2 2 2 2

(1)

高雄市明誠中學高一數學複習測驗日期：96.01.15 班級普一班

範圍

3-3、5HCF、LCM

多項方程式座號

姓名一、選擇題(每題 5 分)

1. (複選)關於三次方程式f (x) = ax³ + bx² + cx + d = 0，下列敘述何者是正確的？

(A) f (x) = 0 至少有一實根 (B) f (x) = 0 至少有一複數根

(C)若f (x) = 0 有一根 1 + i，則必有一根 1 − i

(D)若a，b，c，d ∈ Z且f (x) = 0 有一根 1 + 2 ，則必有一根 1 − 2 (E)若a，b，c，d ∈ Z，則f (x) = 0 至少有一實根

【解答】(B)(D)(E)

【詳解】

討論方程式根的性質，必須注意其係數，本題應用下列性質

(1)實係數奇次方程式至少有一實根 ∴ (A)不真（不知係數為何？），(E)真 (2)由代數基本定理，知(B)真

(3)實係數方程式虛根成對共軛，知(C)不真。（不知 a，b，c，d 是否為實數？）

(4)有理係數方程式有一根 1 + 2 ，則有一共軛根 1 − 2 ，知(D)為真 2. (複選)下列選項何者為真？

(A)方程式 4x³ + 3x² + 2x + 1 沒有正根 (B)方程式 4x³ − x² + 2x − 1 = 0 沒有負根 (C)方程式x³ − x + 1 = 0 沒有有理根

(D)方程式x³ + x² − ix − 4 = 0 至少有一個實根，其中i² = − 1

【解答】(A)(B)(C)

【詳解】

(A)對。當x =

α

> 0 時，f (

α

) = 4

α

³ + 3

α

² + 2

α

+ 1 > 0，故沒有正根

(B)對。當x = −

α

（

α

> 0）時，f (

α

) = − 4

α

³ −

α

² − 2

α

− 1 < 0，故沒有負根

(C)對。f (x) = x³ − x + 1 = 0 之可能有理根為 ± 1，而f (1) ≠ 0，f ( − 1) ≠ 0，故沒有有理根 (D)錯。若有實根，假設實根為

α

（

α

≠ 0），則

α

³ +

α

² −

α i − 4 = 0，矛盾

（∵ (

α

³ +

α

² − 4) −

α i ≠ 0 + 0i）

3. (複選)f (x)為一實係數五次多項式，則下列何者為真？

(A)若 f (1 + i) = f (i) = 0，則 f (x) = 0 恰有一實根 (B)若 f (2 + 5i) = 2i − 3，則 f (2 − 5i) = 2i + 3

(C) f (a) f (b) < 0，則 f (x) = 0 在 a 與 b 之間恰有一實根 (D) f (a) f (b) > 0，則 f (x) = 0 在 a 與 b 之間沒有實根 (E) f (x) = 0 至少有一實根

【解答】(A)(E)

【詳解】

(A)對。f (x) = 0 為實係數五次多項方程式，若 f (1 + i) = f (i) = 0，則必有 f (1 − i) = f ( − i) = 0 且另一根必為實根，若另一根為虛根，必有共軛虛根，則有 6 個根，矛盾

(B)錯。f (x)∈R[x]，則 f (

z

) =

f (z )

⇒ f (2 + 5i) = 2i − 3，則 f (2 − 5i) = − 2i − 3

(2)

(C)錯。若 f (a) f (b) < 0，則 f (x) = 0 在 a 與 b 之間有奇數個實根 (D)錯。若 f (a) f (b) > 0，則 f (x) = 0 在 a 與 b 之間有零或偶數個實根

(E)對。f (x) = 0 為實係數五次多項式，有虛根必有共軛虛根，若無實根，則根之總數必 為偶數，矛盾，故必有實根存在

二、填充題(每題 10 分)

1. 若x + 3 為x² + ax − 6 與x² + bx + 3 的公因式，則數對(a，b) = 。

【解答】(1，4)

