習題 6.1
習題 6.1-1
下圖四邊形 ABCD 中，∠D＝85°、∠A＝95°、∠B＝86°，則：
(1) 與 是否平行？為什麼？
(2) 與 是否平行？為什麼？
(3) 四邊形 ABCD 是哪一種四邊形？為什麼？
想法：(1) 兩直線平行的條件為：1. 同位角相等 2. 內錯角相等 3. 同側內角互補 (2) 梯形為一組對邊平行的四邊形
解：
敘述 理由
(1) ∥
(2) 與 不平行
(3) 四邊形 ABCD 是梯形
已知∠D＝85°、∠A＝95° ＆
∠A＋∠D＝95°＋85°＝180°(同側內角互補) 已知∠A＝95°、∠B＝86° ＆
∠A＋∠B＝95°＋86°＝181°(同側內角不互補) 梯形定義
如下圖，L1∥L2，M1∥M2，四條直線互相交於 A、B、C、D 四點，已知
∠1＝65°，則
(1) ABCD 是哪一種四邊形？
(2) 求∠2、∠3。
想法：(1) 二組對邊都平行的四邊形為平行四邊形 (2) 若兩直線平行，則：1. 同位角相等 2. 內錯角相等 3. 同側內角互補 解：
敘述 理由
(1) ABCD 是平行四邊形 (2) ∠DAB＝∠1＝65°
(3) ∠DAB＋∠3＝180°
(4) ∠3＝180°－∠DAB＝115°
(5) ∠DCB＋∠3＝180°
(6) ∠DCB＝180°－∠3＝65°
(7) ∠2＝∠DCB＝65°
已知 L1∥L2，M1∥M2 ＆ 平行四邊形定義 對頂角相等 ＆ 已知∠1＝65°
已知 M1∥M2 ＆ 同側內角互補 由(3)移項 ＆ (2) ∠DAB＝65°
已知 L1∥L2 ＆ 同側內角互補 由(5)移項 ＆ (4) ∠3＝115°
對頂角相等 ＆ (6) ∠DCB＝65°
習題 6.1-3
已知：四邊形 ABCD 中，∠A＝135°，∠B＝45°，∠C＝135°，∠D＝45°
求證：ABCD 為平行四邊形
想法：(1) 兩直線平行的條件為：1. 同位角相等 2. 內錯角相等 3. 同側內角互補 (2) 二組對邊都平行的四邊形為平行四邊形 證明：
敘述 理由
(1) ∠B＋∠C＝45°＋135°＝180°
(2) ∥
(3) ∠A＋∠B＝135°＋45°＝180°
(4) ∥
(5) ABCD 是平行四邊形
已知∠B＝45°，∠C＝135°
由(1) ＆ 同側內角互補則兩直線互相平行 已知∠A＝135°，∠B＝45°
由(3) ＆ 同側內角互補則兩直線互相平行 由(2) ＆ (4) ＆ 平行四邊形定義(兩組對邊 平行的四邊形為平行四邊形)
試證明平行四邊形若有一角為直角，則為矩形。
已知：ABCD 為平行四邊形，A＝90
求證：ABCD 為矩形
想法：(1) 平行四邊形兩組對邊平行
(2) 若兩直線平行，則：1. 同位角相等 2. 內錯角相等 3. 同側內角互補 (3) 四個角都為直角的平行四邊形為矩行 證明：
敘述 理由
(1) ∥ ＆ ∥
(2) A＋B＝180
(3) B＝180－A＝180－90＝90
(4) A＋D＝180
(5) D＝180－A＝180－90＝90
(6) B＋C＝180
(7) C＝180－B＝180－90＝90
(8) 所以A＝B＝C＝D＝90
(9) 所以 ABCD 為矩形
已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 平行四邊形兩組對邊平行
由(1) ∥ ＆ 同側內角互補 由(2) 移項 ＆ 已知A＝90
由(1) ∥ ＆ 同側內角互補 由(4) 移項 ＆ 已知A＝90
由(1) ∥ ＆ 同側內角互補 由(6) 移項 ＆ (3) B＝90 已證 已知A＝90 ＆ (3)、(5)、(7) 已證 由(8) ＆ 已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 四個角都為直角的平行四邊形為矩行
習題 6.1-5
若一平行四邊形的兩鄰邊相等，試證明此四邊形為正方形或菱形。
本題分為以下兩種情況討論：
情況一：只考慮邊長，情形如下
已知：ABCD 為平行四邊形， ＝ ， 求證：ABCD 為菱形。
想法：四邊相等的平行四邊形為菱形
圖(a) 解：
敘述 理由
(1) 作 ，如上圖(a) (2) ∥ ＆ ∥
(3) 在△ABD 與△CDB 中
1＝2
＝
3＝4
(4) △ABD △CDB (5) ＝ ＆ ＝ (6) 所以 ＝ ＝ ＝ (7) ABCD 為菱形
作圖，兩點可作一線段
已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 平行四邊形兩組對邊平形 如圖所示
由(2) ∥ ＆ 內錯角相等 共同邊
由(2) ∥ ＆ 內錯角相等 由(3) ＆ 根據 A.S.A.三角形全等定理 由(4) ＆ 兩全等三角形之對應邊相等 由(5) ＆ 已知 ＝ 遞移律
已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ (6) 已證
＆ 四邊相等的平行四邊形為菱形
已知：ABCD 為平行四邊形， ＝ 且A＝90，
求證：ABCD 為正方形。
想法：(1) 平行四邊形的四個角都是直角稱為長方形或矩形 (2) 四邊都相等的矩形就叫正方形
解：
敘述 理由
(1) ∥ ＆ ∥
(2) A＋D＝180
(3) D＝180－A＝180－90＝90
(4) A＋B＝180
(5) B＝180－A＝180－90＝90
(6) C＋B＝180
(7) C＝180－B＝180－90＝90
(8) A＝B＝C＝D＝90
(9) 四邊形 ABCD 為矩形
(10) ＝ ＝ ＝ (11) 所以 ABCD 為正方形
已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 平行四邊形兩組對邊平行
由(1) ∥ ＆ 同側內角互補 由(2) 移項 ＆ 已知A＝90
由(1) ∥ ＆ 同側內角互補 由(4) 移項 ＆ 已知A＝90
由(1) ∥ ＆ 同側內角互補 由(6) 移項 ＆ (5) B＝90 已證 由(3)、(5)、(7) 已證 ＆ 已知A＝90
已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ (8) ＆ 平行四邊形的四個角都是直角稱為矩形 由本題情況一可得知
由(9)、(10) ＆ 四邊都相等的矩形就叫 正方形
由情況一與情況二的結果，證明了若一平行四邊形的兩鄰邊相等，則此四邊形為 正方形或菱形。
習題 6.1-6
試證矩形的對角線相等。
已知：ABCD 為矩形， 與 為兩對角線，
求證： ＝ 。
想法：利用全等三角形之對應邊相等 證明：
敘述 理由
(1) ABC＝CDA＝DCB (2) ∥ ＆ ∥
(3) 在△ABC 與△CDA 中
ABC＝CDA
BAC＝DCA
＝
(4) △ABC △CDA (5) ＝
(6) 在△ABC 與△DCB 中
＝
ABC＝DCB
＝
(7) △ABC △DCB (8) ＝
已知 ABCD 為矩形 ＆ 矩形四個角皆為直角 已知 ABCD 為矩形 ＆ 矩形為四個角皆為直角 的平行四邊形 ＆ 平行四邊形兩組對邊平行 如圖所示
由(1) ABC＝CDA
由(2) ∥ ＆ 內錯角相等 共同邊
由(3) ＆ 根據 A.A.S.三角形全等定理 由(4) ＆ 兩全等三角形對應邊相等 如圖所示
由(5) ＝ 已證
由(1) ABC＝DCB 已證 共同邊
由(6) ＆ 根據 S.A.S.三角形全等定理 由(7) ＆ 兩全等三角形對應邊相等
習題 6.2-1
平行四邊形的對角線分原圖形為兩個全等的三角形。
已知：ABCD 為平行四邊形， 對角線 求證：△ABC △CDA
想法：平行四邊形兩組對邊相等且兩組對角相等 證明：
敘述 理由
(1) 在△ABC 與△CDA 中
＝
B＝D
＝
(2) △ABC △CDA
如圖所示
