比與比值
自我評量 比例式 應用問題
比例式
比與比值
日常生活中，經常發現許多事物裡面 含有比例的關係，例如：料理食材的比 例、地圖上的比例尺、 ⋯⋯ 。事實上，
這些都和比與比值有許多關聯；首先，
透過一些生活例子來複習國小學過的比 與比值概念。
比例式
搭配頁數 P.102
比例式
搭配頁數 P.102
炎炎夏日，飲用 一杯冰涼好喝的飲 料，是莫大的享受
。例如：將 200 毫升的冬瓜茶加入 300 毫升的鮮奶中
，可以調配出一杯
500 毫升的冬瓜鮮
奶。
搭配頁數 P.102
搭配頁數 P.102
比與比值
同類量中，相同單位的比與比值
搭配頁數 P.103
解
6 公分 4 公分10 公分
A C B
七年二班有男生 20 人、女生 15 人，則：
(1) 男生人數與女生人數的比為何？比值是多少？
(2) 女生人數與全班人數的比為何？女生人數是全班人數的幾倍？
解
搭配頁數 P.103
(2) 全班人數＝ 20+15 ＝ 35
在例題 1 與隨堂練習中，所求的皆是同 類量，且單位相同的兩數的比值。
如果要求兩個同類量的比值，但它們的單 位不同時，則須先將它們化成相同單
位，再求其比值。
搭配頁數 P.103
同類量中，不同單位的比與比值
甲物品重 2 公斤，乙物品重 500 公克。則：
搭配頁數 P.104
(1) 甲、乙兩物品重量的比為何？
(2) 甲、乙兩物品重量的比值是多少？
(1) 因為 2 公斤＝ 2000 公克，
解
所以甲、乙兩物品重量的比為 2000 ： 500 (2) 甲、乙兩物品重量的比值為
2000 ÷ 500 ＝ 4
小寬、小君兩人比賽跳繩的時間，小寬跳了 2 分鐘，小君跳了 36 秒。則：
(1) 小寬、小君兩人跳繩時間的比為何？
(2) 小寬、小君兩人跳繩時間的比值是多少？
(1) 2 分鐘： 36 秒
解
搭配頁數 P.104
＝ 120 ： 36
(2) 比值＝ 120 ÷
36
搭配頁數 P.104
解
搭配頁數 P.105
求比值
解
搭配頁數 P.105
搭配頁數 P.105
解
搭配頁數 P.106
繁分數的化簡
解
搭配頁數 P.106
搭配頁數 P.106
在某次的籃球比賽當中，學生隊全場三分球出手 20 次，投進 15 次，教師隊全場三分球出手 24 次，投 進 18 次，則哪一隊三分球的命中率較高？
( 命中率＝投進次數與投球次數的比值 )
學生隊三分球投進次數與投球次數的比是 15： 20 ，
教師隊三分球投進次數與投球次數的比是 18： 24 ，
解
搭配頁數 P.107
因此學生隊與教師隊三分球的命中率相同
比值的比較大小
正敏與金鋒參加棒球比賽，正敏在 15 次打 擊中，擊出 6 次安打；金鋒在 24 次打擊 中，擊出 9 次安打，已知安打數與打擊數 的比值稱為打擊率。則：
(1) 正敏和金鋒的打擊率分別 是多少？ ( 以小數表示 )
(2) 兩人的打擊率誰比較高？
解
搭配頁數 P.107
(2) 正敏的打擊率比較高
比值相等的兩個比，稱為相等的比。
例如：例題 5 中，「 15 ： 20 」與「 18 ： 24 」 的比值相等，就稱這兩個比相等，可記成
15 ： 20 ＝ 18 ： 24 。
由於比值可以用分數來表示，且分數經過擴分或 約分後，其值不變，因此一個比的前項與後項同乘 或同除以一個不等於 0 的數後，比值仍是不變。
相等的比
搭配頁數 P.108
已知 m ≠ 0 ，則 (1) a ： b ＝ (a × m) ： (b × m)
。
(2) a ： b ＝ (a ÷ m) ： (b ÷ m) 。
1. 如果 2 ： 5 ＝ 6 ：□，則 □ 內填入的數是 多少？
2. 如果 6 ： 4 ＝□： 2 ，則 □ 內填入的數是 多少？
