科學月刊【數‧生活與學習】專欄‧百年 6 月
高中數學課程裡的線性規劃
單維彰‧100 年 5 月 16 日
所謂線性規劃 (Linear Programming) 在其（經過整理的）數學形式上，是求 n 元一次目標函數 在滿足m個一次不等式
…
之限制條件下的最小值。（我們可以只討論 的情況。）
1 1 2 2 n n
Pc x c x c x
11 1 12 2 1n n 1
a x a x a x b
21 1 22 2 2n n 2
a x a x a x b
1 1 2 2
m m mn n
a x a x a x bm
mn
就像許多數學概念一樣，線性規劃的初步想法可以追溯到更早以前，但是我 們今天認識它的方式乃至於稱呼它的名字，乃是具體地誕生於西元 1948 年。名 字之中的「線性」(linear) 表現了它在數學技術上的特徵：求最小值的「目標函 數」以及設定條件的不等式，都是一次式，也就是線性的。而「規劃」(programming) 其實是軍事用語，意指一套兵力派遣、火力部署和補給作業的規劃；這個字表現 了這套數學想要解決的典型問題。
但是讀者不該將「線性」字面地理解為「直線的」。這是一部份高中學生具 有的迷思：因為二元一次方程式 ax by 的圖形是平面上的直線，就「自然c 地」以為三元一次方程式 ax by cz 的圖形是空間中的直線—不是的，它d 是空間中的平面。一般而言，n 元一次方程式a x1 1a x2 2a xn n 的圖形是 nb 度空間裡，少了一個維度（也就是 n-1 維）的「平面」，稱為超平面 (hyperplane)。
而滿足 n 元一次不等式a x1 1a x2 2 的解，就是被超平面分割的兩個「半 空間」之一。
n n
a x b
線性規劃在 1960 年代因為美國報紙的宣揚而成為家喻戶曉的數學明星。做 為明星所達到的最高峰，或許是 1975 年的諾貝爾經濟獎，受獎者是兩位線性規 劃的先行學者，得獎的原因是他們「在資源最佳分配理論上的貢獻」。而線性規 劃的基本性質，和它的基本解法「單形法」(Simplex Method)，都在 1950 年代的 前期就確立了。
1966 年前後，為東華書局根據民國 53 年版之課程標準編撰 當李新民教授在
高中數學教科書時，很有創意地將線性規劃的「淺薄特例」：n2的情況，寫進 了教科書。將一個還在尖端研究領域的數學課題寫進高中數學教材，應當是一件 令人歡欣鼓舞的事，很有趣也很有啟發性。李教授後來成為中央大學復校（成為 大學）後的首任校長。
理論上，排除一些無聊的情況之後，滿足限制條件的點，是 n 維空間中被 m 個超平面圍成的區域；稱為多胞形 (polytope)；這個看起來很時尚的名字，其實 在二維（平面上）就是多邊形（例如三角形、四邊形等），在三維（空間中）就
是多面體（例如四面體、立方體、角錐體等）。數學定理保證了上述多胞形必然 是「凸的」，所以如果目標函數在限制條件之下有最小值，則最小值一定發生在 此多胞體的某一個頂點上。
（也就是 n 個超平面交於一點）。 這是
這是一個美好的定理，但是實行上頗為困難。首先，求取頂點坐標等於要算 一個 n 元一次聯立方程式的解，在高中學習了高斯消去法求解三元一次聯立式，
我們可以推廣此算法解 n 元一次式，但是其複雜的程度不是 n:3，而是n :27。讀3 者只要代入 n=10 試試看，就可以想像其複雜的程度；而 n=10 是實際應用時常 見的未知數個數。其次，頂點的個數非常多，而且不容易判斷。在 m 個條件中
任選 n 個，就能計算一個交點 高中生可以了解，
一個組合問題，限制條件形成的凸多胞體可能有C 個交點。讀者只要試試nm 看C 就能感受交點數有多麼大！而 m=15 在實際應用時還不算太多。但是這些1015 交點卻不一定是多胞體的頂點（稍後在平面上再解釋），我們還須要一些並不容 易的步驟來判斷哪些交點是頂點？
因此，應用數學家（和經濟學者）並不直接使用上述美好的定理，設計求解 線性規劃問題的演算法（否則，那個諾貝爾獎是不是來得太輕易了一點？）。單 形法是最早發明的算法，雖然這個方法在理論上不如後來發明的兩種算法，但是 實務經驗上卻相當可靠，所以至今仍是最普遍被採用的算法。單形法的重點在於 效率，它使得我們不必嘗試目標函數在每一個頂點的值，就能找到發生極小值的 那個頂點。
當n2，也就是目標函數與限制條件都只有兩個變數，我們可以限制在平 面上探討它。此時我們習慣將x 寫成 x，1 x 寫成 y，而限制條件就是由 m 條直線2