已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊相等 已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對角相等 已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊相等 由(1) ＆ 根據 S.A.S.三角形全等定理
習題 6.2-2
若一平行四邊形的三邊長分別為 5、8、5，則第四個邊長為 。 想法：利用平行四邊形兩組對邊等長，求出第四個邊
解：
敘述 理由
(1) 第四個邊長為 8 平行四邊形兩組對邊等長
習題 6.2-3
如下圖，平行四邊形 ABCD 中，若 ＝3x＋1， ＝6， ＝7，求 x＝？
想法：利用平行四邊形兩組對邊等長，求 x 之值 解：
敘述 理由
(1) ＝ (2) 7＝3x＋1 (3) x＝2
已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊相等 由(1) ＆ 已知 ＝3x＋1， ＝7 由(2) ＆ 解一元一次方程式
如下圖，平行四邊形 ABCD 中， ＋ ＝10， ＋ ＝20，求 ＋ 。
想法：利用平行四邊形兩組對邊等長，分別求出 與 ，再算 ＋ 之值
解：
敘述 理由
(1) ＝
(2) ＋ ＝10 (3) ＋ ＝10 (4) ＝5 (5) ＝
(6) ＋ ＝20 (7) ＋ ＝20 (8) ＝10
(9) ＋ ＝5＋10＝15
已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊相等 已知
將(1) ＝ 代入(2) 由(3) ＆ 解一元一次方程式
已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊相等 已知
將(5) ＝ 代入(6) 由(7) ＆解一元一次方程式 由(4) ＝5 ＆ (8) ＝10
習題 6.2-5
如下圖，平行四邊形 ABCD 中， ＝6， ＝7， ＝3x＋1， ＝y－4，
求 xy。
想法：利用平行四邊形兩組對邊等長，分別求出 x 與 y，再算 xy 之值 解：
敘述 理由
(1) ＝ (2) 3x＋1＝7 (3) x＝2 (4) ＝ (5) y－4＝6 (6) y＝10
(7) xy＝2×10＝20
已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊相等 由(1) ＆ 已知 ＝3x＋1 ＆ ＝7 由(2) ＆ 解一元一次方程式
已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊相等 由(4) ＆ 已知 ＝y－4 ＆ ＝6 由(5) ＆解一元一次方程式
由(3) ＆ (6)
如下圖，平行四邊形 ABCD 中， ＋ ＋ ＋ ＝64， ＝12，求 。
想法：利用平行四邊形兩組對邊相等，求 之值
解：
敘述 理由
(1) ＝ ＆ ＝ (2) ＋ ＋ ＋ ＝64 (3) ＋ ＋ ＋ ＝64 (4) 2( ＋ )＝64
(5) ＋ ＝32 (6) 12＋ ＝32 (7) ＝32－12＝20
已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊相等 已知
將 (1) ＝ ＆ ＝ 代入 (2) 由(3) 整理後提出 2
由(4) 等量除法，等式兩邊同除以 2 將已知 ＝12 代入(5) ＋ ＝32 由(6) 移項
習題 6.2-7
如下圖，平行四邊形 ABCD 中，2 ＝ ，且 ＋ ＋ ＋ ＝24，
求 。
想法：利用平行四邊形兩組對邊相等，求 之值
解：
敘述 理由
(1) ＝ ＆ ＝ (2) ＋ ＋ ＋ ＝24 (3) ＋ ＋ ＋ ＝24 (4) 2( ＋ )＝24
(5) ＋ ＝12 (6) ＋2 ＝12 (7) ＝4
(8) ＝ ＝4
已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊相等 已知
將 (1) ＝ ＆ ＝ 代入 (2) 由(3) 整理後提出 2
由(4) 等量除法，等式兩邊同除以 2 將已知 ＝2 代入 (5)
由(6) ＆ 解一元一次方程式 由(7) ＝4 ＆ (1) ＝
如下圖，平行四邊形 ABCD 中，2 ＝ ，且 和 的差為 5，
求 ＋ ＋ ＋ ＝？
想法：(1) 利用已知條件求出 和 之值，
(2) 再利用平行四邊形兩組對邊相等，計算出 ＋ ＋ ＋ 之值 解：
敘述 理由
(1) ＝ ＆ ＝ (2) 2 ＝
(3) ＝1 2 (4) ＜
(5) ＝ －5 (6) 1
2 ＝ －5 (7) ＝10
(8) ＝ －5＝10－5＝5 (9) 所以 ＋ ＋ ＋
＝ ＋ ＋ ＋
＝5＋5＋10＋10
＝30
已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊相等 已知
由(2) 等號兩邊同×1 2 由(3)
已知 和 的差為 5 ＆ (4) ＜ 將(3) ＝1
2 代入(5) ＝ －5 由(6) ＆ 解一元一次方程式
將(7) ＝10 代入 (5) ＝ －5 題目所求列式
將(1) ＝ ＆ ＝ 代入 將(7) ＝10 ＆ (8) ＝5 代入 加法運算
習題 6.2-9
如下圖，平行四邊形 ABCD 中，∠A＝105°，求∠B、∠C、∠D。
想法：(1) 先利用平行四邊形對邊互相平行 ＆ 同側內角互補的性質求出∠B 後，
(2) 再利用平行四邊形對角相等求出∠C 與∠D 解：
敘述 理由
(1) ∥
(2) ∠A＋∠B＝180°
(3) ∠B＝180°－∠A＝75°
(4) ∠D＝∠B＝75°
(5) ∠C＝∠A＝105°
已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊互相平行 由(1) ∥ ＆ 同側內角互補
由(2) 移項 ＆ ∠A＝105°
ABCD 為平行四邊形 ＆ 對角相等 ＆ 由(3) ∠B＝75° 已證
ABCD 為平行四邊形 ＆ 對角相等 ＆ 已知∠A＝105°
如下圖， ∥ ∥ ∥ ， ∥ ∥ ∥ ，如果∠G＝65°，則 下列敘述何者正確？
(A)∠1＝65° (B)∠H＝115° (C)∠K＝115° (D)∠8＝115°
想法：(1) 利用平行線同側內角互補先求出∠2 的度數，
(2) 再利用對頂角相等求出∠1 的度數，
(3) 接著利用平行四邊形對角相等的性質求出∠3 的度數，
(4) 最後再反覆利用對頂角相等、同側內角互補與平行四邊形對角相等的 性質，依序求出∠4、∠H、∠5、∠6、∠K、∠7 與∠8 之度數 解：
敘述 理由
(1) ∥ ∥ ∥ (2) ∥ ∥ ∥
(3) PGQB、QCRH、RKID 皆為平行四邊形
(4) 在平行四邊形 PGQB 中 (5) ∠G＋∠2＝180°
(6) 65°＋∠2＝180°
(7) ∠2＝180°－65°＝115°
(8) ∠1＝∠2＝115°
(9) ∠3＝∠2＝115°
(10) 在平行四邊形 QCRH 中 (11) ∠4＝∠3＝115°
已知 已知
由(1) ＆ (2) 兩組對邊平行為平行四邊形
如圖所示
由(1) ∥ ＆ 同側內角互補 將已知∠G＝65° 代入(5)中 由(6) 移項
對頂角相等 ＆ 由(7) ∠2＝115° 已證 由(3) PGQB 為平行四邊形 ＆ 對角相等 如圖所示
對頂角相等 ＆ 由(9) ∠3＝115° 已證
(12) ∠5＝∠4＝115°
(13) ∠H＝180°－∠4 (14) ∠H＝180°－115°＝65°
(15) 在平行四邊形 RKID 中 (16) ∠6＝∠5＝115°
(17) ∠7＝∠6＝115°
(18) ∠K＝180°－∠6
(19) ∠K＝180°－115°＝65°
(20) ∠8＝∠7＝115°
(21) 所以答案選(D)∠8＝115°
由(3) QCRH 為平行四邊形 ＆ 對角相等 由(2) ∥ ＆ 同側內角互補
