2 2 2 2 2 2 2

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：97.12.31 班級

範

圍 3-2 圓與直線

座號

姓 名 一、選擇題(每題 10 分)

1. (複選)下列有關圓的敘述，哪些是正確的？

(A)過四個點(1，− 1)，(− 1，1)，(0， 2 )，(− 2 ，0)恰可決定一圓 (B)兩圓x² + y² = 4，(x − 3)² + y² = 2 的公切線只有 2 條

(C)設圓C：x² + y² − 4x + 2y + 1 = 0，過點(2，2)可對圓C作兩條切線 (D)設A(1，4)，B(− 5，2)，以AB為弦且弦心距為 6 的圓只有一個 (E)直線 3x + 4y + 15 = 0 與圓x² + y² − 6x + 4y + 4 = 0 不相交

【解答】(A)(B)(C)(E)

【詳解】

(A)○，四個點(1，− 1)，(− 1，1)，(0， 2 )，(− 2 ，0)到原點的距離都是 2 ，故四點在以(0 為圓心半徑為

,0) 2 的圓上。

(B)○，兩圓的連心線長為 3，兩圓半徑和為 2 + 2 > 3，故兩圓相交，只有兩條外公切線 (C)○，代入(2 − 2)² + (2 + 1)² > 4，點(2，2)在圓外，故過(2，2)可對圓C作兩條切線 (D)╳，此種圓有 2 個。

以AB為弦，圓心在AB中垂線(過中點的垂直線)上，圓心可設為 弦心距為 6

( 2− +t, 3 3 )− t

2 2

( 2 t 2) (3 3t 3) 6

⇒ − + + + − − = ， ² 6

10 36,

10

t

=

t

= ± 圓心兩個，即此種圓有兩個

(E)○，圓(x − 3)² + (y + 2)² = 9，圓心C(3，− 2)，半徑r = 3，d(C，L) = 5

| 15 8 9

| − + = 5 16> 3 2. (複選)若點P(a，2a)在圓C：x² + y² − 2x = 0 的內部，則a值在下列哪些範圍內？

(A) 0 < a < 0.5 (B) 0.2 < a < 0.6 (C) 0 < a < 0.4 (D) 0.4 < a < 1 (E)以上皆真

【解答】(A)(C)

【詳解】

點P(a，2a)在圓x² + y² − 2x = 0 的內部 ⇒ a² + 4a² − 2a < 0 ⇒ a(5a − 2) < 0

⇒ 0 < a <

5

2 ⇒即 0 < a < 0.4，故 0 < a < 0.5 也成立 3. 有一圓C：x² + y² − 4x + 4y − 2 = 0 及一點P(4，2)，則

(A) P點在圓上 (B)過P之切線有一為x + 3y + 2 = 0 (C)過P之切線有一為 3x − y − 14 = 0 (D)兩切線之銳夾角為 45° (E)兩切線互相垂直

【解答】(E)

【詳解】

C：(x − 2)

² + (y + 2)² = 10，圓心C(2，− 2)，半徑r = 10 ，

2 2

(4 2) (2 2) 20

CP= − + + = > r，故P點在圓外 設過P(4，2)與圓C相切之直線L：y − 2 = m(x − 4) d(A，L) =

1

| 4 4 2

|

2 + +

−

m

m

m

= 10 ⇒ m = − 3 或 3 1，

過P之切線為 2 3( 4), 2 ¹( 4

y− = − m− y− =3 m− )，即 3x + y − 14 = 0 及x − 3y + 2 = 0，

∵ ( − 3) × 3

1= − 1⇒兩切線互相垂直 二、填充題(每題 10 分)

