題目：在中，設為邊上一點，，且的平分線與交於。試證：的充要條件為四點共圓。

題目：在

中，設

為

邊上一點，

，且

的平分線與

AC

交於

。試證：

的充要條件為

四點共圓。

試題來源 ■ 自 編 □ 改編於：

類 別 □ 代 數 □ 數 論 □ 組 合 ■ 幾 何

難 易 度 □ 難 ■ 中等 □ 易 編 號 筆試(二)第一題

參考解答：

(1) 設 AEDE

在射線 BC 上取一點 F 使 BF BA，則 ABE FBE；於是， AEEF。因此，

DEAEEF 。於是， EDCEFB BAC；由此可得

(180 ) 180

BDE BAC EDC BAC

          ，故 A B D E, , , 四點共圓。

(2) 設 A B D E, , , 四點共圓

由   A EDC,ABD DEC，可得 CAB CDE，因此， ^{DE EC} AB  BC ， 即 ^{DE AB}

EC  BC 。又因 BE 為ABC 的平分線，可得 AE AB

EC  BC ；由此可知 AE AB DE

EC  BC  EC ，故 AEDE。

F E

D

A

B

C _F

D

E A

B

C

題目：有一非常大的正整數

，它除了不可被

至

中某兩連續正整數

, 1

k k

整除外，都可被

至

中其他的整數整除，試求

之值。

試題來源 □ 自 編 ■ 改編於：華盛頓大學挑戰題

類 別 □ 代 數 ■ 數 論 □ 組 合 □ 幾 何

難 易 度 □ 難 ■ 中等 □ 易 編 號 筆試(二)第二題

參考解答：

(1) 首先，證明k 125：

當 k125時，因為 n 不可被 k 整除，得 n 也不可被 2k 整除，但1 2 k250， 此與已知條件矛盾。

(2) 證明 k k, 1必為質數或質數之次方：

假設 k 可分解成 k rs，其中r s, 互質。因為 k 不整除 n，則 r 不整除 n或 s 不 整除 n，此與已知條件矛盾。故 k 必為質數或質數之次方。同理可證，k1亦為 質數或質數之次方。

(3) 另一方面， ,k k1中必有一為偶數，所以 k k, 1中必有一為 2 的次方。但是介於 125 至 250 之間之 2 的次方為 2⁷ 128，故 128 為一不可整除 n 之數。另一數可能 為 127 或 129，又因129 3 43，而 127 為一質數，所以 127 為另一不可整除 n 之 數。故兩數為 127,128，即 k127。

題目：在直角坐標平面上，給定相異兩點

，試證：平面上可以找到由 有限個點所組成的集合

，同時滿足以下兩條件：

(1)

必須包含

兩點，

(2) 對

中每一個點

，在

中至少還有

個點

滿足

。 試題來源 □ 自 編 ■ 改編於：1996 Crux Math.

類 別 □ 代 數 □ 數 論 ■ 組 合 □ 幾 何

難 易 度 ■ 難 □ 中等 □ 易 編 號 筆試(二)第三題

參考解答：

首先，利用數學歸納法可以證明：對任意的正整數 n，平面上都存在一有限集 合 _n 滿足以下兩條件：

(1) _n 至少包含 n1個點，

(2) 對 _n 中每一個點 P ，在 _n 中至少還有 n個點 X 滿足PX 1。 當 n1時，可以取 ₁ 為一單位長的兩端點。

當 n2時，可以取 ₂ 為邊長 1 的正三角形的三個頂點。

假設命題對 nk 時成立，即存在一有限集合 _k 滿足兩條件。取平面上一單位向量u 使 u 與 _k 中任意兩點決定的向量都不平行，並將_k 的點依 u 的方向平移一單位，可 得另一組與 _k 個數相同的點集合 S ，則    _k S 。於是，若取    _{k1 k} S ，則

k1

 滿足兩條件：

(1) _k1 至少含有 2k2 個點，其中 2k 2 (k 1) 1

(2) 對 _k1 中每一個點 P ，在 _k1 中至少還有 k1個點 X 滿足PX 1。 特別的，有限集合 ₂₀₀₈ 滿足以下條件：

對 ₂₀₀₈ 中每一個點 P ，在 ₂₀₀₈ 中至少還有 2008 個點 X 滿足PX 1。

現在，若給定相異兩點 ,A B ，則任取 ₂₀₀₈ 中一點 P ，並將 ₂₀₀₈ 中的每一個點，分別 依 PA 及 PB 的方向平移，設得到的點集分別為 _A 及 _B ；若取   _{A B} ，則 包含 A B, 兩點，且對  中每一個點 P ，在  中至少還有 2008 個點 X 滿足PX 1。