【問題一】設數列

110 學年度臺北市 (陽明高中)

普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽 數學科筆試（一）試題

編號： （學生自填）

注意事項：

1. 本試卷共四題計算證明題，滿分 49 分。

2. 考試時間：2 小時。

3. 試題及計算紙必須連同答案卷繳回。

4. 將作答過程填寫在答案卷內。

【問題一】設數列

a a a a a a a a₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆, ₇, ₈

的每一項都是正數，且同時滿 足以下八個等式：

₁

8 2

1 1

a = a + a

a₂ = +a₁ a₃

₃

2 4

1 1

a = a + a

a₄ =a₃+a₅

₅

4 6

1 1

a = a + a

a₆ =a₅+a₇

₇

6 8

1 1

a = a + a

a₈ =a₇+a₁

(1) 試比較

a a a a₂, ₄, ₆, ₈

四數的大小關係。

(6 分)

(2) 試找出所有可能的數列

a a a a a a a a₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆, ₇, ₈

。

(6 分)

【問題二】設正整數

m

及質數

p

滿足

16p²(51 2 )− m =m²(51 2 )+ m

。 (1) 試說明

m

必為

4

的倍數。

(4 分)

(2) 試找出所有可能的數對

( , )m p

。

(8 分)

<背面尚有試題>

【問題三】 如圖，ABCD 是邊長為 6 的正方形，其內切圓

^O

分別切

AB

、

^AD

於

U V,

兩點，且

PQ

與圓

O

相切，其中點

P

在

AU

上，點

Q

在

AV

上。

試證：

∆CPQ

的面積為定值，並求此定值。

(12 分)

【問題四】設正整數

n≥ ≥k 3

。對

^{X =}

{

^{1, 2, 3,}^,n

} 中恰含

k

個元素的子 集

A

，令

f A( )

表示 A 中

3

個連續整數組

( ,i i+1,i+2)

的組 數；例如：

對

n=9

及

k =7

，在

A=

{

1, 2, 3,5, 6, 7,8

} 中，出現

3

個連續整數 的組數恰有

3

組：

(1, 2, 3), (5, 6, 7), (6, 7,8)

，此時

f A( )=3

。 設

X

中所有

k

個元素的子集

A

之

f A( )

值的總和以

S k_n( )

表 示。

(1) 對

n=9

及

k =4

，試求

S₉(4)

之值。

(5 分)

(2) 對任意正整數

n≥ ≥k 3

，試求

S k_n( )

的一般式。

(8 分)

<試題結束>

110 學年度臺北市 (陽明高中)

普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽 數學科筆試（一）解答

【問題一】設數列

a a a a a a a a₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆, ₇, ₈

的每一項都是正數，且同時滿 足以下八個等式：

₁

8 2

1 1

a = a + a

a₂ = +a₁ a₃

₃

2 4

1 1

a = a + a

a₄ =a₃+a₅

₅

4 6

1 1

a = a + a

a₆ =a₅+a₇

₇

6 8

1 1

a = a + a

a₈ =a₇+a₁

(1) 試比較

a a a a₂, ₄, ₆, ₈

四數的大小關係。

(6 分)

(2) 試找出所有可能的數列

a a a a a a a a₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆, ₇, ₈

。

(6 分)

