Ch 1-4 一元二次不等式 一年____班 座號：____ 姓名：
重點 1：一元一次不等式
1.意義：設 f (x)為多項式，則 f (x)＞0，f (x) ≥ 0，f (x)＜0，f (x) ≤ 0 等統稱為多項式不等式 2.解多項式不等式：求出使得不等式成立的所有 x 值
3.一次不等式：
(1)設 a ≠ 0，形如 ax＋b＞0，ax＋b≥ 0，，ax＋b＜0，ax＋b ≤ 0 稱為一次不等式 (2)解一次不等式只要移項即可，當同乘或同除一個負數時，不等號要變方向 4.不等式的運算法則：設 a、b、c 為實數
(1)若 a＞b，則 a＋c＞b＋c (2)若 a＞b，且
<
<
>
>
bc ac c
bc ac c
，則 當
，則 當
0 0
例 1.1：試解一元一次不等式 3x－5＞x－1，並在數線上標示其範圍
Ex1.1：試解一元一次不等式 2x＋3 ≤ 5x＋9，並在數線上標示其範圍
例 1.2：為嚮應環保政策，甜蜜飲品店推出環保優惠折價活動：「凡自備容器可享每杯現折 5 元或總價打九折」二擇一，
小孟今自備容器，試問他買飲料的單價超過多少時，選九折較划算？
Ex1.2：小丸子想買一款價格兩萬元的手機，已知她現有存款 5000 元且計劃每個月都存 1200 元，試問最少還要幾個月才 能買到新手機？
重點 2：一元二次(多項式)不等式 1.二次不等式：
設 a ≠ 0，則 f (x)＝ax2＋bx＋c ≠ 0，包含 f (x)＞0、f (x) ≥ 0、f (x)＜0、f (x) ≤ 0 四種型式，稱為二次二次二次不等式二次不等式不等式 不等式 2.解多項式二次不等式：意即求出「使不等式成立的所有實數 x 值」，一般其解為一個範圍(或區間)，步驟如下：
步驟 1：調整使得x 項次方的係數(領導係數)為正2 正正正 步驟 2：因式分解完畢，求出其關鍵點(正負變化的點)
註：對 y＝ax2＋bx＋c 作因式分解時，設判別式 D＝b2－4ac，則：
(1)D＞0 但不是完全平方數時，利用公式法 x＝
a D b
2
±
− 分解
(2)D＝0 或 D 為完全平方數時，利用十字交乘法分解 (3)D＜0 時，直接判定為「恆正恆正恆正」 恆正
步驟 3：將關鍵點標示在數線上，由右至左依序為＋、－、＋、－、…，如圖 步驟 4：根據不等式之型式，求出其解
註：依判別式 D＝b2－4ac 的正負，可得圖形及相應的函數值正負號，如下表所示：
D＝b －2 4ac＞0 D＝b －2 4ac＝0 D＝b －2 4ac＜0
a＞0
a＜0
3.設 a ≠ 0，則二次函數 f (x)＝ax2＋bx＋c 恆正與恆負的條件
(1)若二次不等式ax2+ + >bx c 0恆成立 (恆正)，則 a > 0 且 D＝b2−4ac<0 (2)若二次不等式ax2+ + <bx c 0恆成立 (恆負)，則 a < 0 且 D＝b2−4ac<0
◎
判別式 D＞0例 2.1：試解下列一元二次不等式：(1)x2−5x+ >6 0 (2)x2−5x+ <6 0
x1 x2
x3
x4
＋
＋
＋
－ ＋
－
－
＋ －
＋
＋
＋
－
－
－
＋ －
＋
＋
＋
關鍵點
… …
• x
• －－ －－ ＋＋ ＋＋
＋
＋＋
＋
• ＋＋ ＋＋ x
－
－
－
－
＋
＋
＋
＋
＋ x
＋
＋＋
＋
＋＋
＋
• x
－•
－
－
－ ＋＋＋＋ －－－－ • x
－
－
－
－
－－
－－
－ x
－
－
－ －
－－
－
恆正 恆正 恆正 恆正
恆負恆負 恆負恆負
Ex2.1：試解下列一元二次不等式：(1)2x2+7x+ ≥3 0 (2)2x2− − <x 3 0
例 2.2：設 a、b 為實數，若一元二次不等式x2+ax b+ <0之解為 −2 < x < 5，試求 a、b 之值
Ex2.2：設 a、b 為實數，若一元二次不等式2x2+ax b+ <0之解為 1 2 x 3
− < < ，試求 a、b 之值
◎判別式 D＝0
例 2.3：試解下列一元二次不等式：(1)x2−4x+ >4 0 (2)x2−4x+ ≤4 0
Ex2.3：試解下列一元二次不等式：(1)2x2+4x+ ≥2 0 (2) 2 1 4 0 x x
− + − >
◎判別式 D＜0
例 2.4：試解下列一元二次不等式：(1)x2−2x+ >3 0 (2)x2−2x+ ≤3 0
Ex2.4：試解下列一元二次不等式：(1)− + − <x2 x 1 0 (2)x2+5x+ <7 0
例 2.5：行駛中的汽車由於慣性作用，在剎車時總會繼續行駛一段距離後才會完全停止，這段所需的距離稱為剎車距離。
假設某廠牌的新款汽車經過實驗測量發現，它的剎車距離 y (公尺)與車速 x (公尺／秒)滿足下列函數關係式：
y＝100 x2
＋10
3x，
x ≥ 0
，由此關係式，試求若要剎車距離不超過 10 公尺，則此款汽車的時速不得超過多少公里／時？
Ex2.5：小禹在編寫一個電腦螢幕保護程式時，需要輸入調節變數來控制螢幕上一顆閃光彩球的路徑軌跡。
已知彩球的軌跡是 f (x)＝x －4x＋4，為了確保彩球能在工作視窗內移動，必須滿足 ( ) 1002 f x ≤ ， 試求他輸入數值 x 的範圍
例 2.6：對任意實數 x，二次函數x2−4x+2k之值恆為正數，試求 k 的範圍
Ex2.6：對任意實數 x，二次函數3x2− +kx 3之值恆為正數，試求 k 的範圍
重點 3：分式不等式
1.意義：設 f (x)、g(x)皆為多項式且 g(x)不為零多項式，則形如 ) (
) (
x g
x
f 的式子稱為分式。
) (
) (
x g
x
f ≠ 0 稱為分式不等式
包含 ( ) ) (
x g
x
f ＞0，
) (
) (
x g
x
f ≥ 0，
) (
) (
x g
x
f ＜0，
) (
) (
x g
x
f ≤ 0 等四種形式
2.分式不等式的解：
(1) ( ) ) (
x g
x
f ＞0 與 f (x)g(x)＞0 有相同解
(2) ( ) ) (
x g
x
f ≥ 0 與 f (x)g(x) ≥ 0，g(x) ≠ 0 有相同解
(3) ( ) ) (
x g
x
f ＜0 與 f (x)g(x)＜0 有相同解
(4) ( ) ) (
x g
x
f ≤ 0 與 f (x)g(x) ≤ 0，g(x) ≠ 0 有相同解
例 3.1：試解分式不等式2 1 1 0 x x + ≥
−
Ex3.1：試解分式不等式 2
1 3
+
− x
x ＜0
