第16章物质中的磁场 §16.2，

(1)

第六周

第16章物质中的磁场 §16.2，

§16.3(一般了解)，§16.4(一般了解) 第17章电磁感应

§17.1，§17.2，§17.3 作业： P301 16-2，16-4 *

* P324 17-1，17-2，17-6，17-7

普通物理教案普通物理教案

(2)

§13-3 存在磁介质时磁场的基本规律一、磁场强度有磁介质时的安培环路定理

当传导电流的磁场中存在介质时，介质内磁场应为传导电流和磁化电流所产生磁场的矢量和

B = B 0 + B′

JG JJG JJG

介质中的环路定律：

0

(

0 _m

)

L

B d l ⋅ = μ ∑ I + ∑ I

∫ ^JG ^G v

(3)

利用磁化电流与磁化强度之间的关系，可得：

0 0

( )

L

B M d l I μ ⁻ ^⋅ ⁼ ∑

∫

JG JJG G

v

引入物理量—磁场强度 (magnetic density) H：

0

H B M

= μ − JJG JG JJG

H

的单位为：安培/米（A/m）

0

(

0

)

L

B d l ⋅ = μ ∑ I +

L

M d l ⋅

∫ ^JG ^G ∫ ^JJG ^G

v v

(4)

L

H d l ⋅ = ∑ I

0

∫ ^JJG ^G v

上式称为有介质时的安培环路定理。

磁场强度 H 沿任意闭合路径

L

的环流，等于穿过该路径所包围的传导电流的代数和。

二、存在磁介质时的磁场高斯定理

存在介质时的磁场由传导电流和磁化电流共同激发，所产生的磁场为闭合曲线，故：

( 0 ) 0

S B d s ⋅ = S B + B ′ ⋅ d s =

∫ ^JG ^G ∫ ^{JJG JJG} ^G

v v

(5)

三、B

、 _M 、 _{H 之间的关系}

M H

B = μ ₀ + μ ₀

由H的定义式：

对各向同性的磁介质， M与H成正比：

M = χ m H

JJG JJG

χ _m

称为磁化率 (magnetic susceptibility)，为无量纲量。

χ _m >0

顺磁质，

χ _m <0

抗磁质，对铁磁质

χ _m

^很大，且不是恒量。

(6)

由于：

_B = μ

₀

_H + μ

₀

_M = μ

₀

₍ ₁ + χ

_m

₎ _H

令：

μ

_r

= 1 + χ

_m —相对磁导率

H H

B = μ ₀ μ _r = μ ^μ

^—磁导率

对真空：

M = 0 χ

_m

= 0 μ

_r

= 1 μ = μ

₀

0

μ

μ H H ^B

B = ⎯ ⎯→ =

χ μ

μ , ,

(7)

§13-4 铁磁质 *

用途：电机、磁记录等。

特性：

① B

′ >>B ₀

，

μ _r =B/B ₀

可达10

²

～ 10

³

。

②

μ _r

^（

χ _m

^{）不是常量}

③ 外场停止作用后，仍能保留部分磁性。

④ 存在居里点T

_c

。 T >T

_c

时铁磁质转化为顺磁质（铁 1040K、镍631K、钴1388K）。

(8)

铁芯中磁场强度为：

H=nI，在磁通计中

可测磁感应强度B，

由此可得磁场强度与磁感应强度的关系曲线：

一、铁磁质的磁化规律

次级线圈

实验装置如图所示：接磁通计

(9)

B

o H

A D

S

起始磁化曲线

B

_S

B _S

称为饱和磁感应强度。

1. 起始磁化曲线

(10)

2. 磁滞回线

B _r —

剩磁、

H _c —矫顽力。磁滞损耗—磁化过程

中，会发热消耗能量，与磁滞回线所包围的面

B

H B

_r

H

_s

-H

_s

-H

_c

H

_c

S'

S

c'

b' b

c

铁磁质的磁滞回线

(11)

近代物理理论认为铁磁质的磁性主要来源于电子自旋磁矩。相邻原子中的电子自旋磁矩通过

交换偶合作用而平行排列，形成一个自发磁化

达饱和状态的微小区域—

磁畴。

二、铁磁质的微观结构

在无外场时，每个磁畴内的磁矩取同向，但各磁畴排列杂乱，宏观不显磁性。

在外场作用下，磁畴转向，表现为磁化过程。

磁畴

(12)

在外场停止作用，由于摩擦阻力，出现剩磁。

温度升高，磁畴被破坏，表现为居里点。磁畴的体积为： 10

^-8

～

10

^-12

m

³

，约 10

¹⁷

～10

²¹

^{磁畴结构的铁粉图形}

H=0 H H H H

磁化过程中磁畴结构变化示意图

(13)