1. 直線x − y = 3 被圓x² + y² − x + y − 2 = 0 所截得的弦長 = 。

【解答】 2

【詳解】

圓C：(x − 2

1)² + (y + 2 1)² =

2

5，圓心P(

2 1，−

2

1)，半徑r = 2 5

弦長 =AB= 2AQ= 2 PA² −PQ² = 2 2 5 − = 2 2

（其中PQ= d(P，L) =

2

| 2 3 1 2

|1 + −

=

2 = 2 ） 2

2. 直線 3x − 4y = k與圓x² + y² + 4x − 6y − 12 = 0 交於A，B兩點，若AB= 6，則k 之值為 。

【解答】k = 2 或− 38

【詳解】

圓x² + y² + 4x − 6y − 12 = 0 ⇒ (x + 2)² + (y − 3)² = 5²，圓心P( − 2，3)，半徑r = 5 過P作直線 3x − 4y = k的垂直線垂足M，則M為AB中點⇒

AM

= 3，又PA= r = 5

∴

PM

= 5²−3² = 4，即d(P，AB) =

16 9

| 12 6

|

+

−

−

−

k = 4 ⇒ k + 18 = ± 20 ∴ k = 2 或− 38

3. 有一圓的圓心( − 3，4)，與直線 3x − 4y + 5 = 0 相切，其圓方程式為 。

【解答】(x + 3)² + (y − 4)² = 16

【詳解】

圓C的圓心A( − 3，4)與直線L：3x − 4y + 5 = 0 相切 故半徑r = d (A，L) =

2

2 ( 4)

3

| 5 4 4 ) 3 ( 3

|

− +

+

×

−

−

× = 4，得圓方程式為(x + 3)² + (y − 4)² = 4²

4. 過點(1，3)且與圓(x + 1)² + (y − 2)² = 5 相切的直線方程式為 。

【解答】2x + y − 5 = 0

【詳解】

點 P(1，3)∈圓 C，故所求切線 L：(1 + 1)(x + 1) + (3 − 2)(y − 2) = 5，得 L：2x + y − 5 = 0 5. 求過P(1，1)且與圓x² + (y − 3)² = 1 相切的直線方程式： 。（兩解）

【解答】x = 1 或 y − 1 = − 4

3(x − 1)

【詳解】

P(1，1)代入圓方程式得 1

² + (1 − 3)² = 5 > 1 ∴ P在圓外 設切線為y − 1 = m(x − 1)，即mx − y − m + 1 = 0

2 2 ( 1)

| 1 3

0

|

− +

+

−

−

⋅

m

m

m

= 1 ⇒ m = − 4

3 ⇒ 切線y − 1 = − 4

3(x − 1)，另一切線無斜率，即x = 1

6. 自點P(1，5)向圓x² + y² − 6x + 4y + 4 = 0 作二切線，切點分別為A，B，則 (1)切線段PA長為 。

(2)△PAB之外接圓方程式為 。 (3)直線AB的方程式為 。

【解答】(1) 2 11 (2) x² + y² − 4x − 3y − 7 = 0 (3) 2x − 7y − 1 = 0

【詳解】

(1)PA= 1+25−6+20+4= 2 11

(2)AQ⊥AP，BQ⊥BP，故△PAB之外接圓，即為以P(1，5)及Q(3，− 2)為直徑之圓 ⇒ (x − 1)(x − 3) + (y − 5)(y + 2) = 0 ⇒ x² + y² − 4x − 3y − 7 = 0

(3) 切點弦所在直線AB的方程式為x + 5y −6(¹ ) 2

+x +4(⁵ ) 2

+y + 4 = 0 ⇒ 2x − 7y − 1 = 0

7. 若一圓x² + y² − 8x − 5y + k = 0，與x軸相切，則k之值為 。

【解答】 16

【詳解】

⎩⎨

⎧C：x² + y² − 8x − 5y + k = 0……c

x 軸：y = 0……d

d代入c ⇒ x² − 8x + k = 0

∵ 相切 ∴ D：( − 8)² − 4k = 0 得k = 16

8. 圓C與二直線x + 3y − 5 = 0 及x + 3y − 3 = 0 均相切且圓心在直線 2x + y + 1 = 0 上，則圓C的方程式為 。

【解答】(x + 5

7)² + (y − 5 9)² =

10 1

【詳解】

圓C與二平行線x + 3y − 5 = 0 及x + 3y − 3 = 0 均相切，且二平行線的距離 = 10 2 ， 故圓心在二平行線之正中間x + 3y − 4 = 0 直線上，且半徑 =

