ 



(27)

 归纳总结电介质静电场：

 引入辅助量 D 是一个手段，在静电场中作用不大；

 D 和 ₀E₀ 在本质上是不同的，在普遍的情况下不能相互代替。

 

0

0 0

0 0 0

1 1

( ')

L L

S V

S V s

D E P

E dl rotE D dl

E dS d divE

D dS d Q divD



    

 

  

 

     

 

      



 



     

 

 

  

  

 

 



 



 

 



内

电感应强度

环路定理

高斯定理

(28)

电磁学03-04: 极化率与介电常数

 顾名思义，极化率是 P 对电场 E 的响应，因此：

 极化率无量纲，体现了电偶极矩的响应程度；

 E为合场强：电偶极子产生的电场与外场叠加；

 介电常数的概念。

 介质中自由电荷与极化电荷的关系？循环论证？

(1) (2) (3)

0 0

2 3

0 0 0

0 0 0 0

.

1 ..

( 1 ) ,

r

r r

P E

P E E E

D E E E E



  





  

  

   

 



  

    



 





 



 

    

 

0

d d

1

S S

P S E S

Q Q Q

Q Q

 



  

 

  

  



 

 

 

 

内内

各向同性介质

(29)

电磁学03-05: 电介质静电场

 与计算真空静电场比较，电介质静电场计算更为复杂，但基本思路一致；

 可以充分利用对称性来做简化，然后利用环路定理与高斯定理：

0 0

0

= ( ) 0

(free charges)

L L L L L

S S

D dl E P dl E dl P dl P dl D dS Q

 

         

 

    

 

          



    



内

(30)

 【例p.114】求 (1) D, E & P；(2) 极化电荷分布及对应的场强；

(3) 电容。

a) 对称性分析：电矢量沿径向方向分布；

b) 作高斯柱面，应用高斯定理；

0

2 2

2 ( )

, ( )

, 1 (

2 )

S

r

r r

r

Q L D dS rLD D a r b

D E a r b

D E P a r b

r

E r

P r

 

   

 

















      

   

      



^ ^





(31)

 极化电荷由电容器正负极上的自由电荷诱发，只存在于介质与电极界面处。

 既然是自由电荷诱发的，极化电荷一定取如下分布(附加 E₀ 的分 布)：

 计算电容：

0 0

0

ln 2

2 ln( / )

b

r

r a r

b Q L

C C C

a U

U E dr a

b



 

  



 

 



^ ^    

(32)

电磁学03-06: 电介质的电场能问题

 含电介质的电容器电能：

 功能原理：电源供给系统能量用于增加电能 dW 并对外做功 dA

2

1 2 1 2

1 1

( ) ( )

2 2 2

W Q Q U U C U U

 C    

i i

U dQ  dW  dA



以平板电容器为特例

(33)

电磁学03-07: 电介质静电学问题举例

 【p.118例】将一平行板电容器的两板竖直的插在 液态电介质中，两板间保持一定的电势差 U₁₂， 试求液面上升的高度。(重力与电场力的平衡)

＋

－

F F

＋＋－－

2 0

1 ( 1)

2 ^r

f 

 

 E ⁰⁽ ¹⁾ ² ⁰ ¹²²₂

2 2

r E U

h g ga

   

 

  

2 1 2 1 0

2 2

0 0

( ) ( ) ( 1)

1 1

( )

2 2

r

dQ b dh b D D dh b Edh

dW E E Sdh

dA Sfdh

   

  

     

 



12

12 ( )

U dQ dW dA U E S

b

 

 

f   g h

 注意：液面上升过程有能量耗散

(34)

 【例2.2.1】自由电荷 q₁ 和 q₂ 放在电容率为  ^{的无穷大电介质} 中，相距为 r。求 q₁ 作用于 q₂ 上之力，q₂ 之受力：

 考虑到 q₂ 引起的极化电荷 q₂ 围绕 q₂ 周围，球面对称，因 此 q₂ 对 q₂ 的作用力合力为零。

 剩下的是 q₁ 和 q₁ 周围极化电荷 q₁ 对 q₂ 的作用力。

1 2

21 3 12

0

0 0

1 1 2 2

1 2

2 21 21 3 12

1 4

, 1 & 1

1

1 4

F q q r

r

q q q q q q

F F F q q r

r



 



