3-1三角函數的圖形

1︱ 1 21 3︱ 1

3-1三角函數的圖形

例題 1

( )1 將下列各角化為以弧度為單位：

○^１ 54°‧ ○^２－120°‧

( )2 將下列各角化為以度為單位：

○^１ 11π

12 ‧ ○^２－3‧

■解：

( )1 ○^１ 54°＝54× π

180 ＝ 3π

10 （弧度）

○^２－120°＝（－120）× π

180 ＝－ 2π

3 （弧度）

( )2 ○^１ 11π

12 （弧度）＝ 11π 12 × 180°

π ＝165°

○２－3（弧度）＝（－3）× 180°

π ＝－ 540°

π 例題 2

試求 sin π

3＋cos 7π

6 ＋tan（－ 5π

3 ）＝ ‧

■解：

原式＝ 3 2 － 3

2 ＋ 3 ＝ 3 例題 3

( )1 一扇形的半徑為 15 公分，圓心角為 120°，則扇形的弧長為 公分，面積為 平方公分‧

( )2 已知圓 O 的半徑為 10，︵

AB的弧長為 ^5π

4 ，則∠AOB 的弧度為 ，扇形 OAB 的面積為 ‧

■解： ( )1 圓心角為 120°＝120× π

180 ＝ 2π 3 弧長＝15× 2π

3 ＝10π（公分）

面積＝ 1

2×15²× 2π

3 ＝75π（平方公分）

( )2 設∠AOB＝θ（弧度）

11 21 3︱ 1

∵ ︵

AB 的長＝rθ ∴10θ＝ 5π

4 θ＝π

8（弧度）

扇形面積＝ 1

2 r²θ＝ 1

2×10²×π

8＝ 25π 4 例題 4

包裝七根半徑皆為 1 的圓柱，其截面如右圖所示，試問外圍粗黑線條 的長度為

■解：如題圖所示

‧ 〔90.社會組〕

依次連結外圍六圓圓心，得一正六邊形，其內角為 120°

分別自六圓圓心作外公切線之垂線，則所得扇形之圓心角為 60°

因此所求長度為六條外公切線長加上六個 1 6 圓周 即 6×2＋6× 2π

6 ＝12＋2π 例題 5

利用 y＝sinx 的圖形，描繪出下列各函數的圖形，並求其週期：

( )1 y＝sin（x－π

6）‧ ( )2 y＝sin2x‧

■^解： ( )1 ( )2

其週期為 2π 其週期為π

例題 6

利用 y＝cosx 的圖形，描繪出下列各函數的圖形，並求其週期：

( )1 y＝cos_x－1‧ ( )2 y＝－cos_x‧

■^解： ( )1 ( )2

其週期為 2π 其週期為 2π

1︱ 1 21 3︱ 1 例題 7

利用 y＝tanx 的圖形，描繪出下列各函數的圖形，並求其週期：

( )1 y＝tan｜x｜‧ ( )2 y＝｜tanx｜‧

■解： ( )1 當 x≧0 時，y＝tan｜x｜＝tanx ( )2 當 x＜0 時，y＝tan（－x）＝－tanx

由圖形知 其週期為π y＝tan｜x｜不是週期函數

例題 8

設 0≦x≦π，則方程式 2 cos²x＋sinx－2＝0 之解為

■解：2 cos²x＋sinx－2＝0

‧

2（1－sin²x）＋sinx－2＝0

－2 sin²x＋sinx＝0 sinx（1－2 sinx）＝0 sinx＝0 或 sinx＝ 1

2

又 0≦x≦π ∴x＝0，π或 π 6 ，

5π 6 故方程式之解為 x＝0，π，π

6 ， 5π

6 例題 9

設 0≦x＜2π，則不等式 cosx＋2 sin²x＞1 之解為

■解：cosx＋2 sin²x＞1

‧

cosx＋2－2 cos²x＞1 2 cos²x－cosx－1＜0