將(11) ∠4＝115° 代入 (13) 如圖所示
對頂角相等 ＆ 由(12) ∠5＝115° 已證 由(3) RKID 為平行四邊形 ＆ 對角相等 由(1) ∥ ＆ 同側內角互補 將(16) ∠6＝115° 代入 (18)
對頂角相等 ＆ 由(17) ∠7＝115° 已證 由(20) 已證
如下圖，過△ABC 三頂點作對邊的平行線，三線交於 D、E、F 三點，若
∠BAD＝50°，求∠DFE。
想法：(1) 兩組對邊平行為平行四邊形 (2) 平行四邊形對角相等
解：
敘述 理由
(1) ∥
(2) ∠ABC＝∠BAD＝50°
(3) 四邊形 ABCF 中 (4) ∥ ＆ ∥
(5) 四邊形 ABCF 為平行四邊形 (6) ∠DFE＝∠AFC＝∠ABC＝50°
已知過△ABC 三頂點作對邊的平行線 由(1) 內錯角相等 ＆ 已知∠BAD＝50°
如圖所示
已知過△ABC 三頂點作對邊的平行線 由(4) 兩組對邊平行為平行四邊形 由(5) 平行四邊形對角相等
習題 6.2-12
如下圖， // // ， // // ，若∠A＝110°，求∠GKF。
想法：(1) 兩組對邊平行為平行四邊形 (2) 平行四邊形對角相等
解：
敘述 理由
(1) ∥ ＆ ∥ (2) AEKG 為平行四邊形 (3) ∠GKE＝∠A＝110°
(4) ∠GKF＋∠GKE＝180°
(5) ∠GKF＋110°＝180°
(6) ∠GKF＝180°－110°＝70°
已知
由(1) ＆ 兩組對邊平行為平行四邊形 由(2) ＆ 平行四邊形對角相等
如圖所示 ∠GKF 與∠GKE 互為補角 由(4) ＆ (3)∠GKE＝110° 已證 由(5) 移項
如下圖，平行四邊形 ABCD 中，∠A＝（3x＋4）°，∠C＝（4x－13）°，求：
(1) x 之值
(2) ∠A、∠B、∠C、∠D
想法：(1) 平行四邊形兩組對角相等 (2) 同側內角互補
解：
敘述 理由
(1) ∠C＝∠A (2) 4x－13＝3x＋4
(3) x＝17
(4) ∠A＝（3x＋4）°＝(3×17＋4)°＝55°
(5) ∠C＝（4x－13）°＝(4×17－13)°＝55°
(6) ∥
(7) ∠A＋∠B＝180°
(8) ∠B＝180°－∠A＝180°－55°＝125°
(9) ∠D＝∠B＝125°
ABCD 為平行四邊形 ＆ 對角相等 由(1) ＆ ∠C＝（4x－13）°
＆ ∠A＝（3x＋4）°
由(2) ＆ 解一元一次方程式 將(3) 代入∠A＝（3x＋4）°
將(3) 代入∠C＝（4x－13）°
ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊平行 由(6) ∥ ＆ 同側內角互補 由(7)移項 ＆ (4) ∠A＝55°已證 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對角相等
＆ 由(8) ∠B＝125°已證
習題 6.2-14
如下圖，平行四邊形 ABCD 中，∠B＝3∠A－20°，求∠A、∠B、∠C、
∠D。
想法：(1) 同側內角互補
(2) 平行四邊形兩組對角相等 解：
敘述 理由
(1) ∥
(2) ∠A＋∠B＝180°
(3) ∠A＋3∠A－20°＝180°
(4) ∠A＝50°
(5) ∠B＝3∠A－20°＝3×50°－20°＝130°
(6)∠C＝∠A＝50°
(7) ∠D＝∠B＝130°
ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊平行
∥ ＆ 同側內角互補 由(2) ＆ 已知∠B＝3∠A－20°
由(3) ＆ 解一元一次方程式 將(4)代入已知∠B＝3∠A－20°
ABCD 為平行四邊形 ＆ 對角相等
＆ 由(4) ∠A＝50° 已證
ABCD 為平行四邊形 ＆ 對角相等
＆ 由(5) ∠B＝130° 已證
如下圖，平行四邊形 ABCD 中，∠A＝（5y＋40）°，∠B＝4x°， ∠D＝40°，
求 x＋y。
想法：(1) 同側內角互補
(2) 平行四邊形兩組對角相等 解：
敘述 理由
(1) ∠B＝∠D (2) 4x°＝40°
(3) x＝10 (4) ∥
(5) ∠A＋∠D＝180°
(6) （5y＋40）°＋40°＝180°
(7) y＝20
(8) x＋y＝10＋20＝30
已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對角相等 由(1) ＆ 已知∠B＝4x° ＆ ∠D＝40°
由(2) ＆ 解一元一次方程式
已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊平行 由(4) ∥ ＆ 同側內角互補
由(5) ＆ 已知∠A＝（5y＋40）° ＆ ∠D＝40°
由(6) ＆ 解一元一次方程式 由(3) x＝10 ＆ (7) y＝20 已證
習題 6.2-16
如下圖，平行四邊形 ABCD 中， 為對角線，且∠D＝55，∠ACD＝70，
求：(1)∠BAC (2)∠ACB
想法：(1) 內錯角相等
(2) 平行四邊形對角相等 解：
敘述 理由
(1) ∥
(2)∠BAC＝∠ACD＝70°
(3) ∠B＝∠D＝55°
(4) 三角形 ABC 中
∠ACB＋∠B＋∠BAC＝180°
(5) ∠ACB＋55°＋70°＝180°
(6) ∠ACB＝180°－55°－70°
＝55°
已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊平行 由(1) ∥ ＆ 內錯角相等 ＆ 已知∠ACD＝70°
已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對角相等 ＆ 已知∠D＝55°
如圖所示
三角形內角和 180°
將(3) ∠B＝55°已證 ＆ (2) ∠BAC＝70°已證 代入(4)得
由(6) 移項
如下圖，平行四邊形 ABCD 中，E、F 分別在 、 上，且∠D＝66°，
∠EFB＝48°， ＝5， ＝18，求：
(1) ∠BEF。 (2) 。
想法：(1) 利用已知∠D＝66°＆ 平行四邊形對角相等，可得知∠B＝∠D＝66°
(2) 利用∠EFB＝48°、∠B＝66° ＆ 三角形內角和 180°，可得知
∠BEF＝66°
(3) 利用上述所得∠B＝∠BEF＝66° ＆ 兩底角相等為等腰三角形，可得 知三角形 BFE 為等腰三角形
(4) 利用三角形 BFE 為等腰三角形 ＆ 等腰三角形兩腰等長，可得知
＝
(5) 利用已知 ＝18 ＆ 平行四邊形對邊相等，可得知 ＝ ＝18 (6) 利用上述 ＝18 ＆ 已知 ＝5，可得知 ＝ － ＝18－5＝13 (7) 最後利用上述 ＝ ＆ ＝13，可得知 ＝ ＝13
解：
敘述 理由
(1) ∠B＝∠D＝66°
(2) 三角形 BFE 中
(3)∠BEF＋∠B＋∠EFB＝180°
(4) ∠BEF＋66°＋48°＝180°
(5) ∠BEF＝180°－66°－48°＝66°
(6) 三角形 BFE 中
ABCD 為平行四邊形 ＆ 對角相等 ＆ 已知∠D＝66°
如圖所示
三角形內角和 180°
由(3) ＆ (1)∠B＝66°已證 ＆ 已知∠EFB＝48°
由(4)移項 如圖所示
(7) ∠BEF＝∠B＝66°
(8) 三角形 BFE 為等腰三角形 (9) ＝
(10) 平行四邊形 ABCD 中 (11) ＝ ＝18
(12) ＝ － ＝18－5＝13 (13) ＝ ＝13
由(1) ＆ (5) 已證
由(7) ＆ 等底角三角形為等腰三角形 由(8) ＆ 等腰三角形兩腰等長
如圖所示
ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊等長 ＆ 已知 ＝18
如圖所示 ＆ (11) ＝18 ＆ 已知 ＝5 由(9) ＝ ＆ (12) ＝13 已證
