二元一次式自我評量二元一次式的化簡二元一次方程式

二元一次式

自我評量

二元一次式的化簡

二元一次方程式

搭配頁數 P.6

　在第一冊第 3 章的一元一次方程式中

，

已學過根據題意列出含有 x 的一次式。

例如：買每個 25 元的麵包 x 個，一共 需付 25x 元。

　現在我們要學習含有兩個未知數 ( 如 x

、 y) 的一次式，例如：買每個 25 元的 麵包 x 個和每瓶 18 元的果汁 y 瓶，

一共要付（ 25x ＋ 18y ）元。

志宏為了響應愛心活動，想要將撲滿中的拾 元及伍元硬幣全部捐出來。如果拾元硬幣有

枚，伍元硬幣有 y 枚，則志宏總共捐出多 少元？

搭配頁數 P.6

拾元硬幣有 x 枚，共 10x 元；

伍元硬幣有 y 枚，共 5y 元

； 所以志宏總共捐出（ 10x ＋ 5y ）元

。

解

15 ( 元 ) × x ( 元 / 張 )=15x ( 元 )

心怡 買每張 15 元的卡片 x 張及每張 12 元的卡片 y 張，回答下列問題：

(1) 買 15 元的卡片 x 張需 _______

元， 12 元

的卡片 y 張需 _______ 元。

(2) 心怡共付 ____________ 元。 15x ＋ 12y 12y

15x

12 ( 元 ) × y ( 元 / 張 )=12y ( 元 )

總共需要 15x ＋ 12y( 元 )

解

搭配頁數 P.6

搭配頁數 P.7

一桶 5000 毫升的水，倒滿每杯容量 x 毫 升的杯子 3 杯，及每杯容量 y 毫升的杯子 5 杯後，桶內剩下多少毫升的水？

逐一減去先後倒出的量

倒滿每杯容量 y 毫升的杯子 5 杯，就 是倒出了 5y 毫升的水；

倒滿每杯容量 x 毫升的杯子 3 杯，就 是倒出了 3x 毫升的水；

所以桶內剩下（ 5000 － 3x － 5y ）毫升 的水。

解

一

一桶 5000 毫升的水，倒滿每杯容量 x 毫 升的杯子 3 杯，及每杯容量 y 毫升的杯子 5 杯後，桶內剩下多少毫升的水？

搭配頁數 P.7

一次減去全部倒出的量

也就是共倒出（ 3x ＋ 5y ）毫升的水，

因為分別倒出了 3x 毫升及 5y 毫升的 水，

所以桶內剩下 5000 －（ 3x ＋ 5y ）毫升 的水。

解

二

1. 志忠 有 83 元，買文具花掉了 x 枚壹元硬 幣

與 y 枚拾元硬幣，則志忠剩下 ____________ 元。 83 － x － 10y

2. 佩君有 200 元，買了每枝 x 元的原子 筆 2 枝與每枝 y 元的鉛筆 3 枝後，

剩下 ____________ 元。

200 － 2x － 3y

解

搭配頁數 P.7

搭配頁數 P.7

　在例題 1 與例題 2 中，像 10x ＋ 5y 、 5000 － 3x － 5y 這種只含有兩種文字符號 ( 二元 ) ，且這兩種文字符號的最高次方都是 一次的式子，稱為二元一次式。

　例題 1 中，志宏捐出 x 枚拾元硬幣， y 枚伍元硬幣，總共捐出（ 10x ＋ 5y ）元。如 果捐出的硬幣中，拾元硬幣有 64 枚及伍元 硬幣有 17 枚，即表示

＝ 64 ，

， 所以總共捐出

10x ＋ 5

＝ 10× 64 ＋ 5×

＝ 640 ＋ 85 ＝ 725( 元 ) 。

　由上面的說明，可以發現二元一次式的值，

須由 x 與 y 分別所代表的數為

多少來決定。

搭配頁數 P.8

當

＝ 5 ，

＝ 2 時 ,

3x － 4

＝ 3× 5 － 4× 2

＝ 15 － 8

＝ 7

當

，

＝ 3 時 ,

3x － 4

＝ 3× ( － 2) － 4× 3

＝－ 6 － 12

＝－ 18

＝－ 2+10

＝ 8

(3) (1) (2)