（cosx－1）（2 cosx＋1）＜0

－ 1

2＜cosx＜1 0＜x＜ 2π

3 或 4π

3 ＜x＜2π

12 22 3︱ 2

3-2和角公式

例題 1

試求下列各式之值：

( )1 sin13°cos107°＋cos13°sin107°‧

( )2 sin200°cos280°－sin100°cos160°‧

( )3 cos（28°＋θ）cos（32°－θ）－sin（28°＋θ）sin（32°－θ）‧

■解：

( )1 原式＝sin（13°＋107°）＝sin120°＝ 3 2

( )2 原式＝（－sin20°）（cos80°）－（sin80°）（－cos20°）

＝sin80°cos20°－cos80°sin20°＝sin（80°－20°）＝sin60°＝ 3 2 ( )3 原式＝cos〔（28°＋θ）＋（32°－θ）〕＝cos60°＝ 1

2 例題 2

若已知 ^π

2＜α＜π且 sinα＝ 13

14， ^3π₂ ^＜β＜2π且 sinβ＝－

( )1 cos（α＋β）＝ ‧ ( )2 α＋β＝ ‧ 11

14，則：

■解：

∵ π

2＜α＜π且 sinα＝ 13

14 ∴cosα＝ －3 3 14 又 3π

2 ＜β＜2π且 sinβ＝－ 11

14 ∴cosβ＝ 5 3 14 ( )1 cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

＝（－ 3 3

14 ）（ 5 3

14 ）－ 13

14×（－ 11

14）＝ 98 196 ＝ 1

2 ( )2 ∵ π

2＜α＜π， 3π

2 ＜β＜2π 2π＜α＋β＜3π 又 cos（α＋β）＝ 1

2 ，故α＋β＝ 7π 3 例題 3

△ABC 中，若 cosA＝ ¹² ₁₃，cosB＝ ⁴ ₅，則 cosC＝

■解：

cosA＝ 12

13 sinA＝ 5

13，又 cosB＝ 4

5 sinB＝ 3 5

‧

故 cosC＝cos〔π－（A＋B）〕＝－cos（A＋B）＝－（cosA cosB－sinA sinB）

＝－（ 12 13× 4

5－ 5 13× 3

5）＝－ 48－15

65 ＝－ 33 65 例題 4

1︱ 2 22 3︱ 2

在△ABC 中，M 為 ¯¯BC 邊之中點，若 ¯¯AB＝3，¯¯AC＝5，且∠BAC＝120°，則 tan∠BAM

＝

■^解：如右圖，令∠BAM＝θ ∠MAC＝120°－θ

‧ 〔96.學測〕

∵M 為 ¯¯BC 邊之中點 ∴△ABM 面積＝△ACM 面積 1

2 ×3ׯ¯AM×sinθ＝ 1

2 ×5ׯ¯AM×sin（120°－θ）

3 sinθ＝5 sin（120°－θ）

3 sinθ＝5（sin120°cosθ－cos120°sinθ）＝ 5

2 3 cosθ＋ 5 2 sinθ 1

2 sinθ＝ 5

2 3 cosθ tanθ＝ sinθ

cosθ ＝5 3 例題 5

試求下列各式之值：

( )1 tan59°－tan29°

1＋tan59°tan29°＝ ‧ ( )2 tan13°＋tan32°＋tan13°tan32°＝ ‧

■解：

( )1 tan59°－tan29°

1＋tan59°tan29°＝tan（59°－29°）＝tan30°＝ 3 3 ( )2 ∵tan45°＝tan（13°＋32°） ∴1＝ tan13°＋tan32°