習題 6.2-18
ABCD 為平行四邊形，兩對角線交於 O 點。如果 ＝6， ＝4.2，
則 ＝______， ＝______。
想法：平行四邊形對角線互相平分 解：
敘述 理由
(1) ABCD 為平行四邊形
(2) 與 為對角線且相交於 O 點 (3) ＝ ＝
2 1 ＝
2
1×4.2＝2.1
(4) ＝ ＝ 2
1 ＝
2
1×6＝3
已知 已知
由(1)、(2) ＆ 平行四邊形對角線互相 平分 ＆ 已知 ＝4.2
由(1)、(2) ＆ 平行四邊形對角線互相 平分 ＆ 已知 ＝6
如下圖，平行四邊形 ABCD 中，對角線 和 相交於 O 點，
若 ＝2y－2， ＝x＋2， ＝－x＋7， ＝3y－4，求：
(1) (2)
想法：平行四邊形對角線互相平分 解：
敘述 理由
(1) ABCD 為平行四邊形
(2) 與 為對角線且相交於 O 點 (3) ＝ ＝
2 1
(4) 2y－2＝x＋2 (5) ＝ ＝
2 1
(6) －x＋7＝3y－4 (7) x＝2，y＝3 (8) ＝ ＋
＝2y－2＋x＋2 ＝2y＋x＝2×3＋2＝8 (9) ＝ ＋
＝－x＋7＋3y－4
＝－x＋3y＋3＝－2＋3×3＋3 ＝10
已知 已知
由(1)、(2) ＆ 平行四邊形對角線互相 平分 ＝
由(3) ＆ 已知 ＝2y－2， ＝x＋2 由(1)、(2) ＆ 平行四邊形對角線互相
平分 ＝
由(5) ＆ 已知 ＝－x＋7 ， ＝3y－4 由(4) ＆ (6) 解二元一次聯立方程式 全量等於分量之和 ＆ ＝2y－2，
＝x＋2 ＆ (7) x＝2，y＝3 已證
全量等於分量之和 ＆ ＝－x＋7 ，
＝3y－4 ＆ x＝2，y＝3 已證
習題 6.2-20
如下圖所示，ABCD 為長方形，對角線 和 相交於 O 點，若 ＝10，
則 ＝？
想法：長方形兩對角線等長 解：
敘述 理由
(1) ＝ ＝10 已知 ABCD 為長方形，對角線 和 相交於 O 點 ＆ 長方形兩對角線等長 ＆ 已知 ＝10
習題 6.2-21
如下圖，四邊形 ABCD 中， ∥ ，且 ＝10， ＝10，則 ABCD 是否 為平行四邊形？
想法：一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形 解：
敘述 理由
(1) 四邊形 ABCD 中 ∥
＝
(2) ABCD 為平行四邊形
如圖所示 已知 ∥
已知 ＝10， ＝10
由(1) ＆ 一組對邊平行且相等的四邊形為 平行四邊形定理
如下圖，四邊形 ABCD 中， ＝24， ＝27， ＝24， ＝27，則 ABCD 是否為平行四邊形？
想法：兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形 解：
敘述 理由
(1) 四邊形 ABCD 中
＝ ＝24
＝ ＝27
(2) 四邊形 ABCD 為平行四邊形
如圖所示 已知 已知
由(1) ＆ 兩組對邊相等的四邊形為平行四邊 形定理
習題 6.2-23
下列哪一組邊長不可以拼成平行四邊形？
(A) 7，8，7，8 (B) 4，5，5，4 (C) 6，7，9，7 (D) 1，2，2，1 想法：兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形 解：
敘述 理由
(1) 四邊長分別為 7，8，7，8 可拼成 平行四邊形
(2) 四邊長分別為 4，5，5，4 可拼成 平行四邊形
(3) 四邊長分別為 1，2，2，1 可拼成 平行四邊形
(4) 所以答案選(C) 四邊長分別為 6，7，9，7 不可拼成平行四邊形
兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形 定理
兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形 定理
兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形 定理
兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形 定理
習題 6.2-24
如下圖，四邊形 ABCD 中， ＝28， ＝22， ＝28， ＝22，則 ABCD 是否為平行四邊形？
想法：對角線互相平分的四邊形為平行四邊形 解：
敘述 理由
(1) 四邊形 ABCD 中
＝ ＝28
＝ ＝22
(2) ABCD 為平行四邊形
如圖所示 已知 已知 由(1) ＆
對角線互相平分的四邊形為平行四邊形定理
利用平行四邊形的判別方法，檢查下列各四邊形 ABCD 是否為平行四邊 形。若是，說明其判別方法。
(1)
(2) ∠A＝∠C
(3) ∥
想法：可以判斷平行四邊形之方法有：
1. 根據平行四邊形之定義：兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形 2. 兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形
3. 一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形 4. 兩組對角相等的四邊形為平行四邊形
5. 對角線互相平分的四邊形為平行四邊形
解：
敘述 理由
(1) 四邊形 ABCD 中，如圖所示
＝ ＝5
＝ ＝6
所以四邊形 ABCD 為平行四邊形
(2) 三角形 BEF 中
∠B＋∠BEF＋∠BFE＝180°
∠B＋58°＋56°＝180°
∠B＝180°－58°－56°＝66°
四邊形 ABCD 中，如圖所示
∠A＝∠C
∠B＝∠D＝66°
所以四邊形 ABCD 為平行四邊形
(3) 四邊形 ABCD 中，如圖所示
∥
＝
所以四邊形 ABCD 為平行四邊形
如圖所示 如圖所示 如圖所示
兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形 定理
如圖所示
三角形內角和 180°
∠BEF＝58° ＆ ∠BFE＝56°
移項 如圖所示 已知
已知∠D＝66° ＆ 已證∠B＝66°
兩組對角相等的四邊形為平行四邊形 定理
如圖所示 已知 已知
一組對邊平行且相等的四邊形為平行 四邊形定理
如下圖，△ABC 中，D、E 分別是 及 的中點。若 ＝8，則 ＝____。
想法：三角形的兩邊中點連線等於第三邊的一半 解：
敘述 理由
(1) △ABC 中， ＝ 2 1
(2) 8＝
2 1
(3) ＝8×2＝16
已知△ABC 中，D、E 分別是 及 的中點 ＆ 三角形的兩邊中點連線等於第三邊的一半
將已知 ＝8 代入(1) ＝ 2 1
由(2) ＆ 等量乘法公理(等式兩邊同乘以 2)
習題 6.2-27
下圖△ABC 中，已知 ＝7， ＝9， ＝8，且 D、E、F 分別是 、 、 的中點，則 ＋ ＋ ＝？
想法：三角形的兩邊中點連線等於第三邊的一半 解：
敘述 理由
(1) △ABC 中
D、F 分別是 、 的中點 (2) ＝
2 1 ＝
2 1×9＝
2 9
(3) D、E 分別是 、 的中點 (4) ＝
2 1 ＝
2
1×8＝4
(5) F、E 分別是 、 的中點 (6) ＝
2 1 ＝
2 1×7＝
2 7
(7) ＋ ＋ ＝ 2 9＋4＋
2 7＝12
如圖所示 已知
由(1) ＆ 三角形的兩邊中點連線等於 第三邊的一半 ＆ 已知 ＝9
已知
由(3) ＆ 三角形的兩邊中點連線等於 第三邊的一半 ＆ 已知 ＝8
已知
由(5) ＆ 三角形的兩邊中點連線等於 第三邊的一半 ＆ 已知 ＝7
由(3) ＆ (5) ＆(7) 加法
如下圖，ABCD 為任意四邊形，E、F、G、H 分別為 、 、 、 的 中點。若四邊形 ABCD 兩對角線之和為 50 公分， ＋ ＋ ＋ ＝？
想法：三角形的兩邊中點連線必平行第三邊且等於第三邊的一半 解：