1. 因為 2 ： 5 ＝ (2×3) ： (5×3)
2. 因為 6 ： 4 ＝ (6 ÷ 2) ： (4 ÷ 2)
解
搭配頁數 P.108
＝ 6 ： 15
＝ 3 ： 2
等比值變化
所以 □ 內填入的數是 15
。
所以 □ 內填入的數是 3
。
1. 如果 7 ： 3 ＝ 21 ：□，則 □ 內填入的 數是多少？
2. 如果 36 ： 48 ＝ □： 16 ，則 □ 內填入 的數是多少？
1. 因為 7 ： 3 ＝ (7 × 3) ： (3 × 3)
2. 因為 36 ： 48 ＝ (36 ÷ 3) ： (48 ÷ 3)
解
搭配頁數 P.108
＝ 21 ： 9
＝ 12 ： 16
所以 □ 內填入的數是 9
。
所以 □ 內填入的數是 12
。
搭配頁數 P.109
(1) 52 ： 65 ＝ (52÷13) ： (65÷13) 解
搭配頁數 P.109
＝ 3 ： 10
最簡整數比
＝ 42 ： 35
＝ (42 ÷ 7) ： (35 ÷
＝ 6 ： 7)
5
(1) 39 ： 21 ＝ (39 ÷ 3) ： (21 ÷ 3) 解
搭配頁數 P.109
＝ 260 ： 13
＝ 20 ： 1
＝ 21 ： 10
前面已經學過，如果 a ： b 與 c ： d 是相 等的比，則可以記作 a ： b ＝ c ： d ，像這樣 的式子稱為比例式。
其中， a 和 d 稱為這個比例式的 外項 ， b 和 c 稱為這個比例式的 內項。
例如：在例題 6 第 (1) 題 2 ： 5 ＝ 6 ：□
中，求得□內填入的數是 15 ，進一步觀察這個 比例式可以發現：
兩個內項的乘積 ( 5 × 6 ) 與兩個外項的乘 積
( 2 × 15 ) 是一樣的。
比例式
搭配頁數 P.110外項乘積＝內項乘積
搭配頁數 P.110
如果 a ： b ＝ c ： d ，則 ad ＝ bc 。
比值相等
等號兩邊同乘以 bd
外項
內項
求下列各比例式中 x 的值：
(1) 3 ： 4 ＝ 5 ： x (2) (x － 3) ： 2 ＝ (2x － 5) ： 3
搭配頁數 P.110
外項乘積等於內項乘積
(1) 因為 3 ： 4 ＝ 5 ： x (2) 因為 (x － 3) ： 2 ＝ (2x － 5)
： 3 3x ＝ 20
解
所以 3x ＝ 4×5 所以 3(x － 3) ＝ 2(2x － 5) 3x － 9 ＝ 4x － 10
－ x ＝－ 1
x ＝ 1解
搭配頁數 P.111
2x ＝ 5
搭配頁數 P.111
(2) 4 × 2(x － 4) ＝ 3(x ＋ 1) 8x － 32 ＝ 3x ＋ 3
5x ＝ 35
解
消毒酒精 D I Y
酒精能使細菌的蛋白質脫水變性凝固而殺死 細菌，因此生活上我們常用酒精來消毒。使用 高濃度的酒精殺菌，因為脫水迅速，細菌表面 的蛋白質很快就變性凝固，反而阻止酒精繼續 滲入細菌內，因此藥局購買的 95% 藥用酒精 並不適合拿來消毒；反倒是濃度較低的 75%
酒精因為與細菌的滲透壓相近，可以深入細菌 內部，使得細菌內部及表面的蛋白質皆脫水變 性凝固，因此最適合拿來消毒。
那麼，要如何將買來的 95% 藥用酒精調配 成 75% 的消毒酒精呢？
搭配頁數 P.111
搭配頁數 P.111
加入 90% 精緻酒 精 75ml ，再加入純水至 90ml ，可調出 75% 的消毒 酒精。
1 加入 95% 藥用酒精 75ml 2 再加入純水至 95ml 75% 的消 毒酒精
比例式的應用
搭配頁數 P.112
如果 a ： b ＝ m ： n ( m 、 n 為已知的數 )
，則
外項乘積等於內項乘積
等號兩邊同乘除以 6
已知 x ： y ＝ 5 ： 7 ，求下列各比的比值：
(1) 2x ： 3y (2) (x ＋ y) ： (x － y)