三、铁磁质的分类和应用

软磁材料：H

_C

<10

²

A/m 磁滞损耗小，用于产生交变磁场。

硬磁材料： H

_C

>10

²

A/m ，剩磁大，不易消除，用于制成永久磁铁。

矩形材料：B

_r

接近饱和值B

_S

，用于信息储存。

H

软磁材料硬磁材料矩形材料

-H

_C

H

_C

B

_r

-B

_r

B

_s

B

_s

B

H H

B B

-B

_r

-B

_r

B

_r

B

_r

H

_C

H

_C

-H

_C

-H

_C

(14)

例题1： *

试求磁矩为 p_m

=1.4×10

^－26A·m²，自旋角动量为

L

_P=0.53 ×10^－34kgm²/s的质子，在磁感应强度B=0.50T 的均匀磁场中的进动角速度。

L

_p

dL_p d

ϕ

B

θ

解：质子带正电，它的自旋磁矩

p

_m与自旋角动量L_P的方向相同，

质子在磁场B中所受的磁力矩为：

p m m

sin

M = JG p × = JG B p B θ

质子以磁场为轴线做进动，在 dt时间内转过角度dϕ，角动量 的增量为dL ，由图可知：

(15)

ϕ θ

π d L d

L

dL

_p = _p sin( − ) = _p sin

又因角动量的时间变化率等于力矩

t M

L t

L

M

_p = d _p / d d _p = _pd

所以

L

_p

sin θ d ϕ = p

_m

B sin θ d t

从而可求得质子在磁场中进动角速度

s / rad 10

32 . sin 1

sin d

d = = = ×

₈

=

p m p

m

p

L

B p L

B p

t θ

θ ω ϕ

质子进动的角速度与磁场的夹角无关，说明进动方向和磁场方向总是相反。

(16)

例题2：

有一无限长圆柱形载流导体，其相对磁导率为μ_r，半径为R，今有电流I沿轴线方向均匀分布，试求：

（1）导体内任一点的B；

（2）导体外任一点的B；

（3）通过长为L的圆柱体的纵截面的一半的磁通量。

解：（1）过距轴线

r

的任一点

P

做环路积分，见图。

积分圆周与磁场线重合，沿圆周H为常量，故

∫ ^H

^⋅^d

^l

⁼ ²

^π ^rH

⁽

^r

^<

^R

⁾

(17)

r _P

R

L μ

_r

I

根据有介质的安培环路定理：

∫

^⋅ ⁼

∑

) (

d

L内 L

I l

H

因电流均匀分布，所以电流密度为：

R

2

j I

= π

半径为r的截面中

R I j r

r I

L

i

2 2

) (

)

= (

∑ = ^π

内

所以 2

2

, 2 )

(

2 R

H Ir R I

rH r

π = = π

(18)

则： ₀ ⁰

2

( )

2

r r

B H Ir r R

R μ μ μ μ

= = π <

（2）在导线外P点：

) (

2 d

) (

R r

I rH

l H

L i L

>

=

⋅

∑

∫

内

π

因r>R，

^I ^I

L

i

=

∑

) ( 内

0

,

0

2 2

I

H I B H

r r

μ μ

π π

= = =

（3）如图所示，通过长为L的圆柱体纵截面的一半的磁通量为：

r _P

R

L μ

_r

I

(19)

π μ

μ π

μ Φ μ

4 2 d d

d

0

0 2 0

0

IL

r R r

r IL BL

S B

r

R R

r s

=

⋅

= ∫ ∫ ∫

例题3：*

一铁环外均匀绕有绝缘导线，导线中通有恒定电流I。若 在环上开一条狭缝，试求：(1)开狭缝前后，铁环中的

B，H 和M 如何变化；(2)铁环与缝隙中的B，H 和M。

解：由磁高斯定理可知，磁场中磁感应强度B总是连续 的，而磁场强度H线却不一定连续；H的环流是由回路中 的传导电流决定的，而B的环流是由回路中的传导电流和 磁化电流（也称束缚电流）共同决定的。

(20)

（1）由上述分析可知，开狭缝前环内各点的H值相 同，B=

μ H值也相同。因此由含介质的安培环路定理

NI l

H

L

=

∫

⋅^d

I

N

得: Hl＝NI（l为铁环平均周长），即

0

,

0 _r ^r

NI

H NI B H

l l

μ μ μ μ

= = =

l H NI

M = χ

_m

= χ

_m

开狭缝后，磁场线仍然连续，由于狭缝极窄，所以可 认为铁环中与缝隙中的B值相等，而H值不再相等。由

(21)

