金屬成形極限之三維有限元素分析軟體開發與整合應用-子計畫一：金屬擠製成形極限之分析(III)

(1)

行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告

子計畫一：金屬擠製成形極限之分析(3/3)

計畫類別：整合型計畫

計畫編號： NSC94-2212-E-011-003-

執行期間： 94 年 08 月 01 日至 95 年 07 月 31 日執行單位：國立臺灣科技大學機械工程系

計畫主持人：黃佑民

報告類型：完整報告

報告附件：出席國際會議研究心得報告及發表論文處理方式：本計畫可公開查詢

中華民國 95 年 10 月 27 日

(2)

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫 ■ 成果報告

□期中進度報告

金屬成形極限之三維有限元素分析軟體開發與整合應用---子計畫一

金屬擠製成形極限之分析

計畫類別：□ 個別型計畫

■

^{整合型計畫}

計畫編號：NSC 92－2212－E011－032 NSC 93－2212－E011－008 NSC 94－2212－E011－003 執行期間：92 年 8 月 1 日至 95 年 7 月 31 日

計畫主持人：黃佑民共同主持人：

計畫參與人員：陳聰嘉、藍翔耀、蔡毅瑋、張堯閔

成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：□精簡報告

■

^完整報告

本成果報告包括以下應繳交之附件：

□赴國外出差或研習心得報告一份

□赴大陸地區出差或研習心得報告一份

■

出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份

□國際合作研究計畫國外研究報告書一份

處理方式：除產學合作研究計畫、提升產業技術及人才培育研究計畫、

列管計畫及下列情形者外，得立即公開查詢

□涉及專利或其他智慧財產權，□一年□二年後可公開查詢執行單位：國立台灣科技大學機械工程系

中華民國 95 年 10 月 31 日

(3)

摘要

本計畫之目的為發展一套三維實體元素之金屬擠製成形極限分析之三維動態顯函有限元素程式，除利用九節點來描述工具曲面及其邊界領域外，亦以滿足 updated Lagrangian formulation 之彈性棒原理來解決柱材與工具之接觸與摩擦力之問題，將此彈性棒與三維實體元素耦合後，將所建構之分析軟體應用於前向擠製成形之極限分析，從變形開始至完成之全部變形履歷，如變形歷程圖，加工負荷，工件的最大主應力與主應變等有關變形之資料將可藉由分析之過程而完全加以掌握，且可將分析結果建立成資料檔(data base)，以提供相關人員參考與應用。

(4)

ABSTRACT

This project develops a dynamic explicit finite element program, using three-dimensional solid element, to simulate the metal extrusion process.

Nine nodes are adopted to describe the tool surface geometric

characteristic. An elastic bar theory based on the updated Lagrangian formulation is developed to handle the contact and friction problems.

After coupling the elastic bar to the solid element in the finite element model, the analysis of three-dimensional extrusion process is successfully simulated from initial undeformed state to the final deformed state. The deformed state of various punch strokes, relation of punch load to punch stroke, maximum principal stress, maximum principal strain and

thickness distribution of deformed billet are completely analyzed in the whole deformation history.

(5)

目錄

摘要... I ABSTRACT...II 目錄... III 符號索引... IV 圖表索引... V

第一章緒論...7

1.1 前言 ...7

1.2 文獻回顧 ...8

1.3 研究動機與目的 ...9

1.4 本研究的構成 ...9

第二章基本理論... 11

2.1 基本假設 ... 11

2.2 動態顯函有限元素法 ... 11

2.3 材料之構成式 ...13

2.4 接觸力的推算 ...14

2.5 工具面之描述 ...15

2.6 延性破裂準則 ...15

第三章電腦程式設計與製程分析 ...19

3.1 電腦程式設計 ...19

3.2 擠製製程分析 ...19

第四章實驗方法與結果...27

4-1 實驗材料...27

4-2 實驗步驟...27

4-3 實驗設備...27

4-4 實驗與分析結果比較...28

第五章結論...44

參考文獻...45

計畫成果自評...48

(6)

符號索引

ep

Dijmn ：彈塑性矩陣係數

e

Dijmn ：彈性矩陣係數

σij ： Cauchy 應力

dεij ：塑性應變張量

L ij ：速度梯度張量 D ij ：變形梯度張量

ψ ： Penalty 數

E ：楊氏係數

ν ：蒲松氏比

f ：降伏條件

H ′ ：應變硬化率

u、u、u ：節點位移、速度和加速度

C 0 ：應變能密度值

t ：時間

ρ ：密度

ξ,ζ ,η ：自然座標系

n ：法線向量

t1 , t₂ ：正交切線向量

V ：體積

S ：表面積

N ：形狀函數

α ：模具角度

µ ：摩擦係數

M ：質量矩陣

C ：阻尼矩陣

F ：節點力向量

P ：節點外力向量

Δ ：增量

上標或下標

‧ ：變化率

∗ ^{： Jaumann}^rate

o ：變形前有關的量

g ：全體座標有關的量

l ：局部座標有關的量

S ：材料表面

I ：材料內部

(7)