敘述 理由
(1) 連接 A 點與 C 點，連接 B 點與 D 點，
且 與 相交於 I 點，如右圖所示
(2) ＋ ＝50 (3) △ABD 中
＝2 1
(4) △CBD 中
＝2 1
(5) △ABC 中
＝2 1
已知四邊形 ABCD 的對角線和為 50 如圖所示
已知 E、H 分別是 、 的中點
＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 如圖所示
已知 F、G 分別是 、 的中點
＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 如圖所示
已知 E、F 分別是 、 的中點
＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半
(6) △ACD 中
＝2 1
(7) 所以 ＋ ＋ ＋ ＝
2
1 ＋
2 1 ＋
2
1 ＋
2 1 ＝ ＋ ＝50
如圖所示
已知 G、H 分別是 、 的中點
＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 題目所求
由(3) ＝ 2
1 、(4) ＝ 2 1
(5) ＝ 2
1 、(6) ＝ 2 1
＆ (2) ＋ ＝50
習題 6.2-29
如下圖，L1∥L2∥L3∥L4且 ＝ ＝ ，若 ＝21，則 ＝？
想法：平行線截等線段定理 解：
敘述 理由
(1) ＝ ＝
(2) ＝ ＋ ＋ (3) 21＝ ＋ ＋ (4) ＝21÷3＝7
已知 L1∥L2∥L3∥L4且 ＝ ＝
＆ 平行線截等線段定理 全量等於分量之和
由(2) ＆ 已知 ＝21 ＆ (1) ＝ ＝ 由(3) 解一元一次方程式
下圖中， 及 皆為圓 O 的直徑，試證 ABCD 為一矩形。
A
B
O
C D
想法：(1) 同圓半徑等長
(2) 對角線互相平分的四邊形為平行四邊形 (3) 等腰三角形兩腰等長且兩底角相等 (4) 三角形三內角和為 180°
(5) 四個角都是直角的平行四邊形為矩形 證明：
敘述 理由
(1) ＝ ＝ ＝ 皆為圓 O 半徑
(2) ABCD 為平行四邊形
(3) △AOB 為等腰三角形 (4) ∠OBA＝∠OAB (5) △COB 為等腰三角形 (6) ∠OBC＝∠OCB (7) △ABC 中，
∠CAB＋∠ABC＋∠ACB＝180°
(8) ∠OAB＋(∠OBA＋∠OBC)＋∠OCB
＝180°
已知 及 皆為圓 O 的直徑 ＆ 同圓半徑等長
由(1) ＆ 對角線互相平分的四邊形 為平行四邊形
由(1) ＝ ＆等腰三角形定義 由(3) ＆ 等腰三角形兩底角相等 由(1) ＝ ＆等腰三角形定義 由(5) ＆ 等腰三角形兩底角相等 如圖所示
三角形內角和為 180°
由(7) ＆ ∠CAB＝∠OAB、
∠ABC＝∠OBA＋∠OBC、
∠ACB＝∠OCB
(9) ∠OBA＋∠OBA＋∠OBC＋∠OBC
＝180°
(10) 2(∠OBA＋∠OBC)＝180°
(11) ∠OBA＋∠OBC＝180°÷2＝90°
(12) 所以∠ABC＝90°
(13) 同理可證：
∠BCD＝∠ADC＝∠DAB＝90°
(14) ∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠DAB
＝90°
(15) 所以 ABCD 為一矩形
由(8) ＆ (4)∠OBA＝∠OAB 已證
＆ (6) ∠OBC＝∠OCB 已證 由(9) 整理提出公因數 2 由(10) 等量除法公理
由(11)＆∠OBA＋∠OBC＝∠ABC
△AOD、△COD 亦為等腰三角形
＆ 由(3) ~ (12) 由(12) ＆ (13)
由(2) ＆ (14) 四個角都是直角的 平行四邊形為矩形
三角形 ABC 中，D 為 中點，E 為 中點， 及 兩線相交於 O 點，G 為 中點，H 為 中點，試證 DEHG 為平行四邊形。
H G
O D E
A
B C
想法：(1) 三角形的兩邊中點連線平行的三邊且等於第三邊的一半 (2) 可以判斷平行四邊形之方法有：
1. 根據平行四邊形之定義：兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形 2. 兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形
3. 一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形 4. 兩組對角相等的四邊形為平行四邊形
5. 對角線互相平分的四邊形為平行四邊形 證明：
敘述 理由
(1) △ABC 中
∥ ＆ ＝ 2 1
(2) △OBC 中
∥ ＆ ＝ 2 1
(3) ∥ (4) ＝
(5) 四邊形 DEHG 為平行四邊形
如圖所示
已知 D 為 中點，E 為 中點 ＆ 三角形的兩邊中點連線平行的三邊且等於 第三邊的一半
如圖所示
已知 G 為 中點，H 為 中點 ＆ 三角形的兩邊中點連線平行的三邊且等於 第三邊的一半
由(1) ∥ ＆ (2) ∥ 遞移律 由(1) ＝
2
1 ＆ (2) ＝ 2
1 遞移律 由(3) ＆ (4) 一組對邊平行且相等的四邊形 為平行四邊形
習題 6.3
習題 6.3-1：
如下圖，梯形 ABCD 中， ＝19， ＝11，求中線 的長。
想法：梯形的兩腰中點連線等於兩底和的一半 解：
敘述 理由
(1) ＝( ＋ )÷2
＝(19＋11)÷2＝15
已知 為梯形 ABCD 的中線 ＆
梯形的兩腰中點連線等於兩底和的一半
習題 6.3-2：
已知一梯形的下底比上底長 18 公分，且中線長為 20 公分，求：
(1)上底的長 (2)下底的長
想法：梯形的兩腰中點連線等於兩底和的一半 解：
敘述 理由
(1) 假設上底為 x 公分、下底為 x＋18 公分 (2) 20＝[x＋(x＋18)]÷2
(3) x＝11
(4) 上底為 x＝11 公分
(5) 下底為 x＋18＝11＋18＝29 公分
已知下底比上底長 18 公分 ＆ 假設 由(1) ＆ 已知中線長為 20 公分 ＆ 梯形的中線等於兩底和的一半 由(2) 解一元一次方程式
由(1) 上底為 x 公分 ＆ (3) x＝11 由(2) 下底為 x＋18 公分 ＆ (4) x＝11
如下圖，梯形 ABCD 中，E、G、P 四等分 ，F、H、Q 四等分 ，已知 ＝31， ＝59，求 ＋ ＋ ＋ ＋ 。
想法：梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於兩底和的一半 解：
敘述 理由
(1) G 為 中點 ＆ E 為 中點 ＆ P 為 中點
(2) H 為 中點 ＆ F 為 中點 ＆ Q 為 中點
(3) 梯形 ABCD 中， 為梯形中線 (4) ＝( ＋ )÷2
＝(31＋59)÷2＝45 (5) ∥ ∥
(6) 四邊形 ADHG 為梯形
(7) 梯形 ADHG 中， 為梯形中線 (8) ＝( ＋ )÷2
＝(31＋45)÷2＝38 (9) 四邊形 GHCB 為梯形
(10) 梯形 GHCB 中， 為梯形中線 (11) ＝( ＋ )÷2
＝(45＋59)÷2＝52 (12) 所以 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝31＋38＋45＋52＋59 ＝225
已知 E、G、P 四等分 已知 F、H、Q 四等分
由(1) G 為 中點 ＆ (2) H 為 中點 梯形的兩腰中點連線等於兩底和的一半
＆ 已知 ＝31 ＆ ＝59 梯形的兩腰中點連線必平行兩底 由(5) ∥ ＆ 梯形定義
由(1) E 為 中點 ＆ (2)F 為 中點 梯形的兩腰中點連線等於兩底和的一半
＆ 已知 ＝31 ＆ (4) ＝45 已證 由(5) ∥ ＆ 梯形定義
由(1) P 為 中點＆ (2) Q 為 中點 梯形的兩腰中點連線等於兩底和的一半
