平面近環、 平衡不完全 區組設計及密碼學
柯文 峰
一. 引言
平面近環 (planar nearring) 是由 J.
R. Clay 在 1968 年所提出。 同一年, 另一 位數學家 G. Ferrero 也正在研究有限整近 環 (integral nearring) 的特性。 而實際上, 一個有限整近環也就是一個有限的平面近環;
因此 Ferrero 的研究可以順利推展到平面近 環上面。 除此之外, Ferrero 也指出了有限整 近環與平衡不完全區組設計 (balanced in- complete block design) 之間的關聯。 自此 之後的二十年間, 有好幾位數學家對平面近 環及其在區組設計上做了研究, 但主要仍是 由 Clay 來領導這一方面的研究工作。
Clay 和他的學生 M. Modisett 在 1988 年發現了一類能夠應用在密碼學 (Cryptography) 上的特殊平面近環與其所 產生的區組設計。 這一類區組設計有著類似 於圓的特性; 也就是三個不同的點最多決定 一個區組 (block)。
本文的目的在於介紹平面近環及其結 構, 並說明如何將其應用在密碼學上。
二. 密碼學
簡單的說, 密碼學的目的在於研究如何 保護資料的秘密性及完整性。 當一份資料落 入他人手中, 它的內容不為其所了解, 這就 是我們所謂的保護資料的秘密性。 如何讓他 人無法更改一份資料的內容 (資料經過非法 更改之後會失去意義或是可以為我們所測知) 則是所謂的保護資料的完整性。
一般的密碼系統有兩種: 傳統的及非傳 統的密碼系統。 傳統的密碼系統又稱為對稱 系統(Symmetric system), 也就是加密及 解密 (enciphering and deciphering) 的 鎖匙是相同的。 而非傳統系的密碼則是在加 密時所用的鎖匙與解密時所用的鎖匙並不相 同, 因此加密的鎖匙可以公開。 所以我們也稱 此類系統為公開鎖匙系統(public-key sys- tem)。 圖一表示了一個對稱系統。
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圖一. 對稱密碼系統
公開鎖匙系統最著名的例子是由 R. L.
Rivest, A. Shamir 及 L. Adleman 三人所 提出來的 RSA 密碼系統。 此處我們並不準 備多提。
底下我們以例子來說明對稱系統。
假設α = {A, B, C, · · · , X, Y, Z}
而甲乙兩人準備用α中的字母來溝通消息。
甲、 乙可以約定將各字母以順位移動 k 位 的方式來編寫密文 (1 ≤ k ≤ 25), 而 Z 順位移動一位得到的是 A。 因此, 甲 如 何 將“THECATISBLACK”送 給 乙 呢? 假設他們約定 k = 1, 則甲 將“UIFDBUJTCMBDL”送出, 因為
A B C X Y Z
↓ ↓ ↓ · · · ↓ ↓ ↓
B C D Y Z A
。
當乙收到“UIFDBUJTCMBDL”時, 他則 將每一字母逆向移一位而得知消息的內容。
也就是說, 乙用以下的對應來得到原始資料:
A B C X Y Z
↓ ↓ ↓ · · · ↓ ↓ ↓
Z A B W X Y
。
這一個例子所用的加密方式並不能產生真正 保密的密碼。 一個有經驗的密碼分析員人可 以在研究幾十個字母之後就知道 k 的數值 了。
我們再以一個例子來說明設計密碼時可 能考慮的方向。
大家都知道在平面上任意不共線的三點 可以決定唯一的一個圓, 而一個圓又可以用 它的圓心和半徑來表示。 因此我們可以設計 如下的系統:
假設 P 為一含有所有可能的明文 (plaintext) 的集合, 並且令 f : P → C × R+ 為一個一對一的函數。 對一個 m ∈ P, 設 f (m) = (mc, mr); 則我們可以從圓心 為 mc 而半徑為 mr 的圓上取三個不同的點 xm, ym, zm; 並將 (xm, ym, zm) 定為 m 之 密文。 當對方收到 (xm, ym, zm) 時, 他只需 找出包含有 (xm, ym, zm) 的圓 (存在而且唯 一), 取得其圓心和半徑, 再用 f−1 來找回原 來的明文。
這個系統並不實際, 因為 (1) xm, ym及 zm 都可能不為有理數, 因此在表達上出現困 難。(2) 如果一個窺視者知道了編碼法 (也就 是由圓上取三個點), 則他也很容易可以得到 圓心及半徑, 進而導出明文。
第一個問題說明了實用性的考慮是必要 的, 而第二個問題則導致是否應該將一個編 碼法加以保密的問題。 一般來說, 研究密碼學 的人都會有個相同的信念, 也就是說: 一個
密碼系統的安全性不應該是只建立在編碼方 法的保密上。 所以在討論一個密碼系統的安 全性時我們都是假設要破解此一系統的人只 是不知道正確的鎖匙而已。 因此一個具有眾 多不同鎖匙的密碼系統是比較安全的。
雖然上面的例子並不實際, 但仍有其優 點。 我們用此法來編密碼時, 可以任意選取圓 上的三個點, 而這種組合在平面上可以有無 窮多種。 如此一來, 明文與密文之間就比較沒 有關係。 可是不論密文是什麼, 明文一樣可以 被正確的導出來。
現在的問題是, 是否可以找到又實用, 又 具有像圓的特性的結構來供我們使用呢? 我 們的答案是肯定的, 而且這種代數結構很容 易可以得到。
三. 平面近環
我們以為數學不止是解決實際問題之 鑰, 它本身也是美的一種表徵。 雖然我們可以 忽略底下的討論而直接去製造我們所需要的 區組設計以供密碼系統的使用, 但如此一來, 人們將不會完全了解如此設計的原因, 並且 錯失了一個非常漂亮的代數結構。 因為平面 近環所表達的正是一種在不對稱的世界中的 對稱現象。
首先我們定義所謂的近環(nearring)。
一個近環是一個具有兩種二元運算的集合 N。 這兩種二元運算通常記成 + 及 ·, 並且 它們會滿足底下的性質:
(1) + 及 · 皆滿足結合律;
(2) 對 + 存在有一單位元 0 使得對所有 N 中的元素 x, 0 + x = x + 0 = x 永遠 滿足;
(3) 對任意的 x, 可以找到另一個元素 x′ 使 得 x + x′ = x + x′ = 0, 通常 x′ 被稱 為 x 的反元素並記成 −x;
(4) · 對 + 有右邊分配律: 對任意之 x, y, z, 有 (x + y) · z = x · z + y · z。
以上的 (1), (2) 及 (3) 說明了 (N, +) 是一 個群 (group), 而 (N, ·) 是一個半群 (semi- group)。 由於是滿足了右手分配律, 我們稱 這種近環為右手近環。 如果將右手分配律以 左手分配律來取代, 則我們得到的是左手近 環。 左、 右手近環的理論裡是平行的。
近環的例子隨處都是。 比如說大家所熟 知的有理數、 實數及複數都是近環。 但是這些 例子都有太強的條件, 並不適合用來做為近 環的例子。 要得到沒有另一邊分配律的“真正 近環”的例子, 可以將所有整係數的多項式收 集起來, 記為Z[x]; 取一般之加法為 +, 而用 函數合成 ◦ 為其乘法 (也就是將多項式看為 函數), 如此則得到一個沒有左邊分配律的近 環 (Z[x], +, ◦)。
在任意的 (右手) 近環 (N, +, ·) 上, 我 們可以定義一個對等關係 =m:
a =m b 若且唯若對任意之 x, xa = xb 恆成立。 現在, 我們可以將平面近環的定義寫 下來: 我們稱一個近環 (N, +, ·) 為平面近環 如果 (1) N/ =m 最少有三個對等類 (2) 如果 a, b, c ∈ N 且 a 6=m b, 則方程式 xa = xb + c 有唯一解。
底下的三個平面近環的例子是由 G.
