Ch 2-1

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111 高一上(ch2.1 指數) 第 1 頁 Ch2 指數、對數(翰林版) CJT

Ch 2-1 指數一年____班座號：____ 姓名：

重點 1：正整數指數與指數律

1.意義：當 n 為正整數時，對於每一個實數 a，我們以記號「a 」表示ⁿ a 自乘 n 次的乘積，即a ＝ⁿ

4 4 3 4

4 2

1 L

個 n

a a

a

× × × ×

a 讀做「a 的 n 次方」n ，其中 a 稱為底數底數底數底數，n 稱為指數指數指數(或次數、次方) 指數 註：a²與 a³又分別讀做「a 的平方」與「a 的立方」

2.正整數指數律：

設 a，b 為實數，m，n 為正整數，則：

(1) a^m×a ＝ⁿ a^m⁺ⁿ (2) (a )^m ⁿ＝a^mⁿ (3) aⁿ×b ＝ⁿ (a )b ⁿ 註：設 a≠0，m＞n，a ÷^m a ＝ⁿ _n

m

a

a ＝a^m⁻ⁿ

3.計算機求指數值：

可以使用計算機中的鍵計算指數值

例如：計算3 時，依序按⁷

→ → →

，求得3 ＝2187 ⁷

例1.1：試求下列各式的值：

(1)( 2)⁷×( 2)³ (2) ₅ ₅

4 3

5 2

) 10 (

×

例 1.2：利用計算機，則顯示下列各式的值是多少？

(1)2 ³⁰ (2)(1.05)²⁰

重點 2：整數指數與指數律

1.意義：設 a 為實數，n 為正整數，則定義：

(1)正整數指數：a ＝ⁿ

4 4 3 4

4 2

1 L

個 n

a a

a

× × × ×

(2)零指數：若 a≠0，則a ＝1 ⁰ (3)負整數指數：若 a≠0，a⁻ⁿ＝ _n

a⁻ 1

註：當 n 是正整數時，0 ＝0，但是ⁿ 0 與⁰ 0⁻ⁿ無意義 2.整數指數律：

設 a，b 為實數，m，n 為整數，則：

(1) a ×^m a ＝ⁿ a^m⁺ⁿ (2) (a )^m ⁿ＝a^mⁿ (3) a ×ⁿ b ＝ⁿ (a )b ⁿ 註：設 a≠0，m＞n，a ÷^m a ＝ⁿ _n

m

a

a ＝a^m⁻ⁿ

例 2.1：試求下列各式之 x 值：

(1)2⁻⁵＝ _x 2

1 ，則 x＝____ (2)7 ＝1，則 x＝____ ^x (3)3 ＝^x 81

1 ，則 x＝____

(2)

例 2.2：試求下列各式的值：

(1)(3⁻²)⁻¹＋3⁻²×3³ (2)( 3

+

1)⁻³ ( 3

−

1)⁻⁴

例 2.3：考慮某種細菌的繁殖狀況，每經過一天，細菌在單位面積中的數量成長為一天前的 a 倍。現在以某一日為基準日，

試問：

(1)基準日五天後，細菌數量為基準日的多少倍？寫成指數形式 (2)基準日三天前，細菌數量為基準日的多少倍？寫成指數形式

重點 3：有理數指數與指數律

1.意義：設 a 是正實數，n 是正整數，m 是整數，則：

(1) aⁿ

1

＝ⁿ a (2) ⁿ

m

a ＝ⁿ

a

^m

說明：(i)設 a 是正實數，n 是正整數，m 是整數，則存在唯一的正數 b 滿足

b

ⁿ

= a

^m^{，得此正數 b＝} ⁿ

m

a (ii)稱ⁿ a 為 a 的正 n 次方次方次方根次方根根，根，，讀做 n 次根號 a ，

2.有理數指數律：設 a，b 為正實數，m，n 為有理數，則：

(1) a ×^m a ＝ⁿ a^m⁺ⁿ (2) (a )^m ⁿ＝a^mⁿ (3) aⁿ×b ＝ⁿ (a )b ⁿ 註：設 a≠0，m＞n，a ÷^m a ＝ⁿ _n

