與平面

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：98.11.24 範

圍 2-4 平面方程式 班級 姓

座號 名 一、多選題 ( 每題 10 分 )

（ ）1.平面E的方程式為x+ − =y z 3﹒下列哪些敘述是正確的﹖

(1)點

( ^{2,1, 0} )

^{在E上 (2)向量}

( ^{1,1, 2} )

^為E上的一個法向量 (3)原點到E的距離為

3

(4)平面x+ − = −y z 3和E平行 (5)平面x+ +y 2z=0和E垂直﹒

解答 1345

解析 (1)因為 2 1 0+ − = ﹐所以點3

(

2,1, 0 在平面 E 上﹒

)

(2)因為平面 E 上的法向量為^t

(

^{1,1, 1− ﹐所以向量}

) (

1,1, 2 不是平面 E 上的一個法向量﹒

)

(3)原點

(

0, 0, 0 到平面 E 的距離為

)

( )

²

2 2

0 0 0 3 3 1 1 1

+ − −

+ + − = ﹒

(4)因為平面x+ − = − 和平面 E 有相同的法向量﹐且兩平面相異﹐所以兩平面平行﹒ y z 3 (5)平面x+ +y 2z= 一個法向量為0

(

^{1,1, 2 ﹐因為}

) (

^{1,1, 2}

) (

^{⊥ 1,1, 1}− ﹐所以和平面 E 垂直﹒

)

二、填充題 ( 每題 10 分 )

1.求兩平面x+4y− =z 3和x− =y 3的夾角_________﹒

解答 2 3

π

與 3

π

解析 設θ 為平面x+4y− = 的法向量z 3



n1 =

(

1, 4, 1−

)

與平面x− = 的法向量y 3



n2 =

(

1, 1,0−

)

的夾角﹒

( ) ( )

( ) ( )

1 2

2 2

2 2 2 2

1 2

1 1 4 1 1 0 3 1

cos 1 4 1 1 1 0 6 2

n n n n

θ ⋅ ⋅ + ⋅ − + − ⋅ −

= = = = −

+ + − + − +

   

^{﹐θ 為23π ﹐}

故兩平面的夾角為2 3

π 與 2 3 3 π − π π= ﹒

2.求通過^P

( ^{3, 2,1} )

^{和平面x−2y+3z= −4}平行的平面方程式__________﹒

解答 x−2y+3z= 2

解析 平面x−2y+3z= − 的一個法向量為4

(

^{1, 2,3−}

)

^﹒

所求平面和x−2y+3z= − 平行﹐所以4

(

^{1, 2,3−}

)

亦為此平面的一個法向量﹐

假設此平面的方程式為x−2y+3z= ﹒ d

過點^P

(

^{3, 2,1}

)

^﹐所以d= ⋅ + − ⋅ + ⋅ = ﹐所求平面方程式為^{1 3}

( )

^{2 2 3 1 2} x−2y+3z= 2 3.求通過^P

( ^{1, 1, 2 −} )

^﹐Q

( ^{2, 0, 4} )

^﹐R

( ^{3, 2, 5} )

三點的平面方程式________________﹒

解答 3x− − = y z 2

解析 由 P ﹐ Q ﹐ R 三點的坐標可得^PQ



⁼

(

^{1,1, 2}

)

_﹐PR



=

₍

_2,3,3

₎

_﹒ 設



^{n =}

(

^{a b c, ,}

)

為平面的法向量﹐因為 n



與 PQ



_{﹐ PR}



_均垂直﹐

由

( ) ( )

( ) ( )

, , 1,1, 2 0, , , 2,3,3 0, n PQ a b c

n PR a b c

 ⋅ = ⋅ =



 ⋅ = ⋅ =



   

得 2 0,

2 3 3 0,

a b c

a b c

+ + =

 + + =









 將^{× − + 得}

( )

² b− = ﹐即 b cc 0 = ﹐

b= 代入式得c a= − −b 2c= − −c 2c= − ﹐ 3c

法向量



^{n =}

(

^{a b c, ,}

) (

^{= −3 , ,c c c}

) ( )(

^{= −c 3, 1, 1− −}

)

_﹐即

₍

_{3, 1, 1}− − 為平面的一個法向量﹒

₎

又平面過點

(

^{1, 1, 2−}

)