＆ (4) ＝45 已證 ＆ 已知 ＝59 由已知 ＝31 ＆ ＝59
＆ (8) ＝38 ＆ (4) ＝45
＆ (11) ＝52 已證 加法運算
習題 6.3-4：
如下圖，梯形 ABCD 中，E、G、P 四等分 ，F、H、Q 四等分 ， 已知 ＝5， ＝8，求 。
想法：梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於兩底和的一半 解：
敘述 理由
(1) G 為 中點 ＆ E 為 中點 ＆ P 為 中點
(2) H 為 中點 ＆ F 為 中點 ＆ Q 為 中點
(3) 梯形 ABCD 中， 為梯形中線 (4) ＝( ＋ )÷2
(5) ∥ ∥
(6) 四邊形 ADHG 為梯形
(7) 梯形 ADHG 中， 為梯形中線 (8) ＝( ＋ )÷2
(9) 8＝(5＋ )÷2 (10) ＝11
(11) 11＝(5＋ )÷2 (12) ＝17
已知 E、G、P 四等分 已知 F、H、Q 四等分
由(1) G 為 中點 ＆ (2) H 為 中點 梯形的兩腰中點連線等於兩底和的一半 梯形的兩腰中點連線必平行兩底
由(5) ∥ ＆ 梯形定義
由(1) E 為 中點 ＆ (2)F 為 中點 梯形的兩腰中點連線等於兩底和的一半 將已知 ＝8 ＆ ＝5 代入(8) 由(9) ＆ 解一元一次方程式
將(10) ＝11 已證 ＆ 已知 ＝5 代 入(4)
由(11) ＆ 解一元一次方程式
如下圖，梯形 ABFE 中，
∥
， 為其中線，且四邊形 ABCD 為平行 四邊形，已知 ＝5， ＝11，求 。想法：(1) 梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於兩底和的一半 (2) 平行四邊形對邊等長
解：
敘述 理由
(1) ＝( ＋ )÷2
＝(5＋11)÷2
＝8 (2) ∥ ∥
(3) ∥ ＆ ∥
(4) 四邊形 ADHG 為平行四邊形
(5) ＝ ＝8 (6) ＝ ＋
(7) ＝ － ＝8－5＝3
已知梯形 ABFE 中， 為梯形中線 ＆ 梯形的兩腰中點連線等於兩底和的一半 ＆ 已知 ＝5， ＝11
已知 為梯形中線 ＆ 梯形的兩腰中點 連線必平行兩底
已知 ABCD 為平行四邊形＆兩組對邊平行 由(2) ∥ ＆ (3) ∥ 兩組對邊 平行為平行四邊形
由(4) 平行四邊形對邊等長 ＆ (1) ＝8 全量等於分量之和
由(6) 移項 ＆ (5) ＝8 ＆ 已知 ＝5
習題 6.3-6：
已知 、 分別為梯形 ABCD 與梯形 BPQC 的中線，若 ＝ ，
＝10，則 ＝？
想法：(1) 梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於兩底和的一半 (2) 一組對邊平行且相等為平行四邊形
證明：
敘述 理由
(1) ＝( ＋ )÷2 且 ∥
(2) ＝( ＋ )÷2 且 ∥
(3) 四邊形 EGHF 中
＝( ＋ )÷2 ＝( ＋ )÷2＝
(4) ∥ ∥
(5) 所以 EGHF 是平行四邊形
(6) ＝ ＝10
已知梯形 ABCD 中， 為梯形中線 ＆ 梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於 兩底和的一半
已知梯形 BPQC 中， 為梯形中線 ＆ 梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於 兩底和的一半
如圖所示
由(1) ＝( ＋ )÷2 ＆
已知 ＝ ＆ (2) ＝( ＋ )÷2 由(1) ∥ ＆ (2) ∥ 遞移律 由(3) ＝ ＆ (4) ∥ ＆ 一組對邊平行且相等為平行四邊形 由(5) 平行四邊形對邊等長 ＆ 已知 ＝10
已知：如下圖，梯形 ABCD 中， 為其中線， ⊥
求證： ＝
想法：(1) 梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於兩底和的一半 (2) 平行線截等線段定理
解：
敘述 理由
(1) ∥ ∥
(2) ＝ (3) 所以 ＝
已知梯形 ABCD 中， 為其中線 ＆ 梯形的兩腰中點連線必平行兩底 已知梯形 ABCD 中， 為其中線 由(1) ＆ (2) 平行線截等線段定理
習題 6.3-8 ( 梯形的中線平分其對角線 )
已知：如下圖，梯形 ABCD 中， 為其中線， 及 為其對角線。
求證： ＝ 且 ＝
H G
F E
B C
A D
想法：(1) 梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於兩底和的一半 (2) 平行線截等線段定理
解：
敘述 理由
(1) ∥ ∥
(2) ＝
(3) 所以 ＝ 且 ＝
已知梯形 ABCD 中， 為其中線 ＆ 梯形的兩腰中點連線必平行兩底 已知梯形 ABCD 中， 為其中線 由(1) ＆ (2) 平行線截等線段定理
已知：梯形 ABCD 中，E 為對角線 的中點，F 為對角線 的中點。
求證： ＝ 且 ＝
想法：平行線截等線段定理
圖(a) 證明：
敘述 理由
(1) 作 並延長 交 於 I 點，
如上圖(a)所示 (2) ∥
(3) 在△ADE 與△CIE 中 ∠DAE＝∠ICE ＝ ∠AED＝∠CEI
(4) △ADE △CIE (ASA) (5) ＝ ( 即 E 為 中點 ) (6) △BDI 中，
∥ ( 即 ∥ )
(7) 所以 ∥ ∥ (8) ＝ 且 ＝
作圖，兩點可決定一直線
已知 ABCD 為梯形 ＆ 梯形一組對邊平行 如圖所示
由(2) ∥ ＆ 兩平行線間內錯角相等 已知 E 為對角線 的中點
對頂角相等
由(3) ＆ 根據 A.S.A.三角形全等定理 由(4) ＆ 兩全等三角形之對應邊相等 如圖所示
已知 F 為 的中點 ＆ (5) E 為 中點 ＆ 三角形兩邊中點連線必平行第三邊
由(2) ∥ ＆ (6) ∥ 遞移律 由(7) ∥ ∥ ＆ (5) ＝
＆ 平行線截等線段定理
習題 6.3-10：
已知四邊形 ABCD 為等腰梯形， ∥ ，若∠B＝50°，則：
(1) ∠C＝？ (2) ∠D＝？
想法：(1) 等腰梯形兩底角相等 (2) 等腰梯形對角互補 解：
敘述 理由
(1) ∠C＝∠B＝50°
(2) ∠D＋∠B＝180°
(3) ∠D＝180°－∠B ＝180°－50°
＝130°
已知四邊形 ABCD 為等腰梯形 ＆ 等腰梯形兩底角相等
＆ 已知∠B＝50°
已知四邊形 ABCD 為等腰梯形 ＆ 等腰梯形對角互補 由(2) 移項 ＆ 已知∠B＝50°
已知四邊形 ABCD 為等腰梯形， ∥ ， 與 為兩對角線，若
＝5，則 ＝？
想法：等腰梯形兩對角線相等 解：
敘述 理由
(1) ＝ ＝5 已知四邊形 ABCD 為等腰梯形， 與 為兩對角線
＆ 等腰梯形兩對角線相等 ＆ 已知 ＝5
習題 6.3-12：
等腰梯形 ABCD 中， ∥ ，∠C＝80°，∠ABD＝30°，若 ＝6，求：
(1) ∠CBD (2) ∠CDB (3) 。
想法：(1) 等腰梯形兩底角及兩腰相等
(2) 兩底角相等的三角形為等腰三角形 解：
敘述 理由
(1) ∠ABC＝∠C＝80°
(2) ∠ABC＝∠CBD＋∠ABD (3) ∠CBD＝∠ABC－∠ABD
＝80°－30°＝50°
(4) ∠ADB＝∠CBD＝50°
(5) △BCD 中
∠CDB＋∠CBD＋∠C＝180°
(6) ∠CDB＝180°－∠CBD－∠C ＝180°－50°－80°
＝50°
(7) ∠CDB＝∠CBD＝50°
(8) △BCD 為等腰三角形 (9) ＝ ＝6
(10) ＝ ＝6
已知 ABCD 為等腰梯形 ＆ 兩底角相等 全量等於分量之和
由(2) 移項 ＆ (1) ∠ABC＝80° ＆ 已知∠ABD＝30°
已知 ∥ ＆ 內錯角相等 ＆ (3) ∠CBD＝50°
如圖所示
