有關三角形內切圓等分線的一些不等式

數學傳播 35 卷 4 期, pp. 82-85

有關三角形內切圓等分線的一些不等式

莊健祥

摘要: 本文利用三角形的內切圓等分線長為過渡量, 簡化四個三角幾何不等式的證明。

關鍵詞:^三角形內切圓等分線, 三角幾何不等式。

本文符號定義: a, b, c 表 △ABC 的三邊長; △ 表 △ABC 的面積; s 表 △ABC 的半 周長; r 表 △ABC 的內切圓半徑; m^a, m^b, m^c 表三中線長; t^a, t^b, t^c 表三內角平分線 長; h^a, hb, h^c 表三邊上的高; r^a, rb, r^c 表三傍切圓半徑; l^a, lb, l^c 表三內切圓等分線長。

壹、 三角形內切圓等分線的由來

1988 年第 29 屆國際奧林匹亞數學競賽 IMO 開賽前, 依慣例各國須提供預選題給命題 委員會選用, 其中第 84 題是由當時蘇聯所提供, 其題目為: 在 △ABC 的 BC 邊上取一點 D, 使得 △ABD 和 △ACD 的內切圓半徑相等,

求證: AD² = △ · cotA 2。

(因 AD 使得 △ABD 和 △ACD 的內切圓半徑相等, 而中文卻無統一的正式譯名, 因此筆者 比照三角形中邊或角等分的概念, 將它稱為 △ABC 在 BC 邊上內切圓等分線。)

證明: 依 Heron 公式及三角形半角定理知:

△ · cotA 2 =p

s(s − a)(s − b)(s − c) · s

s(s − a)

(s − b)(s − c) = s(s − a), 故只要證得:AD =ps(s − a), 此題即可得證, 今如下圖所示:

82

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設 △ABD 的面積為 △¹, 半周長為 s¹, 內切圓的圓心為 O¹, 設 △ACD 的面積為 △², 半周長為 s², 內切圓的圓心為 O²,

且其相等之內切圓半徑為 r^′; △ABC 的內心為 I, 而 AD 設為 l^a, 則有 r^′ = △¹

s1

= △² s2

= △¹+ △²

s1+ s² = △

s+ l^a ⇒ r^′

r = △

r(s + l^a) = s

s+ l^a; (1) 又設 △ABD 的內切圓與 AB 切於 E, △ACD 的內切圓與 AC 切於 M, 而 △ABC 的內切圓與 AB 及 AC 分別切於 F 及 N , 因 △BO¹E 和 △BIF 相似, 且 △CO²M 和

△CIN 相似, 所以有:

r^′

r = BE

BF = s1− l^a

s− b = CM

CN = s2− l^a

s− c = s1+ s² − 2l^a

2s − b − c = s− l^a

a ; (2) 綜合 (1)、(2) 得:

s

s+ l^a = s− l^a

a ⇒ s²− l^a2 = as ⇒ l^2a= s²− as ⇒ l^a =p

s(s − a)。

上述之 AD = l^a =ps(s − a) = 1

2p(a + b + c)(b + c − a), 得證。

註:

1. 有關三角形內切圓等分線相關性質的介紹及另外利用 STEWART 定理所得的證明, 讀者 可參看 [2]。

2. 2010 年 AIME 邀請賽第一階段的第 5 題也是關於三角形內切圓等分線的題目, 22 年後 又重新出現在國際數學競賽上, 令人驚喜。

84 數學傳播 35 卷 4 期 民 100 年 12 月

貳、 利用三角形內切圓等分線長簡化三角幾何不等式

筆者發現將內切圓等分線長 la 當成不等式中的過渡量, 可簡化一些過去須繁複技巧才能 證明的三角幾何不等式, 接下來證明一個重要的預備定理:

引理: 對任意 △ABC, m^a≥ l^a ≥ t^a≥ h^a。 證明: 因為

ma=1 2

√2b²+ 2c²− a² = 1 2

√b²+ 2bc + c²− a²+ b²+ c²− 2bc

=1

2p(b + c)²− a² + (b − c)² = 1

2p(b + c + a)(b + c − a) + (b − c)² ≥ l^a (3) 又 ta= 2bc

b+ ccosA

2 = 2√ bc b+ c

ps(s − a) = 2√ bc

b+ cla ≤ l^a。 (4) 由 (3)、 (4) 及 t^a≥ h^a 可知:

對任意 △ABC, m^a ≥ l^a≥ t^a≥ h^a, 而等號成立於 b = c 時, 亦即 △ABC 為一等腰三角形時: m^a= l^a= t^a = h^a。

以上述引理為基礎, 並以內切圓等分線長 l^a 為過渡量, 我們可得出下列四個不等式, 分述 於如下的四個定理:

定理一: X

m²a ≥ s² ≥ X

t²a ≥ X

h²a, 其中 X

m²a 代表 m²a, m²b, m²c 的迴圈和, 亦即 Xm²a = m²a+ m²b + m²c, 其餘類推。

證明: 因為 X

la² =X

s(s − a) = s², 且由引理, 即得: X

m²a ≥X

l²a= s² ≥X

t²a ≥X h²a。 定理二: m^ambmc ≥ r^arbrc ≥ t^atbtc ≥ h^ahbhc。 證明: 因為

rarbrc = △ s− a

 △ s− b

 △ s− c

= △³

(s − a)(s − b)(s − c) = rs²

又 lalblc =ps(s − a)s(s − b)s(s − c) = s△ = rs² = r^arbrc, 且由引理, 即得: m^ambmc ≥ lalblc = r^arbrc ≥ t^atbtc ≥ h^ahbhc。

定理三: X

mata≥X rarb。

有關三角形內切圓等分線的一些不等式 85

證明: 首先證明

mata≥ l^a2⇔1 2

√2b²+ 2c²− a² 2bc

b+ ccosA 2



≥ s(s − a)

⇔√

2b²+ 2c² − a² 1

b+ ccos A 2



≥ s(s − a)

bc = cos² A 2,

⇔

√2b² + 2c²− a²

b+ c ≥ cosA 2,

⇔b²+ c²+ 2bc cos A

(b + c)² ≥ cos² A

2 = 1 + cos A 2 ,

⇔ 2b²+ 2c²+ 4bc cos A ≥ (b + c)²+ (b + c)²cos A,

⇔ 2b²+ 2c²− (b + c)² ≥ [(b + c)²− 4bc] cos A,

⇔ (b − c)² ≥ (b − c)²cos A。 等號成立於 b = c 時, (5) 又 rbrc = △

s− b

 △ s− c

= △²

(s − b)(s − c) = s(s − a) = l^2a, (6) 由 (5) 及 (6) 可知: m^ata ≥ l^a2 = r^brc, 同理 m^btb ≥ l^b2 = r^cra, m^ctc ≥ l^2c = r^arb; 三者相 加即得: P mata≥ P rarb。

定理四: X a² m²_b + m²c

≤ 2 ≤X a² t²_b + t²c

≤X a² h²_b + h²c

。

證明: 因 X a² l²b + l²c

=X a²

s(s − b) + s(s − c) =Xa²

as =Xa

s = 2, 且由引理, 可得:

X a² m²b + m²c

≤X a² lb²+ l²c

= 2 ≤X a² t²b + t²c

≤X a² h²b + h²c

。 註:此不等式即為 Cordon 不等式的推廣, 在貴刊文 [3] 中曾給了繁複且技巧的證明。

參考文獻

1. 單墫, 胡大同, 數學奧林匹克高中版, 凡異出版社, 民國93 年八月出版。

2. Paul Yiu, Notes on Euclidean Geometry,

http://math.fau.edu/Yiu/EuclideanGeometryNotes.pdf (1998), pp.127-129.

3. 蔣明斌, Cordon 不等式的類比, 「數學傳播」 第33 卷第 1 期。

—本文作者任教台北市立內湖高中_—