^{﹐平面的方程式為3}

(

^{x− + −1}

) ( )

¹

(

^{y− −}

( )

¹

)

^{+ −}

( )(

^{1 z−2}

)

⁼⁰

整理得 3x− − = ﹒ y z 2

4.求通過^P

( ^{1, 0, 0} )

^﹐Q

( ^{0, 2, 0} )

^﹐R

( ^{0, 0, 3} )

三點的平面方程式___________﹒

解答 1 2 3 y z x+ + = 解析

截距式此平面方程式為 1

2 3 y z x+ + = ﹒

5.求點

( ^{1, 2, 3} )

^{到平面2x+3y−6z=11}的距離_________﹒

解答 3

解析 點到平面的距離公式﹐得到距離為

( )

²

2 2

2 1 3 2 6 3 11 21 7 3 2 3 6

⋅ + ⋅ − ⋅ − −

= =

+ + − ﹒

6.求兩平行平面E₁

: 6

x

− 2

y

− 3

z

= 1

和E₂

: 6

x

− 2

y

− 3

z

= 15

的距離___________﹒

解答 2

解析 由兩平行平面的距離公式﹐得平面E 與₁ E 的距離為₂

( ) ( )

^{2 2}

2

1 15 2

6 2 3

− =

+ − + − ﹒

7.求通過點^P

( ^{1, 0, 2 −} )

^﹐且以



ⁿ

^{= −} ( ^{1, 3, 2} )

為法向量的平面方程式______________﹒

解答 x−3y−2z= 5

解析 點向式得

( )(

^{−1 x− +1}

) (

^{3 y− +0}

)

²

(

^{z− −}

( )

²

)

^{= ﹐得0 x−3y−2z= ﹒ 5}

8.已知兩平行平面E₁

: 2

x

− 2

y

− =

z

1

和E₂

: 2

x

− 2

y

− =

z k的距離為 2﹐求k的值_________﹒

解答 7 或

− 5

解析 兩平行平面的距離公式﹐

( ) ( )

^{2 2}

2

1 1

3 2

2 2 1

k k

− −

= =

+ − + − ⇒ 1− = k 6 ⇒ 1− = ± ⇒ k 6 k= 或 57 − ﹒

9.在坐標空間中﹐有一個正立方體ABCD

−

EFGH ﹐如下圖﹐它的面EFGH 所在的平面方程式為x−2y+2z=3﹐且A點坐標為

( ^{5, 2, 3 −} )

^﹐求

(1)正立方體的面ABCD所在的平面方程式____________________﹒

(2)此正立方體的邊長________________﹒

解答 (1)x−2y+2z=15;(2)4

解析 (1) ABCD 所在的平面與x−2y+2z= 平行﹐ 3

以假設其方程式為x−2y+2z= ﹐包含點d

(

^{5, 2,3−}

)

^{﹐故5− − + ⋅ =2}

( )

^{2 2 3 15= ﹐ d}

方程式為x−2y+2z=15﹒

(2)正立方體的邊長為點 A 到平面x−2y+2z= 的距離﹐ 3 正立方體的邊長為

( )

( )

²

2 2

5 2 2 2 3 3 12 3 4

1 2 2

− − + ⋅ −

= =

+ − + ﹒

10.已知點^A

( ^{− 2, 5, 4} )

^與點B

( ^{1, 4, − 5} )

^{在平面E: 2x− +y 2z+ =4 0的兩側﹐且AB與平面E交}

於P點﹐求AP BP

:

的比值____________﹒

解答

3 : 8

解析

此二線段的長度比等於A﹐B兩點到E的距離比﹐如右圖所示﹒

故利用點到平面的距離公式得﹕

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 2

2 2 5 2 4 4 2 1 4 2 5 4 :

2 1 2 2 1 2

× − − + × + × − + × − +

+ − + + − + =3 : 8﹒

11.已知平面x− +y 2z=3與2x+ +y cz=4的一夾角為

60°

﹐求c的值_______________﹒

解答 1 或 13

− 5

解析 設平面x− +y 2z=3與2x+ +y cz=4的法向量

( ^{1, − 1, 2} )

^與

( ^{2, 1, c} )

^{的夾角為θ﹐則}

θ^為

60°

或

120°

﹒

因為 1 cos 60 cos120

° = ° = 2﹐所以

( ) ( )