解

搭配頁數 P.8

也可以用表格的方式來呈現例題 3 ，如下表

：　

13

9 10.5

在下表空格中，填入各二元一次式的值

。

搭配頁數 P.8

解

搭配頁數 P.9

　學習二元一次式時，同類項須先合併化 簡，如果含有不同文字符號就不是

同類項，是不能合併的。

例如： (1)2x ＋ 3x 中， 2x 與 3x 是同類 項，

可以合併為 5x 。

　　　 (2)25x ＋ 18y 中， 25x 與 18y 不 是同

類項，所以不能合併。

搭配頁數 P.9

3x － 4y ＋ 9 ＋ 5x ＋ y － 7

＝ 8x － 3y ＋ 2 化簡下列各式：

(1) 2x ＋ 2y ＋ 4x ＋ y (2) 3x － 4y ＋ 9 ＋ 5x

＋ y － 7 (1)

＝ 3x ＋ 5x － 4y ＋ y ＋ 9 － 7

(2)

2x ＋ 2y ＋ 4x ＋ y

＝ 2x ＋ 4x ＋ 2y ＋ y

＝ 6x ＋ 3y

2x 與 4x 為同類項，

2y 與 y 為同類項。

6x 與 3y 不是同類 項，不能再合併。

解

化簡下列各式：

(1) x ＋ 4y － 3x ＋ 2 (2)5x － 6y － 4 － 6x

－ 2y ＋ 4

5x － 6y － 4 － 6x － 2y ＋ 4

＝－ x － 8y (1)

＝ 5x － 6x － 6y － 2y － 4

＋ 4 (2)

x

＋ 4y － 3x ＋ 2

＝ x － 3x ＋ 4y ＋ 2

＝－ 2x ＋ 4y ＋ 2

解

搭配頁數 P.9

搭配頁數 P.10

(1) （

＋ 4y － 5 ）＋（

－ 5y

＋ 6 ）

＝

＋ 4y － 5

－ 5y ＋ 6

＝

化簡下列各式：

(1) （ 2x ＋ 4y － 5 ）＋（ 4x － 5y ＋ 6 ）

－ y ＋ 1

解

搭配頁數 P.10

化簡下列各式：

(2) 2 （ 3x － y ＋ 9 ）＋ 3 （ x － 2y － 5 ） (2) 2 （

－ y ＋ 9 ）＋ 3 （

－

2y － 5 ）

＝

＝

－ 8y ＋ 3

－ 2y ＋ 18

－ 6y － 15

解

化簡下列各式：

(1) （ 4x － 5y － 9 ）＋（ 3x ＋ 4y － 8 ）

(2) 4 （－ 2x ＋ y ＋ 3 ）＋ 3 （ x － 2y － 5 ）

＝

－ 5y － 9

＋ 4y － 8

＝

－ y － 17

＝－ 8x

＝

－ 2y － 3

＋ 4y ＋ 12

－ 6y － 15

搭配頁數 P.10

解

解

搭配頁數 P.10

　例題 5 的第 1 小題，也可以將同類

項上下對齊，用直式運算：

化簡下列各式：

(1) 7x － y ＋ 5 ＋ ） 3x － 5y － 9

10x － 6y － 4

(2) 　　　 3x － 5y － 7 　　＋ ）－ x ＋ 8y ＋ 8 　 2x ＋ 3y＋ 1

搭配頁數 P.10

解

解

搭配頁數 P.11

(1) （

－ 2y － 1 ）－ （

＋ y － 3 ）

＝

－ 2y － 1

－ y ＋ 3

＝

－ 3y ＋ 2 化簡下列各式：

(1) （ 3x － 2y － 1 ）－（ 2x ＋ y － 3 ）

解

搭配頁數 P.11

(2)

＝

＝

＋ 1

＋ 3

－ 2

解

化簡下列各式：

(1) ( 5x ＋ 2y － 8) － (2x － 4y ＋ 3)