【詳解】

x + 3 | x

² + ax − 6 且x + 3 | x² + bx + 3

⇒ ( − 3)² + a( − 3) − 6 = 0 且( − 3)² − 3b + 3 = 0 ⇒ a = 1，b = 4

2. 若多項式f (x) = x² + px + 6，g(x) = x³ + px + 6 的LCM為四次式，則常數p之值為。

【解答】− 7

【詳解】

f (x)⋅ g(x) =HCF⋅ LCM 故f (x) 與g(x) 之HCF 為一次式

∵ HCF | f (x)，HCF | g(x) ∴ HCF | g(x) − f (x) = x³ − x² = x² (x −1) 但f (0) = 6 ≠ 0

⇒ / x | f x ( )

∴ HCF = x −1，由f (1) = 0 ∴ p = − 7

3. 設d(x)為x³ − 2x² − 5x + 6 與x³ + k²

x

² − 2kx − 16 之一最高公因式，其中k為一實數，若d(x) 為二次式，則k = 。

【解答】− 3

【詳解】

f (x) = x

³ − 2x² − 5x + 6 = (x −1)(x − 3)(x + 2)，g(x) = x³ + k²

x

² − 2kx −16 則d(x) = (x − 1)(x+ 2)為f (x)，g(x)之最高公因式 ( ∵ )

， ∴ k = − 3

3 | 16 /

⎩⎨

⎧

=

− +

=

− +

=

−

= +

−

=

−

=

0 ) 2 ( ) 3 ( 4 24 4 4 ) 2 (

0 ) 3 ( ) 5 ( 15 2 )

1 (

2 2

k k k

k g

k k k

k g

4. 設k為實數，f (x) = x³ − 2x² − 5x + 6，g(x) = x³ + k²

x

² + 2kx −16。

(1) f (x)與g(x)有一次式的最高公因式時，k之值為___________；HFF為______________。

(2) f (x)與g(x)有二次式的最高公因式時，k之值為___________；HFF為______________。

【解答】(1) k = − 5 或 − 2；(x −1)，(x + 2) (2) k = 3；(x −1)(x + 2)

【詳解】

f (x) =

，

先將f (x)因式分解得f (x) = (x −1)(x + 2)(x − 3)

x −1 | g(x) ⇒ g(1) = 0 ⇒ k

6 5 2

²

3

− x − x +

x g

(

x

)=

x

³+

k

²

x

² +2

kx

−16

2 + 2k −15 = 0 ⇒ k = 3 或 − 5

x + 2 | g(x) ⇒ g( − 2) = 0 ⇒ 4k

² − 4k − 24 = 0 ⇒ k = 3 或 − 2

x − 3 | g(x) ⇒ g(3) = 0 ⇒ 9k

² + 6k + 11 = 0 ⇒ k無實數解 (1) f (x)與g(x)有一次式的HCF

k = − 5 時，HCF為x −1；k = − 2 時，HCF為x + 2 (2) k = 3 時，HCF為二次式 (x − 1)(x + 2)

5, 2

⇒ = − − k

5. 已知a為整數，且x⁴ + 4x³ + ax² − 8x + 6 = 0 有兩個根的和為 0，則a的值為 (A) 5 (B) − 5 (C) 3 (D) − 3 (E) − 6

(3)

【解答】(B)

【詳解】

∵ 有兩根的和為 0 ∴ 設x⁴ + 4x³ + ax² − 8x + 6 = (x² + p)(x² + qx + r)

比較係數 ⇒ 得 ，故a = p + r = ( − 2) + ( − 3) = − 5

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

−

=

= +

=

6 8 4

pr pq

a r p q

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

−

=

3 4

2

r q p

6. 方程式 12x³ − 8x² − 23x + 11 = 0 在下列哪一個區間內有實根？

(A) (− 3，− 2) (B) (− 2，− 1) (C) (− 1，0) (D) (0，1) (E) (1，2)

【解答】(B)(D)(E)