( ¹

²

^{+ −} ( ) ^{1, 1 −}

²

^{1, 2 + 2}

²

^⋅ ) ^{( 2, 1, 2}

²

^{+ +}

^c

¹

^{2 c2}

^{) = 1 2}

^﹐

⇒

( ) ^{6 1 2} ( ^{+ 5}

^c

⁺

^c2

) ^{= 1 2}

⇒ ²

²

^{× + 1 2}

^c2

^{= × + 6} ( ⁵

^c2

)

⇒

16c²+16c+ =4 6c²+30

⇒

10c²+16c−26=0

⇒ ⁵

^c2

^{+ 8}

^c

^{− 13 =} ( ⁵

^c

^{+ 13} )(

^c

^{− = 1} ) ⁰

⇒

c

= 1

或 13 c= − 5 ﹒

12.已知坐標空間中四點

( ^{0, 0, 3} )

^﹐

( ^{1, 0, 0} )

^﹐

( ^{1, 3, 3} )

^與

( ^0,

^a

^{, 0} )

^{共平面﹐求a的值_____﹒}

解答

− 3

解析

截距式﹐過

( ^{0, 0, 3} )

^﹐

( ^{1, 0, 0} )

^與

( ^0,

^a

^{, 0} )

^{三點的平面方程式為 1}

1 3

x y z + + =a ﹐

( ^{1, 3, 3} )

^{代入 1}

1 3

x y z

+ + =a 得1 3 3

1+ + =a 3 1﹐解得a

= − 3

﹒

13.已知坐標空間中兩點^{P ,}

( ^{1 2 3 ,} )

^與Q

( ^{2 3 2 , ,} )

^﹐求以PQ



_{為法向量且通過點P的平面方程式__﹒}

解答 x+ − =y z 0

解析 ^PQ

 ⁼ ( ^{1, 1, − 1} )

為平面的一個法向量﹐又過點^P

( ^{1, 2, 3} )

^﹐

故其方程式為

¹ (

^x

^{− + 1} ) ( ¹

^y

^{− 2} ) ( )( ^{+ − 1}

^z

^{− 3} ) ^{= 0}

^{﹐即x+ − =y z 0﹒}

14.已知平面E過點^P

( ^{2,1, 1 −} )

^{且與二平面}E1

: 2

x

+ − =

y z

3

﹐E₂

:

x

+ 2

y

+ =

z

0

均垂直﹐求E的方 程式________________﹒

解答 x− + = y z 0

解析 設



^{n =}

(

^{a b c, ,}

)

為平面 E 的法向量﹒

因為平面 E 與二平面E₁: 2x+ − = ﹐y z 3 E₂:x+2y+ = 均垂直﹐ z 0

所以

( ) ( )

( ) ( )

, , 2,1, 1 , , 1, 2,1 a b c

a b c

 ⊥ −



 ⊥ ⇒

( ) ( )

( ) ( )

, , 2,1, 1 0 , , 1, 2,1 0 a b c

a b c

 ⋅ − =



⋅ =



⇒ 2 0

2 0

a b c

a b c

+ − =

 + + =

 ⇒ ,

,

a b

c b

 = −

 = −



法向量



^{n =}

(

^{a b c, ,}

) (

^{= −b b b, ,− = −}

) ( )(

^{b 1, 1,1−}

)

_﹐即

₍

_{1, 1,1−}

₎

為平面 E 的一個法向量﹒

過點

(

^{2,1, 1}− ﹐平面 E 的方程式為

)

x− + = ﹒ y z 0

15.在坐標空間中﹐已知平面E通過

( ^{2, 0, 0} )

^﹐

( ^{0,1, 0} )

^﹐

( ^{0, 0,1} )

^三點﹐求

(1)E的方程式_________________﹒ (2)原點

( ^{0, 0, 0} )

^到E的距離______________________﹒

解答 (1) 1 2 1 1

x+ + = ;(2)y z 2 3

解析 (1)截距式， E 的方程式為 1 2 1 1 x+ + = ﹒ y z

(2)原點

(

0, 0, 0 到平面 E 的距離為

)

2

2 2

0 0 0 1 1 1 2 3 3 1 9

1 1 4 2 2

+ + −

= = =

  + +

  

﹒