圖表索引

圖 1-1 擠製加工操作示意圖 ...10

圖 2-1 八節點實體元素之示意圖 ...16

圖 2-2 PENALTY法計算節點之外力...16

圖 2-3 工具構成曲面之種類 ...17

圖 2-4 胚料節點與工具之接觸判斷...18

圖 3.1 電腦程式執行流程 ...21

圖 3.2 擠製成形模具組立圖 ...22

圖 3.3 工件擠製成形及其邊界關係 ...23

圖 3.4 圓柱型試桿外形尺寸 ...24

圖 3.5 沖頭的有限元素分割和模具表面的區分類別 ...24

圖 3.6 置料容器的有限元素分割和模具表面的區分類別 ...25

圖 3.7 下模的有限元素分割和模具表面的區分類別 ...25

圖 3.8 材料的有限元素分割和邊界條件設定 ...26

圖 4.1 密閉式恆溫加熱爐 ...30

圖 4.2 金屬成形試驗機 ...30

圖 4.3 金屬成形試驗機控制器 ...30

圖 4.4 負荷放大器 ...31

圖 4.5 實際擠製模具組 ...32

圖 4.6 模具組合圖 ...32

圖 4.7 沖頭座 ...33

圖 4.8 沖頭 ...33

圖 4.9 置料容器 ...34

圖 4.10 下模 ...35

圖 4.11 固定底板...36

圖 4.12 模擬和實驗的擠製製程負荷與位移之比較 ...37

圖 4.13 工件的變形歷程圖 ...37

圖 4.14 數值分析與工件在不同衝程下的比較圖 ...38

圖 4.15 衝程 4MM、8MM工件頂視圖的放大圖 ...39

圖 4.16 沖頭衝程於 13.079MM時工件的變形與局部放大圖...40

圖 4.20 數值分析工件外側之最大主應力分佈圖 ...42

圖 4.21 數值分析工件外側之最大主應變分佈圖 ...42

圖 4.22 數值分析工件內側之最大主應力分佈圖 ...43

(8)

表 4.1 AA6061 鋁合金之元素成分重量百分比...30 表 4.2 4000KN 油壓式金屬成形試驗機性能與規格...31

(9)

第一章緒論

1.1 前言

所謂擠製(extrusion)是將可塑性金屬或半固態金屬，施加壓力迫使其通過一定形狀之模穴，使其成為截面積較小且斷面均勻的一種加工方法。其製品有良好的加工表面、機械性質與尺寸精度，且產量大和加工成本低廉等優點。

通常依擠製過程的加工操作可分為直接擠製(direct extrusion)、間接擠製 (indirect extrusion)、液靜壓擠製(hydrostatic extrusion)及衝擊擠製(impact extrusion) 等種類，如圖 1.1 所示。依加工過程中的加熱條件可分為冷擠和熱擠兩種。冷擠的過程中，材料未加溫至再結晶溫度以上，因此擠製時所需的擠製負荷較大，適合用於較軟的材料(例如鉛、鋁)及斷面收縮率較少的元件；而熱擠是將材料加溫至再結晶溫度以上，由於材料在高溫下可降低擠製負荷，因此適合製造斷面收縮率大及較大尺寸的元件。

傳統上對於擠製品的製造與模具的設計，大多依靠設計者的技巧與經驗，或是應用費時且缺乏效率的試誤法(try and error method)，因此毫無科學數據及精度可言，在今日高品質與低成本的產品要求下，傳統上的經驗已不敷應付，為了改進金屬成形製造，必須對成形過程有一透徹的認識與了解，才能對製程的改良有所貢獻。若能藉助理論依據，用其預測工件成形時所需要的負荷及能量外，並瞭解工件受力後，其內部的應力、應變與金屬流動形式，將可以省去一些不必要的錯誤嘗試，進而提高產能、降低成本。然而在金屬成形的過程中，受到如材料的機械性質、模具形狀、模具與材料接觸的界面、加工時之加工速度與溫度等許多因素的影響，欲建立其準確的數學模式相當困難，因此在理論的推導上則是先求出近似解(approximate solution)，再配合實驗來加以修正。

目前工業界常用的金屬成形分析的方法有：

(一)應力平衡法亦稱為切片法(slab method) (二)變形能量法(deformation energy method) (三)滑移線場法(slip-line field method) (四)上界限法(upper-bound method) (五)有限元素法(finite-element method)