10 ) 1 10 ( 2 2

1 =

圓心為二直線x + 3y − 4 = 0 與 2x + y + 1 = 0 的交點，解得(x，y) = ) 5 9 5

(−7， 故所求圓的方程式為(x +

5

7)² + (y − 5 9)² =

10 1

9. 若直線y = 2x + k與圓C：x² + y² + 4x + 2y − 20 = 0 交於兩點，則k值之範圍為 。

【解答】3 − 5 5 < k < 3 + 5 5

【詳解】

⎩⎨

⎧C：x² + y² + 4x + 2y − 20 = 0……c

L：y = 2x + k……d

d代入c ⇒ 5x² + 4(k + 2)x + (k² + 2k − 20) = 0

D：16(k + 2)

² − 4 × 5 × (k² + 2k − 20) > 0（∵ 交於兩點）

⇒ k² − 6k − 116 < 0 ⇒ 3 − 5 5 < k < 3 + 5 5

10.兩個半徑 1 的圓C1，C2；C1之中心( − 10，0)沿x軸正向移動，C2之中心(0，8)沿y軸負向移動，

兩圓移動的速度均為每秒一單位。今若二圓同時開始運動，最初兩圓相切在第 秒 後，第二次相切在第 秒後，又二圓相交，其共同部分面積最大時為移動後第 秒，其最大面積 = 。

【解答】8，10，9，

2 π − 1

【詳解】

開始運動t秒後，C₁之圓心位置為O₁( − 10 + t，0)，

C

₂之圓心位置為O₂(0，8 − t)

此時O₁O₂ = (−10+t)²+(8−t)² = 2

t

² − t36 +164 兩圓C1，C2相切時(外切)， 2

t

² − t36 +164= 1+1

⇒ 2t² − 36t + 160 = 0 ⇒ t² − 18t + 80 = 0 ∴ t = 8，10 (1)第一次相切在第 8 秒後，第二次相切在第 10 秒後

(2)兩圓共同部分面積最大時，即圓心距離最小時，即

當 2t² − 36t + 164 = 2(t − 9)² + 2 最小時，t = 9，而O₁O₂ = 2， 故面積 = 2 × 4 π − 1² =

2 π − 1

11. 二圓x² + y² + 2x = 0 及x² + y² − 6x − 8y + 21 = 0 二外公切線夾角

θ

，則sin

θ 的值為 。

【解答】 16 31

【詳解】

x

² + y² + 2x = 0 ⇒ (x + 1)² + y² = 1，圓心O1( − 1，0)，半徑r1 = 1

x

² + y² − 6x − 8y + 21 = 0 ⇒ (x − 3)² + (y − 4)² = 4，圓心O2(3，4)，半徑r2 = 2 圓心距離

O

₁

O

₂ = 4² +4² =4 2，外公切線長 = O₁O₂² −(r₁−r₂)² = 31

2 4

31 cos2

2 4

1 2 4

1 2

sinθ2 = − = θ =

， ，故sin

θ

=

cos2 sin 2

2 θ θ = 2．

16 31 2

4 31 2 4

1 ． =

12. 圓x² + y² − 6x + 8y = 0 上任一點P到直線 4x + 3y = 30 的距離最大值 = ，此時P點 的坐標為 。

【解答】11，( − 1，− 7)

【詳解】

(1)x² + y² − 6x + 8y = 0 ⇒(x − 3)² + (y + 4)² = 5²，圓心A(3，− 4)，半徑 5 P點到直線L：4x + 3y = 30 的最大距離

= d(A，L) + r = 5 11 5

5 30 3

4

| 30 12 12

|

2

2 + = + =

+

−

−

(2)過A(3，− 4)，與L：4x + 3y = 30 垂直的直線L′： 3 4 4 3

x t

y t

⎧ = +

⎨ = − +

⎩ 代入L得交點Q )