因為 x ： y ＝ 5 ： 7 ，所以可設 x ＝ 5r ， y ＝ 7r ，其中 r ≠ 0 。
＝ 10r ： 21r
解
搭配頁數 P.112
(1) 2x ： 3y
＝ (2 × 5r) ： (3 × 7r)
＝ 10 ：
21 因此 2x ： 3y 的比 值為
比例式的運算
(2)(x ＋ y) ： (x － y)
＝ (5r ＋ 7r) ： (5r － 7r) ＝ 12r ： ( － 2r)
＝ 6 ： ( － 1)
因此 (x ＋ y) ： (x － y) 比值為
6 ÷( － 1) ＝－ 6
＝ 12 ： ( － 2)
已知 x ： y ＝ 5 ： 2 ，求下列各比的比 值： (1) 3x ： 4y (2) (2x － 3y)
： (x － 4y)
解
搭配頁數 P.112
設 x ＝ 5r ， y ＝ 2r ，其中 r ≠ 0 。
＝ 15r ： 8r
(1) 3x ： 4y
＝ (3×5r) ： (4×2r)
＝ 15 ： 8
3x ： 4y 的比值 為
(2) (2x － 3y) ： (x － 4y)
＝ (10r － 6r) ： (5r － 8r)
＝ 4r ： ( － 3r)
＝ 4 ： ( － 3)
(2x － 3y) ： (x － 4y)
的比值為
已知 x 、 y 皆不等於 0 ，且 3x ＝ 5y ， (1) 求 x ： y
(2) 若 2x － 3y ＝ 6 ，求 (x ＋ 3) ： (y － 5)
(1) 因為 x 、 y 皆不等於 0 ，且 3x ＝ 5y ，
將等號兩邊同除以 15
解
搭配頁數 P.113
得 x ： y ＝ 5 ：
(2) 設 x 3 ＝ 5r ， y ＝ 3r ，其中 r ≠ 0
。
比例式的運算
依題意可得 2×5r － 3×3r ＝ 6 ， r ＝ 6 ， 所以 (x ＋ 3) ： (y － 5) ＝ (5×6 ＋ 3) ：
(3×6 － 5) ＝ 33 ： 13
已知 x 、 y 皆不等於 0 ，且 5x ＝ 2y ， (1) 求 x ： y
(2) 若 4x － 3y ＝－ 21 ，求 (2x － 3) ： (4x ＋ 1)
解
搭配頁數 P.113
(2) 設 x ＝ 2r ， y ＝ 5r ，其中 r ≠ 0
(1) x ： y ＝ 2 ： 5
4x － 3y ＝－ 21 ⇒ 4×2r － 3×5r ＝－
21 ⇒ r ＝ 3
⇒ x ＝ 2×3 ＝ 6 (2x － 3) ： (4x ＋ 1)
＝ (2×6 － 3) ： (4×6 ＋ 1)
＝ 9 ：
25
已知 x ： y ＝ 2 ： 3 ，則 (x ＋ 1) ： ( y ＋ 1) 的比值是否為固定的值？並說明理由。
設 x ＝ 2r ， y ＝ 3r ，其中 r ≠ 0
(x ＋ 1) ： (y ＋ 1) ＝ (2r ＋ 1) ： (3r ＋ 1)
解
搭配頁數 P.113
所以 (x ＋ 1) ： (y ＋ 1) 的比值不是固定
的值
應用問題
兩個同類量的比值表示兩者的倍數關係，
而兩個不同類量的比值可以用來表示兩者的 對應關係，例如： 120 元可以購買 5 公斤 的檸檬， 120 與 5 的比值是 24 ，表示檸 檬的單價是每公斤 24 元； 100 公里的路 程開車共需 2 小時， 100 與 2 的比值是 50 ，表示開車的平均速率是每小時 50 公 里。
搭配頁數 P.114
已知 150 元可以購買 4 公斤的橘子，
則 90 元可以購買多少公斤的橘子？
橘子的單價為定值，
設 90 元可以購買 x 公斤的橘子，
解
搭配頁數 P.114
150x ＝ 90×4
不同類量的比值問題
已知 120 公里的路程開車共需 3 小時，
則以相等的速率開車， 100 公里需要多少 小時？
解