【詳解】

以綜合除法運算如下

故有三個實根分別在區間(0，1)，(1，2)，(− 2，− 1)內

7. x⁵⁰ − 2x² −1 與x⁴⁸ − x² − 2 之HCF為。

【解答】x² + 1

【詳解】

f (x) = x

⁵⁰ − 2x² −1，g(x) = x⁴⁸ − x² − 2，f (x) − x² g(x) = x⁴ −1 = (x² + 1)(x² −1)

x

² + 1 | f (x)，x² + 1 | g(x)，x² −1 f (x)，g(x)，故HCF為x² + 1

8. 若f (x) = g (x)．Q (x) + r (x)，其中g (x) = 6x⁴

− 11x

³

+ 11x

²

− 4x − 12，r (x) = 2x

³

− x

²

+ 3x +

2，求f (x)與g (x)之最高公因式。（寫最高次項係數為 1 者）

【解答】x²

− x + 2

【詳解】

由上式得(g (x)，r (x)) = x²

− x + 2

若f (x) = g (x)Q (x) + r (x)，由輾轉相除法原理得(f (x)，g (x)) = (g (x)，r (x)) = x²

− x + 2

9. a為整數，f (x) = x³ − x² + 4x + a − 7，g(x) = 2x³ + 5x² − 7x + 2a − 6，已知f (x)和g(x)的最高

公因式為一次式，求a之值。

【解答】3

【詳解】

f (x) = x

³ − x² + 4x + a − 7，g(x) = 2x³ + 5x² − 7x + 2a − 6

(4)

∴ d(x) | g(x) − 2 f (x) ⇒ d(x) | 7x² −15x + 8 ⇒ d(x) | (7x − 8)(x − 1)

∴ d(x) = 7x − 8 或x −1

∵ a∈Z ∴ d(x) = x −1 (∵ )

因d(x) | f (x)，d(x) | g(x) ∴ x −1 | f (x)，x −1 | g(x) ⇒ f (1) = 0，g(1) = 0

∴ 1 −1 + 4 + a − 7 = 0 ∴ a = 3

7 | 2 /

10.若x + 3 為x² + ax − 6 與x² + bx + 3 的公因式，則數對(a，b) = 。

【解答】(1，4)

【詳解】

x + 3 | x

² + ax − 6 且x + 3 | x² + bx + 3

⇒ ( − 3)² + a( − 3) − 6 = 0 且( − 3)² − 3b + 3 = 0 ⇒ a = 1，b = 4

11.兩多項式f (x) = x³ + ax² − 4x + 2 與g(x) = x³ + bx² − 2 的最高公因式為二次式，則 數對(a，b) = 。

【解答】(1，3)

【詳解】

設f (x)與g(x)的HCF為d(x)，則d(x) | f (x) − g(x)

⇒ d(x) | (x³ + ax² − 4x + 2) − (x³ + bx² − 2) ⇒ d(x) | (a − b) x² − 4x + 4……c

d(x) | f (x) + g(x) ⇒ d(x) | (x

³ + ax² − 4x + 2) + (x³ + bx² − 2)

⇒ d(x) | 2x³ + (a + b) x² − 4x ⇒ d(x) | x [2x² + (a + b) x − 4]……d 由

x | / f x ( )

及c，d知

⁴ ⁴

2 4

a b

− = − = ⇒

⎩⎨

⎧

= +

−

=

− 4

2

b a

+ −

⇒a = 1，b = 3，故(a，b) = (1，3) 12.兩多項式g (x) = 6x⁴

+ 7x

³

+ 6x

²

− 1 與h (x) = x

⁴

+ x

²

+ 1，

(1)試問g (x) = 0 在下列哪兩個連續整數之間有實根？ (A) − 2 與 −1 (B) − 1 與 0 (C) 0 與 1 (D) 1 與 2（複選）

(2) g (x)與h (x)的最大公因式d (x)為。 (3)承(2)，g (x)與h (x)的最低公倍式為 A (x)，若

) (

x d

A

x

= 6x⁴

+ bx

³

+ cx

²

+ dx + e，則c= 。

【解答】(1)(B)(C) (2) x²

+ x + 1 (3) 4

【詳解】

(1)