NI l

H

L

=

∫

⋅^d

得：

H

_环

（ l − Δ l ） + H

_缝

Δ l = NI

_（_{Δl为狭缝宽度）}

NI

l H

l

H

_环

+

_缝

Δ =

考虑到Δl<<l

，

近似得

则上式可写为

B l NI B l

r

= Δ +

0

μ μ

μ

即得：

l l

B NI

r r

Δ

= +

μ μ μ

₀

(22)

虽然Δl很小，但对于铁环来说，一般

μ

_r ^{较大，所以开} 狭缝后，铁环中的B值比开狭缝前有所减小。同时可知

l l

NI H B

r

= + Δ

= μ

₀

μ μ

环

l l

H NI M

r m

m

= + Δ

= χ

_环

χ μ

环

不难看出，H、M值都比开狭缝前减小。

（2）由上述分析可知，开缝后，铁环中与缝隙中的B值 相等，磁场线是连续的，而由H=B/μ₀μ_r和M=

χ

_m

H 得：

(23)

l l

B NI B

r r

Δ

= +

= μ

μ μ

₀

缝环

l l

H NI M

r m

m

= + Δ

= χ

_环

χ μ

环

l l

NI H B

r r

Δ

= +

= μ

μ μ

₀

l

缝

l

NI H B

r

= + Δ

= μ

₀

μ μ

环

= 0 M

缝

注释：结果表明，开狭缝前后，B，H，M均发生变化。

由于B线总是连续的，且狭缝很窄，则认为B线仍然被 束缚在环中和缝隙中，但B值在开狭缝后有所减小。而 H不连续，狭缝中的H值大于铁环中的H值。

(24)

B=B +B′

E=E +E′

束缚电流产生附加场B′

B

介质表面出现束缚电流i

_s

磁化强度

磁介质

束缚电荷产生附加场E′

E

介质表面出现束缚电荷 σ ′ 极化强度

电介质

介质对场的影响基本矢量极化或磁化的宏观效果描述极化或磁

化状态量

项目

Δ V

=

∑

^p

^分子

P V

m

=

∑

Δ ^p

^分子

M

磁介质与电介质的对比 ^{普通物理教案}^{普通物理教案}

(25)

传导电流

H=B/μ ₀

−M

（自由电荷）

D=ε ₀ E+P

各向同性介质环流定理高斯定理辅助矢量

∫ ^⋅ ⁼ ∑

) (

0

S

D d S

S

q

= 0

∫

S

B ⋅ d S

0 d =

∫

L

E ⋅ l ∫

L

^H ^⋅ ^d ^l ⁼ ∑ ^I

⁰

E D

n P

E

P

_e

ε ε σ

χ ε

₀

=

⋅

′ =

=

/

0 m

m

r

M H

j M n H B

χ

μ μ

=

= ×

=

JJG JJG G JJG G JJG JG

(26)

μ

₀

=1.26×10

^-6

相对磁导率 μ

_r

磁化率 χ

_m

磁导率 μ = μ

₀

μ

_r

μ

_r

=1+ χ

_m

ε

₀

=8.85×10

^-12

相对介电常量 ε

_r

极化率 χ

_e

介电常量 ε = ε

₀

ε

_r

ε

_r

=1+ χ

_e 常量

(27)

第十四章电磁感应

§14-1 电磁感应的基本定律自奥斯特发现电流的磁效应后，许多物理学家致力于其 逆效应的研究。1831年，英国 物理学家法拉第经过十年研究

，终于发现了电磁感应现象。

Faraday, Michael 1791-1867

一、法拉第实验

(28)

磁铁棒与线圈有相对运动时的电磁感应现象

G

N G

电磁感应演.

(29)

线圈中电流改变时的电磁感应现象

G

1

2 K ε

R

电磁感应演.

(30)

电磁感应演.