搭配頁數 P.114
設 100 公里需要開車 x 小時
，
⇒ 120x ＝ 300
籃子裡有蘋果和梨子共 63 個，已知蘋果和 梨子個數的比是 3 ： 4 ，則蘋果和梨子各有 多少個？
因為蘋果和梨子個數的比是 3 ： 4 ，
解 一
搭配頁數 P.115
比例分配問題
設蘋果有 3r 個，梨子有 4r 個， r ≠ 0 解
二
搭配頁數 P.115
依題意可得 3r ＋ 4r ＝ 63 7r ＝ 63
比例分配問題
r ＝ 9
因此蘋果有 3r ＝ 3 × 9 ＝ 27 ( 個 )
， 梨子有 4r ＝ 4 × 9 ＝ 36 ( 個 )
。
籃子裡有蘋果和梨子共 63 個，已知蘋果和
梨子個數的比是 3 ： 4 ，則蘋果和梨子各有
多少個？
在例題 12 中，如果假設蘋果有 x 個，則解 法為何？
參考解法：
假設蘋果有 x 個，則梨子有 (63 － x) 個。
依題意可知 x ： (63 － x) ＝ 3 ： 4
解
搭配頁數 P.115
4x ＝ 3(63 － x) 4x ＝ 189 － 3x 7x ＝ 189
x ＝ 27 故蘋果有 27 個
，梨子有 63 － 27 ＝ 36 ( 個 )
。
七年二班全班有 35 人，近視與沒有近視的 人數比是 2 ： 3 ，則該班沒有近視的學生 有多少人？
解
搭配頁數 P.116
2r ＋ 3r ＝ 35
設近視的學生有 2r 人，沒有近視的學 生有 3r 人， r ≠ 0 。
⇒ 5r ＝ 35
⇒ r ＝ 7
所以沒有近視的學生有 3r ＝ 3×7=21
( 人 ) 。
班上原來女生與男生之人數比是 2 ： 3 。如果有 2 位男同學轉到他校，此時女生與男生的人數比 是 3 ： 4 ，則班上原來的女生與男生各有多少人？
設班上原有女生 2r 人，男生 3r 人， r ≠ 0 。 解
搭配頁數 P.116
依題意可得 2r ： (3r － 2) ＝ 3 ： 4 9r － 6 ＝ 8r
比例的應用
r ＝ 6
因此班上原來的女生有 2r ＝ 2×6 ＝ 12 ( 人 )
男生有 3r ＝ 3×6 ＝ 18 ( 人 )
今年敬宇與父親的年齡比是 1 ： 3 ， 7 年 後敬宇與父親的年齡比是 3 ： 7 ，則敬宇 今年幾歲？
解
搭配頁數 P.116
(r ＋ 7) ： (3r ＋ 7) ＝ 3 ： 7
設敬宇今年 r 歲，父親今年 3r 歲， r ≠ 0
。
⇒ 3(3r ＋ 7) ＝ 7(r ＋ 7)
⇒ 9r ＋ 21 ＝ 7r ＋ 49
⇒ 2r ＝ 28
⇒ r ＝ 14
所以敬宇今年 14 歲。
比的前項、後項與比值：
搭配頁數 P.117
相等的比：
比值相等的兩個比稱為相等的比。
一個比如果前項、後項為互質的兩個整數，稱 為最簡整數比。
搭配頁數 P.117
最簡整數比：
8 ： 5 是最簡整數比， 6 ： 8 不是最簡整數
比。
比例式、內項與外項：
(1)a ： b ＝ c ： d 稱為比例式。
(b 、 d 皆不等於 0)
(2) 比例式 a ： b ＝ c ： d 中， a 、 d 稱 為外項， b 、 c 稱為內項，
則 ad ＝ bc ，即外項乘積等於內項乘積。
搭配頁數 P.117
2 ： 3 ＝ 6 ： 9 2 × 9 ＝ 3 × 6
( 外項乘積 ) ( 內項乘積 )
外項
內項
比例式的應用：
搭配頁數 P.117
1. 兩個正方形的邊長各為 3 公分與 2 公分
，其周長的比為 ____ ： ____ ，面積比為 ____ ： ____ 。
2. 七年 3 班有學生 40 人，第一次段考數 學成績有 6 個人不及格，則及格人數和全 班學生人數的比為 ____ ： ____ ，比值為 ______ 。
3 2
正方形面積比為邊長平方比
及格人數＝ 40 – 6 ＝ 34
