射影平面六講

射影平面六講 _— 第二講

王九逵

在歐氏平面

_R

² 中的直線都可以用 λ⁰+ λ¹x+ λ²y= 0 (1) 形的方程式表出, 式中 λ⁰, λ¹ 和 λ² 為實常 數, λ1 和 λ2 不同時為 0。 若將點 (x, y) 改 用齊次座標 (ξ0, ξ1, ξ2) 表示, 則方程式 (1) 變成下形的齊次方程式了:

λ⁰ξ⁰+ λ¹ξ¹+ λ²ξ²= 0. (2)

P

中滿足 (2) 式的點叫作

P

中的 直線, 它包 含著滿足 (1) 式的所有有限點, 和一個唯一 的無限遠點 (0, −λ2, λ1)。

若 λ¹ = λ² = 0, 而 λ⁰ 6= 0, (2) 和 方程式 ξ⁰ = 0 同值, 這便是所有無限遠點 所滿足的方程式。 因此我們可以設想所有無 限遠點所成的集合為一條

_P

中的直線, 稱為 無限遠直線 (line at infinity)。 從射影幾何 的觀點講, 無限遠直線和別的直線並沒有什 麼不同: 都是

P

中滿足 (2) 式的點的集合;

而對 (2) 式我們的要求該是 λ0, λ¹ 和 λ2 不 同時為 0。

在

_P

中取直線

µ0ξ0+ µ1ξ1+ µ2ξ2 = 0, (3) 式中 µ0, µ¹和 µ2不同時為 0。 則 (2) 和 (3) 表示同一條直線 l 的充要條件是 λ⁰ : λ¹ : λ² = µ⁰ : µ¹ : µ²。 我們稱 (λ⁰, λ¹, λ²) 為直線 l 的一組 齊次座標 或 Pl¨ucker 座 標。 和點的齊次座標相似, 線的齊次座標的集 合也是

_R

³\{0}, 而當且僅當兩個三維向量成 比例時, 它們表示相同的直線, 而方程式 (2) 的意義是以 ξ = (ξ0, ξ1, ξ2) 為齊次座標的點 落在以 λ = (λ⁰, λ¹, λ²) 為齊次座標的直線 上的充要條件是二向量 ξ 和 λ 正交:

ξ· λ = 0. (4) 因為 ξ · λ = λ · ξ, 所以從算式 (4) 也 可以推得在

_P

中以 λ 為齊次座標的點也落在 以 ξ 為齊次座標的直線上。 於是我們得到了 下述的 射影幾何的對偶原理 (duality prin- ciple):

原理: 設 P 為射影平面幾何中牽涉點、

線及關係 「點在線上」 及 「線通過點」 的一個

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數學傳播

²⁵

卷

²

期 民

⁹⁰

年

⁶

月

命題。 從 P 建立新命題 P^′ 如下: 我們把 P 中的點和線互換, 也把關係 「點在線上」 及

「線通過點」 互換。 那麼 P 和 P^′ 必同時成立 或同時不成立。

在對偶原理中的命題 P 和 P^′ 互稱 對 偶命題 (dual propositions), 而點和線, 「點 在線上」 和 「線通過點」 互稱 對偶概念 (dual concepts) 及 對偶關係 (dual relations)。

例如若原命題為 「若 X 和 Y 為

P

上相異的 兩點, 則有且僅有一直線 l 通過 X 和 Y 」(兩 點決定一直線), 則其對偶命題為 「若 x 和 y 為

_P

上相異的兩直線, 則有且僅有一點 L 同 時在 x 和 y 上」(兩直線決定一交點)。 以下 我們設法找出一些這樣的射影幾何的定理。

仍令 X 和 Y 為

P

上相異的兩點。 設 ξ 和 η 為其齊次座標。 則 ξ 和 η 線性無關, 從 而 λ = ξ × η 為連接 X 和 Y 的直線 l 的 座標向量。 這結果的對偶命題如下: 設 ξ 和 η 為

P

中相異的兩直線 x 和 y 的齊次座標。

則 λ = ξ × η 為 x 和 y 的交點 L 的座標向 量。 利用這結果可得

定理: 設 X, Y , Z 為

P

中的相異三點, ξ, η, ζ 為表示齊次座標向量。 則以下三款同 值:

(1) X, Y , Z 三點共線;

(2) det









ξ η ζ









= 0.

