二元一次式自我評量二元一次式的化簡二元一次方程式

全文

(1)

二元一次式

自我評量

二元一次式的化簡

二元一次方程式

(2)

搭配頁數 P.6

 在第一冊第 3 章的一元一次方程式中

已學過根據題意列出含有 x 的一次式。

例如:買每個 25 元的麵包 x 個,一共 需付 25x 元。

 現在我們要學習含有兩個未知數 ( 如 x

、 y) 的一次式,例如:買每個 25 元的 麵包 x 個和每瓶 18 元的果汁 y 瓶,

一共要付( 25x + 18y )元。

(3)

志宏為了響應愛心活動,想要將撲滿中的拾 元及伍元硬幣全部捐出來。如果拾元硬幣有

x

枚,伍元硬幣有 y 枚,則志宏總共捐出多 少元?

搭配頁數 P.6

拾元硬幣有 x 枚,共 10x 元;

伍元硬幣有 y 枚,共 5y 元

所以志宏總共捐出( 10x + 5y )元

(4)

15 ( 元 ) × x ( 元 / 張 )=15x ( 元 )

心怡 買每張 15 元的卡片 x 張及每張 12 元的卡片 y 張,回答下列問題:

(1) 買 15 元的卡片 x 張需 _______

元, 12 元

的卡片 y 張需 _______ 元。

(2) 心怡共付 ____________ 元。 15x + 12y 12y

15x

12 ( 元 ) × y ( 元 / 張 )=12y ( 元 )

總共需要 15x + 12y( 元 )

搭配頁數 P.6

(5)

搭配頁數 P.7

一桶 5000 毫升的水,倒滿每杯容量 x 毫 升的杯子 3 杯,及每杯容量 y 毫升的杯子 5 杯後,桶內剩下多少毫升的水?

逐一減去先後倒出的量

倒滿每杯容量 y 毫升的杯子 5 杯,就 是倒出了 5y 毫升的水;

倒滿每杯容量 x 毫升的杯子 3 杯,就 是倒出了 3x 毫升的水;

所以桶內剩下( 5000 - 3x - 5y )毫升 的水。

(6)

一桶 5000 毫升的水,倒滿每杯容量 x 毫 升的杯子 3 杯,及每杯容量 y 毫升的杯子 5 杯後,桶內剩下多少毫升的水?

搭配頁數 P.7

一次減去全部倒出的量

也就是共倒出( 3x + 5y )毫升的水,

因為分別倒出了 3x 毫升及 5y 毫升的 水,

所以桶內剩下 5000 -( 3x + 5y )毫升 的水。

(7)

1. 志忠 有 83 元,買文具花掉了 x 枚壹元硬

與 y 枚拾元硬幣,則志忠剩下 ____________ 元。 83 - x - 10y

2. 佩君有 200 元,買了每枝 x 元的原子 筆 2 枝與每枝 y 元的鉛筆 3 枝後,

剩下 ____________ 元。

200 - 2x - 3y

搭配頁數 P.7

(8)

搭配頁數 P.7

 在例題 1 與例題 2 中,像 10x + 5y 、 5000 - 3x - 5y 這種只含有兩種文字符號 ( 二元 ) ,且這兩種文字符號的最高次方都是 一次的式子,稱為二元一次式。

 例題 1 中,志宏捐出 x 枚拾元硬幣, y 枚伍元硬幣,總共捐出( 10x + 5y )元。如 果捐出的硬幣中,拾元硬幣有 64 枚及伍元 硬幣有 17 枚,即表示

x

= 64 ,

y = 17

, 所以總共捐出

10x + 5

y

= 10× 64 + 5×

17

= 640 + 85 = 725( 元 ) 。

 由上面的說明,可以發現二元一次式的值,

須由 x 與 y 分別所代表的數為

多少來決定。

(9)

搭配頁數 P.8

x

= 5 ,

y

= 2 時 ,

3x - 4

y

= 3× 5 - 4× 2

= 15 - 8

= 7

x =- 2

y

= 3 時 ,

3x - 4

y

= 3× ( - 2) - 4× 3

=- 6 - 12

=- 18

=- 2+10

= 8

(3) (1) (2)

