第九节

第九节 ^{连续函数的运算与}

初等函数的连续性

一、四则运算的连续性

二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性

四、小结

一、四则运算的连续性

定理 1

.

) 0 )

( ) (

( ) ), (

( )

( ),

( )

(

, )

( ),

(

0

0 0

处也连续 在点

则

处连续 在点

若函数

x

x x g

g x x f

g x

f x

g x

f

x x

g x

f







例如 ,

sin x , cos x

(

,

)

,

. csc

, sec ,

cot ,

tan

故

x x x x

二、反函数与复合函数的连续性

定理 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数 .

例如 ,

] ,

, 2 [ 2

sin





x y

. ]

1 , 1 [

arcsin

故

y

x

; ]

1 , 1 [

arccos

同理

y

x

. ]

, [

cot ,

arctan



x y arc x y

反三角函数在其定义域内皆连续 .

定理 3

)].

( lim [

) ( )]

( [ lim

, )

( ,

) ( lim

0 0

0

x f

a f x

f

a u

f a

x

x x x

x

x x



















则有

连续 在点

函数 若

意义

1.

. ))

( (

.

2

u

x

例 1

ln( 1 ) . lim 0 x

x

x

 求



.



1

x

x x ¹

0 ln( 1 )

lim





原式

] ) 1

( lim

ln[ ¹

0

x

x

x





ln e

例 2

1 . lim 0 x

e ^x

x

 求



.



1 )

1 lim ln(

0 y

y

y





原式

解 令

e ^x

1 y

,

^x

^{ln( 1}

^{y ),} .

0 ,

0



y

x

当

y y

y

0 1

) 1

ln(

lim 1







同理可得

1 ln .

lim 0 a

x a ^x

x



. )]

( [

, )

( ,

) (

, )

(

0

0 0

0

0

也连续 在点

则复合函数

连续 在点

而函数

且 连续

在点 设函数

x x

x f

y

u u

u f y

u x

x x

x u

















 定理 4 

注意　定理 4 是定理 3 的特殊情况 .

例如 ,

1 ( , 0 ) ( 0 , ) ,



x

u

, )

, (

sin



u y

. )

, 0 ( )

0 , 1 (

sin





y x

三、初等函数的连续性

三角函数及反三角函数在它们的定义域内是 连续的 .

★

★

^y

^{a x ( a}

^{0 , a}

^{1 )}

; )

,

(

★

^y

^log a ^{x ( a}

^{0 , a}

^{1 )}

; )

, 0

(

定理 5 基本初等函数在定义域内是连续的 .

★ ^y

^{x }

^{a  log}

^{x y}

^{a u , u}

^{ log x a .}

, )

, 0

(

在   讨论



, (

定理 6 一切初等函数在其定义区间内都是连 续的 .

定义区间是指包含在定义域内的区间 .

1.

例如 ,

y

cos x

1 , _{D : x}

_{0 ,}

₂

_,

₄

_,

这些孤立点的邻域内没有定义 .

,

) 1

( ³

2



x x

y D : x

0 ,

x

1 ,

在 0 点的邻域内没有定义 .

. )

, 1

[

函数在区间 

注意　

注意　 2. 初等函数求极限的方法代入法 .

例 3

lim sin 1 .

1



x

x e

求

1

sin ¹



e

原式 

sin e

1 .

例 4

1 1 . lim

2

0 x

x

x



 求



解

解

^{lim ( 1} _{( 1} ^{1 )(}

¹ _{1 )} ^{1 )}

2

0  







 



x x

x x

原式 x

1 lim 1

0  

 

x x

x

2



0

0 .

) (

) (

) (

lim _{0 0}

0

定义区间

 f x

f x x

x

x

四、小结

连续函数的和差积商的连续性 .

复合函数的连续性 . 初等函数的连续性 .

定义区间与定义域的区别 ; 求极限的又一种方法 .

两个定理 ; 两点意义 . 反函数的连续性 .

一、 填空题：

1

 3 4

lim ²

0 x x

x ____________.

2

 x

x

x

1 lim 1

0 ____________.

3



) 2 cos 2 ln(

lim

6

x

x  ____________.

4

 x

x

x 2

4 tan

cos 2 lim 2

 ____________.

5



 t

e ^t

t

lim 1

2 ____________.

6

,

0 ,

0 ) ,

(





 

x x a

x x e

f

x

当 

a _____

f (x )

(

,

)

练 习 题

7

6 ) 1

( ₂

4







 

x x

x x x

f

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

8











 



时 当

时 当

1 ,

1

1 2 ,

) cos (

x x

x x x

f



) ( lim

2

1 f x

x

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;



 ( )

lim 1 f x

x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

二 、 计 算 下 列 各 极 限 ：

1

a x

a x

a

x





sin

lim sin

^x

x ² x ^cot

0 ( 1 3 tan )

lim



3

) ¹

1 2

3 ( 2

lim ^







_x

x x

x

三、 设





















0 ),

ln(

0 ,

1

0 ,

) (

2 2

x x

x b

x

x x

a x

f

f (x )

x

0

一 、 1 、 2 ； 2 、

2

1

5

1 1 )

2 ( 1

2



e

7

(

,

3 ), (

3 2, ), ( 2 ,

)

8

2

2 , 0 ,

二 、 1 、

cos a

1 ₂ e ^.

a

b

e .

练习题答案