Anshel 在 1968 年提出來的。
1. 在C 上定義一個新的乘法 ∗1:
b ∗1 a =
a1b, 若 a = a1+ a2i 且 a1 6= 0;
a2b, 若 a = a2i。
此處 a1 及 a2 皆為實數。 如此則 (C,+, ∗1) 為一平面近環。
2. 在C上定義另一個乘法 ∗2: b ∗2 a = |a| b。
則 (C,+, ∗2) 為一個 ∗ 平面近環。
3. 在C上定義乘法 ∗3 為 b ∗3 a =
0, 若 a = 0;
a
|a|b, 若 a 6= 0。
則 (C,+, ∗3) 也是一個平面近環。
在下一節結束後我們會有更多平面近環 的例子。
四. 平面近環的特徵刻劃
這一節裡的結果是由 Ferrero 在 1968 年所作的。
令 (N, +, ·) 為一平面近環。 取 N 中任 一元素 x。 如果 x 6=m 0, 則定義一個函數 φx : N → N; φx(y) = yx。 則 φx 有以下 之性質:
(1) φx 為群 (N, +) 的一個自同構 (auto- morphism); 也就是說, φx 為一個一 對一的映成函數, 並且 φx(y + z) = φx(y) + φx(z)。
(2) 如果 φx 不是 N 之恆等函數 idN 則 φx(y) = y 只在 y = 0 時成立。
(3) 如果 φx 6= idN, 則 −φx+ idN 為一個 映成函數。
此時, 若將 Φ 定為 Φ = {φb|b ∈ N, b 6=m
0}, 則 Φ 是 (N, +) 的一個自同構群 (group of automorphisms)。
反之, 如果我們有一個群 (G, +) 以及 一個 G 之自同構群 Φ, 而且 Φ 的元素滿 足了以上之 (2) 與 (3) 的條件, 則由以下的 步驟可以在 G 上定出一個二元運算 · 使得 (G, +, ·) 成為一個平面近環。
步驟一: 計算所有 Φ 在 G 上的軌跡 (or- bit)。 對任一 G 之元素 x, Φ(x) = {ϕ(x)|ϕ ∈ Φ} 即是 Φ 之一個軌跡。
令 B = {Φ(a)|a ∈ G, a 6= 0}。
步驟二: 取 B 之任一個非空子集合 C, 並令 A = G\(UC)。
步驟三: 將 C 中的所有軌跡的代表元固定。
如果 c ∈ C, 將這個代表元記為 ec。 步驟四: 定義 G 上之二元運算 · 如下:
b · a =
0, 若 a ∈ A;
φ(b), 若 a ∈ c, c ∈ C 且 φ(e◦) = a。
如此一來, (G, +, ·) 成為一個平面近環。
由 Ferrero 的結果, 我們很容易找到平 面近環。 在這一個平面近環的刻劃裡, 一個平 面近環 (N, +, ·) 可以對應到兩個群 (N, +)
及 (Φ, 0), 因些我們將 (N, Φ) 稱為一個 Fer- rero 序對 (Ferrero pair)。 但是我們必須注 意到的是, 由一個 Ferrero 序對所能產生的 平面近環並不是唯一的, 它和步驟二中 C 的 選取, 以及步驟三中代素元的選取都有關係。
接下來, 我們可以製造出許多平面近環。
我們需要的材料是體 (field)。
取一個體 (F, +, ·)。 令 F∗ = F \{0}, 則 (F∗, ·) 是一個群。 假計 Φ′ 是 F∗ 的一個 子群且 |Φ′| ≥ 2。 如果 a ∈ Φ′, 定義一個函 數 fa : F → F ; fa(b) = b · a。 則 fa 滿足 了 (1) 和 (2), 而且 Φ = {fa|a ∈ Φ′} 是和 Φ′ 同構 (isomorphic) 的一個 (F, +) 的自 同構群, 也就是說 (F, Φ) 是一個 Ferrero 序 對。 因此在 (F, +) 上可以重新定義許多二元 運算使得 F 成為平面近環。
事實上, Anshel 所提供的三個例子 (C,+, ∗1), (C,+, ∗2) 和 (C,+, ∗3) 都是如 此定義出來的。 在 (C,+, ∗1) 的情形裡, Φ′ 取的是 R\{0}; 在 (C,+, ∗2) 的情況中, Φ′ 取的是 R+ = {r ∈ R|r > 0}; 而在最後一 個 (C,+, ∗3) 中, Φ′ 則是取為平面上的單位 圓。
再舉一個簡單的例子。 取 t 個元素的 體 Z7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, 令 Φ′ = {1, 2, 4}。 所以 Φ = {f1, f2, f4}。Φ 有三個 軌跡, 分別是