(10)

搭配頁數 P.8

也可以用表格的方式來呈現例題 3 ,如下表

: 

(11)

13

9 10.5

在下表空格中,填入各二元一次式的值

搭配頁數 P.8

(12)

搭配頁數 P.9

 學習二元一次式時,同類項須先合併化 簡,如果含有不同文字符號就不是

同類項,是不能合併的。

例如: (1)2x + 3x 中, 2x 與 3x 是同類 項,

可以合併為 5x 。

    (2)25x + 18y 中, 25x 與 18y 不 是同

類項,所以不能合併。

(13)

搭配頁數 P.9

3x - 4y + 9 + 5x + y - 7

= 8x - 3y + 2 化簡下列各式:

(1) 2x + 2y + 4x + y (2) 3x - 4y + 9 + 5x

+ y - 7 (1)

= 3x + 5x - 4y + y + 9 - 7

(2)

2x + 2y + 4x + y

= 2x + 4x + 2y + y

= 6x + 3y

2x 與 4x 為同類項,

2y 與 y 為同類項。

6x 與 3y 不是同類 項,不能再合併。

(14)

化簡下列各式:

(1) x + 4y - 3x + 2 (2)5x - 6y - 4 - 6x

- 2y + 4

5x - 6y - 4 - 6x - 2y + 4

=- x - 8y (1)

= 5x - 6x - 6y - 2y - 4

+ 4 (2)

x

+ 4y - 3x + 2

= x - 3x + 4y + 2

=- 2x + 4y + 2

搭配頁數 P.9

(15)

搭配頁數 P.10

(1) (

2x

+ 4y - 5 )+(

4x

- 5y

+ 6 )

2x

+ 4y - 5

+ 4x

- 5y + 6

6x

化簡下列各式:

(1) ( 2x + 4y - 5 )+( 4x - 5y + 6 )

- y + 1

(16)

搭配頁數 P.10

化簡下列各式:

(2) 2 ( 3x - y + 9 )+ 3 ( x - 2y - 5 ) (2) 2 (

3x

- y + 9 )+ 3 (

x

2y - 5 )

6x

9x

- 8y + 3

- 2y + 18

+ 3x

- 6y - 15

(17)

化簡下列各式:

(1) ( 4x - 5y - 9 )+( 3x + 4y - 8 )

(2) 4 (- 2x + y + 3 )+ 3 ( x - 2y - 5 )

4x

- 5y - 9

+ 3x

+ 4y - 8

7x

- y - 17

=- 8x

- 5x

- 2y - 3

+ 4y + 12

+ 3x

- 6y - 15

搭配頁數 P.10

(18)

搭配頁數 P.10

 例題 5 的第 1 小題,也可以將同類

項上下對齊,用直式運算:

(19)

化簡下列各式:

(1) 7x - y + 5 + ) 3x - 5y - 9

10x - 6y - 4

(2)     3x - 5y - 7   + )- x + 8y + 8   2x + 3y+ 1

搭配頁數 P.10

(20)

搭配頁數 P.11

(1) (

3x

- 2y - 1 )- (

2x

+ y - 3 )

3x

- 2y - 1

- 2x

- y + 3

x

- 3y + 2 化簡下列各式:

(1) ( 3x - 2y - 1 )-( 2x + y - 3 )

(21)

搭配頁數 P.11

(2)

3x

2x

+ 1

+ 3

- x

- 2

(22)

化簡下列各式:

(1) ( 5x + 2y - 8) - (2x - 4y + 3)

= 3x + 6y - 11

搭配頁數 P.11

(23)

搭配頁數 P.11

 例題 6 的第 1 小題,也可以將同類

項上下對齊,用直式運算:

(24)

化簡下列各式:

(1) 3x - 5y + 2 + ) 6x - 2y - 7

- 3x- 3y + 9

(2)    - 2x + 5y - 7   + ) 4x - y - 9  

- 6x+ 6y+ 2

搭配頁數 P.11

(25)