＝ 3x ＋ 6y － 11

搭配頁數 P.11

解

解

搭配頁數 P.11

　例題 6 的第 1 小題，也可以將同類

項上下對齊，用直式運算：

化簡下列各式：

(1) 3x － 5y ＋ 2 ＋ ） 6x － 2y － 7

－ 3x－ 3y ＋ 9

(2) 　　　－ 2x ＋ 5y － 7 　　＋ ） 4x － y － 9 　

－ 6x＋ 6y＋ 2

搭配頁數 P.11

解

解

搭配頁數 P.12

　現在練習將一個二元一次式進一步列成 含等號的式子。例如：

 可晴買了每個 25 元的麵包 x 個和每瓶 18 元的果汁 y 瓶，共花了 147 元。

可列得等式：

25x ＋ 18y ＝ 147

 一桶 5000 毫升的水，倒滿每杯容量 x 毫升的杯子 3 杯，及每杯容量 y 毫升的 杯子 5 杯後，桶內還剩 2000 毫升的水

。

可列得等式： 5000 － 3x － 5y ＝ 2000

搭配頁數 P.12

像 25x ＋ 18y ＝ 147 和 5000 － 3x － 5y

＝ 2000 這種含有兩種未知數，且這兩種未

知數的最高次方都是一次的等式，稱為二元

一次方程式。

(1) 佳怡 買了每枝 15 元的鉛筆 x 枝及每個 12 元的橡皮擦 y 個，一共花了 120 元。可列出二元一次方程式：

_______________ 。 15x ＋ 12y =120

根據下列各問題，列出二元一次方程式 ︰

(2) 建成有 83 元，買文具花了 x 枚壹元

硬幣和 y 枚拾元硬幣後，還剩下 21 元。

可列出二元一次方程式：

_______________ 。 83 － x － 10y = 21 或

83 － (x ＋ 10y) = 21

搭配頁數 P.12

解

搭配頁數 P.12

當二元一次方程式中的未知數（例如： x 與 y ），以一組特定的數代入，可使等號 左右兩邊的值相等時，稱該組 x 、 y 所代 表的數為此方程式的一組解。

　例如：判別 (1) x ＝ 3 ， y ＝ 4 、

(2) x ＝ 1 ， y ＝ 2 ，是否為二元一次方程式

5x ＋ 8y ＝ 47 的一組解。

判別下列各組 x 、 y 所代表的數，是否為方 程式 － 2x ＋ y ＝ 3 的解。

(1) x ＝ 0 , y ＝ 3 (2) x ＝－ 1 , y ＝－ 1

搭配頁數 P.13

以

＝ 0 ,y ＝ 3 代 入 , － 2

＋

＝ － 2× 0 ＋ 3

＝ 3

所以 x ＝ 0 ， y ＝ 3 是方程式－ 2x ＋

＝ 3 的一組解。

以

代入 , － 2

＋

＝ － 2× ( － 1) ＋ ( － 1 )

＝ 1 ，不等於 3

所以 x ＝－ 1 ， y ＝

－ 1 不是方程式－

2x ＋ y ＝ 3 的一組解

。

(1) (2)

解

1. 判別下列各組 x 、 y 所代表的數，是否 為方程式 － 2x － 3y ＝ 8 的解。

(1) － 2x － 3y ＝ － 2×( － 1) － 3 ×( － 2)

(1) x ＝－ 1 ， y ＝－ 2 (2) x ＝ 1 ， y ＝

－ 4

(3) x ＝－ 4 ， y ＝ 0

＝ 2 ＋ 6

＝ 8

(2) － 2x － 3y ＝ － 2×( 1) － 3 ×( －

4) ＝－ 2 ＋

12

＝ 10 ≠ 8

(3) － 2x － 3y ＝ － 2×( － 4 ) － 3

×(0) ＝ 8 ＋ 0

＝ 8

是解

是解

不是解 解

搭配頁數 P.13

2. x ＝ 2 、 y ＝－ 3 是下列哪些二元一次 方程式的解？（複選）

(1) 3x ＋ 4y ＝ 3×( 2) ＋ 4×( － 3 )

(1) 3x ＋ 4y ＝－ 6 (2) － 5x － 6y ＝－

28

(3) － 3x ＋ y ＝－ 9

＝ 6 － 12 ＝－ 6

(2) － 5x － 6y ＝ － 5×( 2) － 6 ×( －

3) ＝－ 10 ＋

18

＝ 8 ≠ － 28 (3) － 3x ＋ y ＝ － 3×( 2) ＋ ( － 3 )

