映射數列問題

映射數列問題

張忠輔 • 楊世明

設 T 為自然數集 N → N 的映射。 任 給 n

0

∈ N, 連續施行疊代: T (n

0

) = n

1

, T (n

1

) = n

2

, . . . , 一般地, T (n

_k−1

) = n

k

∈ N, k = 1, 2, 3, . . . 則數列

n

0

, n

1

, . . . , n

k

, . . . (1) 就叫做 映射數列, 這種數列常呈現某種奇妙 的性質, 如週期性等等。

易見, T 是 N 上的一個二元關係。 考 慮 N 的一個子集 N

^′

, 滿足: m ∈ N

^′

⇒ T

^(m)

∈ N

^′

(即 N

^′

關於 T 封閉)。 我們約 定, 如果 T (m) = n, 則由 m 到 n 以有向 孤 (m, n) 連接, 那麼就構成圖 (N

^′

, T ), 該 圖也稱為數列 (1) 的圖論表示。 不難知道, 數 列 (1) 的性質與圖 (N

^′

, T ) 的性質是相互對 應的。

對 (1) 來說, 如存在一個非負整數 k 和 一個最小的自然數 ℓ, 使得

T (n

k

) = n

k+1

, T (n

k+1

) = n

k+2

, . . . , T (n

_k+ℓ−1

) = n

_k

(即 n

k+ℓ

= n

k

), 則 (1) 稱為 週期數列, ℓ 叫做 週期, {n

_k

, n

_k+1

, . . . , n

_k+ℓ−1

}稱為一 個 週期節 (也叫循環節), 一個 週期節 在圖

(N

^′

, T ) 中將形成一個圈 (稱為 洞, 以週長 ℓ 表示其大小)。

按“鴿洞原理”, 數列 (1) 為週期數列的 一個顯然的充分條件是 {n

_k

} 有界。 由此不 難證明: 如果數列 {n

_k

} 自某項以後位數不 增, 則它必為週期數列。

關於數列 (1) 成為週期數列的條件問 題, 已有若干工作, 但至今未能較具體地解決 如下問題:

whc1: 數列 (1) 為週期數列的條件是 什麼? (這裡,whc 表示問題或猜想, 下同)

1. 數碼方冪和問題

以 T (n) 表示 n (在 10進制下) 各位數 碼的 m (m ∈ N) 次方之和。 當 m = 1 時, T (n) 即為 n 的數碼和, 容易證明, 這時, 在 有限步內, 數列 (1) 必進入週期節 {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8} 或 {9}。 我 們考慮 m = 2 的情形, 即數碼平方和問題。

先看兩個例子:

取 n

₀

= 9331, 則(1) 成為:

9931, 100, 1, 1, 1, . . . 取 n

₀

= 2986, 則(1) 成為:

76

2986, 185, 90, 81, 65, 61, 37, 58, 89, , 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, . . . .

它們都是週期數列, 週期分別為 1 和 8。 一般 地, 有如下結論:

設 T (n) 表 n (n ∈ N) 在 10進制下各 個數碼的平方和, 則數列 {n

_k

} 有如下兩條 性質之一:

1

^◦

存在 k

0

∈ N, 使得當 k ≥ k

0

時, n

_k

= 1;

2

^◦

存在 k

₀

∈ N, 使得當 k ≥ k

0

時, n

_k

∈ M = {37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, 16}。

為了證明, 設 n

₀

=

^{P t} _i=1

10

ⁱ⁻¹

a

i

(a

i

為數碼 0, 1, . . . , 8 或 9 )。 則 n

1

= T (n

0

) =

P _t

i=1

a

² _i

, 於是 n

0

− n

1

=

t

X

i=2

(10

ⁱ⁻¹

− a

i

)a

i

− (a

1

− 1)a

1

因 0 ≤ a

_i

≤ 9, 則 (a

1

− 1)a

1

≤ 72, 當 t ≥ 3 時, 如 a

t

6= 0, 則 (10

^t−1

− a

t

)a

t

≥ 99, 且 對 i = 2, 3, . . . , t − 1, (10

ⁱ⁻¹

− a

i

)a

i

≥ 0。

因此, 當 t ≥ 3時, n

₀

− n

₁

> 0, 即 n

1

< n

0

這就說明, 只要 n

₀

為三位或三位以上的數, 求數碼平方和後, 就會減小。 同樣, 如 n

1

仍 是不低於三位的數, 那末 n

2

< n

1

, . . . , 因此 在有限步之後必成為一位或二位數 (當然, 可 能再變為三位數, 但不會再超過三位), 接前 述判別準則, 知 {n

_k

} 當為週期數列。 而且, 為了具體地找出週期節, 僅考慮一、 二位數就 可以了。

設 n

p

= 10b

2

+ b

1

, 則 n

p+1

= b

² ₁

+ b

² ₂

, 作出數列

n

p

, n

p+1

, n

p+2

, . . . , n

p+s

, . . .

的圖論表示 (圖 1-1), 它是圖 (N, T ) 的一部 分 (“根”部)。

此圖說明, 由不超過兩位的數 n

_p

出發, 通過最多 9 次疊代, 即進入 {1} 或 M。 從 而結論成立。

記 T

¹

(n)=T (n); T

²

(n)=T (T

¹

(n)), . . . , T

^k

(n) = T (T

^k−1

(n)), . . ., 對任意的 n ∈ N, 上面已證明, 當 m = 2 時, 存在 最小的非負數 k

₀

(n) = k

0

, 使 T

^k

⁰(n) = 1 或 T

^k

⁰(n) ∈ M (我們稱這個 k

0

為 n 關於 T 的到 M 或 {1} 的路程。 那麼我們問:

whc2: 能否求出 k

0

(n) 的解析式? n 滿足什麼條件時, 有 T

^k

⁰(n) ∈ {1} (或 M)?