m

a

a ＝a^m⁻ⁿ

3.常用運算性質：設 a，b 是正實數，m，n，k 都是正整數，則：

(1) ⁿ a ⁿ b ＝ⁿ

a b

(2) _n

n

b a ＝ⁿ

b

a

(3) ^m ⁿ

a

＝^mⁿ a (4) ⁿ

a

^m ＝^kⁿ

a

^k^m

例 3.1：請將下列各指數寫成根號的形式：

(1) ³

1

7 (2) ³

2

7 (3) ³

1

5⁻ (4) ⁴

3

5⁻ (5)2⁰^.⁵

(3)

(1) ⁴

1

2 × ⁸

1

4 (2) ³

2

8 ) (27 ⁻

重點 4：實數指數與指數律

1.意義：設 a 是正實數，n 是無理數，則a 可依據指數定義 ⁿ 2.實數數指數律：

設 a，b 為正實數，m，n 為實數，則：

(1) a ×^m a ＝ⁿ a^m⁺ⁿ (2) (a )^m ⁿ＝a^mⁿ (3) a ×ⁿ b ＝ⁿ (a )b ⁿ 註：設 a≠0，m＞n，a ÷^m a ＝ⁿ _n

m

a

a ＝a^m⁻ⁿ

(1)

4

²× ³

2 2

8

⁻ (2)

( 2

³

× 3

³

)

³

例 4.2：某放射性物質重 128 克，n 年後重量會剩下 128× )³ 2 (1

n

克，試問：

(1)每一年的重量為前一年的多少倍？(四捨五入至小數點後第二位) (2) 5 年後剩下多少克？(四捨五入至小數點後第二位)

重點 5：科學記號與有效數字

1.科學記號可以方便表示很大與很小的數，定義如下：

任意正實數 A 都可以用 A＝k×10 ，1 ≤ⁿ k＜10，n 是整數，稱 k 為係數係數係數係數，n 為指指指指數數數數，稱為 A 的科學記號科學記號科學記號科學記號表示法 2.準確值：取測量工具的最小刻度單位，稱為準確值 (準確值準確值準確值準確值取到最小刻度單位)

測量值：利用工具測量所得到的數據，稱為測量值 (測量值包含準確值與一位估計值) 估計值：準確值的下一個刻度單位 (估計值估計值估計值估計值為最小刻度的下一位)

有效數字：一數值中可以信任的幾位數字，稱為有效數字 (準確值加上一位估計值所得的數字就合稱為有效數字有效數字有效數字有效數字) 註：測量值＝準確值＋一位估計值，此測量值的數字就稱為有效數字有效數字有效數字有效數字

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例 5.1：將下列各數用科學記號表示：

(1) 15200000 (2) 0.0010246

◎有效數字

例 5.0：如圖，橡皮擦有多長呢？

解：測量值為_____

準確值為_____

估計值為_____

有效數字為_____

例 5.2：計算下列各小題的值，並將答案以科學記號表示且將係數部分四捨五入至小數點後第二位：

(1) 4.70×10 ＋9.22×³ 10³ (2) (3.00×10⁻⁵)÷(2.30×10⁻⁶) (3) 2.30×10 －8.10×⁴ 10³ (4) (5.10×10⁻²)×(4.50×10⁴)

例 5.3：Byte 是電腦的記憶單位，簡記為 B(byte 的簡寫)。已知 1KB＝2 B，1¹⁰ MB＝2 KB，1¹⁰ GB＝2 MB，1¹⁰ TB＝2 GB ¹⁰ (1)試問 1TB 容量的硬碟，可儲存多少 Bytes 的資料？

(2)試將(1)的結果以科學記號表示且將係數部分四捨五入至小數點後第四位