前面四種方法，通常將材料視為剛-塑性問題來求解，忽略材料的彈性範圍，

故容易導致較大的誤差，而且除了滑移線場法可以求得局部應力外，一般都僅能預估變形所須負荷的大小，因此如果要瞭解整個金屬成形的過程中，工件變形的履歷以及工件內部各處的應力、塑性應變等資料，有限元素法將是非常強而有力且實用的方法。

(10)

1.2 文獻回顧

有限元素法應用於金屬成形問題始於 1960 年代末期，近年來由於電腦的普及，使得有限元素的應用日益廣泛，成為分析中最有力的工具。依其分析模式的不同，可分為剛 - 塑性有限元素法 (rigid-plastic FEM) 和彈 - 塑性有限元素法 (elastic-plastic FEM)兩種。其中剛-塑性有限元素法是由 Kobayashi 等[1][2]所提出，主要論點為假設工件在成形時，彈性變形部份對加工過程的影響很小，所以將彈性變形部分忽略不計，而將工件分為塑性與剛性兩個區域，因此在工件變形過程中，雖可對塑性區域之進展有效模擬，然而在應力預測方面，除了塑性區的應力可計算外，彈性變形的應力則無法求得；反之，彈-塑性有限元素法由於沒有忽略彈性變形部份的影響，而將其納入考慮，因此對於工件變形過程的履歷及各變形階段的應力、應變等均能得知，並且工件表面或內部因局部應力而產生的缺陷，及加工完畢後之殘留應力亦能做有效的分析，故彈-塑性有限元素法所得的結果應較為準確。

彈-塑性有限元素法在初期是依微小變形理論來加以推導，僅考慮材料的非線性(material nonlinerity)，於 1968 年由 Yamada 等[3]將 Prandtl-Reuss 的應變-應力關係式經過逆轉換，成功的導出在 von-Mises 降伏條件下的等向性材料 (isotropic material)的彈塑性應力-應變矩陣的具體形式。爾後被許多學者應用於金屬成形初期不穩態(non-steady state)的研究，如 K. Iwata 等[4]的靜水壓擠製 (hydrostatic extrusion)，E. I. Odell[5]的引薄(ironing)及 S. Brandal 等[6]的線抽拉 (wire drawing)。然而在實際金屬成形過程中，工件將承受大量的變形，因此對於工件的幾何非線性(geometric nonlinerity)之影響亦應加以考慮，故在 1970 年起，

乃有依據大變形-大應變理論發展之彈-塑性有限元素法分析[7][8]，而有效的應用到金屬成形方面，如 Wifi[9]的深拉伸(deep drawing)分析、Lee 等[10]及 Yamada 等[11]的穩定態擠製(steady extrusion)分析、Wifi[12]的靜水壓膨脹(hydrostatic bulge)分析、Yarita 等[13]及 Hirakawa 等[14]的輥軋(rolling)分析，皆有相當可應用之結果。

就基本理論而言，大變形-大應變理論在建立其增量式時，可分為兩種型態 [15]，一為 total Lagrangian formulation，簡稱 TLF；另一為 updated Lagrangian formulation，簡稱 ULF，其中 TLF 的各種物理量均以工件最初時的狀態為基準，

至於 ULF 的各種物理量則以每一時刻的狀態為基準。當採用 TLF 時，在模具與材料接觸部位必須慎重處理[9]，故較為複雜而不如 ULF 簡便，所以採用 ULF 分析金屬成形已成為目前金屬成形分析之主流。

1992 年 Alto 等[16]利用 ANSYS 有限元素軟體分析平板擠製加工問題，探討在不同的模具半角(α)下對金屬流動的影響，1994 年 Kang 等[17]利用有限元素法分析軸對稱擠製加工問題，探討如何改善胚料幾何外型，以降低擠製後成品前端凸緣之產生。1996 年 Bennani 等[18]利用蠟做為材料，配合 DEFORM 軟體模擬與擠製實驗的驗證，有效的預測胚料的流動模式，並探討各類參數所造成的影

(11)

響。2001 年 Chanda 等[19]利用有限元素法模擬擠製問題時，發現若將擠製速度採用階梯式速度做擠製加工時，所得到之擠製壓力值較低，而在擠製過程中，胚料及模具溫度較不會上升，且可以降低擠製所產生之壓力分佈。2003 年 Hur 等 [20]使用工具鋼或是燒結碳化物做成應力環(stress ring)，以干涉的方式陸續圈束住模具，對模具造成預壓的效果，以減少模具的彈性變形，增加擠製品的尺寸精度，並增加模具的使用壽命。