金属棒在磁场中运动时的电磁感应现象

A

B

(31)

电磁感应实验现象：当穿过一个

闭合导体回路内的磁通量发生变化时，不管这种变化是有什么原因引起的，闭合回路中都将产生感应电流。

二、楞次定律

1833年，楞次

(Lenz)

得出确定感应电流方向的法则，称为楞次定律：闭合回路中产生感应电流的方向，总是使它所激发的磁场去阻止原磁通量的变化。

(32)

楞次定律是能量守恒定律的体现。当磁铁棒接近线圈时，线圈中所激发的感应电流产生斥力将阻止铁棒运动，此时外力必须克服此斥力做

楞次定律

v v

(a) (b)

感应电流的方向判断

N N

(33)

三、法拉第电磁感应定律

法拉第从实验总结出：通过回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中将产生感应电动势

ε _i

，它正比于磁通量与时间的变化率。

i k

t

ε ^{= −} ^d Φ

d

k 为比例系数，在国际单位制中 k = 1

i S B S

t t

ε = − ^d _d Φ = − _d ^d ∫ ^{JG JG} ⋅ ^d

(34)

⒈ 选定一绕行方向为正，用右手法则确定n方向；

⒉ 依照n方向来确定

Φ

^的正负；

⒊

Φ

的正负确定后，再确定d

Φ

/dt正负；

⒋

ε _i

的正负和大小由 -d

Φ

/dt 决定。

确定

ε _i

的符号规则：

式中负号反映了感应电动势的方向，

是楞次定律的数学形式。

(35)

N S

n B ε

_i

v

(a) Φ (t)为正, d Φ /dt>0, ε

_i

<0

N S

n B ε

_i

v

(b) Φ (t)为正, d Φ /dt<0, ε

_i

>0

N

n

S

B ε

_i

v

(c) Φ (t)为正, d Φ /dt>0, ε

_i

<0

N

n

S

B ε

_i

v

(d) Φ (t)为正, d Φ /dt<0, ε

_i

>0

(36)

对于N匝线圈，总感应电动势：

t t

t

N

i

i N

i

d

d d

d Φ Φ Φ Φ Ψ

ε = − + + + = − ∑ = −

=

) (

1 2

1

"

通过各匝线圈的磁通量不等：

dt dΨ dt

d(NΦ dt

N dΦ

ε

_i

= − = − ) = −

通过各匝线圈的磁通量相等：

∑

=

^N

i

i 1

Φ

Ψ

称为线圈的全磁通，磁通量相

Ψ Φ

(37)

2 2

1 1

1 2

( )

t t i

N N

q I t

R

^Φ

Φ R Φ Φ

= ∫ ^d = − ∫

Φ

^d = −

流过闭合回路的感生电荷与磁通量变化的快慢无关。

回路中的感应电流：

由于

I=dq/dt，则：

(38)

有一长直螺线管，在管的中部放置一个与它同轴、

面积

S=6cm

²、共绕有

N=10匝

、总电阻

R=2Ω的小线圈。开

始时螺线管内的恒定磁场为

B

₀=0.05T，切断电源后磁场 按指数规律

B=B

₀e^-t/τ下降到零

，式中

τ

=0.01s。求在小线圈 内产生的最大感应电动势

ε

_max及通过小线圈截面的感

生电荷量

q 。

例题1：

K

G

o t

B

(39)

解：通过单匝小线圈的磁通量为：

/ 0

B S B Se ⁻ t ^τ

Φ = ⋅ = JG JG

因此，在小线圈中产生的总磁感应电动势为：

τ τ

ε _i Φ NB

⁰

S e ^t

^/

N t =

⁻

= d

d

小线圈内的磁通按指数变化，因而感应电动势也按指数变化，在

t=0 时，电动势最大：

S V

NB ⁰

0.03

max

= =

ε τ

(40)

在

t = 0～∞，通过小线圈的感生电荷量为

C

d d d

d d

4 0

0 0

0

10 5

. 1

0

−

Φ

∞

×

=

= Φ

=

= ∫ ∫ ∫

S R B

N

R N R

t N t

R t N

q ε R

ⁱ

Φ Φ

例题2：

一长直导线中通有交变电流

I=I

₀sin

ω _{t，式中I表示}

瞬时电流，

I

₀是电流振幅，

ω

是角频率，

I

₀和

ω

都是常量。在长直导线旁平行放置一矩形线圈，线圈平面与直导线在同一平面内，线圈形状参数如图，求任一瞬时线圈中的感应电动势。

(41)

I x

dx

b

l

d

解：在某一瞬时，距直导

线为

x处的磁感应强度为：

x B I

π μ

2 =

0

选顺时针方向作为矩形线圈绕行的正向，则通过图中阴影面积dS=ldx的磁通量为：

x x l

S I

B d d

d π

Φ μ

0 2

cos

⁰

=

⁰

=

在该瞬时

t，通过整个线圈的磁通量为：

(42)

) 2 ln(

sin 2

0 0 0

d b d

t x lI

x l I

b d d

= +

=

= ∫ ^Φ ∫

⁺

^μ _π ^μ _π ^ω

Φ ^d ^d

由于电流随时间变化，磁通量也随时间变化，故线圈内的磁感应电动势为：

d t b d

lI

t t d

b lI d

i

t

π ω ω μ

π ω μ ε Φ

cos )