（算到同號停止）

（算到正負相間停止）

由上之計算可知g (x) = 0 在 0 與 1 之間及 − 1 與 0 之間有實根，故選(B)(C)

(5)

(2)

由上之輾轉相除法計算可得d (x) = x²

+ x + 1

(3) ⇒ (x) = (x

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

+

− +

+

=

− + +

+

=

) 1 )(

1 (

) (

) 1 6

)(

1 (

) (

2 2

x x x x x h

x x x

x x

g

A ²

+ x + 1) (6x

²

+ x − 1) (x

²

− x + 1)

則 ) (

) (

x d

A

x

=

1 ) (

2 + x +

x

A

x

= (6x²

+ x − 1) (x

²

− x + 1) = 6x

⁴

+ bx

³

+ cx

²

+ dx + e，

故c = 6 − 1 − 1 = 4

13.設f (x) = x³ − 19x + 30，g(x) = x³ − 4x² + x + 6，求使f (x) g(x) = 0 且f (x) + g(x) ≠ 0 的x值。

【解答】−1，− 5

【詳解】

f (x)g(x) = 0 的解為f (x) = 0 的解或g(x) = 0 的解

f (x) + g(x) = 0 的解為( f (x)，g(x)) = 0 的解，即f (x) = 0 與g(x) = 0 的共同解

滿足f (x)g(x) = 0 且f (x) + g(x) ≠ 0 的x值，即求f (x) = 0 與g(x) = 0 的解刪除共同解即得

f (x) = x

³ −19x + 30 = (x − 2)(x − 3)(x + 5) = 0 ⇒ x = 2，3，− 5

g(x) = x

³ − 4x² + x + 6 = (x + 1)(x − 2)(x − 3) = 0 ⇒ x = −1，2，3 故所求x的值為 −1，− 5

14.設f (x)為二次整係數多項式，g(x)為三次整係數多項式，其領導係數均為 1，最高公因式 為x −1，已知f (x)．g(x) = x⁵ + 2x⁴ − 3x³ − 3x² + 2x + 1，求f (x)，g(x)。

【解答】(x −1)(x + 1)，(x −1)(x² + 3x + 1)

【詳解】

∵ x − 1 | f (x)，x −1 | g(x) ∴ (x −1)² | f (x) g(x) = x⁵ + 2x⁴ − 3x³ − 3x² + 2x + 1

∴ f (x)g(x) = (x −1)²．(x³ + 4x² + 4x + 1) = (x −1)²(x + 1)(x² + 3x + 1) 但f (x)為二次整係數多項式，g(x)為三次整係數多項式

∴ f (x) = (x −1)(x + 1)，g(x) = (x −1)(x² + 3x + 1)

15.設a，b為實數，若方程式x⁴ − 8x³ + ax² + bx − 13 = 0 有一根 2 + 3i。

(1)求a，b之值______________。 (2)解方程式x⁴ − 8x³ + ax² + bx − 13 = 0。__________

【解答】(1) a = 28，b = − 48 (2) x = 2 ± 3i，2 ± 5

【詳解】

(1) x = 2 + 3i ⇒ x − 2 = 3i ⇒(

x

−2)² =(3 )

i

²⇒ x² − 4x + 4 = − 9 ⇒ x² − 4x + 13 = 0

∵ f (x) = x⁴ − 8x³ + ax² + bx − 13 = 0∈R[x]

∴ f (2 + 3i) = 0 必得f (2 − 3i) = 0 ⇒ x² − 4x + 13 = 0 | f (x)

(6)

故a − 28 = 0，b + 48 = 0 得a = 28，b = − 48

(2) x⁴ − 8x³ + ax² + bx − 13 = 0 ⇒ (x² − 4x + 13)(x² − 4x − 1) = 0，得x = 2 ± 3i，2 ± 5