而延性破裂是金屬擠製製程中達到成形極限的指標，當延性破裂發生時，工件將會產生缺陷，這些缺陷將會影響到工件的品質和強度，常見的擠製缺陷有表面裂痕(surface cracking)、縮管和內部缺裂(internal cracking)。因此，如何在擠製過程時能預先得知延性破裂的發生，進而事先預防，以得到無缺陷的工件，則是本研究主要的研究課題之一。先前的學者根據延性破裂的原因提出許多的準則來預測延性破裂的發生，也就是延性破裂準則，而這些準則大致上可以區分為經驗與部分經驗，經驗準則是以材料的應變為基準來推算破裂發生的位置[21-23]或者是以應力為基準來推斷是否會發生破裂[24-25]；部分經驗準則又分為兩種模式：

累積塑性能量模式和孔隙合併模式。累積塑性能量模式是在擠製過程中，累積材料內部塑性變形的能量，當累積的能量值等於所設定的臨界值時，則形成延性破裂[26-31]；隙孔合併模式則是探討材料內部的孔隙形成、成長和合併，當孔隙最後合併形成裂縫時，材料即發生破裂[32-33]。

1.3 研究動機與目的

金屬成形技術(metal forming technology)為製造工業中的重要加工技術，廣泛應用於車輛、鋼鐵及家電製品等工業，其製造目的在追求高產量、高精度和高機械強度的產品外，亦在於追求高經濟價值，欲達此目的則須對製程的設計與控制有充分的瞭解，尤其是對各種重要加工因素對成形過程的影響，例如模具的幾何形狀、金屬材料的特性與變形行為及模具與金屬接觸的界面等，否則無法設計模具與預估工件之成形或防止工件破壞發生。

有鑑於此，本計畫已發展一套金屬擠製成形極限分析之三維動態有限元素程式，並且結合延性破裂準則，藉以分析金屬柱材在擠製製程中，加工負荷、材料的變形歷程、應力與應變的分佈，期望在擠製加工製程定案前能先預測得知工件是否會發生缺陷，以利金屬擠製製程之設計。

1.4 本研究的構成

本研究共分為六章，其主要內容概述如下：

第一章為緒論，介紹有限元素分析法應用在金屬成形的背景，以及介紹常見的擠製缺陷，並對本研究的目的與構成加以說明。

第二章為基本理論，除了介紹動態顯函有限元素法外，也說明了材料在彈塑性應力-應變關係矩陣的構成與推導，最後對延性破裂準則做一簡介。

(12)

程式設計的觀念、依據與程式流程，也將製程分析所須要輸入的資料予以說明。

第四章則針對實驗過程與結果加以比較說明，前三節為對實驗的材料、步驟與設備予以介紹，並於第四節中將實驗的結果與模擬的結果相互比較。

第五章對本研究所分析的結果及其效益作一總結，並就本研究之理論模式的限制及將來有待研究突破的問題加以敘述及建議。

(a)直接擠製法

(b)間接擠製法

(c)液靜壓擠製法

Ram Billet Extruded Rod Chamber

(d)衝擊擠製法 (e)直角模擠製法

圖 1-1 擠製加工操作示意圖

(13)

第二章基本理論

2.1 基本假設

本研究所考慮之有限變形理論，其基本假設條件如下：

(1) 材料均假設為均質性(homogeneous)及等向性(isotropic)。

(2) 材料加工時不考慮溫度之影響。

(3) 材料在加工前並無內應力存在。

(4) 材料在彈性區內遵循虎克定律(Hooke's law)

(5) 材料遵循 von Mises 降伏法則，且於塑性變形後，依循 Prandtl-Reuss 之塑流法則。

(6) 所有模具皆視為剛體。

2.2 動態顯函有限元素法

動態顯函有限元素法中，考慮包含內力、體積力、慣性力及接觸力之動量虛功原理方程式，可由(2-1)式來描述。

S d u t dV u b V

d u dV

u u c dV u

u _i

S i

V i i

j V ij i V i i

V i i

t

δ δ σ δ ρ δ δ

ρ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ⁺ ⁺ ^, ⁼ ⁺ ^(2-1)

式中σ_ij為 Cauchy 應力，V 為體積，S為表面積，ρu_k為慣性力，c 為阻u_k 尼力，t 為表面力或接觸力。 _i

接著導入八節點立方體元素的座標及速度場，如圖 2-1 所示。圖中八節點立方體元素的每個節點各有三個自由度，依照自然座標ξ₁，ξ₂，ξ₃離散化後可得

α α

α i N

i N x

x

∑

=

1

(2-2)

α α

α i N

i N u

u

∑

=

1

(2-3)

