簡介隨機過程
彭南夫
自古代起, 人類就對生與死, 成長與退化 深深地感慨。 宇宙萬物時而周而復始, 時而一 去不返。 到達爾文時, 他的進化論確實帶給人 們一陣錯愕。 從十七世紀起, 牛頓以數學來了 解物理上的意義, 才使人類拓展對宇宙的觀 念。 但如果說, 一切事物的變化都遵循著某種 規則, 那麼解決一些方程式 (如微分方程式) 就足夠了, 頂多一些可容忍的小誤差。 事實並 不然, 我們舉個簡單的例子:
一個小鎮上今天有人口 51,226人, 我們 預測十年後成長至 60,863 人。 如果誤差在數 百人之內 ,這並沒有什麼不妥之處。 但一個 4 口之家, 如果我們預測一個月後有 2.37 人, 這一點意義也沒有。 事實上, 人口數可能是 0,1,2, 3, 4 或 5 等, 也就是說, 它有一個機率 分佈。這機率分佈是隨時間改變的。 我們有興 趣的是, 這家人的人口數、 死亡的時間或生產 的時間等, 這個過程就叫做隨機過程。
在探討隨機過程中, 我們常假設它具有 馬可夫性質; 簡單地說, 如果知道今天的人口 數, 那麼明天的人口數就與昨天的人口數無 關。 乍看之下, 這性質好像無啥驚人之處, 也 與現實情況不完全相符。 但它在現有數學工 具上較易控制, 而且也可對現實情況作第一
步的近似。 以下幾個例子, 可讓讀者更易了解 隨機過程的含義:
(1) 賭徒破產問題:(gambler’s ruin prob- lem)
賭徒有a元, 莊家有n − a元, 每賭一次 輸贏一元。 賭徒每賭完一次後剩下的資本, 即 形成一具馬可夫性質的隨機過程。 賭徒輸光 或莊家輸光的時間與機率, 一向是受矚目的 問題。
(2) 普阿松過程:(Poisson process)
商店從一早開門到經過t時間為止, 算算 光顧的客人總數; 或接線生到t時間為止, 接 到轉接電話的總數; 這些經過實驗證明, 可以 稱的上是普阿松過程。
(3) 衍生過程:(branching Process)
一個姓氏的家族, 他們的子嗣如果結婚 生子, 就是繁衍; 否則就沒有衍生。 觀察他們 第一代、 第二代、. . . 的人口數, 就好像一個樹 圖 (tree graph)。 幾個有趣的問題是 :這家族 生生不息的機率、 最後滅種的機率等。
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2 數學傳播 十六卷四期 民81年12月
(4) 生—死過程:(birth and death process) 如果一群生物各自獨立生活著, 則全體 生殖率或死亡率即為個別生殖率或死亡率之 和。 (這約略可以解釋為什麼大都市的出生嬰 兒與死亡人數比小都市多)。 這種生—死過程 常能很充分地解釋很多真實情況。
(5) 排隊過程:(queueing process)
顧客隨機地到櫃台接受服務, 如果服務 員來不及處理, 則顧客要排隊。 電腦使用者不 斷地送訊號到主機, 如果還未輪到主機處理, 則需等候。 這些排隊人數的機率分佈, 當然是 隨著時間改變。
(6) 掠 食—被 掠 食 模 式:(prey-predator model)
掠食族有生與死的情形, 而被掠食族不 但有生與死, 更有被掠食情形。 因此被掠食族 的死亡率不但與本身有關, 更和掠食者有關。
他們之間形成有趣的相互關係。
(7) 擴散過程:(diffusion process)
一粒花粉在水中, 受到水分子的撞擊, 而 產生微量的移動, 而撞擊的頻率卻很大。 這是 有名的布朗運動 (Brownian motion)。 這種 連續性的變化與前述的例子不同, 但有時候 可視為他們的極限。 例如: 人口數很大的群 體, 個體的變化相對地很小, 但如果變化得十 分頻繁 ,這可近似這種擴散過程。
參考文獻
1. “The Elements of Stochastic Processes wi- th Applications to the Natural Sci- ences”, N. J. Bailey, 1964, John Wi- ley. Inc.
2. “Stochastic Processes”, S. M. Ross, 1980, John Wiley. Inc.
—本文作者任教於國立交通大學 統計研究所—