搭配頁數 P.118
9 4
17 20
34 ： 40 = 17 ： 20 解
1
假設速率不變，如果甲 30 分鐘走 2000 公尺，則甲 2 小時 15 分走的距離是 ______ 公尺。
30x ＝ 135 × 2000
搭配頁數 P.118
則 30 分： 2 小時 15 分＝ 2000
： x 30 ： 135 ＝ 2000 ： x
x ＝ 9000
解 設走的距離 x 公尺
2
填填看：
(1) 18 ： 30 ＝ 3 ： ____
(2) 1.5 ： 0.9 ＝ 15 ： ____ ＝ ____ ： 3
1.5 ⇒ 15 ( 經過 1.5 × 10 得 15)
搭配頁數 P.118
所以 30 也 ÷ 6 ⇒ 得 5
5
所以 0.9 也 × 10 ⇒ 得 9
解 18 ⇒ 3 ( 經過 18 ÷ 6 得 3) 9
÷6 ÷6
×10 ×10
9 ⇒ 3 ( 經過 9 ÷ 3 得 3)
÷3
所以 15 也 ÷ 3 ⇒ 得 5
5
÷3
3
將下列各繁分數化成最簡分數：
搭配頁數 P.118
解
4
搭配頁數 P.118
解
5
□ ＝ 5
求下列各式中，□所代表的數：
(1)28 ： 35 ＝ 4 ：□(2) □ ： 4 ＝ 51 ： 12 (3)25 ：□＝ 5 ： 3
搭配頁數 P.118
解
6
求下列各比例式中 x 的值：
(1) 24 ： x ＝ 2 ： 7
(2) (x － 1) ： 3 ＝ (x ＋ 1) ： 6
搭配頁數 P.119
解
7
甲地面積 10 平方公里，乙地面積 8 平方公里，
如果甲地的人口數比乙地的人口數多 3000 人，
且兩地的人口數與土地面積的比值相等，則甲、
乙兩地共有多少人？
搭配頁數 P.119
設甲地有 x 人，則乙地有 (x － 3000) 人
8x ＝ 10(x － 3000)
解
30000 ＝ 2x x ＝ 15000
15000 － 3000 ＝ 12000 15000 ＋ 12000 ＝
27000 ： 27000 人
8
已知中正國中男生人數與女生人數之比為 31 ： 29 ，如果男生比女生多 120 人，則 全校學生有多少人？
搭配頁數 P.119
設男生有 31r 人，女生有 29r 人， r ≠ 0 31r － 29r ＝ 120
2r ＝ 120
解
r ＝ 60
則全校學生有 31r ＋ 29r
＝ 60r
＝
60×60
＝ 3600
： 3600 人
9
設 x ： y ＝ 2 ： 7 ，且 3x ＋ y ＝ 26 ， 求 (x ＋ 1) ： (y ＋ 1)
搭配頁數 P.119
設 x ＝ 2r ， y ＝ 7r ， r ≠ 0 ， 代入 3x ＋ y ＝ 26
6r ＋ 7r ＝ 26
解
13r ＝ 26 r ＝ 2
解得 x ＝ 4 ， y ＝
(x 14 ＋ 1) ： (y ＋ 1) ＝ 5 ： 15
＝ 1 ： 3
10
搭配頁數 P.119
8× 甲＝ 5× 乙 甲：乙＝ 5 ： 8
解
5 ： 8
(2) 120 ：乙＝ 5 ： 8 乙 × 5 ＝ 120 × 8 乙＝ 192
192
11
設 x 、 y 皆不為 0 ，且 4x ＋ 2y ＝ 5x
－ 3y ，求 (x ＋ 2y) ： (2x － y) 的比值。
搭配頁數 P.119
由 4x ＋ 2y ＝ 5x － 3y 得 x ＝ 5y ，
⇒ x ： y ＝ 5 ： 1
解
設 x ＝ 5r ， y ＝ r ， r
≠ 0 則 (x ＋ 2y) ： (2x － y) ＝ (5r ＋ 2r) ： (10r － r) ＝ 7r ： 9r
＝ 7 ： 9
12
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