) 1

)(

1 )(

1 8( 1

3 3 2

2 1

1

α α

α

α = +ξξ +ξξ +ξ ξ

N (2-4)

式中，X_i^α,ξ_i^α和u 分別表示節點α 的空間直角座標、自然座標和速度，^α_i

(ξ₁,ξ₂,ξ₃)

Nα 為形狀函數，α 則是從 1 到 8。

而速度梯度張量

α α

ζ α

ξ_mⁱ ^m_j ^j ⁱ

j i j

i B u

x u u

L

∑

=

∂ =

∂

= ∂

= ⁸

1

, (2-5) 變形速度張量則為

(14)

α α α

α_jδ_i_k _i δ_j_k _k

i j j i j

i L L B B u

D ( )

2 ) 1 2(

1 ⁸

1

+

= +

=

∑

=

(2-6) 將(2-1)式有限元素離散化後，在忽略體積力的情況下可得到(2-7)至(2-9)式

∫

∑ ∫ ∫

∑ ∫^⎜_⎝^⎛ ^⎟_⎠^⎞ ⁺ ^⎜_⎝^⎛ ^⎟_⎠^⎞ ⁺ ⁼

=

= Vê N N dV ui ⁸ VêcN N dV ui VêBj ijdV SêN tidS

1 8

1

β β

α

α β α α

α β

α σ

ρ (2-7)

p f u c u

m+ + = (2-8)

β β α α

β α α

α β α

i i i

j c u f p

u

m +

∑

+ =

∑

= =

⁸

1 8

1

(2-9) (2-9)式的積分範圍為單一元素，若是對物體整體而言，依照上述的步驟，則能夠求出對物體整體的有限元素運動方程式。

P F u C u

M+ + = (2-10) 其中M N NdV

V

∑∫ T

= ρ (2-11)

V d N cN

C V

∑∫ T

= (2-12)

V d B

F V

∑∫ T

= σ (2-13)

S d t N

P S

∑∫ T

= (2-14) 式中M 為質量矩陣，C為阻尼矩陣，F 為節點力向量，P 為節點外力向量，

N 為形狀函數。欲求得時間t+∆t時之解，可將速度u與加速度u 分別利用位移u 對時間t 的中央差分法表示如下

(^u ^u ) ^t

u= ^t⁺^∆^t − ^t⁻^∆^t /2∆ (2-15)

(û ²û û )^/ ^t²

u= ^t⁺^∆^t − ^t + ^t⁻^∆^t ∆ (2-16) 將(2-15)式與(2-16)式代入(2-10)式後，化簡可得

(

M t C t

)

[P F M

(

u u

)

t Cu t]

u^t⁺^∆^t = /∆ ² + /2∆ ⁻¹× − + 2 ^t − ^t⁻^∆^t /∆ ²+ ^t⁺^∆^t/2∆ (2-17) 則t+∆t時之位移增量為

t t

t u

u u= −

∆ ⁺^∆ (2-18) 由於∆t取決於

( )

( ν)( νν)ρ 2 1 1

1

−

+ −

=

∆t_cr _E^L^e (2-19)

式中L 為特徵長度，_e E 為材料之楊氏係數，v為浦松氏比，因此，若能維持分析之正確性，可酌量的放大質量密度因子，或加快速度因子，以減少分析所需時間，此為動態顯函有限元素法之最大優點。

(15)

2.3 材料之構成式

當應變增量計算後，材料之應力增量與應變增量式可表示如下

ij ep

ij Dijmn ε

σ = ∆

∆ ^D (2-20) 且

σ σ σ σ

σ

σ σ

uv uv

uv kl e kluv

uv kl e

uvmn e ijkl e

ijmn ep

ijmn f

f H D f

f D f

D D

D

∂

∂ + ′

∂

−

= (2-21)

其中D_ijmn^ep 為彈塑性矩陣係數，D_ijmn^e 為彈性係數， ij

σD

∆ 為 Cauchy 應力之 Jaumann 增量，∆ 為應變增量，ε_ij σ_ij為 Cauchy 應力，H ′ 為應變硬化率，f(σ_ij,ε_p)

為降伏函數，且σ(σ_ij)為等值降服應力，在 von Mises 二次型降伏函數及 Hill 異向性條件下

2 2 2

2

2 [ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ]

) (

2

3 σ −σ + σ −σ + σ −σ + τ + τ + τ =σ

+

= + F _y _x G _z _x H _x _y L _yz M _zx N _xy

H G f F

(2-22) 則(2-20)式之彈塑構成矩陣式可推導得到

[ ] [ ]

