問題一：

104 學年度臺北市 (麗山高中)

普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽 數學科筆試（一）試題參考解答

注意事項：

1. 本試卷共四題計算證明題，滿分為 49 分。

2. 考試時間：2 小時。

3. 試題及計算紙必須連同答案卷交回。

4. 將演算過程依序填寫在答案卷內。

問題一：

設ABCD為平行四邊形，其中  A B。 試證：若 P 為 AD 上的任一點，則

P A P B P C P D A B A C 。 (12 分) A D

【證明】：

示意圖如下圖實線所示：

(一) 當P A時， PA PB PC PD    AAABACAD ABACAD 。 當PD時，

.

P A P B P C P D D A D B D C D D A D D B A B A D A C A B

         

  

(   B A,   B A 180 ,  B 90 , A 90 , 而知 AC² AB²BC², BD² AB²AD²ACBD)

(二) 當 P 為AD 邊非端點 A, D 時，過 P 作PE AB且交 BC 於 E，則 ABEP 為平行 四邊形，故 PEAB。

欲證

 

.

PA PB PC PD AD AC AB PA PD PB PC AD AC AB PB PC AC AB

     

      

   

連 AE , 在平行四邊形 ABEP 中，二內角  A B, 故亦知PBAE。

(三) 在四邊形 AECP 中AC 與 PE 為相交的對角線，故得 ACPEPCAEPCPB。 即得 PB PC  ACAB。

問題二：

設 ABC 為邊長1的正三角形， BC 上有 n 等分點，沿點B到點 C 的方 向，依次為P ，₁ P ，…，₂ P_n1，其中n2；並令向量內積的和S 為 _n

1 1 2 2 3 1

n n

S AB AP AP AP AP AP  AP_ AC。

試求S 的值 (以 n 表示)。 (12 分) _n

【解答】：

為了方便計算，令P₀ B P, _nC，根據向量分點公式，得

( ) 0 _n k

n k AP k AP

AP n

 

 。

因為正 ABC 的邊長為1，所以

0 0 0

1, 1 1 cos 60 1

n n n 2

AP AP  AP AP  AP AP      。 此時，

0 0

1

1 1

( 1) ( 1) ( )

n n

n n

n k k

k k

n k AP k AP n k AP k AP

S AP AP

n n

  

     





 



 ^；

即

1 1

2 2

1 2

( 1)( ) ( 1) ( 1)( ) ( 1)

n n

k

n k n k n k k k n k k k

S  n

          





^。

整理可得

2 2

2 1 2

( 1) ( ⁿ)

n n

k

k n k n

S  n

   





^。

代入平方和公式，得

2

2 2

( 1)(2 1) ( 1) 2 1

6 2 2

n

n n n n n n

S n n

   

   ；

即

5 2 2

n 6 S n

n

  。

問題三：

試找出所有可能的正整數 p 及數列a a a₀, ,_{1 2}, ,a_m 同時滿足以下條件：

(1) a a a₀, ,_{1 2}, ,a_m{0,1, 2, ,p1}， (2) _{0 1 2}

0

(1 )(1 )(1 ) (1 )

m k

k m

k

a p a a a a



    



。 (12 分)

【解答】：

當 p1時，a₀ a₁ a_m0，都不會滿足(2)式。以下考慮 p2的 情況。注意：當數列a a a₀, ,_{1 2}, ,a_m 滿足題設條件時，數列a a a₀, ,_{1 2}, ,a_m,0,0, ,0也 會滿足題設條件，故僅須考慮a_m 0的情況。

(i) 當m0時，a₀  1 a₀，不可能。

(ii) 當m1時，a₀a p₁  (1 a₀)(1a₁)，得知：a p₁(  1 a₀)1。故

1 1 0 1

a   p a  ，即a₀  p 2,a₁1。

(iii) 以下證明：當m2時，數列都不存在。假設

0 1 2

0

(1 )(1 )(1 ) (1 )

m k

k m

k

a p a a a a



    



^。

利用 ( 1a₀ ) ( 1a₁ ) ( 1a₂ ) _m( 1a )

0 1 2 1 0 1 2 1

(1 a )(1 a )(1 a ) (1 a_m ) a_m(1 a )(1 a)(1 a ) (1 a_m )

         

0 1 2 2 1 0 1 2 2

(1 a )(1 a )(1 a ) (1 a_m ) a_m(1 a )(1 a )(1 a ) (1 a_m )

         

0 1 2 1

(1 )(1 )(1 ) (1 )

m m

a a a a a _

     

0 1 0 2 0 1 0 1 2 1

(1 a ) a (1 a ) a (1 a )(1 a ) a_m(1 a )(1 a )(1 a ) (1 a_m)

            

1 0

1 0

(1 ) (1 )

m k

k i

k i

a a a



 

  

 

 ^。 可得：

1 0

0 1 0

(1 ) (1 )

m m k

k

k k i

k k i

a p a a a



  

   

  

^{。移項整理得： 1}

1 0

(1 ) 1

m k

k

k i

k i

a p a



 

   

 

 

 

^。

(1)若a₀ a₁a₂  a_m1 p 1，則

1

1 0

(1 ) 0

m k

k

k i

k i

a p a



 

   

 

 

 

^，不合。

(2)若a a a₀, ,_{1 2}, ,a_m1 中有一項不等於 p1，則

1 1

1 0 0

(1 ) (1 ) 1

m k m

k m

k i m i m

k i i

a p a a p a a

 

  

        

   

   

  

^，不合。

綜合以上討論，所求為 p2，而數列為： p2,1 , p2,1,0 , , p2,1,0,0, ,0 。

問題四：

設△ABC 是銳角三角形且 AB AC ，其外心為 O、垂心為 H。設點 D 是 BAC的分角線與外接圓的另一交點，DE是△ABC 的外接圓直徑，M 是

BC 的中點，N 是EH的中點。試證：直線 MN 與直線 AE 垂直。 (13 分)

P

M N N

E E

M

H H

F

D D

B C B C

A

O O

A

【證明】：

設直線 CO 與外接圓的另一交點為 P。

因為 CP 是△ABC 外接圓的一直徑，所以，PBBC、PACA。因為直線 PB、

直線 AH 都與直線 BC 垂直，所以，PB與AH平行。同理，因為直線 PA、直線 BH 都與直線 AC 垂直，所以，PA與BH 平行。於是，□PAHB 為平行四邊形，AH PB。 其次，在△BCP 中，因為點 O 與點 M 分別是 PC 與 BC 的中點，所以，PB2OM。 於是，可得

2

AH PB OM。

在直線 DE 上作點 F 使得點 M 成為DF的中點。因為A是銳角，所以，邊 BC 的中點 M 必在半徑 OD 上。於是，可得

2 2( ) 2 2

DE DO DMOM DMFM OM DF OM，

所以，可得EFDEDF2OM AH。因為直線 AH 與直線 EF 都與直線 BC 垂 直，所以，EF與AH平行。由此可知：□AEFH 為平行四邊形，其對角線AF 與EH 互相平分於EH 的中點 N。

在△ADF 中，因為點 M 與點 N 分別是DF與AF 的中點，所以，直線 MN 與直 線 AD 平行。因為DE是△ABC 外接圓的一直徑，所以，直線 AD 與直線 AE 垂直。

於是，直線 MN 與直線 AE 垂直。