1－tan13°tan32°

1－tan13°tan32°＝tan13°＋tan32°

tan13°＋tan32°＋tan13°tan32°＝1 例題 6

( )1 若 tanα＝2，tan（α－β）＝ 1

2 ，則 tanβ＝ ‧ ( )2 若α＋β＝ 3π

4 ，則（1－tanα）（1－tanβ）＝ ‧

■解： ( )1 ∵tan（α－β）＝ tanα－tanβ 1＋tanα tanβ

2－tanβ 1＋2 tanβ＝ 1

2 4－2 tanβ＝1＋2 tanβ tanβ＝ 3

4 ( )2 ∵α＋β＝ 3π

4 ∴tan（α＋β）＝tan 3π 4 tanα＋tanβ

1－tanα tanβ＝－1 tanα＋tanβ＝－1＋tanα tanβ tanα tanβ－tanα－tanβ＝1

12 22 3︱ 2

原式＝1－tanα－tanβ＋tanα tanβ＝1＋1＝2 例題 7

如右圖，三正方形的邊長皆為 4，則 tanβ＝

■解：

在△ABF 中，tan（α＋45°）＝ 8 4 ＝2

‧

在△ABC 中，tan（α＋β＋45°）＝ 12 4 ＝3 tanβ＝tan〔（α＋β＋45°）－（α＋45°）〕

＝ tan（α＋β＋45°）－tan（α＋45°）

1＋tan（α＋β＋45°）tan（α＋45°）＝ 3－2 1＋3×2 ＝ 1

7

例題 8

設 _{tanα，tanβ}為方程式 x²＋6x＋2＝0 之兩根，則：

( )1 tan（α＋β）＝ ‧ ( )2 cos²（α＋β）＝ ‧

( )3 2 sin²（α＋β）－sin（α＋β）cos（α＋β）＋8 cos²（α＋β）＝ ‧

■解： ( )1 由根與係數的關係知 tanα＋tanβ＝－6，tanα tanβ＝2 tan（α＋β）＝ tanα＋tanβ

1－tanα tanβ＝ －6 1－2 ＝6 ( )2 cos²（α＋β）＝ 1

sec²（α＋β）＝ 1

1＋tan²（α＋β）＝ 1

1＋6² ＝ 1 37 ( )3 原式＝cos²（α＋β）〔2 tan²（α＋β）－tan（α＋β）＋8〕

＝ 1

37 ×（2×6²－6＋8）＝ 1

37 ×74＝2 例題 9

設兩直線 L1：x＋ 3 y－3＝0 與 L2： 3 x＋y－8＝0 之交角為_θ，則_{θ＝ ‧}

■解：

L1 之斜率為 －1

3 ，L2 之斜率為－ 3

∴tanθ＝

（－ 1

3 ）－（－ 3 ） 1＋（－ 1

3 ）（－ 3 ）

＝ 2

3 2 ＝ 1

3 θ＝π

6 ，另一交角為π－π 6＝ 5π

6

故 L1 與 L2 之交角 θ 為 π

6 或 5π 6

1︱ 2 22 3︱ 2 例題 10

試求下列各式之值：

( )1 sin²172.5°－sin²127.5°＝ ‧ ( )2 cos²127.5°－sin²7.5°＝ ‧

■解： ( )1 sin²172.5°－sin²127.5°＝sin（172.5°＋127.5°）sin（172.5°－127.5°）

＝sin300°sin45°＝（－ 3

2 ）（ 2

2 ）＝－ 6 4

( )2 cos²127.5°－sin²7.5°＝cos（127.5°＋7.5°）cos（127.5°－7.5°）

＝cos135°cos120°＝（－ 2

2 ）（－ 1

2）＝ 2 4 例題 11

若 x＋y＝π

3 ，則 cos²x－cos²y 之最大值為 ，最小值為

■^解：cos²x－cos²y＝sin（y＋x）sin（y－x）＝sin π

3 sin（y－x）＝ 3

2 sin（y－x）

‧

∵－1≦sin（y－x）≦1

∴－ 3

2 ≦ 3

2 sin（y－x）≦ 3 2

∴cos²x－cos²y 之最大值為 3

2 ，最小值為－ 3 2

13 23 3︱ 3

3-3倍角與半角公式

例題 1

