問 題 一：

109 學 年 度 新 北 市 (板 橋 高 中)

普 通 型 高 級 中 等 學 校 數 理 及 資 訊 學 科 能 力 競 賽 (數 學 科 筆 試 一 參 考 答 案)

問 題 一：

a b c d ]

， 定 義 其 轉 置 矩 陣 A^T = [

a c b d ]

。

設 A 為 2×2 階 矩 陣， 滿 足 A^TA = AA^T = I， 其 中 I 為 二 階 單 位 方 陣， 且 A 的 行 列 式 為 1。 證 明： 矩 陣 A 必 定 可 以 表 達 為

A = [

cosθ −sinθ sinθ ^cosθ

] ,

其 中θ 為 一 實 數， 並 滿 足 0⩽θ ^{< 2}π^{。 (16 分)}

【證】 因 為 AA^T = I， 所 以 A 的 兩 個 列 向 量 皆 是 長 度 為 1 的 平 面 向 量。 不 失 一 般 性， 可 設

A = [

cosα ^sinα cosβ ^sinβ ]

, α^,β ∈ (0,2π^].

由 行 列 式 det A = 1， 得 1 = det A = cosα^sinβ− cosβ^sinα ^{= sin(}β−α^{)， 故} β ⁼α⁺π

2 + 2kπ^{, k}∈ Z, 此 時

cosβ ^{= cos(}α⁺π

2) =−sinα^, sinβ ^{= sin(}α⁺π

2) = cosα^.

故 可 取θ ^{= 2}π−α ∈ [0,2π^{)， 此 時 cos}θ ^{= cos}α^{, sin}θ ⁼−sinα^{， 得}

A = [

cosα ^sinα cosβ ^sinβ ]

= [

cosα ^sinα

−sinα ^cosα ]

= [

cosθ −sinθ sinθ ^cosθ

] .

證 畢。

問 題 二：

(1) 若 此 兩 線 重 合， 試 證 EA = EB。

(2) 若 此 兩 線 不 重 合， 試 證 此 兩 線 平 行。

(16 分)

1 2

A

B C D

E

F

【證】 (1) 若 此 兩 角 平 分 線 重 合， 則 △EFD ≃ △EFC (ASA 全 等)。 故 得 ED = EC。 再 由 圓 冪 性 質

ED· EA = EC · EB, 故 EA = EB。

(2) 若 此 兩 條 線 不 重 合， 則 如 圖 所 示。 直 接 計 算 角 度 得：

∠2 = 180^◦−1

2∠AEB − ∠EDB

= 180^◦−1

2(180^◦− ∠DAB − ∠CBA) − (∠DAB + ∠ABD)

= 90^◦+1

2(∠DAF + ∠CBF + ∠FAB + ∠ABF) − (∠DAF + ∠FAB + ∠ABF)

= 90^◦−1

2(∠FAB + ∠ABF) (∵ ∠DAF = ∠CBF)

=1

2(180^◦− ∠FAB − ∠ABF)

=1

2∠AFB = ∠1.

因 同 位 角 相 等， 故 兩 線 平 行， 得 證。

問 題 三：

f (mn) = f (m) f (n), 且 f ( f (n)) = n.

試 求 f (2020) 的 最 小 可 能 值。 (17 分)

【證】 答 案 是 60.

取 m = n = 1， 則 f (1) = f (1)²， 得 到 f (1) = 1。

先 證： f 會 把 質 數 映 到 質 數。

理 由： 設 p 為 質 數 且 f (p) = ab， 其 中 a, b 為 正 整 數， 則 p = f(

f (p))

= f (ab) = f (a) f (b).

所 以 f (a) = 1 或 者 f (b) = 1。 不 妨 設 f (a) = 1， 則 a = f(

f (a))

= f (1) = 1.

當 a = 1 時，b 不 可 能 也 是 1， 否 則 p = f ( f (p)) = f (ab) = f (1) = 1， 不 合。 故 f (p) 的 確 是 質 數。

顯 然 f 是 一 對 一 函 數， 因 為 當 f (m) = f (n) 時， 有 m = f( f (m))

= f( f (n))

= n。 因 此 f 將 不 同 的 質 數 映 到 不 同 的 質 數， 且 為 一 乘 性 (multiplicative) 函 數。

現 在

f (2020) = f (2²· 5 · 101) = f (2)²· f (5) · f (101).

要 得 到 最 小 值， 可 設 f (2) = 2, f (101) = 3, f (3) = 101, f (p) = p 對 所 有 p̸= 2,3,101 的 質 數 均 成 立； 且 當 n = p^α₁¹p^α₂²··· p^α_k^k 為 n 的 質 因 數 分 解 式， 定 義

f (n) = f (p₁)^α1f (p₂)^α2··· f (pk)^αk. 則 f 滿 足 題 設， 且 f (2020) 達 到 最 小 值

f (2²· 5 · 101) = f (2)²· f (5) · f (101) = 2²· 5 · 3 = 60.