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

=

2 6 6 5 2 5

6 4 5 4 2 4

6 3 5 3 4 3 2 3

6 2 5 2 4 2 3 2 2 2

6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 2 1

0

1

S symm

S S S

S S S S S

S S S S S S S

S S S S S S S S S

S S S S S S S S S S S

D S

D^ep ^e (2-26)

其中

xy zx

yz

z y

x

S S

S

S S

S H S

τ τ

τ

σ σ

+ ′ + ′

+ ′

+ ′ + ′

+ ′

= ′

6 5

4

3 2

1 2

0

2 2

2 9 4

，S₁ = 2Gσ_x′ ， S₂ = 2Gσ_y′ ， S₃ = 2Gσ_z′ ，

G yz

S₄ = 2 τ′ ，S₅ = 2Gτ_zx′ ，S₆ = 2Gτ_xy′ 且G=E 2(1+v)。至於[D 矩陣為 ^e]

(16)

[ ]

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−−

−

− −

−

=

2 1 2 0 1

0 2 0

1

0 0 2 0

1 1

0 0 2 0

1 2 1

1

0 0 2 0

1 2 1 2 1

1

symm

v vv v v

v v

v v v v v

D^e (2-27)

求得∆σ^D_ij 後，以∆σ^•_ij =∆σ^D−W_imσ_mj +σ_imW_mj求得空間固定座標之 Cauchy 應力增量。

2.4 接觸力的推算

節點外力向量P 可利用(2-14)式推導出，但以工具為依據所產生的塑性變形 或是剛體與剛體間之接觸問題，必須依賴接觸力作用於物體上的應力、接觸面的面積和接觸面法線、切線方向變化的情況下，才能算出節點外力，像這類稱之為接觸非線性問題在計算上會相當困難。在動態顯函有限元素法中，將推導出 Penalty 法則，儘量依照簡單的手法，求出滿足和工具間的接觸邊界條件。如圖 2-2 所示，其計算步驟如下

(i)接觸點之搜尋

搜尋是否有節點α 在工具內部。

(ii)接觸點之法線力

計算節點α 進入工具的陷入量 g 的值，將此值乘上 Penalty 數，可決定出法線方向的接觸力P ，如(2-28)式所示。 _n

n g

P_n =Ψ (2-28) 在此，利用陷入量g ，可以推出垂直方向g_z、法線方向g 和到工具表面之_n 最短距離g ，如圖 2-2 所示。雖然與工具表面的外形有關係，但是一般為了求_m 出最短距離而必須反覆的計算，因此，經常採用規定方向的陷入量來計算。(2-28) 式中Ψ 是 Penalty 數，當此值很大時可以提高解的精確度，但是在計算中會有發散的情形，所以必須將時間增量更加縮小。Penalty 數的定義如(2-29)式所示。

l E A_e

=

Ψ (2-29) 式中A 為元素之面積，_e l為元素中最長的邊，E 為模具的彈性係數。

(iii)接觸點之切線力

與工具接觸之節點力可分為法線力與切線力，其中切線力為摩擦阻力，由於在成形過程中，節點與工具間有可能產生滑動或停滯，為了克服此節點接觸摩擦

(17)

力之問題，在庫侖摩擦法則下，將以(2-30)式來求得節點真正之摩擦力P 。 _t

( )

0 u ,

, 0 u , 0 u ,

, 0 u u ,

t

t t

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≠

−

>

−

≠

=

−

≤

−

≠

=

−

>

=

≤

=

t t t t t t

u u n

n t

u t u n

n t

t t

t

n F t

F n

n t

t

P

P u

m F P

P u

m F u

m F

P F

P

P F

F

P

µ

µ µ

µ

(2-30)

2.5 工具面之描述

在板金成形時，沖頭與模具之工具表面基本上可區分為平面、圓柱面、球面、

圓錐面、圓環面，每一工具面由九個點來描述，如圖 2-3 所示，同時於程式中亦建構每一工具面之邊界面，分別為π 、1 π 、2 π 、3 π ，以作為胚料節點是否進4 入邊界領域。

至於胚料節點與工具面之接觸，本計畫發展出彈性棒之原理來加以克服，亦即當胚料沿著工具表面成形時，在胚料點與工具面之曲率中心間建立彈性棒，方式如圖 2-4 所示，在 K-1 Step 時，胚料之 P 點與工具表面未接觸；在 K Step 時，

P 點將變形至工具內，則連接 P 點與曲率中心 Q 建立彈性棒，並沿 PQ 方向得到與工具表面接觸點 H 後，彈性棒之變形量即為H_kP_k；其後在 K+1 Step 時，P 點沿工具表面變形至H_k₊₁處，利用此方式，彈性棒能夠時時保持垂直工具表面外，