對 n =

^{P t} _i=0

10

ⁱ

a

i

, a

i

∈ {0, 1, . . ., 9}, 設 T (n) =

^{P t} _i=0

a

^m _i

(m ∈ N), 上 海市一位中學生戚淳昊 1988年曾研究過此問 題。 並找到了當 m = 3 時, (N, T ) 中的七 個圈:

{1}, {153}, {370}, {371}, {407}

{55, 250, 133}, {160, 217, 352}

1992年4月, 馮躍峰認為應存在九個圈, 另外 兩個是

{919, 1459}, {136, 244}

當 m = 4 時, 他找到了兩個圈 {1}, {1138, 4179, 9219, 13139, 6725, 4338, 4514}

在一般情形下, 圖 (N, T ) 是否一定有圈? 對 此, 馮證明了如下

78 22 2 87 6

... ..

. ..

10

.. . ..

9

.. . ..

8

.. . ..

7

.. . ..

6

.. . ..

5

.. . ..

4

.. . ..

3

.. . ..

2

.. . ..

1

.. . ..

0

70

... . .. .. . .. .. .. .. .

7

...

49

...

97

...

130

... ...

.. .. .. .. . .. .. ..

94

... . .. . .. . . .. . . .. .

79

... . .. . .. . . .. . . .. .

31

...

10

...

. .. .. .. . .. .. . ..

44

...

32

...

13

^{...............}

... . .. . . . .. . . . .. . .

23

^{................}

. ...

. . .. . .. . . . . .. . .

82

...

68

...

100

... ... . .. . .. . .. . . . .. .

28

^{................}

. ...

. .. . . .. . . . . . .. .

86

^{................}

. ...

. .. . . .. . . . . . .. .

1

. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. ... ... ..

24

. ...

. . .. .. . .. .. . .. .

42

.. .. .. . .. .. . .. .. . . . .. . .. .. . .. .. .. . .. ...

87

...

20

.. .. .. . .. .. . .. .. . . . .. . .. .. . .. .. .. . .. ...

78

...

113

... ...

11

...

2

...

4

.. .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . . . .. . .. .. .. . .. .. . .. ...

96

. ...

.. . .. . .. . .. .. . .

15

. ...

.. . .. . .. . .. .. . .

62

. ...

.. . .. . .. . .. .. . .

88

...

128

... ...

69

...

117

... ...

51

...

26

...

40

...

16

. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . ...

59

. ...

95

...

106

... . ...

.. .. . .. .. .. . .. .

57

. ...

.. . .. . .. . .. .. ..

47

. .. ...

.. . .. .. . .. .. .. .

39

. ...

.. . .. . .. . .. .. ..

75

...

74

. ...

.. . .. .. .. .. . .. .

93

...

90

. ...

.. . .. . .. . .. .. ..

56

. ...

.. . .. . .. . .. .. ..

37

. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . . .. .. .. . .. .. . .. . .. ...

M 3

...

9

...

81

...

65

...

61

^...........

. ...

. . . .. . . . . .. . . . .

30

^............

... . . .. . . . . .. . . . . .

33

...

18

^............

... . . .. . . . . .. . . . . .

91

. ...

38

. ...

19

...

83

...

73

...

58

. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . ...

22

. ...

.. . .. . .. . .. .. . .

48

. ...

8

. ...

16

. ...

76

. .. ...

.. .. .. . .. .. . .. .

84

...

80

...

64

...

52

. ...

.. .. .. . .. .. .. . .

67

. ...

.. .. .. . .. .. .. . .

71

. ...

.. . .. . .. . .. .. ..

60

...

36

...

45

...

41

...

17

...

50

...

25

...

29

...

85

...

89

. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . ...

55

^............

... . . .. . . . . .. . . . . .

5

^............

... . . .. . . . . .. . . . . .

92

^............

... . . .. . . . . .. . . . . .

12

^{.....................}

. ... . .. . .. . .. . .. ... . . .

21

^............

... . . .. . . . .. . . . . . .

13

^......

... . .. .. .. .. . .. .. .

66

...

72

...

53

...

34

... . .. . .. .. .. .. .. .

77

...

98

...

145

...

77

^........

. ...

. . .. . . . .. . . . . . .

35

^........

... . . .. . . . .. . . . . . .

圖 1 − 1 定理1-1: 對任何 n ∈ N, n = a

0

+ a

1

· 10 + · · · + a

t

· 10

^t

, (其中 a

0

, a

1

, . . . , a

t

為數碼, a

t

6= 0), 設 T (n) = a

^m ₀

+ · · · + a

^m _t

(m ∈ N), 則 (1) 必為週期數列, 即圖 (N, T ) 中必有圈。

只須證明存在 n

0

, 當 n > n

0

時, T (n) 位數不增即可。 事實上, 可證更強的結果: 當 n > n

0

時, T (n) ≤ n。 為此, 考察

n − T (n) =

t

X

i=0

(10

ⁱ

a

i

− a

^m _i

)

=

t

X

i=0

a

i

(10

ⁱ

− a

^m−1 _i

)