若 sinθ 為方程式 10x²＋x－3＝0 之一根，且π＜θ＜ 3π 2 ( )1 sin2θ＝ ‧ ( )2 sin θ

2＝ ‧

，則：

■解：

10x²＋x－3＝0 （5x＋3）（2x－1）＝0 x＝－ 3

5 或 x＝ 1 2 又∵π＜θ＜ 3π

2 ∴－1＜sinθ＜0 ∴sinθ＝－ 3

5 cosθ＝－ 4 5 ( )1 sin2θ＝2 sinθ cosθ＝2×（－ 3

5）×（－ 4

5）＝ 24 25 ( )2 ∵π＜θ＜ 3π

2

π 2＜ θ

2＜ 3π 4

∴sin θ

2＝ 1－cosθ 2 ＝

1－（－4 5 ）

2 ＝ 9

10 ＝ 3 10 例題 2

設^π

2＜θ＜π且 _sinθ＝ ⁵

13 ，則：

( )1 sin2θ＝ ‧ ( )2 cos2θ＝ ‧ ( )3 tan2θ＝ ‧ ( )4 sin θ

2＝ ‧ ( )5 cos θ

2＝ ‧ ( )6 tan θ

2＝ ‧

■解：∵sinθ＝ 5

13 且 π

2＜θ＜π cosθ＝－12

13 ，tanθ＝－ 5 12 ( )1 sin2θ＝2 sinθ cosθ＝2× 5

13 ×（－12

13 ）＝－ 120 169 ( )2 cos2θ＝1－2 sin²θ＝1－2×（ 5

13 ）²＝119 169 ( )3 tan2θ＝ 2 tanθ

1－tan²θ ＝

2×（－ 5 12 ） 1－（－ 5

12 ）²

＝

－ 5 6 119

144

＝－120 119

又∵ π

2＜θ＜π ∴ π 4＜θ

2＜π 2

( )4 sin θ

2＝ 1－cosθ 2 ＝

1－（－12 13 ）

2 ＝ 25

26 ＝ 5 26

1︱ 3 23 3︱ 3 ( )5 cos θ

2＝ 1＋cosθ 2 ＝

1＋（－12 13 ）

2 ＝ 1

26 ＝ 1 26

( )6 tan θ 2＝

sin θ 2 cos θ

2

＝ 5 26

1 26

＝5

例題 3

如右圖，θ 為一個有向角，¯¯AB＝4，_BC＝3，¯¯ ¯¯_AB⊥¯¯_BC，則cos ^θ

2＝ ‧

■解：¯¯_{AC＝ 3}²_＋4² _＝5 cosθ＝－cos（π－θ）＝－ 3 5 又 0＜θ＜π 0＜ θ

2＜π 2

∴cos θ

2＝ 1＋cosθ 2 ＝

1＋（－3 5 ）

2 ＝ 1

5 例題 4

( )1 若 sinθ－cosθ＝ 1

3 ，則 sin2θ＝ ‧ ( )2 若 sin2θ＝－ 3

5 ，則 sin⁴θ＋cos⁴θ＝ ‧

■解： ( )1 ∵sinθ－cosθ＝ 1

3 ，平方得（sinθ－cosθ）²＝ 1 9 1－2 sinθ cosθ＝ 1

9 1－sin2θ＝ 1

9 sin2θ＝ 8 9 ( )2 sin⁴θ＋cos⁴θ＝（sin²θ＋cos²θ）²－2 sin²θ cos²θ

＝1－ 1

2（2 sinθ cosθ）²＝1－ 1

2（sin2θ）²＝1－ 1

2×（－ 3

5）²＝ 41 50 例題 5

試求 cos π

7 cos 2π

7 cos 4π

7 ＝ ‧

■解：

令 P＝cos π

7 cos 2π

7 cos 4π 7 8 sin π

7×P＝8 sin π 7 cos π

7 cos 2π

7 cos 4π 7

13 23 3︱ 3

＝4 sin 2π

7 cos 2π

7 cos 4π

7 ＝2 sin 4π

7 cos 4π 7

＝sin 8π

7 ＝－sin π 7

∴8P＝－1 P＝－ 1 8 亦即 cos π

7 cos 2π

7 cos 4π

7 ＝－ 1 8 例題 6

試求 ^sin3θ _{sinθ －} ^cos3θ cosθ ＝ ‧

■解：原式＝ 3 sinθ－4 sin³θ

sinθ － 4 cos³θ－3 cosθ cosθ