5 2 5

(39，− ，代入圓得交點P ( 1 7)−，−

13.已知直線L：4x + 3y + 4 = 0 與圓C：x² + y² − 6x − 6y − 7 = 0 相切，則切點坐標為 。

【解答】( − 1，0)

【詳解】

圓C：x² + y² − 6x − 6y − 7 = 0 ⇒ (x − 3)² + (y − 3)² = 25，圓心A(3，3)，半徑r = 5 過A且垂直L：4x + 3y + 4 = 0 的直線方程式為 3x − 4y + 3 = 0

∴ 切點： 得(x，y) = ( − 1，0)

⎩⎨

⎧

= +

−

= + +

0 3 4 3

0 4 3 4

y x

y x

14.若圓x² + y² − 6x + ky + A = 0 切直線 3x − 4y = 8 於點(4，1)，則 2k + A的值為 。

【解答】3 7

【詳解】圓x² + y² − 6x + ky + A = 0 切直線 3x − 4y = 8 於點(4，1) 故圓在點(4，1)的切線方程式 4x + y − 6． + + + +A

2 1 2

4 y

x k = 0

⇒ 2x + (2 + k)y + k + 2A − 24 = 0，此即為 3x − 4y − 8 = 0

∴ 8

24 2 4

2 3 2

−

−

= +

−

= +k k A ，解得k = 3

−14，A = 3

35，所求 2k + A =

3 7 3 35 3

28+ =

−

15.已知點P(1，2)將圓C：x² + y² = 37 的某弦三等分點，則該弦所在的直線方程式為 。

【解答】x = 1 或 3x − 4y + 5 = 0

【詳解】

Sol一

設A(a，b)，B(c，d)且PA：PB = 2：1

∴ 1 = 3

2c a+ ，2 =

3 2d

b+ ⇒ c = 2

1(3 − a)，d = 2

1(6 − b)

∵ A，B ∈ C：x² + y² = 37 ∴ a² + b² = 37，c² + d² = 37

⇒ a² + b² = 37，

4

1(a − 3)² + 4

1(b − 6)² = 37

2 2

2 2

2 2 2 2

1, 27

37 37 5

1 1

(3 ) (6 ) 37 6 12 103 14

4 4 6,

5

a b a

a b

a b a b a b

b

⎧ + = ⎧ + = ⎧⎪ = −

⎪ ⇒⎪ ⇒

⎨ ⎨

− + − = ⎪⎩ + − − =

⎪ ⎪

⎪⎨

= − −

⎩ ⎪⎩

⇒ A(a，b) = A(1，− 6)或A(−

5 27，−

5

14)，弦所在直線AP其方程式為x = 1 或 3x − 4y + 5 = 0 Sol二

設所求直線y− =2 m x( − ⇒1) mx− − + = 0y m 2 ，AB中點M

2 2

| 0 0 2 | | 2 | ( , )

1 1

m m

OM d O AB

m m

− − + − +

= = =

+ +

HJJG

2 2 2 2

1 1

: ( ) : ( ) 3 :1 3

2 6

AM PM = AB AB = ⇒ OA −OM = OP −OM

即

OA

²−

OM

² =9(

OP

² −

OM

²)， ( ₂ 2)² ( ₂ 2)^{2 2 2}

37 9[5 ] 1 ( 2) ，

1 1

m m

m m

m m

− + − +

− = − ⇒ + = − +

+ +

3 m=4 所求有二條：3x − 4y + 5 = 0，另一條直線無斜率x = 1

16.設A(1，4)與B(3，− 2)為坐標平面上兩點，若AB為圓C的一弦，且距離圓心為 10 ，求圓C的 方程式： 。（兩解）

【解答】(x + 1)² + y² = 20 或(x − 5)² + (y − 2)² = 20

【詳解】

AB中點M(2，1) ，^____\

AB

=(2, 6)− =2(1, 3)− ， 設圓心O(2 3t+ ，1 t+ )