搭配頁數 P.12

 現在練習將一個二元一次式進一步列成 含等號的式子。例如:

可晴買了每個 25 元的麵包 x 個和每瓶 18 元的果汁 y 瓶,共花了 147 元。

可列得等式:

25x + 18y = 147

一桶 5000 毫升的水,倒滿每杯容量 x 毫升的杯子 3 杯,及每杯容量 y 毫升的 杯子 5 杯後,桶內還剩 2000 毫升的水

可列得等式: 5000 - 3x - 5y = 2000

(26)

搭配頁數 P.12

 

像 25x + 18y = 147 和 5000 - 3x - 5y

= 2000 這種含有兩種未知數,且這兩種未

知數的最高次方都是一次的等式,稱為二元

一次方程式。

(27)

(1) 佳怡 買了每枝 15 元的鉛筆 x 枝及每個 12 元的橡皮擦 y 個,一共花了 120 元。可列出二元一次方程式:

_______________ 。 15x + 12y =120

根據下列各問題,列出二元一次方程式 ︰

(2) 建成有 83 元,買文具花了 x 枚壹元

硬幣和 y 枚拾元硬幣後,還剩下 21 元。

可列出二元一次方程式:

_______________ 。 83 - x - 10y = 21

83 - (x + 10y) = 21

搭配頁數 P.12

(28)

搭配頁數 P.12

 

當二元一次方程式中的未知數(例如: x 與 y ),以一組特定的數代入,可使等號 左右兩邊的值相等時,稱該組 x 、 y 所代 表的數為此方程式的一組解。

 例如:判別 (1) x = 3 , y = 4 、

(2) x = 1 , y = 2 ,是否為二元一次方程式

5x + 8y = 47 的一組解。

(29)

判別下列各組 x 、 y 所代表的數,是否為方 程式 - 2x + y = 3 的解。

(1) x = 0 , y = 3 (2) x =- 1 , y =- 1

搭配頁數 P.13

x

= 0 ,y = 3 代 入 , - 2

x

y

= - 2× 0 + 3

= 3

所以 x = 0 , y = 3 是方程式- 2x

y

= 3 的一組解。

x =- 1, y =- 1

代入 , - 2

x

y

= - 2× ( - 1) + ( - 1 )

= 1 ,不等於 3

所以 x =- 1 , y =

- 1 不是方程式-

2x + y = 3 的一組解

(1) (2)

(30)

1. 判別下列各組 x 、 y 所代表的數,是否 為方程式 - 2x - 3y = 8 的解。

(1) - 2x - 3y = - 2×( - 1) - 3 ×( - 2)

(1) x =- 1 , y =- 2 (2) x = 1 , y =

- 4

(3) x =- 4 , y = 0

= 2 + 6

= 8

(2) - 2x - 3y = - 2×( 1) - 3 ×( -

4) =- 2 +

12

= 10 ≠ 8

(3) - 2x - 3y = - 2×( - 4 ) - 3

×(0) = 8 + 0

= 8

是解

是解

不是解 解

搭配頁數 P.13

(31)

2. x = 2 、 y =- 3 是下列哪些二元一次 方程式的解?(複選)

(1) 3x + 4y = 3×( 2) + 4×( - 3 )

(1) 3x + 4y =- 6 (2) - 5x - 6y =-

28

(3) - 3x + y =- 9

= 6 - 12 =- 6

(2) - 5x - 6y = - 5×( 2) - 6 ×( -

3) =- 10 +

18

= 8 ≠ - 28 (3) - 3x + y = - 3×( 2) + ( - 3 )

=- 6 - 3

=- 9

是解

是解

不是解 解

搭配頁數 P.13

(32)

3. 已知 x = 1 、 y = a 是二元一次方程式 3x + 2y = 5 的解,則 a =?