【解】

(1) 欲證 a a a a 四數相等。 ₂, ₄, ₆, ₈

假設 a₂ ≠ ，依對稱性可設a₄ a₂ < ，即a₄ a₁+a₃ <a₃+ ，故a₅ a₁< 。 a₅ 又

2 4

1 1

a > a 且 _{1 5}

8 2 4 6

1 1 1 1

a a

a + a = < = a + a ，可得

8 6

1 1

a < a ，即

6 8

a < 。 a

由此得知a₅+a₇ =a₆ <a₈ =a₇+a₁

，即

a₅ <a₁，矛盾！故 a₂ =a₄。 同理， a₄ =a₆ 且a₆ =a₈ ，所以， a₂ =a₄ =a₆ =a₈ 。

(2)令 a₂ =a₄ =a₆ = = > ，則a₈ k 0 a₁ a₃ a₅ a₇ ²

= = = =k ；因此，可得 k a₂ a₁ a₃ ⁴

= = + = k。

解得k= ，故滿足條件的數列只有一種，即2 (1, 2,1, 2,1, 2,1, 2)。

【另解】由所給的 2n 個方程式（本題為n=4的特例），可得：

4 3 5

2 4 4 6 2 4 6

1 1 1 1 1 2 1

a a a

a a a a a a a

= + = + + + = + +

6 5 7

4 6 6 8 4 6 8

1 1 1 1 1 2 1

a a a

a a a a a a a

= + = + + + = + +



2 2 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 2 1

n n

n n n n n

a a a

a a a a a a a

−

− −

= + = + + + = + +

若記a_2n+2 = ，則a_{2 2}

2 2 2 2 2

1 2 1

k

k k k

a = a ₋ + a + a ₊ , ∀ k =1, 2, 3,,n。

設 ₂

1

min _k

k n

m a

= ≤ ≤ ， ₂

1

max _k

k n

M a

= ≤ ≤ ，並設當k=i時，a_2i = ，且當m k= j時，

a_{2 j} =M ，則

2 2 2 2

2 1 1 2 1 1 2 2

i i

m= m + a ₋ + a ₊ ≥ m + M + M = m + M ，

2 2 2 2

2 1 1 2 1 1 2 2

j j

M = M + a ₋ + a ₊ ≤ M + m + m = M + m 。 由此可得m≥M ，因此，對所有的k=1, 2, 3,,n，a 均相等。 _2k 令a_2k = ，a ∀ k=1, 2,,n，則a ^{2 1 1 4}

a a a a

= + + = 。因為a>0，所

以，

a=2，即a_2k = ，2 ∀k =1, 2,,n，因而 _{2 1} ^{1 1} 1

2 2

a k₋ = + = ，∀k =1, 2,,n。

【問題二】設正整數

m

及質數

p

滿足

16p²(51 2 )− m =m²(51 2 )+ m

。 (1) 試說明

m

必為

4

的倍數。

(4 分)

(2) 試找出所有可能的數對

( , )m p

。

(8 分)

【解】

(1) 因為16是m²(51 2 )+ m 的因數，且16與51 2m+ 互質，故16是m 的 ²

因數。因此，m必為4的倍數。

(2) 由(1)可令m=4k，原式可化為

2 2

51 8 1 51 8

p k

k k

= + >

− ，得知1≤ <k p。又p 為

質數，可知p與k 互質。令d 為51 8k− 與51 8k+ 的最大公因數，則

2 2

51 8 51 8

k dk k dp

 − =

 + =

 。因此，16k =d p( ²−k²)。………(*) 若 p=2，則k=1，此時，16=3d ，不合。

若 p>2，則由(*)式得知 k dp²；又p與k 互質，得到 k d 。 可設d = k ，代入(*)式並化簡，得16=(p+k)(p−k)。因此，

4,8,16 p+ =k 。

(i)當 p+ =k 4時，p=3,k=1,=2,d =2，矛盾(與51k+8k=dp²不合)。

(ii)當 p+ =k 8時，p=5,k=3（合），或p=7,k=1(與51k+8k =dp²不

(iii)當 p+ =k 16時，p− =k 1，得 ¹⁷

p= 2 (不合)。

因此，僅有唯一的一組解，即數對( , )m p =(12, 5)。

【問題三】 如圖，ABCD 是邊長為 6 的正方形，其內切圓

^O

分別切

AB

、

^AD

於

U V,

兩點，且

PQ

與圓

O

相切，其中點

P

在

AU

上，點

Q

在

AV

上。

試證：

∆CPQ

的面積為定值，並求此定值。

(12 分)

【解】

設圓 O 分別切 DC 、 CB 於 W、X 兩點。顯然，圓O的半徑為 3，且 AU =AV =BU =BX =DV =DX CX= =CW = ， 3

令PT =PU = p、QT =QV =q。由此可知

1 1

(3 )(3 )

2 2

APQ AP AQ p q

∆ = ⋅ ⋅ = − − , ^{1 1} (3 ) 6

2 2

BCP BP BC p

∆ = ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ,

1 1

(3 ) 6

2 2

CDQ DQ CD q

∆ = ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ 。

由此可得

1

36 ( 9 3 3 18 6 18 6 ) 2

1 1

36 ( 45 3 3 ) ( 27 3 3 ).