2 2

10 (2 3 2) (1 1) 10

OM = ⇒ + −t + + −t = ，

t

= ± ，代入O( 2 3t1 + ，1 t+ ) 圓心為(− 1，0)或(5，2)，半徑OA= ( 1 1)− − ²+ −0 4)² = 20

∴ 圓C：(x + 1)² + y² = 20 或(x − 5)² + (y − 2)² = 20

17.圓C通過P(2，0)，Q(0，1)，已知圓C在點P的切線斜率為 − 1，求圓心： 。

【解答】(

2 5 2 1 −

− ， )

【詳解】

設圓C：(x − h)² + (y − k)² = r²，圓C在點P的切線為(2 − h)(x − h) + (0 − k)(y − k) = r² 圓C過P(2，0)，Q(0，1)，且圓C在點P的切線斜率為 − 1⇒ 圓心與點P的直線斜率為 1

⇒ _⎪⎩

⎪⎨

⎧(2 − h)² + (0 − k)² = r²……c (0 − h)² + (1 − k)² = r²……d 0

2 1

k

− =

h

− ^……e

，由e得k = h − 2……f，c − d得 4h − 2k = 3……g

f代入g得h = − 2

1，k = − 2 5

18.若自點P(6，− 7)作圓x² + y² = 5 的切線，則切點坐標為 。（兩解）

【解答】(2，1)，(

17

−22

， 17

−31 )

【詳解】⎩⎨⎧

= +

=

− 5

5 7 6

2

2 y

x C

y x AB

：

：

切點弦 ⇒ 或

⎩⎨

⎧ == 1 2 y x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

x =

17

−22

y =

17

−31

19.設k ∈ R，已知點P(− 1，7)在圓C：x² + y² + kx + (k − 2)y − 12 = 0 上，則圓C過P點的切線方程 式為 。

【解答】3x − 4y + 31 = 0

【詳解】

點P(− 1，7)在圓C：x² + y² + kx + (k − 2)y − 12 = 0 上

⇒ 1² + 7² − k + 7k − 14 − 12 = 0 ⇒ k = − 4

∴ 圓C：x² + y² − 4x − 6y − 12 = 0 代入切線方程式公式：− x + 7y −

2

4(x − 1) − 2

6(y + 7) − 12 = 0

⇒ − x + 7y − 2x + 2 − 3y − 21 − 12 = 0 ⇒ 3x − 4y + 31 = 0

20.設圓C與直線L：4x + 3y + 17 = 0 相切於P( − 2，− 3)，且圓C的半徑是 10，圓心在第一象限，

則圓C的方程式為 。

【解答】(x − 6)² + (y − 3)² = 100

【詳解】設圓心為A， AP ： ，t∈R，取A( − 2 + 4t，− 3 + 3t)

⎩⎨

⎧ =− + +

−

=

t y

t x

3 3

4 2

AP

2= 16t² + 9t²，10² = 25t²，t = ± 2，取t = 2（∵ 圓心A在第一象限）

A(6，3)

∴ C：(x − 6)

⇒

2 + (y − 3)² = 10²

21.求與直線x + 2y − 3 = 0 垂直且與圓x² + y² − 2x + 2y + 1 = 0 相切的直線方程式 。

【解答】2x − y − 3 + 5 = 0 或 2x − y − 3 − 5 = 0

【詳解】

SOL一

設切線方程式為 2x − y + k = 0

圓：x² + y² − 2x + 2y + 1 = 0 ⇒ (x − 1)² + (y + 1)² = 1，圓心(1，− 1)，半徑 = 1

⇒

2

2 1

2

| ) 1 ( 2

|

+ +

−

−

k = 1 ⇒ | 3 + k | = 5 ⇒ k = − 3

± 5

∴ 切線方程式為 2x − y − 3 + 5 = 0 或 2x − y − 3 − 5 = 0 SOL二：切線公式

已知斜率 2 之切線公式：

y

+ =1 2(

x

− ± ⋅1) 1 2²+ ⇒ =1

y

2

x

− ±3 5