(3) ζ 可以寫成 ξ 和 η 的線性組合, 且這線 性組合的係數均不為 0。

證明: (1) =⇒ (2)。 因 X, Y , Z 三點共 線, 故 ξ × η 和 ξ × ζ 表示相同的直線。 因

(ξ × η) × (ξ × ζ) = [(ξ × η) · ξ]η − [(ξ × η) · ζ]ξ = −[(ξ × η) · ζ]ξ。 但 ξ 6= 0, 所以

(ξ × η) · ζ = 0, 即 (2) 成立。

(2) =⇒ (3)。 從 (2) 知 ξ, η 和 ζ 線性 相關, 即有實數 a, b, c 使 aξ + bη + cζ = 0。

但 c 6= 0, 否則 X 和 Y 是

P

中相同的點 了。 所以 ζ 可以寫成 ξ 和 η 的線性組合。 但 依和上面相同的討論, a 和 b 也都不是 0。 所 以 (3) 成立。

(3) =⇒ (1)。 設 ζ = aξ + bη, 式中 a6= 0, b 6= 0。 則 ξ × ζ = bξ × η。 遂知 X, Y, Z 三點共線。

本定理的對偶定理如下:

定理: 設 x, y, z 為

P

中的相異的三直 線, ξ, η, ζ 為表示其座標向量。 則以下三款 同值:

(1) x, y, z 三直線共點;

(2) det









ξ η ζ









= 0.

(3) ζ 可以寫成 ξ 和 η 的線性組合, 且這線 性組合的係數均不為 0。

Gerard Desargues (1593-1662) 證明 了下定理:

定理: 設二三角形的對應頂點連線共點, 則其對應邊交點共線。

引入符號, 我們可以把本定理改述如下:

設 A, B, C, A^′, B^′, C^′ 為

_P

中相異的 六點。 直線 BC 和 B^′C^′ 的交點為 D, CA 和 C^′A^′ 的交點為 E, AB 和 A^′B^′ 的交點

射影平面六講

^—

第二講

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為 F 。 若直線 AA^′, BB^′, CC^′ 共點, 則三 點 D, E 和 F 共線。

C

A B

P E D

A

′

B

′

C

′

圖一

證明: 設 A, B, C, A^′, B^′, C^′ 六點的 齊次座標向量分別為 α, β, γ, α^′, β^′, γ^′。 從 定理的條件知有不等於 0 的實數 a 和 b 使 γ× γ^′ = aα × α^′ + bβ × β^′。 但 aα 和 bβ 也是 A 和 B 的齊次座標向量。 我們把這兩 個向量改名為 α 和 β, 則有

γ× γ^′ = α × α^′+ β × β^′. 於是

δ= (β × γ) × (β^′× γ^′) ε= (γ × α) × (γ^′× α^′) φ= (α × β) × (α^′× β^′)

分別是 D, E, F 的齊次座標向量。 利用向量 代數知

δ= [(β × γ) · γ^′]β^′− [(β × γ) · β^′]γ^′

= [(γ × γ^′) · β]β^′− [(β^′× β) · γ]γ^′

= [(α × α^′) · β + (β × β^′) · β]β^′ +[(β × β^′) · γ)]γ^′.

= [(α × α^′) · β]β^′+ [(β × β^′) · γ)]γ^′. 仿此有

ε= [(γ × α) · α^′]γ^′− [(γ × α) · γ^′]α^′

= [(α × α^′) · γ]γ^′+ [(γ × γ^′) · α]α^′

= [(α × α^′) · γ]γ^′+ [(β × β^′) · α]α^′, φ= [(α × β) · β^′]α^′− [(α × β) · α^′]β^′

= [(β × β^′) · α]α^′+ [(α × α^′) · β]β^′. 遂得

δ+ε = [(α×α^′)·γ +(β×β^′)·γ]γ^′+φ = φ.

這就是說 D, E, F 共線。

讀者可自行驗證 Desargues 定理的對 偶定理便是它的逆定理。

—本文作者為國立中央大學數學系退休教 授—