Φ(0) = {0}, Φ(1) = {1, 2, 4}
和 Φ(3) = {3, 6, 5}。
取 C = {Φ(1)} 並定 2 為 Φ(1) 的代表元, 因此
1 = f4(2), 2 = f1(2), 4 = f2(2), 而 Z7 上的二元運算則是定為
∗ 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 4 1 0 2 0 0 2 0 1 2 0 4 0 0 3 0 5 3 0 6 0 0 4 0 2 4 0 1 0 0 5 0 6 5 0 3 0 0 6 0 3 6 0 5 0 0 如此, 則 (Z7, +, ∗) 即為一個平面近環。
五. 平衡的不完全區組設計
平衡的不完全區組設計起源於農業實驗 設計, 今日則自成組合學中熱門研究題材之 一, 並且在許多方面有所應用。
什麼是平衡的不完全區組設計呢? 它是 一個有限集合 X 以及 X 的一個子集合的集 合 B 所形成。B 必須滿足以下的條件:
(1) 每一個區組 B ∈ B 有固定數目的元素, (2) 每一個 X 的元素必定包含有一個固定
數目的區組之中
(3) 每一對 X 的元素必須包含在一個固定 數目的區組中。
最著名的例子當屬於底下的這一個。
X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6},
B = {{0, 1, 2}, {0, 3, 6}, {0, 4, 5}, {1, 3, 5}, {1, 4, 6}, {2, 3, 4}, {2, 5, 6}}。
通常以圖形表示:
平面近環和平衡的不完全區組設計又有 什麼關係呢? Clay 在他 1988 年的一篇論文 中證明了下面的定理。
令(N, +, ·)為一個有限的平面近環。 如果 a, b ∈ N,a 6= 0, 則定義 N∗a + b = {na + b|n 6=m 0}。 取 B = {N∗a + b|a ∈ N, a 6= 0}, 則 (N, B) 是一個 平衡的不完全區組設計。
事實上, 如果 (N, Φ) 是 N 的相關 Ferrero 序對, 則每一個 N∗a + b 就是 Φ(a) + b = {ϕ(a) + b|ϕ ∈ Φ}。 因此 |N∗a + b| = |Φ|。
而且, 每一個 N 的元素都屬於 |N| − 1 個區 組, 而每兩個不同的元素則屬於 |Φ| − 1 個 區組。
Clay 的定理說明了平面近環是平衡的 不完全區組設計的一個很好的來源。
現在我們回顧一下 Anshel 的第三個例 子 (C, +, ∗3)。 在這個平面近環裡, 每 一個 C∗∗3a + b, a 6= 0, 都是一個圓, 而其圓心及 半徑則分別是 b 及 |a|。 由於一個圓可以為其 上的任意三個點所唯一決定, Clay 因此考慮 是否在一般的平面近環上這種情況仍然成立。
很快的他就發現了事情並非如此。 但是事情 也不是全然無望, 因為某些平面近環具備了 三點最多決定一個區組的特性, 而這也是有 限平面近環所能擁有的最接近於圓的性質了。
所以這種平面近環就被稱為具有圓性的 (cir- cular) 平面近環 (也就是圓性平面近環)。 反 之, 如果一個平衡不完全區組設計有 (1) 兩 點最少屬於兩個以上之區組, 及 (2) 三點最 多決一個區組, 則我們稱之為具有圓性的。 現 在, 如果一個 Ferrero 序對 (N, Φ) 所決定的 平衡的不完全區組設計是具有圓性的, 則我 們也將之稱為具有圓性的, 也就是說 (N, Φ) 為具圓性的 Ferrero 序對。
為 了 深 入 探 究 這 種 特 殊 的 代 數 結 構, Clay 寫了一個電腦程式來決定了所有可能 的圓性 Ferrero 序對 (Zp, Φk), p 則是小於 1000 的所有質數, 而 k 整除 p − 1。 但是若 要有實用性, 則下面的定理更為適當。
定理(Modisett; 1988): 對任意的正整 數 k, k ≥ 3, 存在有一個質數的有限集合 Pk
滿足了下面的性質: 假如 F 是一個有限體且 k|(|F |−1), 令 Φk 為 F∗的子群, |Φk| = k。
則 Ferrero 序對 (F, Φk) 是具有圓性的充分 必要條件是 F 的特徵值不在 Pk 中。
