1 數學歸納法

(1)

B1-2-3 數學歸納法

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本節提要

本節介紹數學歸納法及其應用(遞迴關係式)。

數學歸納法若某式同時滿足以下兩條件：

•

(1)"一"開始就是對的

檢查n =1st時,某式是否成立 (2)任何連續兩數 k, k C1 也都是對的先假設n = k時某式成立,再檢查 n = k C1是否仍然成立.

則c n 2 N,某式恆成立(恆真) 數學歸納法應用任何等差數列的"遞迴關係式"為:

a₁= a

首項初始條件 a_n= a_{n K 1}C d

公差遞迴關係

•

任何等比數列的"遞迴關係式"為:

a₁= a

首項初始條件 a_n= a_{n K 1}# r

公比遞迴關係

•

1 數學歸納法

•

2 數學歸納法應用

•

(2)

1 數學歸納法

重點

數學歸納法 • 若某式同時滿足以下兩條件：

(1)"一"開始就是對的

檢查n =1st時,某式是否成立 (2)任何連續兩數 k, k C1 也都是對的先假設n = k時某式成立,再檢查 n = k C1是否仍然成立.

則c n 2 N,某式恆成立(恆真)

上述的論證法,稱為「數學歸納法(Mathematical Induction)」。

數學歸納法證明上常犯的錯誤

小時了了,大未必佳("餘此類推"並不可靠...)

•

缺"一"不可(即使步驟簡單也不該省略,否則會"功虧一簣")

•

(3)

例題

例題1 數學歸納法應用("好用"的範例)

老師講解學生練習

c n 2 N, 試求 10ⁿC3 # 4ⁿC5恆可被何數整除?並用數學歸納法加以證明

c n 2 N, 試求 9ⁿK8 n K1恆可被何數整除

?並用數學歸納法加以證明

[簡答] :

64

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例題2 數學歸納法應用(數學歸納法有時只是被用來證明"沒錯")...

試以數學歸納法證明：

c n 2 N, 1 C2 C3 C...Cn = n n C1 2

c n 2 N, 1²C2²C3²C...Cn²

= n n C1 2 n C1 6

[簡答] :

略

(5)

例題3 數學歸納法應用(數學歸納法並非永遠都是從1開始證)...print

c n 2 N且n R 3時, 3ⁿC4ⁿ! 5ⁿ恆成立

詳解

(1)"1st"開始就是對的!

當n = 3時, 左式 = 3³C4³=91

右式 = 5³=125 0 3³C4³! 5³

(2)若連續兩數的前數 k 為真,則後數 k C 1 也為真!

假設n =

k時,原式成立

亦即 3^kC4^k! 5^k 則當n =

k C1時,...

3^{k C 1}C4^{k C 1}

=3$3^kC4$4^k

!5$3^kC5$4^k

= 5 3^kC4^k

!5$5^k

= 5^{k C 1}

代表n =

k C1時,原式仍然成立

說明...任意連續兩數 k, k C1 ,原式都成立

(3)由(1),(2),依據"數學歸納法"得知...

c n 2 N且n R 3時, 3ⁿC4ⁿ! 5ⁿ恆成立

(6)

例題4 數學歸納法(小時了了,大未必佳)

是否c n 2 N, 形如n²Kn C41的數都是質 數?

詳解

令f n = n²Kn C41

當n = 1時, f 1 = 41是質數 當n = 2時, f 2 = 43是質數 當n = 3時, f 3 = 47是質數 當n = 4時, f 4 = 53是質數 當n = 5時, f 5 = 61是質數 :

餘此類推,似乎都對...

(7)

例題5 數學歸納法(缺"一(1st)"不可)

c

n 2 N, 2 C6 C10 C...C2 2nK1 = 2n² C2

是否恆成立?

詳解

當n = 1時, pass 當n = 2時, pass 當n = 3時, pass :

假設n =

k時,原式成立

亦即 2 C6 C10 C...C2 2kK1 = 2k²C2 則當n =

k C1時,...

2 C6 C10 C...C2 2kK1 C2 2

k C1

K1

= 2k²C2 C2 2k C1

= 2k²C4k C4

= 2

k

²C2k C1 C2

= 2

k C1

²C2 原式皆成立

說明...任意連續兩數 k, k C1 ,原式皆成立!

似乎...省略前面的檢查是"明智"的:)

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2 數學歸納法應用

2-1 數列的遞迴關係式

重點

遞迴關係式 • 將數列依其"初始條件"及"遞迴關係"來表示,稱為"遞迴關係式"。

遞迴關係式應

用任何等差數列皆以"遞迴關係式"表示如下:

a₁= a

首項初始條件 a_n= a_{n K 1}C d

公差遞迴關係

•

任何等比數列皆以"遞迴關係式"表示如下:

a₁= a

首項初始條件 a_n= a_{n K 1}# r

公比遞迴關係

•

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例題

例題6 數學歸納法應用(等差數列的遞迴關係式)

試以"遞迴關係式"表示等差數列 7, 10, 13, 16,...

試以"遞迴關係式"表示等差數列 K5, 0, 5, 10, 15,...

[簡答] :

a₁=K5 a_n= a_{n K 1}C5

例題7 數學歸納法應用(等比數列的遞迴關係式)

試以"遞迴關係式"表示等比數列 4, 2, 1, 1

2 , 1 4 ,...

試以"遞迴關係式"表示等比數列 3,K12, 48,K192,...

[簡答] :

a₁=3 a_n= a_{n K 1}# K4

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2-2 遞迴關係式應用

例題

例題8 數學歸納法應用(遞迴關係式應用)

用黑白兩種顏色的正六邊形地磚依照如下的規律拼成若干圖形,

試問第n個圖案有白色地磚多少塊?

(11)

設平面上有n條直線,其中無任何二條 直線平行且無任何三條以上直線過同一點,試求其交點總數

一個邊長為n的大正方形中,共有n²個單位正方形.如果每一個單位正方形的邊都恰有一根火柴棒,則此大正方形共用了幾根火柴棒?