2 ln(

) d (sin

) d 2 ln(

d d

0 0

− +

=

− +

=

−

=

(43)

§14-2 动生电动势

由磁通量变化产生的感应电动势，可分为磁感应强度变化引起，和导体在磁场中运动或回路的形状、位置的变动而引起。前者称感生电动势，后者称动生电动势。

v a

b F

_m

导体棒在磁场中运动，棒内电子也随之运动，受洛仑兹力

（如图）：

B e

F ^m = v − ×

(44)

在此力作用下，电子向

a 端聚集，形成 b→a 方

向的电场。当电子受此电场力作用与洛仑兹力作用达到平衡时，棒内电子不再发生宏观流动。

引入非静电场：

B e

F

E ^K = ^m /( − ) = v ×

E _K

的量值为单位正电荷所受的非静电力。导体在磁场中运动时，导体棒相当于电源，此电源 中的非静电力为洛仑兹力，其非静电场强用E

_K

表示。

(45)

由电动势定义，导体棒上的动生电动势为：

( )

b

i

E

K

dl

a

B dl B l

ε

⁺

= ∫

−

^JG ⋅ ^G = ∫ ^v ^{G JG} × ⋅ ^G = ^v

在一般情况下，磁场可不均匀、导体各线元速度可不同、磁场与运动速度可以不垂直等，因而动生电动势可表示为：

( )

i B l

ε = G JG × ⋅ G

d v d

整个导体中的电动势：

(46)

( )

i i L B l

ε = ∫ ^d ε = ∫ ^v ^{G JG} × ⋅ ^d ^G

若导体构成回路，且整个回路均有运动，则：

( )

i L B l

ε = v ∫ ^v ^{G JG} × ⋅ ^d ^G

二、洛仑兹力做功问题的讨论

洛仑兹力恒与电荷运动方向垂直，因而不做功

，而动生电动势是由于洛仑兹力移动单位正电荷产生的，似乎又做功，如何解释这矛盾？

(47)

F f

_u

f

_v

v u u+v

如图，洛仑兹力使电子获得速度

u，

因此实际电子的运动速度为 (v +u)，所受的总洛仑兹力为：

B u

e

F = − ( v + ) ×

上式表明洛仑兹力与 (v +u) 垂直，对电子不做功。

但其中的分力：

) ( B e

f _v = − v ×

(48)

f _v

对电子做正功，形成动生电动势。而另一分力：

) ( u B e

f

_u

= − ×

此力对电子做负功。由于f

_u

方向与棒的运动方向相反，阻碍导体运动，而要维持导体运动，必须 提供外力，此外力正是另一个分力 f

_v

的来源。

洛仑兹力总体上不做功，它只是通过一个分力做负功迫使外界提供能量，而通过另一个分力做正功，将部分外界提供的能量转化为电能。

(49)

三、动生电动势的计算

①按定义计算：

( )

b

i a B l

ε = ∫ ^v ^{G JG} × ⋅ ^d ^G

动生电动势的方向：

ε _i >0 a → b， ε _i <0 b → a。

②按法拉第电磁感应定律计算：

i t

ε = − d ^Φ d

(50)

此式一般用于闭合回路，若对导体棒运动这样的不闭合回路，需做辅助线构成假想回路。

v a

b dx

F

_m

(51)

4. 设矢量 (v × B)与dl 之间小于180°的夹角为

β

^，则按标积的定义， (v × B)·dl乃是一个标量，其值即为线 元dl上的动生电动势，即

计算动生电动势的具体步骤

1. 首先，沿运动导线假定一个电动势的指向；

2. 按电动势的指向，在导线上任取一个线元矢量dl ； 3. 根据线元 dl 的速度v 和该处的磁感强度B以及两者之 间小于180°的夹角

θ

，按矢积的定义，求(v × B) 。 (v × B)仍是一个矢量，其大小为 v Bsin

θ

^{；方向按右} 手螺旋法则确定；

(52)

6. 根据求出的动生电动势

ε

_i的正、负，判定其指向。

若

ε

_i ＞0，其指向与事先假定的指向一致；若

ε

_i _＜0，

其指向则与假定的指向相反。

d

ε

_i

= (v × B)·dl = (vBsin θ

)dlcos

β

(a)

5. 最后，按电动势的指向对上式(a)进行积分，得整个 运动导线上的动生电动势，即

第16章 物质中的磁场 §16.2，

第 六 周