Ch 1-2 直角坐標系 一年____班 座號：____ 姓名：
重點 1：直角坐標系
1.意義：在平面上取兩條互相垂直的數線，且使此兩條數線的原點重合，此交點 O 稱為原點；
水平數線稱為 x 軸，在原點右方為正，左方為負；鉛直數線稱為 y 軸，在上方為正，
下方為負，建構了直角坐標系的框架，而直角坐標系所處的平面稱為「坐標平面坐標平面坐標平面」 坐標平面 2.坐標：設 P 為平面上任一點，從 P 點向 x 軸、y 軸分別作垂線，交 x 軸、y 軸於 A、B
兩點，若 A、B 兩點在 x 軸、y 軸上所對應的數分別為 a 與 b，
則 P 點坐標以(a，b)表之，記為 P(a，b)，這種形式我們稱為「數對」
3.象限：直角坐標系中，x 軸與 y 軸將平面劃分成四部分，
每一部分稱為象限象限象限，象限的名稱及坐標之正負關係如圖 象限 註：第一象限(＋，＋)
第二象限(－，＋) 第三象限(－，－) 第四象限(＋，－)
註：x 軸上的點為(x，0)，y 軸上的點為(0，y )
例 1.1：試問下列各點分別在哪一象限內或在哪一坐標軸上？
A(2，1)， B(3，－8)， C(－7，－3)， D(5，0)， E(0，6)， F(－4，
3 2)
Ex1.1：試問下列各點分別在哪一象限內或在哪一坐標軸上？
A(－ 3 ，5)， B(4，2)， C(0，－4)， D(
4
−3， 2
−1)， E(3，－100)， F(0，0)
例 1.2：已知點 A(a－b，ab)在第三象限，試問點 B(
a
b， b− )在第幾象限？
Ex1.2：已知點 P(a，a＋b)在第二象限，試問點 Q(b，a－b)在第幾象限？
重點 2：平面上的兩點間距離公式
意義：在坐標平面上取兩點 A(x1，y1)、B(x2，y2)，過 A、B 分別作垂線交 x 軸 於 A′、B′兩點，另過 A 作水平線交 BB ′於 C，則點 C 坐標為(x2，y1)，如圖 因為△ABC 是直角三角形，利用畢氏定理得知
AB ＝2 AC ＋2 BC ＝2 (x2 −x1)2＋(y2 −y1)2 所以 AB ＝ (x2 −x1)2 +(y2 −y1)2
例 2.1：坐標平面上兩點 A(－3，－7)、B(9，－2)，試求 A、B 之間的距離
Ex2.1：坐標平面上兩點 P(1，3)，Q(－7，9)，試求 P、Q 之間的距離
重點 3：平面上的分點坐標
意義：在坐標平面上相異兩點 A(x1，y1)、B(x2，y2)，若點 P 在 AB 上，且 AP ： BP ＝m：n，
則 P 點坐標為(
n m
x m x n
+ + 2
1 ，
n m
y m y n
+ + 2
1 )
說明：設 P 點坐標為(x，y)，並自 A、B、P 三點分別向 x 軸、y 軸作垂線，如圖 觀察投影在 x 軸上的分點坐標
因為PA PB: =P A P B′ ′ ′ ′: =m n: ，即
(
x−x1) (
: x2− =x)
m n:代入分點坐標公式得 nx1 mx2
x m n
= +
+ ， ny1 my2
y m n
= + +
註：當 m＝n 時， AP ： BP ＝1：1，此時 P 點坐標即為中點坐標(
2
2
1 x
x +
， 2
2
1 y
y + ) ( 2 1) (2 2 1)2
AB= x −x + y −y
x y
例 3.1：坐標平面上兩點 A(1，－12)、B(－7，4)，試求：
(1)若 P 在 AB 上且 AP ： BP ＝3：1，則 P 點坐標為何？
(2)若 M 為 AB 中點，則 M 點坐標為何？
Ex3.1：坐標平面上兩點 A(－1，5)、B(11，11)，試求：
(1)若 P 在 AB 上且 AP ： BP ＝1：2，則 P 點坐標為何？
(2)若 M 為 AB 中點，則 M 點坐標為何？
例 3.2：設 A(1，－2)、B(－3，4)，若點 P 在 AB 之延長線上且 AP ： BP ＝3：1，試求 P 點坐標
Ex3.2：設 A(1，－2)、B(－3，4)，若點 P 在 AB 之延長線上且 AP ： BP ＝1：3，試求 P 點坐標
例 3.3：已知平行四邊形 ABCD 的三頂點坐標 A(－3，－8)、B(3，－4)、C(1，6)，試求第四個頂點 D 點的坐標
Ex3.3：已知平行四邊形 ABCD 的三頂點坐標 A(8，7)、B(－5，6)、C(－1，2)，試求第四個頂點 D 點的坐標
A B
D C
•
重點 4：三角形的重心坐標
意義：在坐標平面上相異三點 A(x1，y1)、B(x2，y2)，C(x ，3 y )，且 G 為△ABC 之重心， 3 則重心 G 點坐標為(
3
3 2
1 x x
x + +
， 3
3 2
1 y y
y + + )
說明：設 G 點坐標為(x，y)，M 為 AB 的中點，所以 M 點坐標為(
2
2
1 x
x +
， 2
2
1 y
y +
)，如圖
依據三角形重心性質得知CG：GM ＝2：1
代入分點坐標公式得，x＝
1 2
2 2
1 3 1 2
+
× + +
× x x
x
＝ 3
3 2
1 x x
x + +
，y＝ 2 1 2 2
1 3 1 2
+
× + +
× y y
y
＝ 3
3 2
1 y y
y + +
故重心 G 點坐標為(
3
3 2
1 x x
x + +
， 3
3 2
1 y y
y + + )
例 4.1：已知△ABC 之三頂點為 A(8，－6)、B(5，8)、C(－7，10)，試求△ABC 的重心坐標
Ex4.1：已知△ABC 之兩頂點 A(－2，5)、B(－4，－1)，且 G(－2，4)為△ABC 重心坐標，試求第三個頂點 C 點的坐標