構造函數

f (x) = x(10

^t

− x

^m−1

) (0 ≤ x ≤ 9) 則

f

^′

(x) = 10

^t

− mx

^m−1

≥ 10

^t

− m · 9

^m−1

設 m · 9

^m−1

為 k 位數, 取 n

₀

= max(10

^k

, 10

^m

), 由於 a

t

6= 0, 則當 n > n

0

時, t ≥ max(k, m), 於是

f

^′

(x) ≥ 10

^t

− m · 9

^m−1

> 0 從而 f (x) 在 [0,9] 上單調遞增, 而 1 ≤ a

_t

≤ 9, 故 f (a

t

) ≥ f (1) 即

a

_t

(10

^t

− a

^m−1 _t

) ≥ 1 · (10

^t

− 1) ≥ 10

^k

− 1

再由 t ≥ m, 得 n − T (n)

= a

_t

(10

^t

−a

^m−1 _t

)+a

_t−1

(10

^t−1

−a

^m−1 _t−1

) +· · ·+a

_m−1

(10

^m−1

−a

^m−1 _m−1

)

+a

_m−2

(10

^m−2

−a

^m−1 _m−2

) + · · · +a

₁

(10−a

^m−1 ₁

) + a

₀

(1−a

^m−1 ₀

)

≥ a

t

(10

^t

−a

^m−1 _t

)+a

_m−2

(10

^m−2

−a

^m−1 _m−2

) +· · ·+a

1

(10 − a

^m−1 ₁

) + a

0

(1 − a

^m−1 ₀

)

≥ 10

^k

− 1 + 9(0 − 9

^m−1

)(m − 1)

≥ 10

^k

− 1 − m · 9

^m

≥ 0

(最後一步是因為: m · 9

^m

為 k 位數, 而 10

^k

−1 為 k 位數中最大的)。 所以當 n > n

0

時, T (n) ≤ n 。 證畢。

由證明過程可見:

1) n

0

的理論值估得比較大, 實際上開始 進入週期要早得多, 即非週期部分的項數比 n

0

小得多。

2) 設 p ∈ N, p ≥ 2, n =

^{P t} _i=0

a

i

p

ⁱ

, a

i

∈ {0, 1, . . . , p − 1}, T (n) =

^{P t} _i=0

a

^m _i

(m ∈ N), 則上述證明對圖 (N, T ) 是完全 適用的, 即可完全類似地證明圖 (N, T ) 中必 有圈。

根據 m = 1, 2, 3, 4 的結果, 對 p = 10, 馮躍峰猜想:

當 m 為奇數時, (N, T ) 中有9個圈; 當 m 為偶數時, (N, T ) 中有 2 個圈。

1993 年 5 月, 江蘇沭陽的張延衛找到 m = 4 時 (N, T ) 中的 6 個圈, 從而否定了 馮猜想; 但還未弄清。

whc3: 對 p = 10 和 m ∈ N, 圖 (N, T ) 中有多少個圈? 怎樣構造這些圈? 大 小如何? 還有什麼規律和性質?

whc4: 在 p(p ∈ N, p 6= 1) 進制下, 圖 (N, T ) 有幾個圈? 圈數同 p 有何關係?

怎樣構造這些圈?

whc5: (自然數數碼和的方冪問題) 設 m ≥ 2 為自然數, 對 p ∈ N, p ≥ 2, n =

^{P t} _i=0

a

i

p

ⁱ

, 設 T (n) = (

^{P t} _i=0

a

i

)

^m

, 考慮數列 (1) 和圖 (N, T ) 的性質及其與方 冪和問題之間的關係。

2. (3n + 1) 問題

漢堡大學的庫拉茲 (Collatz)1985年底 發表一篇文章, 談到他早在 1928-1933 年期 間想到的一個問題,1952 年後逐漸傳播出去 的情形。 到八十年代初, 已有若干工作。 此問 題由於表述簡明, 又有難度, 激起不少人的興 趣。 庫拉茲本人稱為 “(3n + 1) 問題”, 有 文獻稱為“庫接茲問題”, 日本人稱為“角谷猜 想”, 問題至今尚未解決。

whc6: ((3n + 1) 問題) 對任一自然數 n ≥ 2, 反復施行運算: 若 n 為奇數, 乘以 3 再加 1; 若 n 為偶數, 則除以 2, 那末計算到 最後, 總得 1。

米田信夫對 7000 億以內的數進行驗算, 結果都對。 如果對 n ∈ N, 取

T (n) =



 

 

 

 

1, 若n = 1,

n

2

, 若n = 2k, k ∈ N, 3n+1, 若n=2k + 1, k ∈ N.

80 22 2 87 6

那麼就是要證明: 對任意 n

0

∈ N, 數列 (1) 成為

n

0

, n

1

, . . . , n

t

, 1.1, 1, . . . (2) (t 為非負整數), 如稱滿足 (2) 的自然 n

0

為 庫拉茲數, 全部庫拉茲數構成的集合記作 N

c

, 那末 (3n + 1) 問題就是要證明。

whc6

^′

: N

c

= N。

我們有 1 ∈ N

c

, 2

^k

∈ N

c

(k ∈ N), 而 且由於對 k ∈ N, 有 T

^k

(2

^k

m) = m, 則有

定理1-2: m ∈ N

c

⇒ 2

^k

m ∈ N

c

(k ∈ N)。

將 T (n) 分別記為 T

0

(1) = 1, T

₁

(2m) = m, T

₂

(2m+1) = 3(2m+1)+1, 則易證如下的

定理1-3: m ∈ N

c

⇔ 存在 k ∈ N, 對 m ∈ N 施行若干次運算 T

₁

, T

₂

後化為 2

^k

。

充分性是顯然的, 現證必要性: 設 m ∈ N

c

, 則按定義:

T

₁ ^k

T

2

T

₁ ^k

^ℓT

2

T

₁ ^k

^ℓ−1T

2

· · · T

2

T

₁ ^k

¹(m) = 1 (3) 其中, k, k

ℓ

, . . . , k

2

∈ N, k

1

為非負整數 (約 定 T

₁ ⁰

(m) = m)。 但只有 T

₁ ^k

(2

^k

) = 1, 因此 由 (3) 知 T

₂

T

₁ ^k

^ℓT

2

· · · T

2

T

₁ ^k

¹(m) = 2

^k

。

由定義可直接推出

定理1-4: n ∈ N

c

⇒ T (n) ∈ N

c

。 我們來考慮 (無限有向) 圖 (N, T ), 由 於除 1 以外, 奇數僅是 T

1

(n) 的結果, 因此, 奇數頂點的出入次數都是 1, 偶數頂點的出次 數為 1, 但 λ 次數可以為2(當且僅當 2m ≡ 1 (mod 3) 時, 頂點 2m 的 λ 次數為 2), 在圖 1-2 中, 畫的是圖 (N, T ) 的一部分。

27

... .

82

. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . . ... ...

41

...

124

_.

. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. ... ...

62

... .

31

. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. ... ...

94

... .

47

. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. ... ...

142

... .

71

. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. ... ...

214

...

107

_.

... .. . .. . .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. ...

42

_.

.. .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. ...

21

...

64

. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . ...

128

... .. .. . . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. ... ... .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. . . ...

32

^............ . .. .. . .. .. .. .. .

16

_.

.. .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . ...

8

... .. .. ...

4

_.

.. .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . ...

2

... . .. . ...

1

. . . . .. . . . . .. . . .. .. . .. . ...

12

.. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. ...

6

. ...

3

... .. . . .. .. . .. .. ..

10

. ...

5

.. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . . ... . ... . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . . ... . ...

26

.. .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . ...

13

...

40

... .. . .. . .. . .. .. ..

20

. .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . ... ... . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . ... . ...

. . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. ... ...

11

... .

34

. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. ... ...

17

. . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . . .. . .. . . .. . . . . . ... . ... .

52

. . . .. . . .. . .. . . .. . . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. ... ...

. .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. ... ...

68

.. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . . .. . .. . ... ... .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. ... ...

80

. .. . .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. .. .. . .. .. ....

160

. ...

. . .. .. .. .. .. .. .

.

53

. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . . . ... . ...

. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . . ... . ...

106

.. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. ...

圖

_{1 − 2}

如果其中沒有圈和指向無窮的分支 (圖 1-3), 它就是一個“向根”樹, 樹的根部是 1, 那麼 whc6

^′

成立。 而如果它是連通的, 就不會 有圈或伸向無窮的分支, 否則就會出現如圖 1-3 所示的分叉點 A, 其出現次數為 2, 這同 T (n) 為映射相矛盾。 而沒圈和無窮分支且連 通的圖即為“向根”樹。 因此, (3n + 1) 問題 等價於

.. .. . . . . .. .. .. ... . ...

.. .. . .. . .. .. .. . ...

. .. .. . . .. . .. . .. . .. . .. . . .. ... ...

. .. . .. . .. .. .. . ...

. .. . . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . . . ... . ...

A

.. .. . . . . .. .. . . ...

. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. ...

.. .

.. . . .. .. . .. .. ...

. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. ... .. . .. . . . .. .. .. ...

1

. ... .. . ...

. ... .. . ...

.. ... . . ..

.. ...

.. .. .. . .. . .. . ..

. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. . . ... . ... . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . ... ...

. ... .. . ...

.. .. . .. .. .. . .. .

... .

.

A

... . .. .. .. .. .. .. . .

. .. ... . .. .

. ...

. .. .. . .. . .. .. . .

.. ...

. .. .. .. .. .. .. . .

.. .

.. .. . . . . .. .. ...

.. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . ...

.. .

. .. .. . . .. .. ...

.. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . ...

.. .. . . . . .. .. ...

1

圖

1 − 3

whc6

^′′

: 圖 (N, T ) 是連通的。

設 m ∈ N

_c

滿足關係式 (3), 則 m 稱 為 ℓ 次 庫拉茲數; 比如 g

₀

(k) = 2

^k

(k = 0, 1, 2, . . .) 為零次庫拉茲數; 對於 t ∈ N 和 非負整數 k,

g

1

(k, t) = 2

^k

(4

^t

+ 4

^t−1

+ · · · + 4 + 1) 為 1 次庫拉茲數; 由圖 1-2 可見,26,13 等為 2 次庫拉茲數。 不難驗證,11 為 4 次的, 而 27 為 41 次庫拉茲數。

whc7: ℓ(ℓ = 2, 3, 4, . . .)次庫拉茲數 的解析式是什麼?

1994 年 9 月, 福州的林世保獲得如下結 果:

1) 對 ℓ ∈ N 和非負整數 k

i

(i = 1, 2, . . . , ℓ) 使得

g

ℓ

=1

3

^ℓ

(2

^k

¹

^+···+k

^ℓ− 3

^ℓ−1

− 3

^ℓ−2

· 2

^k

¹

−3

^ℓ−3

· 2

^k

¹

^+k

² − · · · − 2

^k

¹

^+···+k

^ℓ−1) 為正整數, 則 g

_ℓ

是 ℓ 次庫拉茲數。 事實上, 這不過是方程 (3) 求解的結果, 例如, 二次 (奇) 庫拉茲數的表達式為

g

2

= 1

9[2

^2k

(2

^6k

¹

⁺²

− 1) − 3]或 g

2

= 1

9[2

^2k+1

(2

^6k

¹

⁺⁴

− 1) − 3]