除了定理本身的漂亮之外, 更重要的是 Pk 也有方法可以決定。 底下所列的是前八個
Pk, k = 3, 4, · · · , 10。
P3 = {3}
P4 = {2, 5}
P5 = {5, 11}
P6 = {2, 3, 7, 13, 19}
P7 = {2, 7, 29, 43}
P8 = {2, 3, 5, 17, 41}
P9 = {3, 19, 37, 73, 109, 127, 271}
P10 = {2, 5, 11, 31, 41, 61, 71, 101}。
六. 密碼系統之建構
在第一節中, 我們舉了一個利用圓的特 性來“保密”的例子。 我們也說明了那是一個 不切實際的例子而已。 其中一個原因是大家 都知道如何在複數平面上以三點來決定出唯 一的圓。 如果我們用的是一個特殊的圓性平 面近環來作相同的事, 則會如何? 結果是除 非一個人知道密碼是使用那一個平面, 否則 他必須花更大的功夫來解讀, 甚至根本無法 解讀也是可能的。
另一個原因是複數的表達方式並不適合 用在現實世界之中。 要是我們使用有限體, 甚 至是 Zp (p 為質數), 來做為密碼系統之根 本, 則一切資訊將是以整數的方式來表達, 因 此沒有複數的困擾。
最後要考慮的是這類特殊平面近環的來 源是否充裕, 換句話說, 是否能夠很容易就建 立起來? 這點可以用 Modisett 的定理來回 答。 由於對一個 k, Pk都是有限的, 所以只要 找到夠大的質數 p 使得 p ∈ Pk且 k|(p−1),
則 (Zp, Φk) 就會具有圓性。 因此, 圓性平面 近環在密碼系統的應用上, 應該是有所為的。
底下我們就來描述如何去建構一個利用 平面近環的密碼系統。
假設甲和乙兩人要建立一個安全的消息 傳送管道。 首先他們決定了要使用那一個圓 性平面近環, 也就是說他們必須同意一組 (p, k), p 是一個質數而 k|(p − 1), 並且 (Zp, Φk) 是一個圓性 Ferrero 序對。
接下來, 甲和乙同意如何將消息 (譬如 說是由 26 個英文字母加上空格及標點符號) 轉成小於 p 的數字。 一般來說, 這轉換方法 都是直接的。
最後, 甲和乙同意只使用含有一個固定 元數 x0(0 ≤ x0 ≤ p − 1) 的所有區組, (共 有 p − 1 個), 它們是 Φk(n) + (x0 − n), n = 1, 2, · · · , p − 1。
如果甲要將一訊息, 例如 m, 通知乙, 甲 就將 m 轉換成數字, 比如說是 am; 再從區組 Φk(am)+(x0−am) 中任意挑出兩個異於 x0
的數, 比方說是 bm 和 cm; 然後將 (bm, cm) 發送出去給乙。
當乙接收到 (bm, cm) 後, 他就在所有的 Φk(n) + (x0−n) 中去尋找包含有 bm 及 cm
的區組。 當然這一個區組是唯一存在, 而且剛 好就是 Φk(am) + (x0− am)。 由此, 乙可以 由 am 推知 m 而知道甲要他知道的消息了。
我們舉一個簡單的例子來說明上面的步 驟。
假設甲、 乙二人決定了要用 p = 31, k = 5 (由 Modisett 的 p5 = {5, 11} 我 們知道 (Z31, Φ5) 是具有圓性的)。 並且他也
同意使用含有數字 10 的 30 個區組 Φ5(n)+
(10 − n), 1 ≤ n ≤ 30, 來傳送 26 個字母, 空格以及四個標點符號 ,, · , ; 和“。 這些符 號則是用下面的對應轉成小於 31 的整數:
A ↔ 1, B ↔ 2, · · · , X ↔ 24, Y ↔ 25, Z ↔ 26, 空格↔ 27, ,↔ 28, · ↔ 29, ; ↔ 30, “ ↔ 0。
下面是計算後的 30 個區組 Φk(n)+(10−n), 1 ≤ n ≤ 30:
Φ5 = {1, 2, 4, 8, 16}
Φ5(1) + (10 − 1) = {10, 11, 13, 17, 25}
Φ5(2) + (10 − 2) = {9, 10, 12, 16, 24}
Φ5(3) + (10 − 3) = {0, 10, 13, 19, 24}
Φ5(4) + (10 − 4) = {7, 8, 10, 14, 22}
Φ5(5) + (10 − 5) = {10, 14, 15, 23, 25}