三角形內角和 180°
由(5) 移項 ＆ (3) ∠CBD＝50° ＆ 已知∠C＝80°
由(3) ＆ (6) 遞移律
由(7) ＆ 兩底角相等為等腰三角形定理 由(8) ＆ 等腰三角形兩腰等長 ＆ 已知 ＝6
已知 ABCD 為等腰梯形 ＆ 兩腰等長
＆ (9) ＝6
習題 6.4-1：
七邊形的內角和為 度。
想法：n 多邊形內角和( n－2 )180
解：
敘述 理由
(1) 七邊形的內角和為(7－2)×180°＝900° 已知 n 多邊形內角和( n－2 )180
習題 6.4-2：
有一 n 邊形，其內角和為 720°，則 n＝ 。 想法：n 多邊形內角和( n－2 )180
解：
敘述 理由
(1) ( n－2 )×180°＝720°
(2) n＝( 720°÷180° )＋2＝6
已知 n 邊形，其內角和為 720° ＆ n 多邊形內角和( n－2 )180
由(1) ＆ 解一元一次方程式
習題 6.4-3：
有一個六邊形的內角分別為 120°、95°、130°、115°、100°、x°，則 x＝ 。
想法：n 多邊形內角和( n－2 )180
解：
敘述 理由
(1) 六邊形的內角和為(6－2)×180°＝720°
(2) 120°＋95°＋130°＋115°＋100°＋x°＝720°
(3) x＝160
已知 n 多邊形內角和為 ( n－2 )180
由(1) ＆ 已知六邊形的內 角分別為 120°、95°、130°、
115°、100°、x°
由(2) 移項
習題 6.4-4：
有一個五邊形的內角分別是 130°、150°、（x＋40）°、（2x＋15）°、115°，則 x＝ 。
想法：n 多邊形內角和( n－2 )180
解：
敘述 理由
(1) 五邊形的內角和為(5－2)×180°＝540°
(2) 130°＋150°＋（x＋40）°＋（2x＋15）°＋115°＝540°
(3) x＝30
已知 n 多邊形內角和為 ( n－2 )180
由 (1) ＆ 已知 五邊形 的內角分別是 130°、
150°、（x＋40）°、
（2x＋15）°、115°
由 (3) ＆ 解一元一次 方程式
有一 n 邊形的一個內角為 100°，其餘內角皆為 110°，則 n＝ 。 想法： n 多邊形內角和( n－2 )180
解：
敘述 理由
(1) n 邊形的內角中，有一個內角為 100°，
有(n－1)個內角為 110°
(2) (n－2)×180°＝100°＋(n－1)×110°
(3) n＝5
已知 n 邊形的一個內角為 100°，
其餘內角皆為 110°
由(1) ＆
n 多邊形內角和( n－2 )180
由(2) ＆ 解一元一次方程式
例題 6.4-6：
已知某四邊形有兩個內角分別為 80°、90°，另外兩個內角相差 40°，則此四 邊形的最大內角為 度。
想法： n 多邊形內角和( n－2 )180
解：
敘述 理由
(1) 四邊形的內角和為(4－2)×180°＝360°
(2) 假設四邊行四個內角分別為 80°、90°、
x°、(x＋40)°
(3) 80°＋90°＋x°＋(x＋40)°＝360°
(4) x＝75
(5) 所以四邊行四個內角分別為 80°、90°、
75°、115°
(6) 此四邊形的最大內角為 115°
n 多邊形內角和( n－2 )180
已 知 四 邊 形 有 兩 個 內 角 分 別 為 80°、90°，另外兩個內角相差 40°
由(1) ＆ (2) 全量定理 由(3) ＆ 解一元一次方程式
將(4) x＝75 代入(2)四邊行四個內 角分別為 80°、90°、x°、(x＋40)°
由(5) ＆ 115°＞90°＞80°＞75°
例題 6.4-7：
如下圖，∠1＝80°，則∠2＋∠3＋∠C＋∠D＝________度。
想法：(1) 一個三角形內角和 180°
(2) n 多邊形內角和( n－2 )180
解：
敘述 理由
(1) 三角形 ABE 中，∠1＋∠4＋∠5＝180°
(2) ∠4＋∠5＝180°－∠1＝180°－80°＝100°
(3) ABCD 為四邊形，
四邊形的內角和為(4－2)×180°＝360°
(4) ∠BAD＋∠ABC＋∠C＋∠D＝360°
(5) (∠2＋∠4)＋(∠5＋∠3)＋∠C＋∠D＝360°
(6) ∠2＋∠3＋∠C＋∠D＋∠4＋∠5＝360°
(7) (∠2＋∠3＋∠C＋∠D)＋(∠4＋∠5)＝360°
(8) ∠2＋∠3＋∠C＋∠D＝360°－(∠4＋∠5) ＝360－100°＝260°
(9) 所以∠2＋∠3＋∠C＋∠D＝260°
已知三角形內角和 180°
由(1) 移項 ＆ 已知∠1＝80°
如圖所示
已知 n 多邊形內角和為 ( n－2 )180
由(3) ＆ 全量定理
由(4) ＆ ∠BAD＝∠2＋∠4
、∠ABC＝∠5＋∠3 由(5) ＆ 加法交換律 由(6) ＆ 加法結合律 由(7) 移項 ＆ (2) ∠4＋∠5°＝100°
由(8)
已知有一個正 n 邊形可分成 4 個三角形，則：
(1) n＝ 。
(2) 此正 n 邊形的內角和為 度。
(3) 此正 n 邊形的一個內角為 度。
想法：(1) n 邊形可分割成(n－2)個三角形 (2) n 多邊形內角和( n－2 )180
(3) 正 n 邊形的 n 個內角皆相等 解：
敘述 理由
(1) n 邊形可分割成(n－2)個三角形 (2) n－2＝4
(3) n＝6
(4) 此正 n 邊形的內角和為 (6－2) ×180°＝4×180°＝720°
(5) 此正 n 邊形的一個內角為 720°÷6＝120°
多邊形內角和定理-想法二
由(1) ＆ 已知 n 邊形可分成 n 個三角形 由(2) 移項
由(3) ＆ n 多邊形內角和( n－2 )180
由(4) ＆ 正 n 邊形的 n 個內角皆相等
習題 6.4-9：
有一正 n 邊形的每一個內角為 108°，求 n。
想法：正 n 多邊形一個內角的度數為( n－2 )×180°÷n 解：
敘述 理由
(1) ( n－2 )×180°÷n＝108°
(2) n＝5
已知正 n 邊形的每一個內角為 108° ＆ 正 n 多邊形一個內角的度數為( n－2 )×180°÷n 由(2) ＆ 解一元一次方程式
習題 6.4-10：
如下圖，正五邊形 ABCDE 中，F 為內部一點，使得△CDF 為正三角形，則 ∠BFC＝ 度，∠BFE＝ 度。
想法：(1) 正 n 多邊形一個內角的度數為( n－2 )×180°÷n (2) 等腰三角形兩腰相等且兩底角相等
(3) 周角為 360°
解：
敘述 理由
(1) 正五邊形 ABCDE 中 ∠BCD＝∠EDC
＝( 5－2 )×180°÷5＝108°
＆ ＝ ＝ (2) 正三角形 CDF 中
∠FCD＝∠CDF＝∠CFD
＝( 3－2 )×180°÷3＝60°
＆ ＝ ＝
(3) 三角形 BCF 中
＝
(4) 所以三角形 BCF 為等腰三角形 (5) ∠BCD＝∠BCF＋∠FCD (6) ∠BCF＝∠BCD－∠FCD ＝108°－60°＝48°
(7) ∠BFC＝( 180°－∠BCF )÷2 ＝( 180°－48° )÷2＝66°
如圖所示
正 n 多邊形一個內角的度數為 ( n－2 )×180°÷n
＆ 正五邊形五個邊等長 如圖所示
正 n 多邊形一個內角的度數為 ( n－2 )×180°÷n
＆ 正三角形三個邊等長 如圖所示
由(2) ＝ ＆ (1) ＝ 遞移律 由(3) ＆ 兩腰等長為等腰三角形
如圖所示，全量等於分量之和 由(5) 移項 ＆ (1) ∠BCD＝108° ＆ (2) ∠FCD＝60°
由(4) ＆ 等腰三角形底角與頂角之關係
＆ (6) ∠BCF＝48°
＝
(9) 所以三角形 DEF 為等腰三角形 (10) ∠CDE＝∠FDE＋∠CDF (11) ∠FDE＝∠CDE－∠CDF ＝108°－60°＝48°
(12) ∠EFD＝( 180°－∠FDE )÷2 ＝( 180°－48° )÷2＝66°