沖頭負荷則由與工具接觸之節點力總合求得。

2.6 延性破裂準則

延性破裂為金屬成形中的重要缺陷，且其破裂進行之路徑亦為值得探討之重點。本研究採用 Cockcroft-Latham 所提之應變能密度之破裂準則，亦即

∫

^σ^ij^d^ε^ij ^{= C}^′ (2-31) 其中σ_ij為應力張量，dε_ij為塑性應變張量，C′為 Cockcroft-Latham 常數，

有限元素分析法中，則以下式取代(8)式

∑^σ^ij^d^ε^ij ^{= C}^′ (2-32) 分析中若節點的應變能密度到達C′值，則節點產生分離，除新增一節點外，

構成元素之節點號碼、節點力等亦重新計算及更新。

(18)

(a)直角座標系 (b)自然座標系圖 2-1 八節點實體元素之示意圖

Pn

Pt n

gz

gn

gm

α

圖 2-2 Penalty 法計算節點之外力

(19)

(a) 平面 (b) 圓柱面

(c) 球面 (d) 圓錐面

(e) 圓環面

圖 2-3 工具構成曲面之種類

(20)

圖 2-4 胚料節點與工具之接觸判斷

(21)

第三章電腦程式設計與製程分析

3.1 電腦程式設計

本計畫建構一套金屬擠製成形製程分析之三維動態有限元素程式，並結合延性破裂準則，藉以分析金屬柱材在擠製製程中，加工負荷、材料的變形歷程、應力與應變的分佈，期望在擠製過程前能先得知工件是否會發生缺陷，以求先行改善。

茲將此電腦程式執行流程以圖 3.1 表示，並將其內容敘述如後：

(1) 輸入各項必須的資料，諸如材料和模具面的網格分割、邊界條件設定、

材料參數和應變能密度臨界值。

(2) 先將各矩陣設定歸零，避免滲入錯誤數據。

(3) 根據材料常數來計算材料構成方程式之矩陣。

(4) 利用中央差分法計算出時間增量。

(5) 根據時間增量的計算，決定位移增量、應變增量和應力增量。

(6) 更新每一節點的位移、應變和應力。

(7) 根據所選定的延性破裂準則計算應變能密度。

(8) 判斷每一節點的應變能密度是否大於臨界值，如果成立則執行破裂副程式，否則略過此判斷式。

(9) 確定是否全部節點皆判斷完畢。

(10)確定沖頭行程是否為設定的衝程，如果成立則準備輸出與儲存結果，

否則回到步驟(3)繼續執行。

(11)輸出結果，程式計算終止。

3.2 擠製製程分析

在實際金屬擠製製程中，一般是利用一已知外形尺寸的材料來擠成所需的工件尺寸，擠製過程間各階段的變化希望能利用電腦軟體來分析、模擬，供製程及模具設計的參考。以下將製程分析所需輸入程式的重要資料逐一說明：

(一)模具外形與材料形狀：

圖 3.2 顯示為擠製成形模具組立圖，模具包含沖頭、置料容器和下模，下模的模具半角為 30°，出口長度為 5 mm。在擠製製程中，首先將材料放置在置料容器內，然後以液壓驅動沖頭將材料擠壓通過下模而成形，如圖 3.3 所示。而材料外形中各參數化尺寸均可依設計上要求而給予鍵入電腦資料檔中，圖 3.4 顯示為在本文中所採用的模擬尺寸參數

A ：40 mm 0

B ：0 φ35 mm

(二)材料係數的選定：

本文所使用模擬的材料，為鋁合金 AA6061-O，依照 CNS 2112 決定拉伸試

(22)

楊氏係數(Young’s modulus) E=1600 kg/mm² 蒲松氏比(Poisson’s ratio) ν=0.33

降伏應力(yield stress) σ_y=5.63 kg/mm²

摩擦係數 µ＝0.15

應變能密度 250.0 MPa

應力-應變方程式 σ =Kεⁿ =41.8ε⁰^.⁰⁵ 式中 σ ：等效應力(equivalent stress)

ε ：等效應變(equivalent strain) (三)元素分割：

本文分析時前處理部份是以 I-DEAS 軟體依照模具尺寸，建構出 3-D 實體模型，而在分析時，由於模具為對稱關係，因此每部份僅擷取四分之一來作分析，

以節省運算時間。模具之有限元素網格分割則是採用本計畫所提出的利用九節點定義工具曲面及其邊界領域，而模具之工具表面基本上可區分為平面、圓柱面、

球面、圓錐面和圓環面，圖 3.5-3.7 顯示為模具的有限元素分割和模具表面的區分類別，材料之有限元素網格分割則採用八節點實體元素，經由網格分割之後，

材料之元素總數為 648 個元素，節點總數為 896 個節點，如圖 3.8 所示。

(四)邊界條件：

在模具的邊界條件處理方面，置料容器和下模在擠製製程中都設定為固定不動，而只允許沖頭沿著 Z 方向移動。圖 3.8 顯示為材料之邊界條件之設定。圖中雙箭號表示旋轉拘束，單箭號為位移拘束，在 XZ 平面上的節點由於具有對稱性，