  





   

             

   

 



   

(35)

2

0 0 0

( ) cos

2 sin cos

1 cos

4 3

1 3 n n P P

dq dS R P d

dq P

dE E E P

R

 

    

   

   

   

         

 



 【例2.2.17】均匀介质球在均匀极化后极化强度 P，求表面极化 电荷面密度；球心电场强度。

(36)

电磁学03-08: 电介质分界面问题

 两种电介质 _r1, _r2^{，假定无界} 面自由电荷 Q₀

 静电场物理量在界面过渡问题

 沿界面内任意方向 l 应用环路定理：折射行为

1 2 1 1 1 2

1 2

0 ( cos co

coplanar behavi

s 0

or

)

t t

E l E l

E

E E

E

 

        

 

  



0

1 2

t i

r r

t r

i

D D

D E

 





 



(37)

 因界面无自由电荷，沿界面法线方向 n 微元应用高斯定理(为什么 不能对 E用高斯定理？^{[因为对 E 的高}

斯定理右边含有极化电荷])：

2 1 0 2 1

2

0

1 2

1

n n

r r

n n

D ndS D ndS dS D D E E

D D









   



 







   

注意：法向分量可看成标量，而切线

分量还是矢量

(38)

 将电感应强度的切向与法向分量几何化，即得到右图的折射类比：

1 1 1 2 2 2

1 2

1 1

2

2 1

tan ta

tan / , tan /

n

t n t n

t n

r r

D D D D

 



 



 

  

 上面显示的是 D 线折射，也是 E 线折射，类比于光折射！

 注意到光是电磁波，光的折射率与介电常数有比例关系：n=

，当然，这里折射率是静态条件下的，而光折射论及光频下的介电常数，有所不同。

(39)

 电感应线与电场线问题：穿越介质界面 处的D线和E线决定于各自法向分量：

1 2 1 1 2

, ,

n n D n D

n n E n E

D D N S D N

E E N S E N

     

     



 界面处电感应线连续、电场线不连续。

(40)

 【例2.2.18】求 D, E, ^：

0

on interface: ,

sin sin , cos cos

, cos , ,

t t n n

r

E E D D

D E E P

E D

   

    



 

 

 

  

   

  





(41)

 【例2.2.24】无限大均匀介质平板分布 着体密度为  的均匀自由电荷。求板内 外的 E, D, P, , ^。

对称性决定对称面在板中面处，那里E 相等、D相等，且垂直于板面。

 

0

/ 2 / 2

for Gauss closed surface ( / ):

2 2

/ / ( ) 1

1

1 / 2

S

r d r d

t D dS DA Ar

D r

E D r

P E t r

t

n P t d

S  



  

  

 

 _ _ 



    

 

  



   

    

     





^ ^

 

  

 



0 0

0

/ 2 / 2

for Gauss closed surface : 2

/ 2

/ / 2 0

0

S

r d r d

D dS DA A d D d n

E D d n

P D E

P n P

S



  





 _ _

      

  

   



  



    

   



 



^ ^

 

  



 



(42)

电磁学03-09: 电介质物理问题

 【例2.2.31】金属球 a 和球壳 b，电介质

^(r)~rⁿ^{。已知电势} ^U_a ^和 ^U_b^{，求离球心距离} 为 r 处的电势。

设球带电 q，作高斯面处理：

3 3

1 1

1

1 1

1

/ /

4 4

4 ( 1) ( ) 4 ( 1) ( ) ( , , )

n S n

n n

b

a b a n

n n

r

a r a n

r a b

q r q r

D dS q D E D D Cr

r C r

q b a

U U E dr

n C ab

q r a

U U E dr

n C ar U f r U U

  





 



 



       

    



     



 





 

     

 



 



(43)

 【例2.2.35】金属球带电Q，外有介电球壳，求 空间各处的 E, D, P, ^, ^和^U^：

3

3 0

3

3 0

0, 0,

, ,

4 0,

4 , 4 , 4 ,

S

r R r R

D dS D Q

Q r R r r R

r r R

Q r R r a D r

E Q

r a r b r

Q r r a r





 



 

  

       

 

  



  

  

 





^ ^ ^



 





电场是跳跃的！

(44)

0

0 3

0

3

2 3

0 0

3 2

0,

( )