2 2

CPQ ABCD APQ BCP CDQ

p q pq p q

p q pq p q pq

∆ = − ∆ − ∆ − ∆

= − − − + + + + +

= − + + + = − − −

利用畢氏定理，PQ² = AP²+AQ²，即(p+q)² = −(3 p)²+ −(3 q)²，化簡可 得到3p+3q+ pq=9。亦可設∠TOP= ∠UOP=x，∠TOQ= ∠VOQ= y，

則可推得 2 2

UOV x y 2π

∠ = + = ，所以，

x+ =y 4π ；因此，

tan tan 3 3 3( ) 1 tan( )

1 tan tan 9

1 3 3 p q

x y p q

x y

x y p q pq

+ + +

= + = = =

− − −

， W

V

P Q

O X

A U B

D C

T

即3p+3q+ pq=9。故 ¹ ( 27 3 3 ) ¹ ( 27 9 ) 9

2 2

CPQ p q pq

∆ = − − − = − = 。

【問題四】設正整數

n≥ ≥k 3

。對

^{X =}

{

^{1, 2, 3,}^,n

} 中恰含

k

個元素的子集

A

，令

f A( )

表示 A 中

3

個連續整數組

( ,i i+1,i+2)

的組數；例如：

對

n=9

及

k=7

，在

A=

{

1, 2, 3,5, 6, 7,8

} 中，出現

3

個連續整數的 組數恰有

3

組：

(1, 2, 3), (5, 6, 7), (6, 7,8)

，此時

f A( )=3

。設

X

中

所有

k

個元素的子集

A

之

f A( )

值的總和以

S k_n( )

表示。

(1) 對

n=9

及

k =4

，試求

S₉(4)

之值。

(5 分)

(2) 對任意正整數

n≥ ≥k 3

，試求

S k_n( )

的一般式。

(8 分)

【解】

(1)

A

中含3個連續整數組的情況僅有以下兩類：

(a) 恰含 1 組連續3整數的子集

A

：共5 2× + × =4 5 30種。

{1, 2, 3, 5},{1, 2, 3, 6},{1, 2, 3, 7},{1, 2, 3,8},{1, 2, 3, 9}

{2, 3, 4, 6},{2, 3, 4, 7},{2, 3, 4,8},{2, 3, 4, 9}

{3, 4, 5,1},{3, 4, 5, 7},{3, 4, 5,8},{3, 4, 5, 9}

{4, 5, 6,1},{4, 5, 6, 2},{4, 5, 6,8},{4, 5, 6, 9}

{5, 6, 7,1},{5, 6, 7, 2},{5, 6, 7, 3},{5, 6, 7, 9}

{6, 7,8,1},{6, 7,8, 2},{6, 7,8, 3},{6, 7,8, 4}

{7,8, 9,1},{7,8, 9, 2},{7,8, 9, 3},{7,8, 9, 4},{7,8, 9, 5}

(b) 恰含 2 組連續3整數的子集

A

：共6種。

{1, 2, 3, 4},{2, 3, 4, 5},{3, 4, 5, 6},{4, 5, 6, 7},{5, 6, 7,8},{6, 7,8, 9}

因此，S₉(4)=30 1 6 2× + × =42。

(2) 對i=1, 2, 3,,n−2，定義 1, , 1, 2 ( ) 0,

i

i i i A

g A  + + ∈

=  若

其他 。則可得知：

2

1

( ) ( )

n i i

f A g A

−

=

=

∑

^{，且對每一個i=1, 2, 3,,n−2， i( ) kn33}

A k

g A C ₋⁻

=

∑

= ^，這是

因為

A

中除了i i, +1,i+2這三數外，還要從其餘的n−3個數選取k−3 個數。因此，

2 2 2

3 3

3 3

=1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( 2)

n n n

n n

n i i k k

A k A k i i A k i

S k f A g A g A C n C

− − −

− −

− −

= = = = =

=

∑

=

∑ ∑

=

∑ ∑

=

∑

= − ^。