2) 當 g

ℓ

≡ 1(mod 3) 時, g

ℓ

g

1

+

^g

^ℓ

⁻¹ ₃

是 ℓ + 1 次庫拉茲數; 當 g

₂

≡ 2(mod 3) 時, 2g

_ℓ

g

₁

+

^2g

^ℓ

₃ ⁻¹

是 ℓ + 1 次庫拉茲數。

3) 4g

_ℓ

+ 1 也是庫拉茲數。

3. (3n + 1) 問題的推廣

早在 1987 年, 安徽一位數學教師對 (3n + 1) 問題就做了系統的推廣,1990 年五 月, 「自然雜誌」 在發表他的文章的同時, 通 過“編者按”評價說:

“「角谷猜想的推廣」 雖出自一 位業餘數學愛好者之手, 但猜想有 據, 推斷有理, 顯示出一定的數學 功底。 本刊特予刊載, 若有朝一日 誰能沿著該文的思路一舉解決了 角谷猜想, 千萬不要忘記了這位在 艱苦條件下勤奮自學的業餘愛好 者呵!”

一個尚未解決的問題或猜想, 再“推 廣”有什麼意義嗎? 希爾伯特說:

82 22 2 87 6

“ 在解決一個問題時, 如果我 們沒有獲得成功, 原因常常在於我 們沒有認識到更一般的觀點, 即眼 下要解決的問題不過是一連串有 關問題中的一個環節。 採取這樣的 觀點之後, 不僅我們所研究的問題 會容易得到解決, 同時還會獲得一 種能用於相關問題的普通方法。”

張對 (3n + 1) 問題的推廣, 正是給出了一 連串有關的問題和這類問題的一般觀點, 從 而使問題表現出更明顯的規律性, 特別顯示 出問題不僅同兩個素數 2 和 3 有關, 而是 同整個素數數列密切聯繫, 從而揭示出問題 的深刻意義。

如果把 (3n + 1) 問題 (whc 6) 叫做 猜想 1, 作代換 1 → 3

^k

(k 為非負整數) 就 得

猜想1

^′

((3n + 3

^k

) 問題): 設 k 為給定 的非負整數, 對任一自然數 m,

(1) 若 m 為偶數, 則用 2 除 m;

(2) 若 m 為奇數, 則用 3 乘 m 再加 3

^k

。

對上述運算結果行上述運算, 則經有限 次後, 總得 3

^k

。

猜想2 ((5n + 1) 問題): 對任一自然數 m,

(1) 若 2 | m 或 3 | m, 則用 2 或 3 除 m;

(2) 若 2

∤

m 且 3

∤

m, 則用 5 乘 m 再加 1,

對上述運算結果再行上述運算, 有限次 後總為 1。

在 (5n + 1) 問題中, 作代換 1 → 5

^k

(k ∈ Z

⁻

), 其他不變, 則得

猜想 2

^′

: (5n + 5

^k

) 問題。

猜想3 ((7n + 1) 問題): 對任一自然數 m,

(1) 若 2 | m 或 3 | m 或 5 | m, 則用 2, 3 或 5 除 m;

(2) 若 2, 3, 5 均不能整除 m, 則用7乘 m 再加 1,

對上述運算結果再行上述運算, 有限次 後必得 1。

在猜想 3 中作代換 1 → 7

^k

(k ∈ Z

⁻

) 得

猜想3

^′

: (7n + 7

^k

) 問題。

猜想 4 ((11n + 1) 問題): 對任一自然 數 m,

(1) 若2,3,5,7中至少一個整除 m, 則用 它去除 m;

(2) 若 2,3,5,7 均不能整除 m, 則用 11 乘 m 再加 1。

對上述運算結果再行上述運算, 則經有 限次後, 結果或為 1, 或出現循環“17-47-37- 17”。

如果記 ψ

1

= {1}, ψ

2

= {17, 47, 37}, 則上述猜想結論可說成: “· · · 經有限次後, 結 果或屬於 ψ

1

, 或屬於 ψ

2

”。 記 ψ

^′ ₁

= {11

^k

}, ψ

₂ ^′

= {17 × 11

^k

, 47 × 11

^k

, 37 × 11

^k

} (k ∈ Z

⁻

) 在猜想 4 中作代換 1 → 11

^k

, ψ

₁

→ ψ

₁ ^′

, ψ

₂

→ ψ

₂ ^′

, 則有

猜想4

^′

: (11n + 11

^k

) 問題。

由以上不難看出, 猜想 1 − 4 分別為猜 想 1

^′

− 4

^′

當 k = 0 時的特殊情形。 意味深 長的是, 有

定理1-5: 如果猜想 1 − 4 成立, 則猜想 1

^′

− 4

^′

也成立。

我們僅證: 如 4成立, 則 4

^′

成立。

對給定的非負整數 k, 設從某自然數 m

₀

開始, 施行猜想 4

^′

運算過程:

m

0

→ m

1

→ m

2

→ · · · → m

i

→ · · · 其中 m

_i

是由 11m

_i−1

+ 11

^k

中約去素因子 2,3,5,7 而得, 用 F

i

表示約去的所有素因子 的和, 則

11m

_i−1

+ 11

^k

= F

i

m

i

再設 m

_i

= 11

^ℓ

n

i

, 11

∤

n

i

(i = 0, 1, 2, . . .) 下面分兩種情形討論:

若 ℓ

₀

≥ k, 則 11m

0

+ 11

^k

= 11

^ℓ

⁰

⁺¹

n

0

+ 11

^k

= 11

^k

(11

^ℓ

⁰

^−k+1

+ 1) = F

1

m

1

= 11

^ℓ

¹n

1

F

1

。 由素因子分解唯一性定 理, 知 ℓ

₁

= k, 同樣可證 ℓ

2

= ℓ

3

= · · · = k;

若 ℓ

₀

< k, 則 11m

0

+ 11

^k

= 11

^ℓ

⁰

⁺¹

n

0

+11

^k

= 11

^ℓ

⁰

⁺¹

(n

0

+11

^k−ℓ

^o

⁺¹

) = F

1

m

1

= 11

^ℓ

¹n

1

F

1

。 因 11

∤

n

1

F

1

, 故 ℓ

1

≥ ℓ

0

+ 1; 如仍有 ℓ

1

< k, 則同樣可得 ℓ

2

≥ ℓ

1

+ 1, 如此下去, 因 k 為有限數, 故必 有某 t, 使 ℓ

_t

≥ k。

綜合上述兩種情形, 必有某 t, 使 ℓ

_t

= ℓ

t+1

= · · · = k, 於是

m

_t+1

= (11m

_t

+ 11

^k

)/F

_t+1

= (11

^k+1

n

t

+ 11

^k

)/F

t+1

= 11

^k

(11n

_t

+ 1)/F

_t+1

, m

t+2

= 11

^k

(11n

t+1

+ 1)/F

t+2

, m

_t+3

= 11

^k

(11n

_t+2

+ 1)/F

_t+3

,

...

把這運算過程中每個 m

_i

除去因子 11

^k

, 正是從 n

_t

起, 按猜想 4的規定施行運算的過 程, 由於假定猜想4成立, 它最後結果屬於 ψ

₁

或 ψ

₂

; 由 ψ

^′ ₁

, ψ

₂ ^′

的定義可知, 猜想 4

^′

成立。

由於這種等價性, 猜想 i

^′

可不再考慮;

於是有一般性的

猜想 5 ((p

s

n + 1) 問題): 設 p

1

= 2, p

2

= 3, p

3

, p

4

,. . . 為連續的素數數列, s ≥ 2 為給定的自然數, m ∈ N,

(1) 若 p

1

, p

2

, . . . , p

_s−1

中有能整除 m 的, 則用它去除 m; (2) 若 p

i ∤

m(i = 1, . . . , s − 1), 則用 p

s

乘 m 再加 1。

對上述運算結果再行上述運算, 最後 結果必形成有限個循環 ψ

1

, ψ

2

, . . . , ψ

ℓ

, 且 ψ

1

= {1}。

whc8: 證明或推翻上述猜想。 如果猜 想得到證明, 則對給定的 s ∈ N, s ≥ 2, 試 進一步確定 ℓ 及 ψ

1

, ψ

2

, . . . , ψ

ℓ

。

上述猜想是建立在連續素數數列基礎上 的, 問題在於, 對單個的素數或任意排列的 素數列, 將會有什麼樣的結果? 對單個素 數,1991年 3月, 張煥明給出了一個猜想:

whc 設 m 為自然數,

(1) 若 m = 3k (k ∈ N), 則用 3 除 m;

(2) 若 m = 3k + 1 (k ∈ N), 則用 4 乘 m 再減去 1;

84 22 2 87 6

(3) 若 m = 3k − 1 (k ∈ N), 則用 4 乘 m 再加上 1,

對上述運算結果再行上述運算, 經有限 次後, 結果總為 1。

這結果正確嗎? 能否進行系列推廣?

1985 年拉嘎利斯 (C. Lagarias) 著文

「3x + 1 問題及其推廣」(The American Mathematical Monthly, Jan, 1985) 概述 了其研究情況, 引進了“ 停止時間函數”等概 念, 但很少實質性進展, 唯揭示其同遍歷理論 之聯繫, 頗有啟發性, 這就要整數集上定義映 射 T : Z → Z:

T (α) =







α

2

, α ≡ 0(mod 2)

3α+1

2

, α ≡ 1(mod 2) 然後再加以擴充。

4. 黑洞數問題

對任一個數字不全相同的三位數, 如 207, 施行重排求差運算 T : 把數字重排, 用 所得最大數減去最小數, 對結果再行同樣運 算, 最終必得 495, 即

207^......

^{T :720-027}

^{..........................................................................................................................................}693^......

^{T :963-369}

^{..........................................................................................................................................}594

T :954-459

.

...495^......

^{T :954-459}

^{..........................................................................................................................................}495 · · · 再換一個, 也是如此。

這可作出一般的證明: 取 n = b

₃

b

2

b

1

, 不妨設 b

3

≥ b

2

≥ b

1

, b

3

6= b

1

, 則

T (n) = b

3

b

2

b

1

− b

1

b

2

b

3

= (b

₃

− b

₁

− 1)9(10 + b

₁

− b

₃

) T (n) 的 10 位數字是 9, 首末位數字的和也是 (b

3

− b

1

− 1) + (10 + b

1

− b

3

) = 9。 因而, 只要對 990,891,792,693,594 加以驗證就可

以了, 結果為:

990−→891

^T

−→792

^T

−→693

^T

−→594

^T

−→495

^T

一般地, 設 N

_m

表示由 m 個不屬相同 的數字排成的自然數 (10 進制數, 包括前面 若干位為 0 的數如 0012· · · 7) 的集合 (事實 上, N

_m

為不超過 m 位但數字不全相同的數 的集合), T (n) 表示將 n (n ∈ N

_m

) 的數 字重排, 用所得最大數減去最小數的差 (稱為 重排求差), 我們來考查圖 (N

_m

, T ) 的有趣性 質。

如果存在不同的數 n

1

, n

2

, . . . , n

k

∈ N

m

, 使

T (n

1

) = n

2

, T (n

2

) = n

3

, . . . , T (n

_k−1

) = n

k

, T (n

k

) = n

1

,

則 (n

₁

, . . . , n

k

) 形成圖 (N

m

, T ) 中一個圈, 也叫做一個黑洞, n

1

, n

2

, . . . , n

k

稱為 N

m

(或 m 位) 的 一組黑洞數, k 表明了黑洞的 大小, 叫做 週長。

由定義知, N

1

= φ, 上已證明

定理1-6: 圖 (N

₃

, T ) 中恰有一個黑洞 (495)。

有文獻說, 印度數學家們研究過所謂“陷 阱數”, 且證明了四位陷阱數為 6174, 即

定理1-7: 圖 (N

4

, T ) 中恰有一個黑洞 (6174)。

(N

2

, T ) 如何? 容易證明。

定理1-8: 圖 (N

₂

, T ) 中恰有一個週長 k = 5 的黑洞 (09,81,63,27,45)

在圖 1-4 中給出的是一個完全歸納的證 明。

圖

_{1 − 4}

仔細觀察這個圖, 不難發現 (N

2

, T ) 構 造上的一些特點。

易見, 若 n ∈ N

m

, 則 T (n) ∈ N

m

; n

1

, n

2

∈ N

m

, 但只有數字排列不同, 則 T (n

1

) = T (n

2

); 由於 N

m

中元素個數是 有限的 (|N

m

| = 10

^m

− 10), 運算 T 卻可無 限進行下去, 因此有如下

定理1-9 (黑洞存在定理): 對任何 m ∈ N, m ≥ 2, m 位黑洞數存在, 即圖 (N

m

, T ) 中必有黑洞。

黑洞乃是 N

_m

中對 T 封閉的子集, 且 具有“只入不出”的性質, 同宇宙黑洞有某些 類似, 其名亦由此而得, 現已找到:

(N

_s

, T ) 中的三個黑洞 (僅列其中一個

數):

(63954, . . .)(k = 4), (62964, . . .)(k = 4) (53955, . . .)(k = 2) (N

6

, T )中三個黑洞

(642654, . . .)(k = 7), (6317464, . . .)(k = 7) (549945, . . .)(k = 7)

(N

7

, T ) 中的一個黑洞: (8719722,. . .) (k = 8)。

(N

8

, T ) 中的四個黑洞:

(63317664)(k = 1), (97508421)(k = 1)

86 22 2 87 6

(83208762, . . .)(k = 3), (86308632, . . .)(k = 7) (N

9

, T ) 中的三個黑洞:

(864197532)(k = 1), (554999445)(k = 1) (865296432, . . .)(k = 14)

whc10: 對於自然數 m ≥ 5, 設圖 (N

m

, T ) 中共 L

m

個黑洞, 則 L

m

=? 這 些黑洞的週長各是多少? 怎樣具體地構造這 些黑洞?

設 n ∈ N

_m

, 則 T (n) 各位數字之和為 9 的倍數, 還知道它的一些數字結構特徵, 但 尚不知:

whc11: n ∈ N

_m

是黑洞數的充分必 要條件 (除了定義) 是甚麼?

若 n ∈ N

m

不是黑洞數, 且 T (n) = n

1

, T (n

1

) = n

2

, . . . , T (n

_d−1

) = n

d

, 且 n

1

, . . . , n

_d−1

都不是黑洞數, n

_d

是黑洞數, 則 h

_m

(n) = d 叫做 黑程 (相當於數列 (1) 中非循環部分的項數); 若 n 是黑洞數, 約定 h

_m

(n) = 0。

怎樣求 h

_m

(n)? 它有解析式嗎?

自 1993年以來, 人們發現了黑洞數的不 少衍生規律, 但對上述幾個問題的研究, 無實 質性進展。

whc12: 設 p ∈ N, p ≥ 2, 試在 p 進 制下考慮相應的黑洞數問題。

為了簡化 N

_m

中黑洞的研究, 岳陽的李 抗強提出一種方法即“特徵數法”:

設 n ∈ N

_m

, 將其數字由大到小排列為 α

₁

, . . . , α

_m

(α

₁

≥ α

₂

≥ · · · ≥ α

_m

), 命

β

i

= α

i

− α

_m−i+1

(i = 2, 3, . . . , [

^m ₂

]), 則 稱 ¯n = β

₁

β

₂

· · · β

_[m/2]

0 · · · 0 為 n 的特徵 數 (由 α

₁

≥ · · · ≥ α

m

知 β

₁

≥ · · · ≥ β

[m/2]

)。¯n(n ∈ N

m

) 的集合記為 N

m

, 則 N

m

⊂ N

m

, N

m

中共有 C

_9+[m/2] ^[m/2]

− 1 個 元素, 比 N

m

少得多, 特徵數有如下性質:

i) 若 n ∈ N

m

, 則 T (n) = T (n);

ii) 若 n

1

, n

2

∈ N

m

, 則 T (n

1

) = T (n

2

) ⇔ n

1

= n

2

。

對 n ∈ N

m

, 我們定義 T (n) = T (n), 則 T 稱為 T 在 N

m

中的共軛運算, 那麼 T 在 N

_m

中是封閉的, 因此它是 N

_m

中的二 元關係, 從而可構造圖 (N

_m

, T )。 可以證明:

定理1-10: (N

m

, T ) 中的黑洞可與 (N

m

, T ) 中的黑洞建立一一對應關係, 且對 應黑洞週長相等。

略證如下:

設 (n

1

, . . . , n

k

) 為 (N

m

, T ) 中一個黑 洞, 則

T (n

1

) = n

2

, T (n

2

) = n

3

, . . . , T (n

k

) = n

1

於是

T (T (n

1

)) = T (n

2

), . . . , T (T (n

k

)) = T (n

1

) 由性質 i) 及 T 的定義:

T (T (n)) = T (T (n)) (定義)

= T (T (n)) (性質i)

= T (T (n)) (性質i) 所以

T (T (n

1

)) = T (T (T (n

1

)) = T (n

2

), T (T (n

2

)) = T (n

3

),

· · · T (T (n

_k

)) = T (n

₁

)

這說明 (T (n

1

), . . . , T (n

k

)) 為 (N

m

, T ) 中 一個黑洞, 即

F : (n

1

, . . . , n

k

) → (T (n

1

), . . . , T (n

k

)) 為 (N

_m

, T ) 中黑洞集合 H

m

到 (N

_m

, T ) 中 黑洞集合 H

m

的一個映射。 由性質 i),ii) 知, H

_m

中的不同黑洞映射到 H

_m

中的不同黑 洞, 即 F 為單射。

設 (n

₁

, . . . , n

_k

) ∈ H

_m

, 則 T (n

₁

) = n

2

, . . . , T (n

k

) = n

1

, 由性質 i), 有 T (n

1

) = n

2

, . . . , T (n

k

) = n

1

。 因此

T (n

1

) = n

2

, . . . , T (n

k

) = n

1

可見, (n

₁

, . . . , n

_k

) ∈ H

_m

, 說明 F 為滿射, 從而 F 是 H

_m

到 H

_m

的一一映射, 由證明 過程還可知, 對應黑洞週長相等。

上述證明過程還給出了 H

_m

中黑洞的構 造方法, 它們也是特徵數的性質:

iii) 若 (n

1

, . . . , n

k

) ∈ H

m

, 則 (T (n

1

), . . . , T (n

k

)) ∈ H

m

;

iv) T (n) 為 (N

_m

, T ) 中黑洞數 ⇐⇒ n 為 (N

_m

, T ) 中黑洞數;

v) 設 n

0

在 N

m

中黑程為 h(n

0

), n

0

在 N

_m

中黑程為 h(¯n

0

), 如 h(n

0

) 6= 0, 則 h(n

0

) = h(n

0

) + 1; 如 h(n

0

) = 0, 則 h(n

0

) = 0 或 1。

事實上, 記 h(n

0

) = d 6= 0, 則 T (n

0

) = n

1

, . . . , T (n

_k−1

) = n

d

, 其中 n

0

, . . . , n

_d−1

均非黑洞數, 而 n

d

為 N

m

中黑洞數, 仿 定理 1-10 的證明過程可知, T (n

₀

) = T (n

₀

), T (T (n

0

)) = T (n

1

), . . . , T (T (n

_d−1

)) = T (n

_d

), 由性質 iv, 知 T (n

₀

), . . . , T (n

_d−1

)

非 N

m

中黑洞數, 而 T (n

d

) 為 N

m

中黑洞 數, 因此 h(n

0

) = d + 1 = h(n

0

) + 1, 但 當 h(n

0

) = 0 時, n

0

雖為 N

m

中黑洞數, n

0

卻可能是也可能不是 N

_m

中黑洞數, 因此 h(n

0

) = 0 或 1。

5. 映射數列問題研究的意義與 前景

由前面所舉的幾例不難看出, 映射數列 (1) 或與之相應的圖 (N

^′

, T ) 的性質, 既與 n

0

(及相應的集合 N

^′

) 有關, 又同映射 T 有 關, 於是就開闢了研究自然數的一個新的領 域: 研究數在各種映射之下的性質, 數的動態 性質。 如果設

T (2) = 3, T (3) = 5, . . . , T (p

_k−1

) = p

_k

, . . . p

_k

(k = 1, 2, . . .) 為連續素數, 那麼我們對素 數的研究, 也可看作對一種映射數列的研究。

由於映射 T 的多對性, 以及相應的圖 論表示 (N

^′

, T ), 這就給映射數列的研究開闢 了無限廣闊的前景。 至於研究方法, 由於它既 與數論、 分析有關, 又同圖論聯繫, 乃是一種 邊緣數學, 因此, 不僅可自如地運用已有的數 論、 圖論、 函數論的成熟方法, 還可把它們融 匯貫通, 創造獨等的方法。

但應注意的是: 雖然我們前面介紹的幾 類都是週期數列, 可並不意味著只有週期映 射數列才有研究價值。 我們相信, 在大量非週 期映射數列中, 也必然有大量值得研究的問 題, 至於那些可能引向混沌映射數列 (把 N 擴充到複整數), 更會引人入勝, 還有二階的 (T (n

_i−1

, n

_i

) = n

_i+1

) 映射數列呢?

88 22 2 87 6

文獻 :

1. Collatz, About the motivation of the (3n+1)-problem, 譯文刊 「曲阜師大學報」, 1986 年 3 月。

2. 楊之, 張忠輔, 角谷猜想與黑洞數問題的圖論 表示,「自然雜志」,1988 年 6 月。

3. 楊之, 自然數在變換下的性質及其圖論表示

中的研 究課題, 「中國初等數學研究文集」(楊 世明主 編), 湖南教育出版社,1992 年 6 月。

—

本文作者張忠輔任教於中國甘肅省蘭州鐵 道學院

,

楊世明任職於中國天津市寶 坻 縣教 研室—