＝（3－4 sin²θ）－（4 cos²θ－3）＝3＋3－4（sin²θ＋cos²θ）＝3＋3－4＝2 例題 7

若 sinθ－cosθ＝ 1

3 ，則 sin3θ＋cos3θ＝ ‧

■解：sinθ－cosθ＝ 1

3 ，平方得 1－2 sinθ cosθ＝ 1

9 sinθ cosθ＝ 4 9 故 sin3θ＋cos3θ＝（3 sinθ－4 sin³θ）＋（4 cos³θ－3 cosθ）

＝3（sinθ－cosθ）－4（sin³θ－cos³θ）

＝3（sinθ－cosθ）－4（sinθ－cosθ）（sin²θ＋sinθ cosθ＋cos²θ）

＝3× 1

3－4× 1

3×（1＋ 4

9）＝1－ 52

27＝－ 25 27

例題 8

設 f（x）＝8x³＋4x²－6x－2，則以 x－sin15°除 f（x）之餘式為

■^解：由餘式定理知

‧

餘式＝f（sin15°）＝8 sin³15°＋4 sin²15°－6 sin15°－2

＝2（4 sin³15°－3 sin15°）＋2（2 sin²15°－1）

＝－2（3 sin15°－4 sin³15°）－2（1－2 sin²15°）

＝－2×sin45°－2×cos30°

＝－2× 2

2 －2× 3

2 ＝－ 2 － 3

1︱ 3 23 3︱ 3 例題 13

k

∈

■解：3x²＋kx＋1＝0 之兩根為 sinθ，cosθ sinθ cosθ＝ 1 3

‧

sin2θ＝2 sinθ cosθ＝ 2 3

∴cos4θ＝1－2（sin2θ）²＝1－2× 4 9 ＝ 1

9

1 2 第

章綜合練習 3

Chap3

1. 如右圖，圓的半徑為 6，∠AOB＝60°，則：

( )1 ︵

AB 的長為 ‧ ( )2 斜線部分的面積為

■解： ( )1 ︵

AB 的長＝rθ＝6×π 3＝2π

‧

( )2 斜線部分的面積＝（扇形 AOB 的面積）－（△OAB 的面積）

＝ 1 2×6²×π

3－ 1

2×6²×sin π

3＝6π－9 3

2. 試問方程式 2πsinx＝x 有

■^解：2πsinx＝x 的實根個數，即為

個實根‧

y＝sinx 與 y＝ x

2π 兩圖形的交點個數

由上圖知，有 3 個交點，亦即有 3 個實根 3. 已知 ^3π

2 ＜x＜2π，且 4 sin²x－5 cosx＋2＝0，則：

( )1 tanx＝ ‧ ( )2 tan2x＝ ‧

■解：4 sin²x－5 cosx＋2＝0 4－4 cos²x－5 cosx＋2＝0 4 cos²x＋5 cosx－6＝0

（4 cosx－3）（cosx＋2）＝0 cosx＝ 3

4 或－2（不合）

( )1 ∵ 3π

2 ＜x＜2π ∴tanx＝－ 7 3

( )2 tan2x＝ 2 tanx 1－tan²x ＝

2×（－ 7 3 ） 1－（－ 7

3 ）²

＝

－ 2 7 3 2

9

＝－3 7

1 2 第

章綜合練習 3 4. 在 0＜x＜π之範圍內，兩曲線 y＝sinx 與 y＝sin2x 之交點坐標為

■解：欲求 y＝sinx 與 y＝sin2x 之交點坐標，即令 sin2x＝sinx

‧

2 sinx cosx－sinx＝0 sinx（2 cosx－1）＝0 sinx＝0 或 cosx＝ 1

2

當 sinx＝0 ∵0＜x＜π ∴無解 當 cosx＝ 1

2 且 0＜x＜π ∴x＝π

3 y＝sin π 3＝ 3

2

亦即交點坐標為（π

3 ， 3

2 ）

5. △ABC 是邊長為 5 的正三角形，P 點在三角形內部，若 PB¯¯＝4 且 PC¯¯

cos∠ABP＝

＝3，則

■解：令∠PBC＝θ

‧ 〔98.指考甲〕

由右圖知 cosθ＝ 4

5 ，sinθ＝ 3 5 cos∠ABP＝cos（60°－θ）

＝cos60°cosθ＋sin60°sinθ

＝ 1 2 × 4

5 ＋ 3 2 × 3

5 ＝ 4＋3 3 10