3×1 + 2×a = 5 2a = 2

a

= 1

搭配頁數 P.13

(33)

搭配頁數 P.14

(1) x

= 0

代入 2x + 3y

= 12得 2×0 + 3y = 12⇒ 3y = 12

找出二元一次方程式 2x + 3y = 12 的任意 四組解。

假設 x 是一個特定的數 , 代入 2x + 3y = 12 求 y

(2) x

= 1

代入 2x + 3y

= 12得 2×1 + 3y = 12⇒ 3y = 10 (3) x

= 2

代入 2x + 3y

= 12得 2×2 + 3y = 12⇒ 3y = 8 (4) x

= 3

代入 2x + 3y

= 12得 2×3 + 3y = 12⇒ 3y = 6

⇒ y = 4

⇒ y = 2

(34)

 在上述的解法中,也可以 假設 y 是一個特定的數,

代入方程式中求 x 的值。

搭配頁數 P.14

2x 與 12 皆為 2 倍數 , 所以 y 用 2 倍數代入比

較好算

y

用 0,2,4,6 代入

(35)

1. 小星 求二元一次方程式 2x - y = 8 的 解,他選定四個 x 值與四個 y 值。完 成下列兩個表格,使各組 x 、 y 的值是 此方程式的解。

- 8

- 6

- 4

- 2

4 5

搭配頁數 P.15

(36)

2. 在下列空格中填入適當的數,使 x 、 y 的值是二元一次方程式 3x - y = 12 的 解。

0 - 6

3

5 5

搭配頁數 P.15

(37)

當 x 繼續以 4 、 5 、 6 、⋯⋯ 依序代入 隨堂練習第 1 題的方程式時, y 的值都能由 方程式求得。

同理,當 y 繼續以 4 、 5 、 6 、⋯⋯ 依 序代入隨堂練習第 1 題的方程式時,也都能 由方程式求得 x 的值。

事實上,將 x 以任意數代入二元一次方程 式時,都可以求得 y 值;將 y 以任意數代 入二元一次方程式時,都可以求得 x 值。

因此可知, 一個二元一次方程式的解有無 限多組。

搭配頁數 P.15

(38)

七年 5 班上課時進行分組教學,每組 6 人 或 4 人,其中 6 人一組的有 x 組, 4 人一 組的有 y 組。已知學生共有 30 人,寫出 所有分組的方法。

依題意可列得方程式 6x + 4y = 30 ,並化簡為 3x + 2y = 15 。

搭配頁數 P.16

因此方程式中, x 以 0 、 1 、 2 、 3 、 依序 ⋯⋯

代入,

因為 x 、 y 都代表組數,所以 x 與 y 為正整數或 0

解得 y 後,再檢查 y 是否也符合正整數或 0 的條

件,如下表。

(39)

七年 5 班上課時進行分組教學,每組 6 人 或 4 人,其中 6 人一組的有 x 組, 4 人一 組的有 y 組。已知學生共有 30 人,寫出 所有分組的方法。

搭配頁數 P.16

(40)

七年 5 班上課時進行分組教學,每組 6 人 或 4 人,其中 6 人一組的有 x 組, 4 人一 組的有 y 組。已知學生共有 30 人,寫出 所有分組的方法。

搭配頁數 P.16

由上表可知符合條件的解為:

(1)x = 1 , y = 6 , 表示 6 人的有 1 組 , 4 人的 有 6 組

(2)x = 3 , y = 3 , 表示 6 人的有 3 組 , 4 人的 有 3 組

(3)x = 5 , y = 0 , 每組都是 6 人 , 共有 5 組

(41)

x y

小琳 買兩種卡片共花了 75 元,其中有每張 10 元的卡片 x 張、 15 元的卡片 y 張。小琳 可能買了幾張 10 元的卡片?(兩種都要買)

3 0

10x + 15y = 75 ,化簡得 2x + 3y

= 15

由上表可知,小琳可能買了 3 張或 6 張 10 元的卡片

2 3 4 6

合 不合 合 不合 不合 不合 不合

搭配頁數 P.16

(42)

搭配頁數 P.16

 由例題 9 與隨堂練習可知,一個二元

一次方程式雖然有無限多組解,但是如果

加上條件的限制,會影響該方程式的解。

(43)