( ) ,

4 0,

( )

4 ,

1 4 ( ) 0 if 0 0,

( ) ( )

4 4

a

a a a

r a

b b

R r a

P E Q r a r b

r r b

Q r

P a r b

r

r r r a r b

r r

Q n r Q

n P

r a

n

   



  



 

   

  





  

 

     

 



  

          

  

           

  

     

  

  

 

  



  



 ₀ ₀

3 2

( ) ( )

4 4

b b

r b

Q n r Q

P r b

   



_



  

 

  

(45)

0

0 0 0

Q 4

Q 1 1 1

4

Q 1 1 1 1 1

= 4

r

b

r b

a b

r a b

R a b

r r R a b

r b E dr

r

a r b E dr E dr

r b b

R r a E dr E dr E dr U

r a a b b

r R E dr E dr E dr E dr E dr



   

     



   

 

          

 

        

  

   

 

 

          



 

  

   

 

   

     

         

0 0 0

Q 1 1 1 1 1

=

4

 

R



a



a



b



b













 

  

      

  





(46)

 【例2.2.41】肥皂泡问题：表面张力 、内压强 p_in、外压强 p_out 讨论尺寸问题、最小肥皂泡半径、等等

2

0

f  E  n

  

  

 静电力(单位面积)

 表面张力(单位面积)

f 4 n R

 

 

(47)

 【例2.3.8】平行板电容器，求电容 C、 电势差U，讨论极端情况

0

0 0

0

/ inside

Gauss law:

/ outside

( )

/ ( )

D Q n

S D Q n E

S Q

D n

S

d t t

Q Q Q

U E dl d t t

S S S

C Q U S

d t t

 



 



 

   

 





 

   

 



       

 

 



 

  

 

 金属板  ，或者作为电容串联求解。几何尺寸 t 0, t d。

(48)

 【例2.3.11】平行板电容器，(t) 线性变 化，求电容 C，极板电荷为 Q 时的 

和 ^{，讨论极端情况}

2 1

1 1

2

0 0

2 1 1 2 1 1

2 1

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ln

/ ln( / )

d d

t kt t t

d

Qd dt Qd

U E dl dt

t S t d S

C Q U S

d

 

   





      

 





     

    

  

  



^ ^

 

2 1 2 1

2 1

2 1 2 1 1

1 1

2 1

1

2 1

lim lim ( ) ln( / )

ln( / ) as

d d

C S

d

   

      

 

  

 

   

  



(49)

0 0

0

0 0 0

2

2 1 0

2

2 1 1

0

1 1 1 0

1

2 2 2

1

1 1

1

( )

[( ) ] ( )

t 1

t d

Q Q Q

P D E n n n

S S S

Q Q

P Q

P t t S S t S t

Qd d S n P n P P Q

S

n P P

t

n P

t f

 

  

   

   

  

 







 

      

       

                    

  

 

 

           



 

      

     



 

  ₀

2

1 Q

S



 

  

 

请讨论极限情况！

(50)

 【例2.3.23】圆柱电容器，轴向电荷，求空间各处的 E, D, P, ,

 ^和^U、_C，讨论极端情况 作同轴线圆柱高斯面 S

2

1

0 0

1 1 1 2 2 2

2 1

2 2 2

( )

/ ,

2 2

, , ,

/ / 2

ln( / )

S r

R R

D dS rl D l D r e

r r r

E D e P D E e

r r

P n P n P U E dl

C Q U l U l

R R

 

 

 

  

  

 

  

 

      

     

           

  





 

  

      



(51)

电磁学03-10: 静电场惟一性定理

 惟一性定理 (省略)

 作业：3.2，3.3，3.9，3.17，3.23

(52)

电磁学03-10: 附加问题

 【一题44】在 z0 的半空间中充满了相对电容率为 _r ^{的介质，在} z>0 的半空间为真空。其中在 z=h₁ 处有一点电荷 q。用外力将此 点电荷从 z=h₁ 处缓慢地移动到 z=h₂ 处，求外力所需做功。

 一个半径为 R 的电介质球，极化强度 p=K/r²，电容率为 ^： (1) 计算束缚电荷的体密度和面密度；

(2) 计算自由电荷体密度；

(3) 计算球外和球内的电势；

(4) 求该带电介质球产生的静电场总能量

第三章 电介质