(13) 360°＝∠BFE＋∠EFD＋∠DFC ＋∠CFB
(14) ∠BFE＝360°－∠EFD－∠DFC －∠CFB
＝360°－66°－60°－66°
＝168°
由(2) ＝ ＆ (1) ＝ 遞移律 由(8) ＆ 兩腰等長為等腰三角形
如圖所示，全量等於分量之和
由(10) 移項 ＆ (1) ∠CDE＝108 ° ＆ (2) ∠CDF＝60°
由(9) ＆ 等腰三角形底角與頂角之關係
＆ (11) ∠FDE＝66°
如圖所示，全量等於分量之和 ＆ 周角為 360°
由(13) 移項 ＆ (12) ∠EFD＝66° ＆ (2) ∠DFC＝60° ＆ (7) ∠BFC＝66°
習題 6.4-11：
如下圖，四邊形 ABCD 中， ＝ ， ＝ ，求：
(1)∠1。 (2)∠2。 (3)∠3。
想法：(1) 四邊形內角和 360°
(2) 等腰三角形兩腰相等且兩底角相等 (3) 等腰三角形底角與頂角的關係 解：
敘述 理由
(1) 三形 CDF 為等腰三角形 (2) ∠DFC＝(180°－∠FDC)÷2 (3) ∠DFC＝(180°－40°)÷2＝70°
(4) ∠1＝180°－∠DFC (5) ∠1＝180°－70°＝110°
(6) 四邊形 ABCD 中，
(7) ∠1＋∠2＋∠EAD＋∠ADF＝360°
(8) 110°＋∠2＋75°＋55°＝360°
(9) ∠2＝360°－110°－75°－55°＝120°
(10) ∠AEB＝180°－∠2 (11) ∠AEB＝180°－120°＝60°
(12) 三形 ABE 為等腰三角形
已知 ＝
等腰三角形底角與頂角的關係 將已知∠FDC＝40°代入(2) 外角定義
將已知∠DFC＝70°代入(4) 如圖所示
四邊形內角和 360°
將已知∠EAD＝75°、∠ADF＝55°
＆ (5) ∠1＝110° 代入 (7) 由(8) 移項
外角定義
將(9) ∠2＝120°代入(10) 已知 ＝
等腰三角形底角與頂角的關係
(15) 所以∠1＝110°、∠2＝120°、∠3＝60° 由(5) ＆ (9) ＆ (14) 已證
習題 6.4-12：
如下圖，有一個六邊形的公園，其中∠FAB＝100°，小明從 P 點依逆時針方 向繞公園行走，最後到達 Q 點，則小明共轉了 度。
想法：任意凸多邊行一組外角和 360°
解：
敘述 理由
(1) 小明所轉的度數如右圖所示，
為(∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5)
(2) ∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6 為六邊形 ABCDEF 的一組外角
(3) ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°
(4) ∠6＝180°－∠FAB＝180°－100°＝80°
(5) ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋80°＝360°
(6) ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°－80°＝280°
如上圖所示
任意凸多邊行一組外角和 360°
如圖∠6 為∠FAB 的外角
＆ ∠FAB＝100°
將(4) ∠6＝80°代入(3) 由(5) 移項
習題 6.4-13：
有一個四邊形，其外角分別為 x°、（x＋5）°、（2x－7）°、42°，則 x＝ ， 最大外角為 度。
想法：任意凸多邊行一組外角和 360°
解：
敘述 理由
(1) 四邊行一組外角和 360°
(2) x°＋（x＋5）°＋（2x－7）°＋42°＝360°
(3) x＝80
(4) 四個外角分別為 80°、85°、153°、42°
(5) 最大外角為 153°
任意凸多邊行一組外角和 360°
由(1) ＆ 已知外角分別為 x°、（x＋5）°、（2x－7）°、42°
由(2) ＆ 解一元一次方程式 將(3) x＝80 代入已知外角分別為 x°、（x＋5）°、（2x－7）°、42°
由(4) ＆ 153°＞85°＞80°＞42°
若某六邊形的一組外角成等差數列，且最小外角為 10°，則最小內角為？
想法：(1) 任意凸多邊行一組外角和 360°
(2) 外角定義 解：
敘述 理由
(1) 假設六邊形的 6 個外角分別為
10°、(10＋d)°、(10＋2d)°、(10＋3d)°、
(10＋4d)°、(10＋5d)°
(2) 10°＋(10＋d)°＋(10＋2d)°＋(10＋3d)°
＋(10＋4d)°＋(10＋5d)°＝360°
(3) d＝20
(4) 六邊形的 6 個外角分別為 10°、30°、
50°、70°、90°、110°
(5) 六邊形的 6 個內角分別為
170°、150°、130°、110°、90°、70°
(6) 六邊形最小內角為 70°
已知某六邊形的一組外角成等差數 列，且最小外角為 10° ＆
假設外角的公差為 d
任意凸多邊行一組外角和 360°
＆ 由(1) 假設
由(2) ＆ 解一元一次方程式 將(3) d＝20 代入(1)
由(4) ＆ 外角定義
由(5)
170°＞150°＞130°＞110°＞90°＞70°
習題 6.4-15：
若某 n 邊形的內角和為其一組外角和的 5 倍，則此 n 邊形的內角和為 度。
想法：(1) 任意凸多邊行一組外角和 360°
(2) n 邊形的內角和為( n－2 )×180°
解：
敘述 理由
(1) (n－2)×180°＝5×360°
(2) n＝12
(3) 12 邊形的內角和為 (12－2)×180°＝10×180°
＝1800°
已知 n 邊形的內角和為其一組外角和的 5 倍
＆ n 邊形的內角和(n－2)×180° ＆ 任意凸多邊行一組外角和 360°
由(1) ＆ 解一元一次方程式
n 邊形的內角和為(n－2)×180° ＆ (2) n＝12
習題 6.4-16：
正十邊形的一個外角為 度。
想法：正 n 邊形的一個外角度數為 360°÷n 解：
敘述 理由
(1) 正十邊形的一個外角為 360°÷10＝36° 正 n 邊形的一個外角度數為 360°÷n
習題 6.4-17：
有一正 n 邊形，其每一個外角為 36°，則 n＝ 。 想法：正 n 邊形的一個外角度數為 360°÷n
解：
敘述 理由
(1) 360°÷n＝36°
(2) n＝360°÷36°＝10
正 n 邊形的一個外角度數為 360°÷n ＆ 已知正 n 邊形的一個外角為 36°
由(1) 移項
若有一正 n 邊形的一個內角為 108°，則 n＝ 。 想法：正 n 邊形的一個內角度數為( 180°－360°÷n )
解：
敘述 理由
(1) 108°＝180°－360°÷n
(2) n＝360°÷(180°－108°)＝5
正 n 邊形的一個內角度數為( 180°－360°÷n )
＆ 已知正 n 邊形的一個內角為 108°
由(1) ＆ 解一元一次方程式
習題 6.4-19：
有一正 n 邊形，其一個外角度數的 6 倍等於一個內角度數，則此正 n 邊形的 內角和為 度。
想法：(1) 正 n 邊形的一個外角度數為 360°÷n
(2) 正 n 邊形的一個內角度數為( 180°－360°÷n ) (3) 正 n 邊形的內角和為( n－2 )×180°
解：
敘述 理由
(1) ( 360°÷n )×6＝180°－360°÷n
(2) n＝14
(3) 所以正 14 邊形的內角和為 ( 14－2 )×180°＝2160°
已知一個外角度數的 6 倍等於一個內角度數
＆ 正 n 邊形的一個外角度數為 360°÷n ＆ 正 n 邊形的一個內角度數為( 180°－360°÷n ) 由(1) ＆ 解一元一次方程式
由(2) ＆ 正 n 邊形的內角和為( n－2 )×180°