＝－ 6 － 3

＝－ 9

是解

是解

不是解 解

搭配頁數 P.13

3. 已知 x ＝ 1 、 y ＝ a 是二元一次方程式 3x ＋ 2y ＝ 5 的解，則 a ＝？

3×1 ＋ 2×a ＝ 5 2a ＝ 2

a

＝ 1

解

搭配頁數 P.13

搭配頁數 P.14

(1) 以 x

＝ 0

＝ 12得 2×0 ＋ 3y ＝ 12⇒ 3y ＝ 12

找出二元一次方程式 2x ＋ 3y ＝ 12 的任意 四組解。

假設 x 是一個特定的數 , 代入 2x ＋ 3y ＝ 12 求 y

(2) 以 x

＝ 1

＝ 12得 2×1 ＋ 3y ＝ 12⇒ 3y ＝ 10 (3) 以 x

＝ 2

＝ 12得 2×2 ＋ 3y ＝ 12⇒ 3y ＝ 8 (4) 以 x

＝ 3

＝ 12得 2×3 ＋ 3y ＝ 12⇒ 3y ＝ 6

解

⇒ y ＝ 4

⇒ y ＝ 2

　在上述的解法中，也可以 假設 y 是一個特定的數，

代入方程式中求 x 的值。

搭配頁數 P.14

2x 與 12 皆為 2 倍數 , 所以 y 用 2 倍數代入比

較好算

y

用 0,2,4,6 代入

1. 小星 求二元一次方程式 2x － y ＝ 8 的 解，他選定四個 x 值與四個 y 值。完 成下列兩個表格，使各組 x 、 y 的值是 此方程式的解。

－ 8

－ 6

－ 4

－ 2

4 5

解

搭配頁數 P.15

2. 在下列空格中填入適當的數，使 x 、 y 的值是二元一次方程式 3x － y ＝ 12 的 解。

0 － 6

3

5 5

解

搭配頁數 P.15

當 x 繼續以 4 、 5 、 6 、⋯⋯ 依序代入 隨堂練習第 1 題的方程式時， y 的值都能由 方程式求得。

同理，當 y 繼續以 4 、 5 、 6 、⋯⋯ 依 序代入隨堂練習第 1 題的方程式時，也都能 由方程式求得 x 的值。

事實上，將 x 以任意數代入二元一次方程 式時，都可以求得 y 值；將 y 以任意數代 入二元一次方程式時，都可以求得 x 值。

因此可知， 一個二元一次方程式的解有無 限多組。

搭配頁數 P.15

七年 5 班上課時進行分組教學，每組 6 人 或 4 人，其中 6 人一組的有 x 組， 4 人一 組的有 y 組。已知學生共有 30 人，寫出 所有分組的方法。

依題意可列得方程式 6x ＋ 4y ＝ 30 ，並化簡為 3x ＋ 2y ＝ 15 。

搭配頁數 P.16

因此方程式中， x 以 0 、 1 、 2 、 3 、 依序 ⋯⋯

代入，

解

因為 x 、 y 都代表組數，所以 x 與 y 為正整數或 0

。

解得 y 後，再檢查 y 是否也符合正整數或 0 的條

件，如下表。

七年 5 班上課時進行分組教學，每組 6 人 或 4 人，其中 6 人一組的有 x 組， 4 人一 組的有 y 組。已知學生共有 30 人，寫出 所有分組的方法。

搭配頁數 P.16

解

七年 5 班上課時進行分組教學，每組 6 人 或 4 人，其中 6 人一組的有 x 組， 4 人一 組的有 y 組。已知學生共有 30 人，寫出 所有分組的方法。

