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本期訪談 Villani 教授。 他的主要研究領域是 Boltzmann 方程、 Landau 阻 尼及最優運輸。 Boltzmann 的氣體動力學理論, 在時間上不可逆, 熵 (entropy) 與 時俱增; 一般認為該現象源自原子的碰撞。 關鍵的問題是 : 熵的成長速度為何? 當 初始數據不接近平衡態時, Villani 對系統收斂至平衡態的速度做出第一個估計。 而 相對於氣體運動, L. D. Landau 於 1946 年提出一個令人費解的主張: 在某些情 況, 系統可在不增加熵的情況下達到平衡。 事 實上, 電漿體 (plasma) 因自由帶電 粒子產生電場而驅動運動; 不同於氣體運動受限於互相撞擊的效應, 電漿體的顆粒 會影響到未碰撞過的遙遠顆粒, 因此其動力學方程在時間上可逆, 且不涉及熵的增 加。 Villani 於 2009 年證明 Landau 的主張正確, 解決長期的爭論。 另外, 最優運 輸理論看似乎與熵無關, 但 Villani 發現了其間的深層聯繫, 在最佳運輸的框架內 理解氣體擴散, 改變了整個領域。
Villani 教授於 2009 年出任 Poincar´e 研究所所長, 任內忙於提升該研究所 的國際聲譽和影響力。 而今, 他已經成為法國數學界在媒體和政界的發言人。 他留 著齊肩的長髮, 戴著色彩鮮明的絲質領結、 蜘蛛形狀的胸針, 穿著修身西裝, 積極參 與公眾活動, 在世界各角落孜孜不倦地陳述數學之美。
愛因斯坦構建廣義相對論, 是為了整合牛頓力學與狹義相對論。 植基於 「等效 原理」, 自 1907 年至 1915 年, 愛因斯坦幾番誤入歧途, 幾番與正確的方程式失之交 臂, 備極艱辛。 丘成桐教授講述其中的跌宕曲折, 回顧愛因斯坦和 Hilbert 合力發現 愛因斯坦方程的歷程, 推崇黎曼、 Minkowski、 Grossmann、 Ricci、 Levi-Civita 等幾何學家的偉大貢獻。
廣義相對論不容許能量密度表示式存在; 我們無法計算各點的重力能量, 只能 計算封閉二維曲面所包圍的能量。 換言之, 重力能量不為局部 (local), 只能是擬局 部的 (quasi-local)。 丘教授於 1979 年與 Schoen 教授證明 ADM 總質量為正, 2009 年與王慕道教授提出擬局部質量的定義。 丘教授的講稿綜述了這些問題。
1915年, 愛因斯坦發表廣義相對論後, 隨即重新計算水星在近日點的超額進動 角度, 結果符合已知的觀察數據。 他也重新計算光線在太陽附近的偏折角度; 1919 年, 愛丁頓團隊觀測日蝕所獲數據吻合此計算值, 多家報紙高規格報導此消息, 愛 因斯坦因而躋身世界名人。 張海潮教授在前兩期重現愛氏這兩項計算, 本期說明愛 氏有關紅移現象的推論, 並摘錄 1919 年 11 月 7 日泰晤士報的頭條新聞。
游森棚教授從一個數學競賽題談起, 將問題連繫上 Eulerian cycle 及 de Bruijn 圖, 進而介紹圖論的幾個前沿結果。 文章內容豐富, 饒富趣味。 沈淵源教授 探討 Wallis 乘積, 以電腦繪圖的實驗結果提出猜想, 講解生動有趣。
梁惠禎
2018 年 12 月
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第 四 十 二 卷
第 四 期
有朋自遠方來一一
專訪 C´edric Villani 教授 ··· 3 時空幾何學與廣義相對論中的質量 ··· 演講者 : 丘成桐 15 對廣義相對論三個預測的補充說明一一
附1919/11/7倫敦泰唔士報報導 ··· 張海潮 27 從數學競賽到數學研究一一從 2002-C6 說起··· 游森棚 32 與巨人同行一探圓周率··· 沈淵源 46 四面體餘弦定理的另證··· 連威翔 71
「霍金的合作者」 一一彭羅斯的數學人生 ··· 邵紅能 81 微分均值定理的推廣 ··· 武國寧 · 孫 娜 86 從 「將軍飲馬」 問題到 「施瓦爾茲三角形」 陳海烽 · 趙國瑞 91
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