k k k
a x b y ，c k1, 2, …, m 圍成的凸多邊形。事實上，每兩條直線就有一個交 點，例如五個條件對應的五條直線一共（最多）有C25 10個交點，須要求解二 元一次方程組 10 遍（通常包含x0和y 兩個條件，所以有兩條直線就是 x0 軸和 y 軸，簡化了問題）。但是我們可以在平面上「看」到這 m 條直線，很容易 不假思索地「
李新民校 於民
看」到頂點的大略位置，只要算出形成頂點的交點即可，而不必經 過計算交點然後判斷是否為頂點的步驟。
長 國 57 年版的東華版數學課本引進n2之線性規劃淺薄特 例時，只有一個例題。其設計目標看來只想要連結二元一次聯立不等式的解區域
（平面上的多邊形），並順便點到為止地介紹一項數學新知（線性規劃）。用今天 的說法，就是在教材裡添加一點「花絮」或「欣賞」。當時，他並未說明求解的 方法及理由，只是說『（解法）一般將至為繁複，但由線性規劃之理論，960-2x-y 之極大或極小值，將在五邊形之頂點出現』。然後就是頂點列表法。習題之中，
六題是解兩條二元一次聯立不等式的操作練習，兩題練習畫解區域，一題練習由 解區域找不等式，只有一個文字應用題。
如果將民國 53—61 年間的數學教材當作台灣「現代」數學課程的第一代，
則 62—72 年間的第二代四種版本的數學課本中，仍然只有李校長的東華版在第 六冊第四章〈總複習〉的「4-4 不等式與極值問題」裡，放了一個「線性函數的
極限」例題（例 8），內容就是線性規劃。這第二代的教材採用了平行直線系
（ x y ）來解釋k xy的最大值發生在一個四邊形區域的某頂點。這份教材 沒有提到「頂點法」，甚至沒有設計類似的習題；整個教材中，僅此一個例題。
平
的《
章〈不等式〉的
「2-
空間中（也就是 維）
討論
線性規劃在第三代數學課程（民國 72—87 年，全國統一使用的部編版）忽 然變成了一個重要課題，在第一冊第三章〈直線方程式與二元一次不等式〉的「3-4 二元一次聯立不等式與線性規劃」裡，正式躍上了標題。這一冊課本平均每節只 有 10.6 頁，而 3-4 佔了 19 頁，可見是一個「重點章節」。3-4 的內容完整地從 行直線系發展到頂點法，並介紹了頂點坐標不是整數的題型。
第四代數學課本又回到一綱多本的局面，共同的依據是民國 84 年 10 月公布 高級中學數學科課程標準》。這一代的課本保存了部編版的線性規劃，但是 移到了高中三年級選修的《數學甲》Ⅰ或Ⅱ，各版本都為「線性規劃」獨立設了 一節。當時認為數學甲適合準備進入理、工、醫、農、商學領域的高中生，而數 學乙則是為了文、法、教育、藝術領域的學生設計的。
第四代課本中的南一版最接近前代部編版的內容，放在第二
3 線性規劃」，佔了 18 頁，課後設計了 7 道習題，外加 2 個綜合練習題。相 對於部編版，只在格子點問題上做了簡化。除了康熙版只用了 13 頁，各版本都 盡情發揮這個課題，三民版用了 20 頁，翰林版 24 頁，正中版 30 頁，龍騰版甚 至還框列了一個「線性規劃基本定理」！
即使n2，目標函數z f x y( , )ax by 仍然應該在 n1
。高中生已經知道 zax by 亦即ax by 是空間中的平面，稱它為 。z 0 當 ( , )x y 在限制條件圍成的凸多邊形區域內，相當於( , , )x y z 形成了 上的一個凸 多邊形。想像我們把一張紙平鋪在桌面上畫一個凸多邊形，然後隨意拎起這張 紙，讓它斜立在空中（不得卷曲），則紙上多邊形的最高點，當然發生在某個頂 點或某兩個頂點所連的整條邊！大一微積分的學生將會知道，目標函數 f x y( , ) 的
法。
頂點 法的思
過去 半個
一
點。可見
次偏導 恆不為零，所以在區域的內部沒有臨界點，因此它的極值必定發生 在邊界上。同理討論邊界上的函數，也同樣沒有臨界點，所以極值必定發生在頂
2的線性規劃問題，其實還有也許更自然的
自從獨佔教科書市場 15 年的部編版課本之後，線性規劃就在高中數學課程 裡站穩了腳跟。然而，與國際數學教材相比，線性規劃仍是本國之獨有特色之一。
以二元一次聯立不等式找到凸多邊形之可行解區域，然後以平行直線系推導 維過程，不失為一本線性規劃教科書的絕妙入門教材；作為數學應用之通 識或欣賞，也不失為高中教材的好範例。但是，將它作為一個「課程主題」來處 理，稍嫌孤立於核心知識之外，又未能掌握一般性問題的關鍵，則可以參考
數
n 看
世紀的教材發展歷程，在整個高中數學教育的理念原則之下，重新思考其適 當性。