因此在此平面上的節點之邊界條件為 X 與 Z 方向為旋轉拘束，Y 方向為位移拘束；在 YZ 平面上的節點由於具有對稱性，因此在此平面上的節點之邊界條件為 Y 與 Z 方向為旋轉拘束，X 方向為位移拘束；而 XZ 平面、YZ 平面交集的軸線上節點，由於在分析時僅能在 Z 方向上移動，因此此軸線上節點的邊界條件則是 X、Y 與 Z 方向均為旋轉拘束，而 X 與 Y 方向為位移拘束。

(五)材料彈性棒的鋪設：

至於材料節點與模具面之接觸，本計畫以彈性棒之原理來加以克服，亦即當材料沿著模具表面成形時，在節點與模具面之曲率中心間建立彈性棒，利用此方式，可確保彈性棒時時保持垂直於模具表面外，沖頭負荷則可經由與模具接觸之節點力總合求得。在材料的頂面、底面和側面在擠製製程中，由於和模具有接觸，

因此皆需要在節點的位置鋪設彈性棒。

(23)

(24)

工件

置料容器

固定底板下模沖頭

沖頭座

圖 3.2 擠製成形模具組立圖

(25)

工件沖頭

置料容器

固定底板下模沖頭座

圖 3.3 工件擠製成形及其邊界關係

(26)

圖 3.4 圓柱型試桿外形尺寸

圖 3.5 沖頭的有限元素分割和模具表面的區分類別

(27)

圖 3.6 置料容器的有限元素分割和模具表面的區分類別

圖 3.7 下模的有限元素分割和模具表面的區分類別

(28)

圖 3.8 材料的有限元素分割和邊界條件設定

(29)

第四章實驗方法與結果

4-1 實驗材料

本實驗是爲了驗證前述章節模擬擠製製程的準確性，故在材質上亦選用 AA6061-O 熱處理用的鋁合金材料，其主要尺寸為φ35mm×40mm 高，為了避免材料內部殘留應力會影響到實驗準確性，因此材料在實驗前均先施以退火處理，

退火方式將材料加熱到 415℃±3℃後，並維持此一溫度持續加熱 2～3 小時[34]，

以消除內部應力，最後將材料置於加熱爐中使其緩慢爐冷至室溫，確保所有材料品質的均一性。AA6061-O 鋁合金材料其元素成分及重量百分比，參考表 4.1。

4-2 實驗步驟

爲獲得準確的加工負荷與相關位移等資料，實驗過程依照下述的步驟來進行：

(1)確定胚料已經過退火處理。

(2)將固定底板固定於 4000KN 油壓式金屬成形試驗機的平台上。

(3)將置料容器內孔與模具內側、沖頭均勻塗上潤滑劑。

(4)用四根ψ12mm 的螺絲將置料容器與模具固定後嵌入固定底

板表層的凹槽處，以保持中心線不會偏離，在將沖頭與沖頭座鎖附於油壓試驗機上側。

(5)胚料均勻塗上潤滑劑，並置入置料容器內。

(6)進行擠製製程與位移、負荷數據的擷取。

(7)將螺絲鬆脫並進行退模，將工件取出並把工件潤滑劑擦拭乾淨。

(8)整理實驗所得數據(時間、位移、負荷)。

4-3 實驗設備

以下針對本實驗過程中所使用的設備逐一介紹如下：

一、密閉式恆溫加熱爐

本實驗中用以對實驗材料進行退火處理，如圖 4.1 所示，加熱爐最大加熱溫度 990℃，溫度控制的精確度± 1.0℃，並新加裝定時開關控制器，在主控制面板上可設定加熱溫度與到達該溫度後之持溫時間。

二、4000KN 油壓式金屬成形試驗機

此設備為東京試驗機製作所的 SVU-4000-03 金屬成形試驗機，本機組包含了工作主機，如圖 4.2 所示，與控制箱，如圖 4.3 所示，從控制箱可控制加工的位移，及輸出加工中的位移信號，但無法顯示鍛造負荷，必須外接放大器，再將外接電路接上 PCL-812PG-B 介面卡輸出位移與負荷等數據至 PC 上再儲存，油壓式金屬成形試驗機的性能與規格，如表 4.2 所示。