只含有兩種代表數的文字符號,且 這兩種文字符號的最高次方都是一 次的式子,稱為二元一次式。

- 2x + y - 5 、 x - 3y

皆為二元一次式。

搭配頁數 P.17

(44)

搭配頁數 P.17

x

、 3x 是同類項, 2y 、 3y 是同類項

x

、 2y 不是同類項。

因此( x + 2y + 1 )+( 3x + 3y + 5 )

可以合併成

( x + 3x )+( 2y + 3y )+( 1

+ 5 )

= 4x + 5y + 6

式子做加減運算時,必須是同類項

才能合併。

(45)

搭配頁數 P.17

3x - 7y = 5 、 8x = 3y

皆為二元一次方程式。

只含有兩種未知數,且這兩種未知

數的最高次方都是一次的等式,稱

為二元一次方程式。

(46)

搭配頁數 P.17

(1) 二元一次方程式中的未知數(例 如: x 與 y ),如果以一組特定 的數代入,可使其等號左右兩邊的 值相等,便稱該組 x 、 y 所代表 的數為此方程式的一組解。

(2) 一個二元一次方程式雖然有無限多 組解,但是如果加上條件的限制,

會影響該方程式的解。

(47)

小莉 與家人聚餐,共點了每份 100 元的 一號餐 x 份和每份 150 元的二號餐 y 份,則一共花了 ____________ 元

搭配頁數 P.18

100x + 150y

一號餐 x 份,共 100x 元 二號餐 ; y 份,共 150y 元

共花了 (100x + 150y) 元。

1

(48)

小虹 帶 400 元,到夜市買了每個 x 元 的髮飾 3 個與每雙 2y 元的襪子 5 雙

,則小虹還剩下 ______________ 元。

搭配頁數 P.18

x 元的髮飾 3 個,共 3x 2y 元的襪子 5 雙,共 10y 元;

元; 帶 400 元, 剩 400 - 3x - 10y 元。

400 - 3x - 10y

2

(49)

在下表的空格中,填入各二元一次式的 值。

搭配頁數 P.18

0 7

3

二元一次式

(50)

化簡下列各式:

(1) - 5x + y - 8 - 4y - 3 + 9x

搭配頁數 P.18

=- 5x + 9x + y - 4y - 8

- 3

(2) -(- x + 2y - 4 )

= 4x

x

- 3y- 11

- 2y + 4

4

(51)

化簡下列各式:

(3) 3(2x - y + 5) - 2(4x + y

- 1)

搭配頁數 P.19

= 6x - 3y + 15

=- 2x - 5y+ 17

- 8x - 2y +

= 6x - 8x - 3y - 2y + 2 15 + 2

4

(52)

搭配頁數 P.19

化簡下列各式:

(5)     3x + 5y - 12

  + ) 2x - 7y - 6   5x - 2y- 18

(6)     5x - 3y + 8

   -) 9x - 7y - 5   - 4x+ 4y+ 13

4

(53)

下列哪幾組 x 、 y 所代表的數是方程

3x - 4y =- 2 的解?(複選)

搭配頁數 P.19

(1) 3×( - 2 ) - 4×( - 2 =- 6 ) + 8

= 2 ≠ - 2 , 不是解 (2) 3×(2.4) - 4×( 1.3) = 7.2 - 5.2

, 是 解

, 不是

= 0 - 2 = - 2 解

= 2 ≠ - 2

, 是 解

=- 5 + 3 = - 2

5

(54)

搭配頁數 P.19

3a - 6 = 1 3a = 7

6

(55)

x y

檢查

已知協志 買每枝 20 元的原子筆 x 枝 和每枝 30 元的螢光筆 y 枝,兩種都 有買,且一共花了 160 元。則:

(1) 依題意可列得二元一次方程式:

__________________ 。 (2) 協志可能買幾枝原子筆?

搭配頁數 P.19

20x + 30y = 160

(A)5 枝 (B)6 枝 (C)7 枝 (D)8 枝

1 2 3 4 5 6 6.5

不合

3.5

不合

0.5

不合

- 1

不合

5 合

2 合

(A)

作法僅供參考

7

(56)

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