搭配頁數 P.16

由上表可知符合條件的解為：

(1)x ＝ 1 , y ＝ 6 , 表示 6 人的有 1 組 , 4 人的 有 6 組

(2)x ＝ 3 , y ＝ 3 , 表示 6 人的有 3 組 , 4 人的 有 3 組

(3)x ＝ 5 , y ＝ 0 , 每組都是 6 人 , 共有 5 組

解

x y

小琳 買兩種卡片共花了 75 元，其中有每張 10 元的卡片 x 張、 15 元的卡片 y 張。小琳 可能買了幾張 10 元的卡片？（兩種都要買）

3 0

10x ＋ 15y ＝ 75 ，化簡得 2x ＋ 3y

＝ 15

由上表可知，小琳可能買了 3 張或 6 張 10 元的卡片

。

2 3 4 6

合 不合 合 不合 不合 不合 不合

解

搭配頁數 P.16

搭配頁數 P.16

　由例題 9 與隨堂練習可知，一個二元

一次方程式雖然有無限多組解，但是如果

加上條件的限制，會影響該方程式的解。

只含有兩種代表數的文字符號，且 這兩種文字符號的最高次方都是一 次的式子，稱為二元一次式。

－ 2x ＋ y － 5 、 x － 3y

皆為二元一次式。

搭配頁數 P.17

搭配頁數 P.17

x

、 3x 是同類項， 2y 、 3y 是同類項

，

x

、 2y 不是同類項。

因此（ x ＋ 2y ＋ 1 ）＋（ 3x ＋ 3y ＋ 5 ）

可以合併成

（ x ＋ 3x ）＋（ 2y ＋ 3y ）＋（ 1

＋ 5 ）

＝ 4x ＋ 5y ＋ 6

式子做加減運算時，必須是同類項

才能合併。

搭配頁數 P.17

3x － 7y ＝ 5 、 8x ＝ 3y

皆為二元一次方程式。

只含有兩種未知數，且這兩種未知

數的最高次方都是一次的等式，稱

為二元一次方程式。

搭配頁數 P.17

(1) 二元一次方程式中的未知數（例 如： x 與 y ），如果以一組特定 的數代入，可使其等號左右兩邊的 值相等，便稱該組 x 、 y 所代表 的數為此方程式的一組解。

(2) 一個二元一次方程式雖然有無限多 組解，但是如果加上條件的限制，

會影響該方程式的解。

小莉 與家人聚餐，共點了每份 100 元的 一號餐 x 份和每份 150 元的二號餐 y 份，則一共花了 ____________ 元

搭配頁數 P.18

100x ＋ 150y

一號餐 x 份，共 100x 元 二號餐 ； y 份，共 150y 元

； 共花了 (100x ＋ 150y) 元。

解

1

小虹 帶 400 元，到夜市買了每個 x 元 的髮飾 3 個與每雙 2y 元的襪子 5 雙

，則小虹還剩下 ______________ 元。

搭配頁數 P.18

x 元的髮飾 3 個，共 3x 2y 元的襪子 5 雙，共 10y 元；

元； 帶 400 元， 剩 400 － 3x － 10y 元。

400 － 3x － 10y

解

2

在下表的空格中，填入各二元一次式的 值。

搭配頁數 P.18

0 7

解

3

二元一次式

化簡下列各式：

(1) － 5x ＋ y － 8 － 4y － 3 ＋ 9x

搭配頁數 P.18

＝－ 5x ＋ 9x ＋ y － 4y － 8

－ 3

(2) －（－ x ＋ 2y － 4 ）

＝ 4x

＝

－ 3y－ 11

－ 2y ＋ 4

解

4

解

化簡下列各式：

(3) 3(2x － y ＋ 5) － 2(4x ＋ y

－ 1)

搭配頁數 P.19

＝ 6x － 3y ＋ 15

＝－ 2x － 5y＋ 17

－ 8x － 2y ＋

＝ 6x － 8x － 3y － 2y ＋ 2 15 ＋ 2

解

4

解

搭配頁數 P.19

化簡下列各式：

(5) 　　　 3x ＋ 5y － 12

　　＋ ） 2x － 7y － 6 　 5x － 2y－ 18

(6) 　　　 5x － 3y ＋ 8

　　 －） 9x － 7y － 5 　 － 4x＋ 4y＋ 13

解

4

解

下列哪幾組 x 、 y 所代表的數是方程 式

3x － 4y ＝－ 2 的解？（複選）

搭配頁數 P.19

(1) 3×( － 2 ) － 4×( － 2 ＝－ 6 ) ＋ 8

＝ 2 ≠ － 2 , 不是解 (2) 3×(2.4) － 4×( 1.3) ＝ 7.2 － 5.2

, 是 解

, 不是

＝ 0 － 2 ＝ － 2 解

＝ 2 ≠ － 2

, 是 解

＝－ 5 ＋ 3 ＝ － 2

解

5

搭配頁數 P.19

3a － 6 ＝ 1 3a ＝ 7

解

6

x y

檢查

已知協志 買每枝 20 元的原子筆 x 枝 和每枝 30 元的螢光筆 y 枝，兩種都 有買，且一共花了 160 元。則：

(1) 依題意可列得二元一次方程式：

__________________ 。 (2) 協志可能買幾枝原子筆？

搭配頁數 P.19

20x ＋ 30y ＝ 160

(A)5 枝 (B)6 枝 (C)7 枝 (D)8 枝

1 2 3 4 5 6 6.5

不合

3.5

不合

0.5

不合

－ 1

不合

5 合

2 合

(A)

解

7

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解

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