Φ5(6) + (10 − 6) = {7, 10, 16, 21, 28}
Φ5(7) + (10 − 7) = {0, 10, 17, 22, 28}
Φ5(8) + (10 − 8) = {3, 4, 6, 10, 18}
Φ5(9) + (10 − 9) = {6, 10, 11, 19, 21}
Φ5(10) + (10 − 10) = {5, 9, 10, 18, 20}
Φ5(11) + (10 − 11) = {10, 12, 20, 21, 25}
Φ5(12) + (10 − 12) = {1, 4, 10, 15, 22}
Φ5(13) + (10 − 13) = {8, 10, 18, 19, 23}
Φ5(14) + (10 − 14) = {3, 10, 15, 21, 24}
Φ5(15) + (10 − 15) = {10, 18, 22, 24, 25}
Φ5(16) + (10 − 16) = {2, 10, 26, 27, 29}
Φ5(17) + (10 − 17) = {5, 10, 17, 27, 30}
Φ5(18) + (10 − 18) = {1, 2, 10, 12, 28}
Φ5(19) + (10 − 19) = {5, 10, 16, 19, 29}
Φ5(20) + (10 − 20) = {0, 8, 10, 26, 30}
Φ5(21) + (10 − 21) = {0, 2, 10, 11, 15}
Φ5(22) + (10 − 22) = {1, 9, 10, 14, 30}
Φ5(23) + (10 − 23) = {2, 10, 14, 16, 17}
Φ5(24) + (10 − 24) = {3, 10, 20, 23, 29}
Φ5(25) + (10 − 25) = {4, 10, 13, 23, 30}
Φ5(26) + (10 − 26) = {5, 6, 10, 26, 28}
Φ5(27) + (10 − 27) = {6, 10, 12, 13, 29}
Φ5(28) + (10 − 28) = {1, 7, 10, 20, 27}
Φ5(29) + (10 − 29) = {4, 8, 10, 11, 27}
Φ5(30) + (10 − 30) = {3, 7, 9, 10, 26}
現在, 如果甲要把句子 THE CAT IS BLACK 通知乙, 甲就將它轉成
19,8,5,27,3,1,19,27,9,18,27,2,12,1,3,11, 29
然後從相關的區組 Φ5(19) + (10 − 19), Φ5(8) + (10 − 8), · · · , Φ5(29) + (10 − 29)。
中分別選出兩個適當的數字而將下面的數列 傳送給乙。
5,16,6,18,14,15,13,29,24,0,25,17,19,29, 13,10,11,19,1,2,6,12,12,9,1,4,11,17,0, 24,12,21,4,27。
當乙收到以上的數列時, 他就到 Φ5(n) + (10 − n) 的表中找出相對的 am 值, 反推而 得到甲所要傳送的消息了。
當然這個簡單的例子不是十分保密, 但 是它說明了如何以使用平面近環來建立保密 的通訊管道。 為了要使系統安全, 我們必須使 用較大的 p 及 k 。 可是當 p 和 k 增大時, 解
碼法就必須加以適當設計而不能再以查表的 方式來做了。 要設計出好的解碼方法, 則必須 對平面近環與區組設計之間的關聯有更為深 入的瞭解才行。
七. 結論
在以上的密碼系統討論裡, 我們沒有對 我們的系統做深入的分析或是討論其它可能 的建構方式, 因為這不是本文的真正目的。 我 們所要表達的觀念是: 純數的研究不一定會 和應用脫節。 平面近環在它的二十多年發展 歷史中已經表達了它在純數與應用方面的卓 越貢獻。 它的起源則完全是由於 Clay 對新 的代數結構的好奇而引起。 另一方面, 平衡的 不完全區組設計則是因為農業實驗設計所需 而發展出來。 今日, 它不僅是在實驗設計及統 計上有用, 也在編碼學上有重大貢獻, 而且它 本身也是組合學裡的一個熱門研究方向。 由 於平面近環理論的研究, 這個奇特的區組設 計也多了一個應用、 研究的方向。
參考文獻
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—本文作者任教於成功大學應用數學研究 所—
